Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 Ánh xạ tuyến tính cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm Ánh xạ tuyến tính; Ma trận của ánh xạ tuyến tính; Trị riêng và vecto riêng của một toán tử tuyến tính; Bài toán chéo hóa ma trận;...Mời các bạn cùng tham khảo!
CHƯƠNG 13/12/2020 TS NGUYỄN HẢI SƠN - ĐHBK §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa a.Định nghĩa Cho V W KGVT trường K Ánh xạ f :V→W ánh xạ tuyến tính thỏa mãn tính chất: (i ) f (u v) f (u) f (v) (ii ) f (ku) kf (u) với u,v V , k K + Ánh xạ tuyến tính f :V→V gọi tốn tử tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính V §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH NX: Ta gộp (i) (ii) thành (iii ) f (ku lv ) kf (u) lf (v ) với u,v V , k ,l K b Các ví dụ VD1 Ánh xạ khơng f : V W , f (v ) W , v V ánh xạ tuyến tính VD2 Ánh xạ đồng IdV : V V v IdV (v ) v tốn tử tuyến tính §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VD3 Ánh xạ đạo hàm D : Pn [x] Pn1 [x] p D( p ) p' ánh xạ tuyến tính Thật vậy, với f , g Pn [x], k,l ta có D(k f l.g ) (k f l.g )' k f ' l.g ' kD( f ) lD( g ) §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VD4 Ánh xạ f : f (x1 , x2 , x3 ) (x1 x2 ,x2 x3 ) ánh xạ tuyến tính §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Thật vậy, với x ( x1 , x2 , x3 ), y ( y1 , y2 , y3 ) , k ta có f ( x y ) f ( x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 ) (( x1 y1 ) 2( x2 y2 ),( x2 y2 ) ( x3 y3 )) (( x1 x2 ) ( y1 y2 ),( x2 x3 ) ( y2 y3 )) ( x1 x2 , x2 x3 ) ( y1 y2 , y2 y3 ) f ( x) f ( y ) f (kx) f (kx1 , kx2 , kx3 ) (kx1 2kx2 , kx2 kx3 ) (k ( x1 x2 ), k ( x2 x3 )) k ( x1 x2 , x2 x3 ) kf ( x) §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VD5 Với A ma trận cỡ mxn bất kì, ánh xạ f : Mn p ( K ) Mm p ( K ) X AX ánh xạ tuyến tính §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.2 Các phép toán a ĐL1 Cho ánh xạ tuyến tính f,g: V→ W Khi đó, ánh xạ ψ, :V→W xác định ψ(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x), (x)=(kf)(x)=k.f(x) , k∊K ánh xạ tuyến tính b ĐL2 Cho ánh xạ tuyến tính K-kgvt f: V → W, g:W → U Khi đó, ánh xạ h: V → U, h(x)=g(f(x)) hợp thành f g ánh xạ tuyến tính §1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.3 Đơn cấu - tồn cấu - đẳng cấu a.Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính f:V → W gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) f đơn ánh (toàn ánh, song ánh) Trường hợp f đẳng cấu, ta nói V W đẳng cấu với nhau, kí hiệu: V W b Định lý Mọi không gian vectơ n chiều trường K đẳng cấu với Kn §1 Ánh xạ tuyến tính 1.4 Hạt nhân-Ảnh-Hạng ánh xạ tuyến tính Đn1 Cho ánh xạ tuyến tính f:V → W khơng gian vectơ - Hạt nhân f , kí hiệu Ker(f) xác định 1 Ker(f)={v V|f(v)=W}=f ({W}) - Ảnh f, kí hiệu Im(f) xác định Im(f)={f(u)|u V}=f(V) §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG VD1 Tìm trị riêng vec tơ riêng tốn tử tuyến 2 tính f : xác định f ( x1 , x2 ) (6 x1 x2 ; 3x1 x2 ) VD2 Tìm trị riêng vectơ riêng tốn tử tuyến tính f : P2 [x] P2 [x] xác