Tiểu luận giải tích 3 Dãy số trong không gian Rn
A.MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Toán học mơn khoa học tự nhiên, có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Tốn học có nhiều phân mơn Giải tích, Đại số, Hình học…; mơn giữ vai trị nhiệm vụ riêng, Giải tích vậy, có nhiệm vụ cung cấp kiến thức quan trọng hàm số, giới hạn tích phân… Trong đó, dãy số giới hạn dãy số phần quan trọng mơn giải tích Lý thuyết toán giới hạn dãy số thực đề cập hầu hết giáo trình giải tích, học Giải tích Ở giải tích này, dãy số kiến thức mới, việc nắm hiểu sâu sắc lý thuyết làm thành thạo tập có mối quan hệ mật thiết Và hết nắm rõ dãy số không gian giúp em hiểu học tốt phần học hàm số nhiều biến, giới hạn hàm số nhiều biến Chính nên em chọn đề tài: “Dãy số không gian ” để hiểu biết thêm nhiều kiến thức phục vụ cho chương trình Giải tích Mục đích nghiên cứu: Nắm hiểu rõ kiến thức có liên quan đến dãy số giới hạn dãy số , tìm giới hạn, chứng minh dãy số có giới hạn Đưa tập khác có liên quan đến giới hạn để hiểu giải tập tương tự Nhờ khái niệm giới hạn người nghiên cứu vấn đề liên quan đến vô hạn Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng: Định nghĩa dãy số, giới hạn dãy số Các tính chất dãy số mà dãy , dãy Các dạng tập liên quan đến dãy Phạm vi: Kiến thức dãy số Phương pháp nghiên cứu: Đọc tài liệu Tổng hợp lý thuyết Tham khảo ý kiến chuyên gia Cấu trúc tiểu luận : Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung tiểu luận gồm chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương 2: Các dạng tập liên quan CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Dãy số : 1.1.1 Định nghĩa : Ánh xạ u: : u u(n) = gọi dãy số Ta thường kí hiệu: để dãy số kí hiệu ta dùng kí hiệu , dãy Ngồi cách để dãy số viết: 1.1.2 Định nghĩa giới hạn dãy số : Cho dãy , dãy Kí hiệu: Nếu hay gọi có giới hạn : k có giới hạn a ta nói dãy hội tụ a a Ta nói dãy khơng có giới hạn không hội tụ nghĩa là: , : Vậy dãy số có giới hạn hữu hạn gọi dãy hội tụ, dãy số khơng có giới hạn dần tới vô k gọi dãy phân kỳ 1.1.3 Tính chất dãy hội tụ: Các định lý Định lý 1: Nếu dãy có giới hạn giới hạn Thật vậy, giả sử dãy Xét d( có giới hạn ) ta thấy : d( Vì nên d( )=0 Định lý 2: Dãy =( ) k hội tụ tới a = ( Chứng minh: Vì d(a, Nên = = =0 Do =0 = , 1.1.4 Nguyên lý Bolzano-Weierstrass Mọi dãy bị chặn có chứa dãy hội tụ Chứng minh: Giả sử dãy bị chặn , ),k=1,2,3,… Khi với i= 1,2,…,n dãy ( ) dãy bị chặn Do tồn dãy ( ) ( Lấy dãy ( ) Vì ( ) ( ) bị chặn nên ( ) bị chặn Do tồn dãy ( Khi ) cho ) ( ) cho =( Tiếp tục lập luận trên, ta tìm dãy ( ) ( ) cho tìm dãy , ) ) ( ) cho 1.1.5 Tiêu chuẩn Cauchy : Định nghĩa: Dãy gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) nghĩa , = cho Nhận xét: Từ tiêu chuẩn Cauchy suy : dãy khơng có giới hạn hữu hạn thỏa mãn điều kiện phủ định điều kiện cauchy : , = cho , : Từ định nghĩa ta thấy: Mọi dãy hội tụ dãy Thật vậy, giả sử dãy Khi , Từ (với k,l = hội tụ tới a cho ,ta có ) Tuy nhiên điều ngược lại không Định lý: Dãy hội tụ khi dãy Chứng minh: = +Ắt có: Giả sử dãy dãy hội tụ dãy hội tụ R, dãy bản.Vậy dãy +Điều kiện đủ: Nếu dãy dãy Thật vậy, dãy nên , = cho nghĩa Suy tức dãy dãy Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy (trong R) dãy hội tụ Vậy dãy hội tụ Vậy dãy hội tụ theo cauchy hội tụ theo Cauchy dãy Xét khái niệm viết lại 1.2 Dãy số : 1.2.1 Định nghĩa: Ánh xạ u: : u u(n) gọi dãy số Kí hiệu: với Và dãy viết Ngồi cách kí hiệu ta cịn kí hiệu: dãy , viết: Ví dụ: = = = = 1.2.2 Định nghĩa giới hạn dãy số : Cho dãy Kí hiệu: , dãy : gọi có giới hạn a hay k Nếu có giới hạn a ta nói dãy hội tụ a Ta nói dãy khơng có giới hạn khơng hội tụ nghĩa là: , : Vậy dãy số có giới hạn hữu hạn dược gọi dãy hội tụ, dãy số khơng có giới hạn dần tới vô k gọi dãy phân kỳ 1.2.3 Tính chất dãy hội tụ: Các định lý Định lý 1.1:Dãy hội tụ Chứng minh: Giả sử , Vì = = (k= : Vì ) (k= : ) = = = = Suy + Định lý 2.1: Dãy =( ) k hội tụ tới a = ( nghĩa : =( Chứng minh: Từ suy d( Khi = k ,từ suy nên Ngược lại, Thì ε > cho trước < với k < với k Đặt N( ) = Max( ( ) ta có: ), ( ) cho: k Vậy dãy {zn} vừa dãy tăng vừa bị chặn số nên hội tụ có giới hạn Vậy dãy hội tụ Bài tập 2: Với {xn} = {yn} = {zn} = , n >1 Với dãy {xn} = Giải: Ta có: = Ngồi ra, từ số = Suy dãy {xn} đơn điệu giảm bắt đầu đó, bị chặn dưới, ví dụ Vậy dãy hội tụ.(1) Với {yn} = Giải: Ta có :yn= Xét: yn +1- yn= 1 – 1+ = Mà 1+ n < 2+ n nên > >0 ⇒yn+1 > yn ⇒ Dãy {yn} dãy tăng Ta lại có :yn= 1 Ta có : ⇒ = = ,n Do dãy giảm thực Từ tính chất dãy bị chặn dưới, chẳng hạn Vậy dãy hội tụ.(3) Vậy từ (1),(2),(3) dãy Bài tập 3: Với {xn} = {yn} = hội tụ Với {xn} = Giải: Ta có : xn+1 xn = >0 n ⇒xn+1 > xn ⇒ Dãy {xn} dãy tăng Ta lại có: {xn} = + {xn} < = + + ….+ < + +….+