Tiểu luận Tích phân Lebesgue và qua giới hạn dưới dấu tích phân

Tiểu luận Tích phân Lebesgue và qua giới hạn dưới dấu tích phân

MỤC LỤC DANH SÁCH NHÓM LỚP DT14STH01 .1 MỞ ĐẦU Chương 1: TÍCH PHÂN LEBESGUE .3 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Phạm vi nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu .4 NỘI DUNG Tư tưởng tích phân Lebesgue .5 Các định nghĩa tích phân .5 2.1 Định nghĩa 2.2 Định lí Các tính chất sơ cấp .8 3.1 Tính chất (giả sử tích phân có nghĩa ) 3.2 Tính chất (Khả tích ) .12 Bài tập 13 Chương 2: QUA GIỚI HẠN DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN 15 Lý chọn đề tài: 15 Mục đích nghiên cứu 15 Phạm vi nghiên cứu 16 Phương pháp nghiên cứu .16 NỘI DUNG 17 Định lí Lêvi 17 Định lí hội tụ đơn điệu .20 Định lí Lebesgue hội tụ bị chặn 20 Một số phương pháp tính tích phân Lebesgue 22 4.1 Định lí 4.1 (định lí so sánh) .22 4.2 Bài tốn tích phân 23 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO .33 DANH SÁCH NHÓM LỚP DT14STH01 Đào Duy An (100%) Trần Vũ Bảo (100%) Nguyễn Thị Bình (100%) Trần Thị Kim Chung (100%) Hồ Văn Dũng (100%) Phạm Như Duy (100%) Nguyễn Thị Hữu Duyên (100%) Nguyễn Thị Mỹ Duyên (100%) Võ Thị Mỹ Duyên (100%) 10 Đỗ Trọng Đại (100%) 11 Lê Lương Hoàng Đại (100%) 12 Nguyễn Thị Lệ Giang (100%) 13 Nguyễn Thị Ngọc Giàu (100%) 14 Trương Thị Hạnh (100%) 15 Phan Thanh Hậu (100%) 16 Nguyễn Thị Thu Hiền (100%) Trang MỞ ĐẦU Ở chương trình phổ thơng, bước đầu làm quen với khái niệm tích phân ứng dụng hữu ích Khi đó, phép lấy tích phân hàm liên tục gián đoạn hữu hạn điểm thực cách dễ dàng tích phân Riemann Thế nhưng, hàm gián đoạn vô số điểm tất điểm làm để lấy tích phân theo nghĩa đó? Đây câu hỏi đặt suy nghĩ suốt thời phổ thông Khi bước vào đại học, chúng tơi có hội để trả lời câu hỏi qua việc tìm hiểu tích phân Lebesgue Tuy nhiên, khuôn khổ môn học, chúng tơi khơng có điều kiện để nghiên cứu sâu tính chất điều kiện khả tích loại tích phân trường hợp khác Tích phân Riemann giảng dạy cho sinh viên năm thứ hai khoa Toán, trường đại học Quảng Nam Tích phân có nhiều hạn chế đáng kể tiếp cận với số lĩnh vực Giải tích đại.Vì vậy, mục đích đề tài mở rộng tích phân Riemann tới tích phân Lebesgue hàm đo khơng gian có độ đo Vì vậy, chúng tơi định chọn “Tích phân Lebesgue qua giới hạn dấu tích phân” để làm đề tài tiểu luận Bài tiểu luận gồm hai chương:  Chương 1: Tích phân Lebesgue  Chương 2: Qua giới hạn dấu tích phân Trang Chương 1: TÍCH PHÂN LEBESGUE Lý chọn đề tài Ý tưởng phép xây dựng tích phân Lebesgue ta khơng nhóm điểm gần trục x mà lại nhóm điểm giá trị hàm số gần Điều cho phép ta mở rộng khái niệm tích phân lớp hàm tổng qt Ngồi tích phân Lebesgue định nghĩa hồn tồn khơng gian có độ đo tùy ý, ta phải định nghĩa tích phân Riemann hàm số biến số, sau mở rộng, với thay đổi cần thiết hàm nhiều biến số Đối với hàm xác định không gian có độ đo trừu tượng tích phân Riemann hồn tồn khơng có ý nghĩa Khái niệm tích phân Riemann biết đến giáo trình giải tích toán cao cấp áp dụng cho hàm liên tục khơng có q nhiều điểm gián đoạn Riêng hàm đo chúng gián đoạn khắp nơi miền xác định, phép xây dựng tích phân Riemann khơng thể áp dụng Trong lúc đó, yêu cầu ngành khoa học kỹ thuật lại cần đến tích phân hàm không bị chặn hàm khơng liên tục điểm Vì cần có tích phân hồn hảo, mềm dẻo nhiều tích phân Lebesgue hướng