Tài liệu “ Ôn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức”

Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức. SỞ GD & ĐT TỈNH PHÚ YÊN TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU Đề tài: “ Ôn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức” Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 1 Năm học: 2009-2010 Giáo viên : NGUYỄN VĂN PHONG. Đơn vị : Trường THPT Nguyễn Du. Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức. Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 2 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức. Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 3 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức. PHẦN I: MỞ ĐẦU. I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong qu trình ơn luyện cho học sinh lớp 12 dự thi tốt nghiệp, đại học, học sinh gặp không ít khó khăn khi vận dụng các tính chất và công thức của hình giải tích phẳng để giải bi tập trong chương số phức bởi những lí do chính sau :  Chương hình giải tích phẳng học sinh đ học ở lớp 10.  Chương số phức học sinh được học ở cuối năm lớp 12.  Thời gian dài học sinh không có cơ hội nhiều để ôn tập và rèn luyện kiến thức hình giải tích phẳng. Trong khi đó, theo chương trình đổi mới sách giáo khoa và nội dung chính trong các kỳ thi cao đẳng và đại học hiện nay, hình giải tích phẳng gần như là bài toán bắt buộc. Việc giáo viên chủ động hướng dẫn học sinh giải cc bi tốn số phức cĩ vận dụng kiến thức hình học phẳng, ra bi tập số phức cĩ vận dụng nhiều hình giải tích phẳng, phức hĩa một số bi tốn hình giải tích phẳng cho học sinh rn luyện và ngược lại . , lm học sinh thấy được mối quan hệ gần gũi giữa chương số phức và chương hình giải tích phẳng, vừa là cơ hội ôn tập cho học sinh hai nội dung chính trong các đề thi, tạo tm lý thích học tốn v gy hứng th cho học sinh khi học chương số phức. Vì lý do trn v thực tiễn tìm hiểu của bản thn gần 10 năm công tác giảng dạy, học hỏi kinh nghiệm của một số thầy có kinh nghiệm trong công tác giảng dạy, chưa tìm thấy ti liệu no trình by về kinh nghiệm trn, tôi chọn nghiên cứu đề tài “ Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức ”. V qua thực tế giảng dạy, tơi nhận thấy đề tài này áp dụng có hiệu quả. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.  Nhằm hồn tốt nhiệm vụ năm học 2009-2010 và nhu cầu giáo dục hiện nay.  Tìm hứng th học tập của học sinh 12 THPT Nguyễn Du thơng qua chương số phức. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.  Đề ti nghin cứu trong phạm vi lớp 12C2 trường THPT Nguyễn Du.  Hiệu quả của việc ơn tập v vận dụng cc kiến thức hình học phẳng trong chương số phức.  Hiệu quả của việc ơn tập v vận dụng cc kiến thức hình học phẳng thơng qua việc giải cc bi tốn hình học phẳng đ được phức hĩa thnh bi tốn số phức và ngược lại. IV. NHIỆM VỤ NGHIN CỨU.  Đưa ra các bi tập số phức cĩ vận dụng cc kiến thức hình học phẳng cho học sinh ơn tập v rn luyện. Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 1 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức.  Đưa ra các bài tập thể hiện mối quan hệ giữa số phức và hình học phẳng v tính hiệu quả của việc ơn tập. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Để giải quyết các vấn đề này tôi tiến hành thực hiện các phương pháp sau: - Phương pháp điều tra viết : Tiến hành điều tra 10 học sinh của lớp 12C2 với 15 bi tập. - Phương pháp phỏng vấn : Phỏng vấn 5 học sinh. - Thảo luận cc gio vin trong trường và tham khảo ý kiến của cc thầy cơ có nhiều năm kinh nghiệm trong nghề. - Phương pháp nghiên cứu tài liệu. PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI I- CƠ SỞ KHOA HỌC 1. Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong mặt phẳng v cc kiến thức lin quan. Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy là hệ gồm 2 trục Ox, Oy, đôi một vuông góc với nhau tại gốc O, với ,i j r r là các véc tơ đơn vị tương ứng ở trên các trục Ox, Oy.  Công thức tính độ dài đoạn thẳng.  Cơng thức toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng  Cơng thức tính gĩc giữa hai đường phẳng: . ' cos( ; ') . ' u u u u ∆ ∆ = r ur r ur với u r , 'u ur lần lượt là các véctơ chỉ phương của , '∆ ∆  Cơng thức tính khoảng cch từ 1 điểm M(x 0 , y 0 ) đến đường thẳng d : Ax + By + C = 0 : 0 0 2 2 ( ; ) Ax By C d M d A B + + = +  Phương trình đường thẳng (phương trình tổng qut, phương trình tham số, phương trình đoạn chắn)  Phương trình đường trịn. 2. Cc kiến thức về số phức:  Cc php tốn về số phức (cộng , trừ, nhn , chia )  Căn bậc hai và giải phương trình bậc hai số phức.  Dạng lượng giác của số phức v ứng dụng. 3. Cc bi tốn số phức cĩ vận dụng nhiều kiến thức hình giải tích phẳng:  Quỹ tích điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức.  Tìm số phức cĩ mơđun cho trước (nhỏ nhất , lớn nhất…) Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 2 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức.  Tìm số phức cĩ Acrgumen cho trước.  Điều kiện về phần thực v phần ảo. II- CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH: Bi 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mn điều kiện: a) 1z = ( Bi tập 5a trang 134, sch giải tích 12 ban cơ bản) b) 1 1z − = v cĩ modun nhỏ nhất ( lớn nhất ). c) 1 1z − = v một acgumen của z bằng 0. Lời giải: a) z = x + y.i; với x, y là hai số thực. Ta được: 2 2 2 2 1 1x y x y + = ⇔ + = . Vậy quỹ tích cần tìm l đường trịn 2 2 1x y + = . b) Tương tự câu a): 1 1z − = 2 2 ( 1) 1x y ⇔ − + = . Dựa vo hình vẽ ta được: Số phức có môdun nhỏ nhất tha đề bài là z = 0 v số phức cĩ mơdun lớn nhất tha đề bài là z = 2. c) Với kết quả cu a, b). Ta được: z = 2. 8 6 4 2 -2 -4 -5 5 10 g x ( ) = - 1- 1-x ( ) 2 f x ( ) = 1- x-1 ( ) 2 Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát:  Nếu quỹ tích là đường trịn: số phức cĩ mơdun lớn nhất, nhỏ nhất thì điểm biểu diễn số phức là giao điểm của đường trịn thu được với đường thẳng nối tâm đường trịn v gốc tọa độ.  Nếu quỹ tích là đường thẳng : số phức có môdun nhỏ nhất thì điểm biểu diễn số phức là giao điểm của đường thẳng thu được với đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng đ cho. Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 3 π /4 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức. 6 4 2 -2 -4 -6 -5 5 O I 6 4 2 -2 -4 -6 -5 5 O I 6 4 2 -2 -4 -6 -5 5 O I 4 2 -2 -4 -6 -8 -5 5 10 d O M 4 2 -2 -4 -6 -8 -5 5 10 d O M 4 2 -2 -4 -6 -8 -5 5 10 d O M Bi 2: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mn điều kiện: a) 3 4z z i= - + ( Bi tập 9c trang 190, sch giải tích 12 ban nng cao) b) 3 4z z i= - + và có mođun nhỏ nhất. c) 3 4z z i= - + v cĩ một acgumen bằng Lời giải: a) z = x + y.i; với x, y là hai số thực. Ta được: 2 2 2 2 ( 3) ( 4) 6 8 25 0 x y x y x y + = − + − + ⇔ − − + = . Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng d: 6 8 25 0x y− − + = . 