Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Dạng toàn phương trên ({R^N}). Chương này cung cấp cho học viên những nội dung về: dạng toàn phương; dạng chính tắc của dạng toàn phương; dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương; dạng toàn phương có dấu xác định;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết!
Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương IV DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRÊN RN §1 DẠNG TỒN PHƯƠNG 347 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương IV DẠNG TỒN PHƯƠNG TRÊN RN §1 DẠNG TỒN PHƯƠNG Các khái niệm Definition 1.1 (Dạng tồn phương) Trong khơng gian vectơ Rn cho sở β = {e1 , e2 , , en } Với vectơ x ∈ Rn ta có (x)β = (x1 , x2 , , xn ) Một ánh xạ q : Rn → R xác định 347 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân q(x) = q(x1 , x2 , , xn ) = xi xj 1≤i,j≤n gọi dạng toàn phương Rn ứng với sở β Khi (1.1) gọi biểu thức toạ độ dạng toàn phương q ứng với sở β 348 (1.1) Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân q(x) = q(x1 , x2 , , xn ) = xi xj (1.1) 1≤i,j≤n gọi dạng toàn phương Rn ứng với sở β Khi (1.1) gọi biểu thức toạ độ dạng toàn phương q ứng với sở β Definition 1.2 (Ma trận dạng toàn phương) Cho dạng toàn phương (1.1), xác định Định nghĩa 1.1 Ma trận A = (aij )n xác định 348 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân b ij aij = bij i=j i=j gọi ma trận dạng toàn phương q cho (1.1) 349 (1.2) Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân b ij aij = bij i=j i=j gọi ma trận dạng toàn phương q cho (1.1) Nhận xét: 349 (1.2) Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân b ij aij = bij i=j i=j (1.2) gọi ma trận dạng toàn phương q cho (1.1) Nhận xét: (1) Từ hai định nghĩa ta viết biểu thức toạ độ dạng ma trận q(x) = (x)β A[x]β 349 (1.3) Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân b ij aij = bij i=j i=j (1.2) gọi ma trận dạng toàn phương q cho (1.1) Nhận xét: (1) Từ hai định nghĩa ta viết biểu thức toạ độ dạng ma trận q(x) = (x)β A[x]β (2) Ma trận A dạng toàn phương ma trận đối xứng 349 (1.3) Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân b ij aij = bij i=j i=j (1.2) gọi ma trận dạng toàn phương q cho (1.1) Nhận xét: (1) Từ hai định nghĩa ta viết biểu thức toạ độ dạng ma trận q(x) = (x)β A[x]β (1.3) (2) Ma trận A dạng toàn phương ma trận đối xứng (3) q : Rn → R dạng toàn phương khác không Rn q(x1 , x2 , , xn ) đa thức đẳng cấp bậc hai n biến x1 , x2 , , xn 349 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân b ij aij = bij i=j i=j (1.2) gọi ma trận dạng toàn phương q cho (1.1) Nhận xét: (1) Từ hai định nghĩa ta viết biểu thức toạ độ dạng ma trận q(x) = (x)β A[x]β (1.3) (2) Ma trận A dạng toàn phương ma trận đối xứng (3) q : Rn → R dạng tồn phương khác khơng Rn q(x1 , x2 , , xn ) đa thức đẳng cấp bậc hai n biến x1 , x2 , , xn (4) Nếu cho dạng tồn phương mà khơng nhắc tới sở 349 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta cịn có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (không thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải toán mà không vào chứng minh chi tiết 382 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta cịn có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (khơng thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải tốn mà khơng vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng tồn phương q khơng gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: 382 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta cịn có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (khơng thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải tốn mà khơng vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng tồn phương q khơng gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: (1) q xác định dương ⇔ D − i > 0; i = 1, n; 382 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta cịn có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (không thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải tốn mà khơng vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng toàn phương q không gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: (1) q