nhằm đáp ứng u cầu Do đó, chúng tơi ln có mong muốn sâu vấn đề để bổ sung hoàn thiện thêm kiến thức qua “Chương 1: Tích phân Lebesgue” Mục đích nghiên cứu - Hệ thống tính chất tích phân Lebesgue, tìm hiểu điều kiện khả tích (L), xét tính khả tích (L) hàm đo Nghiên cứu sâu tính chất liên quan đến tính khả tích (L) - Giải số tốn tích phân Lebesgue Chẳng hạn: tính tích phân (L) cách sử dụng hàm đơn giản, hàm tương đương, tính -cộng tính, tính chất độ đo, định lý hội tụ đơn điệu, định lý hội tụ bị chặn Trang - Giải số toán liên quan đến qua giới hạn dấu tích phân - Giải toán liên quan đến điều kiện khả tích hàm đo Phạm vi nghiên cứu Tích phân Lebesgue: Các tính chất, dạng tốn liên quan đến tích phân Lebesgue Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp, tham khảo tài liệu có liên quan đến đề tài - Hệ thống kiến thức cần thiết, sở để tiếp cận nội dung đề tài - Kết hợp tự nghiên cứu, trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Trang NỘI DUNG Tư tưởng tích phân Lebesgue  Khái niệm tích phân Riemann biết đến giáo trình giải tích tốn cao cấp áp dụng cho hàm liên tục có khơng q nhiều điểm gián đoạn Riêng hàm đo chúng gián đoạn khắp nơi miền xác định, phép xây dựng tích phân Riemann khơng thể áp dụng Vì cần có tích phân hồn hảo, mềm dẻo nhiều, tích phân Lebesgue  Tư tưởng tích phân Lebesgue nhóm điểm trục Ox thành tập cho giá trị hàm chúng gần Điều cho phép mở rộng khái niệm tích phân lớp hàm tổng quát Lebesgue chứng minh hàm khả tích Riemann hình hộp đóng bị chặn hàm khả tích theo nghĩa Lebesgue tích phân Lebesgue trùng với tích phân Riemann Đây sở cho phép tính tích phân Lebesgue thơng qua tích phân Riemann Các định nghĩa tích phân 2.1 Định nghĩa Cho hàm đo xác định độ đo µ (1) Nếu hàm đơn giản không âm, nghĩa với tập đo được, đơi rời nhau, , tích phân hàm độ đo µ tập ký hiệu : (2) Nếu tồn dãy hàm đơn giản , lúc tích phân hàm định nghĩa: (3) Nếu tích phân , hữu hạn tích phân hàm độ đo tập A kí hiệu: Trang (4) Nếu hữu hạn ta nói khả tích A Như khả tích A và khả tích A (5) Nếu độ đo Lebesgue gọi tích phân Lebesgue ký hiệu (L) ?? ? Hãy giải thích Giải:  Ta cần chứng minh ) Ta có: Xét A:  Ta cần chứng minh Xét A: 2.2 Định lí i Nếu đo A ii Nếu đo bị chặn A khả tích A Chứng minh: i Ta nhận thấy hàm đơn giản khơng âm Trang (Vì tập đo A có độ đo 0) Từ dễ dàng suy ra: Với hàm đo khơng âm suy kết cho hàm đo tùy ý ii Xét ≥ Lúc tồn K > cho ≤ ≤ K A Theo định lí cấu trúc hàm đo tồn dãy đơn giản không âm, đơn điệu tăng hội tụ Do nên: ?? ? Tích phân với A= hàm Dirichlet Giải: có dạng: Ta có đo được, có hai giá trị hàm đơn giản Xét đoạn ta có: Các tính chất sơ cấp 3.1 Tính chất (giả sử tích phân có nghĩa ) (1) Nếu (Cộng tính) (2) Nếu (3) Nếu (Tuyến tính ) (4) A (Bảo tồn thứ tự) (5) A (Bảo toàn thứ tự) Chứng minh: Trang (1)Ta chứng minh cho trường hợp vế trái có nghĩa i hàm đơn giản khơng âm Lúc đó: Và đơi rời Ta có: Và hai tập vế phải rời Do đó: ii Lúc tồn dãy hàm đơn giản không âm tăng hội tụ Ta có: Cho ta được: iii Ta phân tích Theo ii) ta có Nếu có nghĩa vế trái hai đẳng thức hữu hạn, số có nghĩa Do trừ vế theo vế hai đẳng thức ta Trường hợp có nghĩa chứng minh tương tự (2)Nếu A B rời nên theo định lí Trang Cịn A B khơng rời nên (3) Đẳng thức Để hoàn thành chứng minh đẳng thức này, ta chứng minh mệnh đề sau : Nếu cho có nghĩa , Thật , gọi Ta suy nên