Bài giảng đại số tuyến tính chương 1 ths nguyễn phương

Chương 1: MA TRẬN − ĐỊNH THỨC Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 30 tháng 10 năm 2013 1 Giới thiệu Ma trận Các khái niệm Các phép toán ma trận Các tính chất Ma trận Định thức Định nghĩa Tính định thức phép biến đổi sơ cấp Các tính chất Định thức Hạng ma trận Định nghĩa Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp Ma trận nghịch đảo Định nghĩa Điều kiện tồn Tìm ma trận nghịch đảo ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giới thiệu Công ty điện tử ABC sản xuất mặt hàng TV, radio, đầu máy VCD quạt máy Công ty có đại lý bán hàng Bảng sau cho biết số lượng mặt hàng bán đại lý tháng vừa qua: Đại lý Đại lý Đại lý TV 120 140 150 radio 150 180 120 đầu máy VCD 80 120 180 Ta viết lại bảng sau:  120 150  q = 140 180  150 120 80 120 180 quạt máy 210 220 250  210 220  250 - Dòng thứ vector khối lượng hàng hóa bán tháng đại lý - Dòng thứ hai vector khối lượng hàng hóa bán tháng đại lý - Cột thứ vector khối lượng TV bán tháng công ty ABC - Cột thứ vector khối lượng radio bán tháng công ty Ma trận Các khái niệm Định nghĩa - Ma trận cấp m × n bảng số (thực phức) hình chữ nhật bao gồm m dòng n cột - Ma trận A cấp m × n, kí hiệu A = (aij )mxn với i = 1, m, j = 1, n   a11     A =  ai1     am1 a1j aij amj ↑ cột thứ j a1n ain amn            ← dòng thứ i m×n - Ai∗ = ai1 ai2 · · · ain gọi dòng thứ i ma trận A    a1j   a   2j  - A∗j =   gọi cột thứ j ma trận A     amj   Ma trận Các khái niệm Ví dụ:    A =   10 11      A ma trận có dòng cột A ma trận thực cấp × Các phần tử ma trận A là: a11 = 0, a12 = 1, a13 = 2, a14 = a21 = 4, a22 = 5, a23 = 6, a24 = a31 = 8, a32 = 9, a33 = 10, a34 = 11 Định nghĩa Ma trận không ma trận có phần tử không (aij = 0, ∀i, j), kí hiệu O Ví dụ: O2×3 = 0 0 0 Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Cho A = (aij )mxn Khi m=1, ta ma trận dòng A = (a11 a12 · · · a1n )    a11   a   21  Khi n=1, ta ma trận cột A =       am1 Ví dụ:         Ma trận dòng A = (1 3) ma trận cột B =       Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Ma trận vuông cấp n ma trận có n dòng n cột Các phần tử aii lập thành đường chéo Các phần tử aij với i + j = n + lập thành đường chéo phụ Ví dụ:        A =   10 11     12 13 14 15 4×4 Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Ma trận vuông A = (aij )nxn gọi ma trận tam giác ⇔ Các phần tử nằm phía đường chéo 0, tức aij = 0, ∀i > j Ví dụ:    −3    A =  0    0 Định nghĩa Ma trận vuông A = (aij )nxn gọi ma trận tam giác ⇔ Các phần tử nằm phía đường chéo 0, tức aij = 0, ∀i < j Ví dụ:    A =  −1   0  0   Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Ma trận vuông A gọi ma trận chéo ⇔ Các phần tử không nằm đường chéo 0, tức aij = 0, ∀i j Ví dụ:    A =   0 0 0 −3      Định nghĩa Ma trận chéo có phần tử nằm đường chéo gọi ma trận đơn vị, tức aij = 0, ∀i j aii = 1, ∀i Ma trận đơn vị cấp n kí hiệu In    0    Ví dụ: I2 = ; I3 =     0 Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Ma trận bậc thang theo dòng ma trận thỏa điều kiện Các dòng không (nếu có) phải nằm Phần tử khác không dòng (nếu có) phải nằm cột bên trái phần tử khác không dòng (nếu có) Ví dụ: Cho biết ma trận sau có phải ma trận bậc thang theo dòng hay không?    A =   0     C =   −1  0 −1 −1 1         ; B =              ;D =      0 0 −1 −1 1      ;    −1      1 Định thức Các tính chất Ví dụ: a1 + b1 x a1 x + b1 c1 a1 a1 x + b1 c1 a2 + b2 x a2 x + b2 c2 = a2 a2 x + b2 c2 + a3 + b3 x a3 x + b3 c3 a3 a3 x + b3 c3 a1 a1 x c1 a1 b1 c1 b1 x a1 x c1 a2 a2 x c2 + a2 b2 c2 + b2 x a2 x c2 a3 a3 x c3 a3 b3 c3 b3 x a3 x c3 a1 b1 c1 b1 a1 c1 + a2 b2 c2 + x2 b2 a2 c2 + = (1 − x2 ) a3 b3 c3 b3 a3 c3 b1 x a1 x + b1 c1 b2 x a2 x + b2 c2 = b3 x a3 x + b3 c3 b1 x b1 c1 + b2 x b2 c2 = b3 x b3 c3 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 Định thức Định thức Định nghĩa Định thức ma trận cấp k A = (aij )nxn gọi định thức cấp k |A| Định thức A tính thông qua công thức sau |A| = (−1)i1 +···+ik +j1 +···+jk |Ai1 , ,ik ;j1 , ,jk |.|Ai1 , ,ik ;j1 , ,jk | 1≤j1 [...]... có |A| = ( 1) 1 +1 ad + ( 1) 1+2 bc = ad − bc a Cho A = 21 Định thức Định nghĩa Ví dụ: 2 1 3 −2 Ta có |A| = 2(−2) − ( 1) 3 = 1    a 11 a12 a13  c Cho A =  a 21 a22 a23    a 31 a32 a33 Ta có |A| = a a23 a a23 a a22 ( 1) 1 +1 a 11 22 + ( 1) 1+2 a12 21 + ( 1) 1+3 a13 21 = a32 a33 a 31 a33 a 31 a32 a 11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a 21 a32 a13 −a13 a22 a 31 − a12 a 21 a33 − a23 a32 a 11  a 11 a12 a13   ... 1 1 Ta có |A| = ( 1) 1+2+j1 +j2 |A1,2;j1 ,j2 |.|A1,2;j1 ,j2 | 1 j1 ... ( 1) 3 = 1    a 11 a12 a13  c Cho A =  a 21 a22 a23    a 31 a32 a33 Ta có |A| = a a23 a a23 a a22 ( 1) 1 +1 a 11 22 + ( 1) 1+2 a12 21 + ( 1) 1+3 a13 21 = a32 a33 a 31 a33 a 31 a32 a 11 a22... = a 11 n≥2: |A| = ( 1) 1 +1 a 11 |M 11 | + ( 1) 1+2 a12 |M12 | + · · · + ( 1) 1+n a1n |M1n | Ví dụ: a b c d Ta có |A| = ( 1) 1 +1 ad + ( 1) 1+2 bc = ad − bc a Cho A = 21 Định thức Định nghĩa Ví dụ: 1 −2... a12 a23 a 31 + a 21 a32 a13 −a13 a22 a 31 − a12 a 21 a33 − a23 a32 a 11  a 11 a12 a13    Quy tắc Sarius: A =  a 21 a22 a23    a 31 a32 a33 |A| = a 11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a 21 a32 a13