xác định dương ⇔ D − i > 0; i = 1, n; (2) q xác định âm ⇔ D1 , D2 , , Dn đan dấu D1 < 0; (tức D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, , (−1)n Dn > 0) 382 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta cịn có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (không thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải tốn mà khơng vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng toàn phương q không gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: (1) q xác định dương ⇔ D − i > 0; i = 1, n; (2) q xác định âm ⇔ D1 , D2 , , Dn đan dấu D1 < 0; (tức D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, , (−1)n Dn > 0) 382 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta cịn có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (không thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải tốn mà khơng vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng toàn phương q không gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: (1) q xác định dương ⇔ D − i > 0; i = 1, n; (2) q xác định âm ⇔ D1 , D2 , , Dn đan dấu D1 < 0; (tức D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, , (−1)n Dn > 0) 382 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 4.1 Đưa dạng toàn phương ba biến thực sau dạng chuẩn tắc: q(x, y, z) = 2x2 + 8xy + 4xz + 9y + 12yz + 9z ; ∀(x, y, z) ∈ R3 Từ xác định số qn tính q Hỏi q có xác định dương hay khơng? 383 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 4.1 Đưa dạng toàn phương ba biến thực sau dạng chuẩn tắc: q(x, y, z) = 2x2 + 8xy + 4xz + 9y + 12yz + 9z ; ∀(x, y, z) ∈ R3 Từ xác định số quán tính q Hỏi q có xác định dương hay khơng? Giải: Sử dụng thuật tốn Lagrange ta có: q(x, y, z) = 2[x2 + 2x(2x + z) + (2x + z)2 ] − 2(2x + z)2 + 9y + 12yz + 9z = 2(x + 2y + z)2 + y + 4yz + 7z , = 2(x + 2y + z)2 + (y + 4yz + 4z ) + 3z , = 2(x + 2y + z)2 + (y + 2z)2 + 3z 383 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 4.1 Đưa dạng toàn phương ba biến thực sau dạng chuẩn tắc: q(x, y, z) = 2x2 + 8xy + 4xz + 9y + 12yz + 9z ; ∀(x, y, z) ∈ R3 Từ xác định số qn tính q Hỏi q có xác định dương hay khơng? Giải: Sử dụng thuật tốn Lagrange ta có: q(x, y, z) = 2[x2 + 2x(2x + z) + (2x + z)2 ] − 2(2x + z)2 + 9y + 12yz + 9z = 2(x + 2y + z)2 + y + 4yz + 7z , = 2(x + 2y + z)2 + (y + 4yz + 4z ) + 3z , = 2(x + 2y + z)2 + (y + 2z)2 + 3z 383 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Xét phép đổi biến x = x + 2y + z, x = x y = y + 2z, ⇔ y = z = z = z, − 2y + 3z , y − 2z , Lúc q có dạng tắc: q(x , y , z ) = 2x + y + 3z 384 z Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Xét phép đổi biến x = x + 2y + z, x = x y = y + 2z, ⇔ y = z = z = z, − 2y + 3z , y − 2z , z Lúc q có dạng tắc: q(x , y , z ) = 2x + y + 3z Lại đổi biến: √ X = 2x Y = Z = y x = , , ⇔ y = z = z, 384 √1 x − 2Y + y − √ 3Z, √2 Z, √1 Z Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Ta có dạng chuẩn tắc q q(X, Y, Z) = X + Y + Z Như q có số dương quán tính s = 3, số âm quán tính t = Do q xác định dương 385 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Ta có dạng chuẩn tắc q q(X, Y, Z) = X + Y + Z Như q có số dương quán tính s = 3, số âm qn tính t = Do q xác định dương Example 4.2 Dùng tiêu chuẩn Sylvester kiểm tra tính xác định dương dạng tồn phương q(x, y, z) = 2x2 + 8xy + 4xz + 9y + 12yz + 9z ; ∀(x, y, z) ∈ R3 Giải: Ma trận q sở tắc A = 4 385 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Các định thức A D1 = > 0, D2 = > 0, D3 = > Vậy q xác định dương 386 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân THE END 387 ... dạng tồn phương q Rn , ln tồn sở q - tắc Rn Điều có nghĩa dạng tồn phương đưa dạng tắc 360 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Phương pháp đưa dạng toàn phương dạng tắc 361 Đại. .. Dạng tắc dạng tồn phương 359 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §2 : DẠNG CHÍNH TẮC CỦA DẠNG TỒN PHƯƠNG Dạng tắc dạng tồn phương Giống tốn tử tuyến tính, dạng tồn phương q Rn biểu... 358 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §2 : DẠNG CHÍNH TẮC CỦA DẠNG TỒN PHƯƠNG 359 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §2 : DẠNG CHÍNH TẮC CỦA DẠNG TỒN PHƯƠNG Dạng