Do Vậy Do có nghĩa nên Bây sẵn sàng cho việc chứng minh đẳng thức thứ hai trường hợp tổng quát Với tùy ý, ta có biểu diễn Theo giả thiết biểu thức sau có nghĩa Do đó, bốn tích phân hàm hữu hạn hai tích phân hữu hạn hai tích phân hữu hạn Như ,ta viết được: Theo mệnh đề vừa chứng minh Trang Chương 2: QUA GIỚI HẠN DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN Lý chọn đề tài: Các định lý qua giới hạn dấu tích phân phần quan trọng tích phân Lebesgue ưu điểm bật tích phân Lebesgue so với tích phân Riemann Khi nghiên cứu tích phân, người ta ln quan tâm tới vấn đề qua giới hạn dấu tích phân, nghĩa tìm điều kiện để có đẳng thức: giải tích cổ điển, biết tích phân Riemann điều kiện để: thơng thường phải yêu cầu dãy hàm hội tụ miền lấy tích phân nói chung điều kiện chặt chẽ, khó thực được, nên hạn chế tích phân Riemann Tuy nhiên tích phân Lebesgue đẳng thức xảy với số điều kiện rộng hơn, điều kiện thường gặp nhiều vấn đề khác toán học Và tích phân Lebesgue, điều kiện để chuyển giới hạn qua dấu tích phân nhẹ nhàng dễ thực Vì muốn nắm rõ vấn đề nên chúng tơi tìm hiểu qua “ Chương 2: Qua giới hạn dấu tích phân” tích phân Lebesgue Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu định lý Lêvi - Định lý hội tụ đơn điệu - Định lý Lebesgue hội tụ bị chặn - Phương pháp tính tích phân Lebesgue - Giải số toán liên quan đến qua giới hạn dấu tích phân Phạm vi nghiên cứu Trang 13 - Qua giới hạn hạn dấu tích phân: tính chất, định lý, dạng tốn liên quan Phương pháp nghiên cứu - Tập hợp, tham khảo tài liệu có liên quan đến đề tài - Hệ thống kiến thức cần thiết, sở để tiếp cận nội dung đề tài - Kết hợp tự nghiên cứu, trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Trang 14 NỘI DUNG Định lí Lêvi Nếu Chứng minh: Nếu hàm đơn giản đẳng thức cần chứng minh định nghĩa tích phân Trường hợp với tồn dãy hàm đơn giản khơng âm Do nên xem Vậy với ta có: Cho ta được: Cho ta lại được: Như vậy: Nhưng đơn giản với nên: Tóm lại: Bài tập Cho đo A Với ta đặt Chứng minh f hữu hạn hầu khắp nơi A Giải: Đặt Trang 15 hữu hạn hầu khắp nơi A Mà: Vì nên Chứng minh: Trường hợp 1: Hay: Trường hợp 2: Do đó: Chứng minh: ta ln có Hay cho Theo định nghĩa giới hạn: Theo định lý Lêvi, ta có: Bài tập Cho A Chứng minh rằng: Giải: Đặt Chứng minh Ta có: Trang 16 Chứng minh: Do đó: Áp dụng định lý Lêvi, ta có: Định lí hội tụ đơn điệu Nếu khả tích A Chứng minh: Ta có nên theo định lí Lêvi Do �f1 A hữu hạn nên: Từ suy ra: Chú ý: Nếu khả tích định lí Định lí Lebesgue hội tụ bị chặn Nếu với g khả tích A (hầu khắp nơi hay theo độ đo ) thì: Chứng minh: a) Trường hợp hầu khắp A Vì nên Theo bổ đề Fatou ta có , Như Nhưng = = nên Trang 17 Vậy = b) Trường hợp A Theo định nghĩa giới hạn tồn dãy cho Dãy hội tụ theo độ đo hàm nên có dãy hội tụ hầu khắp nơi Theo phần a) ta có Tương tự ta chứng minh Nên Bài tập Cho (hầu khắp nơi hay theo độ đo ) Chứng minh: : Giải: Xét Ta có: Để có: Ta chứng minh khả tích Ta có: khả tích (đpcm) Một số phương pháp tính tích phân Lebesgue 4.1 Định lí 4.1 (định lí so sánh) Trang 18 Nếu hàm khả tích Riemann hình hộp đóng bị chặn f khả tích Lebesgue hai tích phân Chứng minh: Ta giới hạn việc chứng minh cho trường hợp = Xét phân hoạch [] thành phần điểm + tổng Dorbonx tương ứng  n = ; đó: Theo định nghĩa tích phân Riemann, ta có Ta định nghĩa Tại , hàm xác định cách tùy ý Lúc �f n [a ,b ] = n , �f n [a ,b ] = Do dãy không tăng dãy không giảm (x) hầu khắp nơi nên Do �f [a ,b ] Ta suy = = �f  f [a ,b ] �f [a ,b ] = (L) �f  f [a ,b ] =0 Nên hầu khắp tức Vậy ?? ? Cho Tính Giải: Đặt Vì nên Trang 19 Xét liên tục khả tích Rieman Theo định lý so sánh: Đặt Vì Nên Xét liên tục khả tích Rieman Theo định lý so sánh ta có: 4.2 Bài tốn tích phân Cho Cần tính tích phân (1) Nếu đơi rời (2) Nếu A Chú ý: Khi tính tích phân Lebesgue ta thường phân tích nửa khoảng khoảng thành đoạn lồng rời tùy theo kiện hàm sau: ,ℝ= đơi rời nhau,… Ví dụ mẫu: Tính tích phân Giải: Cách 1: Ta có: với tăng lồng nhau, nghĩa là: Trang 20 Ta có , Suy = = = = Cách 2: Ta có với ( đơi rời Ta có , I= = = = = = = = Bài tập Kí hiệu phần nguyên x tức số nguyên cho Tính tích phân Lebesgue sau: a b c Giải: a Ta có: với đơi rời Trang 21 = > 0, x Xét Trong ta có: Suy = Do = = = = = = Vậy b Ta có: với đơi rời = > 0, x Xét Trong ta có: Suy , = n.(n+1) = = = = = Suy = = = =1 Vậy = c Ta có: với đơi rời = > 0, x Xét Trang 22 Trong ta có: Suy [x] = = = = = = = Suy = = 1+ ( Ta có khai triển Taylor: Chọn Vậy Bài tập Tính tích phân Lebesgue sau: Giải: a Ta có: với dãy tăng b Ta có: với dãy tăng Trang 23 Bài tập Tính tích phân Lebesgue sau đoạn a b g Giải: a Xét Vì đếm nên Vì đếm nên Xét liên tục khả tích Riemann Theo định lí so sánh khả tích Lebesgue Và b Xét Trang 24 Vì đếm nên Vì đếm nên Xét liên tục khả tích Riemann Theo định lí so sánh khả tích Lebesgue Và: Trang 25 KẾT LUẬN Tích phân lĩnh vực toán học rộng chứa đựng nhiều điều lạ mà chưa khám phá hết Trong đó, tích phân Lebesgue có nhiều vấn đề hay lý thú Thế khả có hạn nên chúng tơi sâu vào nội dung: tích phân Lebesgue tích phân mở rộng tích phân Riemann Bài tiểu luận trình bày cách tổng quát tích phân Lebesgue hàm đo khơng gian có độ đo Các định lý qua giới hạn dấu tích phân phần quan trọng đề tài tính chất quan trọng giải tích lý thuyết xác xuất Và đề tài trình bày lại định nghĩa, định lý tập mà việc giải chúng chủ yếu dựa vào định lý vừa nêu Qua trình nghiên cứu giúp củng cố lại kiến thức học hiểu thêm nhiều vấn đề mà trước chưa tiếp thu Mặc dù cố gắng nhiều góp nhặt phần nhỏ lượng kiến thức khổng lồ lĩnh vực Do hiểu biết kiến thức hạn chế nên tiểu luận gặp phải số thiếu sót, chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy để tiểu luận hồn chỉnh Cuối xin chân thành cảm ơn thầy Trần Văn Sự tận tình giúp đỡ chúng tơi trình làm tiểu luận Trang 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội, năm 1978 [2] Lương Hà, Lý thuyết độ đo tích phân, NXB ĐH Huế, năm 2013 [3] Nguyễn Xuân Liêm, Độ đo tích phân, NXB GD Hà Nội [4] Ths NCS Trần Văn Sự, Bài giảng độ đo tích phân, năm 2017 Trang 27 ... chọn ? ?Tích phân Lebesgue qua giới hạn dấu tích phân? ?? để làm đề tài tiểu luận Bài tiểu luận gồm hai chương:  Chương 1: Tích phân Lebesgue  Chương 2: Qua giới hạn dấu tích phân Trang Chương 1: TÍCH... hữu hạn hầu khắp nơi A Trang 12 Chương 2: QUA GIỚI HẠN DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN Lý chọn đề tài: Các định lý qua giới hạn dấu tích phân phần quan trọng tích phân Lebesgue ưu điểm bật tích phân Lebesgue. .. học Và tích phân Lebesgue, điều kiện để chuyển giới hạn qua dấu tích phân nhẹ nhàng dễ thực Vì muốn nắm rõ vấn đề nên chúng tơi tìm hiểu qua “ Chương 2: Qua giới hạn dấu tích phân? ?? tích phân Lebesgue