định f (a0 a1 x a2 x ) (5a0 6a1 2a2 ) (a1 8a2 ) x (a0 2a2 ) x §4: BÀI TỐN CHÉO HĨA MA TRẬN §4: BÀI TỐN CHÉO HĨA MA TRẬN 4.1 Ma trận chéo hóa 4.1.1 Đ/n Ma trận đồng dạng với ma trận chéo gọi ma trận chéo hóa Với A ma trận vng cho trước, q trình làm chéo hóa A q trình tìm ma trận khơng suy biến T cho T-1AT ma trận chéo Khi đó, mtr T gọi ma trận làm chéo hóa A §4: BÀI TỐN CHÉO HĨA MA TRẬN VD 5 A 2 2 ,T 8 4 1 TAT 0 2 0 1 / ,T 2 1/5 1/5 / A mtr chéo hóa T mtr làm chéo hóa A §4: BÀI TỐN CHÉO HĨA MA TRẬN ?1 Tiêu chuẩn để ma trận chéo hóa được? ?2 Nếu A chéo hóa được, tìm ma trận T làm chéo hóa A ?3 Ma trận T có khơng? §4: BÀI TỐN CHÉO HĨA MA TRẬN 4.1.2 Tiêu chuẩn để ma trận chéo hóa ĐL Điều kiện cần đủ để ma trận chéo hóa ma trận có đủ n vec tơ riêng độc lập tuyến tính C/m:… Hq Nếu ma trận A có n trị riêng phân biệt chéo hóa §4: BÀI TỐN CHÉO HĨA MA TRẬN 4.2 Thuật tốn chéo hóa ma trận Bước Giải pt đặc trưng det(A-λE)=0 Nếu pt có đủ n nghiệm g/s tập có k nghiệm phân biệt λ1, λ2,…, λk chuyển sang bước Bước Giải hệ pt (A-λiE)X=0 (i=1,2,…,k) Nếu khơng tìm đủ n nghiệm độc lập tuyến tính thi A khơng chéo hóa Trong trường hợp tìm đủ n nghiệm độc lập tuyến tính u1, u2,…, un ta thực bước §4: BÀI TỐN CHÉO HĨA MA TRẬN Bước Lập ma trận T có cột u1, u2,…, un T ma trận làm chéo hóa A Bước Ma trận T-1AT ma trận chéo có phần tử chéo trị riêng tương ứng với vec tơ riêng u1, u2,…, un §4: BÀI TỐN CHÉO HĨA MA TRẬN VD Đưa ma trận A dạng chéo 3 1 a) A 1 3 2 0 b) A 1 1 §4: BÀI TỐN CHÉO HĨA MA TRẬN 4.3 Bài tốn tìm sở để ma trận toán tử tuyến tính ma trận chéo Cho tốn tử tuyến tính f:V→V Hãy tìm sở B V để ma trận f theo sở có dạng chéo §4: BÀI TỐN CHÉO HĨA MA TRẬN Bước Chọn sở E tùy ý V (thường sở tắc có) Tìm ma trận A f E Bước Chéo hóa ma trận A Nếu A khơng chéo hóa khơng tồn sở B thỏa mãn điều kiện đầu Nếu A chéo hóa chuyển sang bước Bước G/s T ma trận làm chéo hóa A Xét sở B V cho T ma trận chuyển sở từ E sang B Khi đó, ma trận f sở B T-1AT có dạng chéo MỘT SỐ ĐỀ THI VD1 (Câu III-Đề III-K55) MỘT SỐ ĐỀ THI VD2 (Câu III-Đề IV-K55) MỘT SỐ ĐỀ THI VD3 (Đề I-K53) VD3’ Tương tự VD3 với B {1;1 x; (1 x )2 } 3 1 A 2 2 m m2 (Đề II-K53) Một số đề thi VD4 Cho toán tử tuyến tính f : P2 [x] P2 [x] thỏa mãn f (1 x x ) 5x 3x ; f ( x ) 10 8x ; f ( x 3x ) 5x x a) Tìm ma trận A f sở {1;x;x2} b) Tìm sở P2[x] để với sở ma trận f có dạng chéo Xác định dạng chéo VD4’ Tương tự VD4 với (Đề 1-K52) f (1 x x ) x 5x ; f ( x ) x; f (x 3x ) 5x x (Đề 2-K52) ... Ánh xạ tuyến tính 1 .4 Hạt nhân-Ảnh-Hạng ánh xạ tuyến tính Đn1 Cho ánh xạ tuyến tính f:V → W không gian vectơ - Hạt nhân f , kí hiệu Ker(f) xác định 1 Ker(f)={v V|f(v)=W}=f ({W}) - Ảnh f,... Đ/s: m=5/2 Bài 4? ?? Tương tự 4, với (Đề 3_K56) f (a bx cx ) (a b 3c) ( 3a 5b 4c)x ( 2 a b 9c)x u mx ( 3m )x Đ/s: m=0 (Đề 4_ K56) Một số đề thi Bài Cho tốn tử tuyến tính... (Đề 1-8 /2010) Bài 2’ Tương tự 2, với f : P2 [x] P5 [x], f ( p(x )) x p(x ) p''(x ) B {p1 ,p2 ,p3 } với p1=1+x , p2 =1+2x+3x , p3=3+5x (Đề 2-8 /2010) Một số đề thi Bài Cho tốn tử tuyến