8 6 4 2 -2 -4 -5 5 10 k -6x-8y+25=0 k: y = 1.33x+0.00 M: (1.50, 2.00) f x ( ) = -6 8 ( ) ⋅ x+ 25 8 O 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 r x ( ) = - 10- x-2 ( ) 2 +1 q x ( ) = 10- x-2 ( ) 2 +1 h x ( ) = - 25-x 2 g x ( ) = 25-x 2 6 4 2 -2 -4 -5 5 10 y=x -6x-8y+25=0 A: (1.79, 1.79) g x ( ) = x f x ( ) = -6 8 ( ) ⋅ x+ 25 8 Bài 2 Bài 3 Bài 2c Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 4 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức. b) Phương trình đường thẳng k đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với đường thẳng d có phương trình 4 3 y x= . Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d và k là 3 ( ;2) 2 M . Vậy quỹ tích cần tìm l điểm 3 ( ;2) 2 M . c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d và đường thẳng y = x là A( 25/14; 25/14 ). Vậy quỹ tích cần tìm l điểm A( 25/14; 25/14 ). Bi 3: ( Đề thi Đại học 2009B) Tìm số phức z tha mn điều kiện : (2 ) 10; . 25z i z z- + = = Lời giải: z = x + y.i; với x, y l hai số thực. 2 2 (2 ) 10 ( 2) ( 1) 10z i x y − + = ⇔ − + − = ; 2 2 . 25 25z z x y = ⇔ + = . Giải hệ 2 2 2 2 ( 2) ( 1) 10 25 x y x y  − + − =   + =  ta được ( ; ) (5;0) ( ; ) (3;4) x y x y =   =  . Vậy 5 3 4 z z i =   = +  . Nhận xt:  Bi tốn trn l phức hĩa của bi tốn : Tìm tọa độ giao điểm của hai đường trịn 2 2 ( 2) ( 1) 10x y − + − = v 2 2 25x y + = trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Qua bài toán này ta kiểm tra được kỷ năng tìm giao điểm của hai đường trịn khi biết được phương trình.  Tổng quát hơn, ta có thể thay giả thiết của bài toán để chuyển bài toán về việc tìm giao điểm của đường thẳng và đường trịn; giao điểm của các đường cônic. Bi 4: Cho 2 ; 4 3 ; 2 A B C z i z i z m i = + = − = − ; m l số thực. Tìm m sao cho tích hai phần thực v tích hai phần ảo của C A z z − v C B z z − l hai số thực đối nhau. Lời giải: ( 4) ; ( 2) 3 C B C A z z m i z z m i − = − + − = − − . Ta được 2 1 ( 4)( 2) 3 0 6 5 0 5 m m m m m m =  − − − = ⇔ − + = ⇔  =  Nhận xt: Xem A; B; C lần lượt là các điểm biểu diễn cc số phức 2 ; 4 3 ; 2 A B C z i z i z m i= + = − = − trong mặt phẳng tọa độ, ta có bài toán sau: Cho A(2; 1); B(4; -3); C(m; -2). Tìm m sao cho tam gic ABC vuơng tại C ( Cao đẳng 2006 kinh tế kỹ thuật Cần Thơ) Bi 5: ( Đề thi Đại học 2009A) z 1 , z 2 l hai nghiệm phn biệt của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0. Tính 2 2 1 2 A z z= + Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 5 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức. Lời giải: Cch 1: Lời giải theo đáp án của bộ giáo dục. Cch 2: z = x + y.i; với x, y là hai số thực. Ta được: 2 2 2 2 2 ( . ) 2( . ) 10 0 2 10 0 0 1 3 1 3 1 3 20 x y i x y i x y x xy y x y A i i + + + + =  − + + = ⇔  + =  = −  ⇔  = ±  = − − + − + = Nhận xt:  Với lời giải ny, ta cĩ thể xem bi tốn trn l phức hĩa của một bi tốn hình học phẳng : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M, N lần lượt là giao điểm của hai đường cong có phương trình: 2 2 2 10 0x y x − + + = v 0xy y + = . Tính gi trị của biểu thức A= OA 2 + OB 2  Để tránh đi giả thiết nghiệm phương trình, ta cĩ thể thay giả thiết bi tốn thnh: z 1 , z 2 l hai số phức phn biệt thỏa mn đẳng thức z 2 + 2z + 10 = 0. Tính 2 2 1 2 A z z = + (ta có thể tổng quát cho phương trình cĩ bậc ty ý) Bi 6 : ( Đề thi Cao đẳng 2008A) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình: x -2y + 3 = 0. Tìm hai điểm lần lượt nằm trên Ox, Oy và đối xứng nhau qua d. 6 4 2 -2 -4 -6 -5 5 x-2y+3=0 A: (0.00, 4.00) B: (2.00, 0.00) f y ( ) = 2 ⋅ y-3 Phức hĩa: Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 6 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức. 1. Tìm hai số phức z 1 = x v z 2 = yi, với x, y là hai số thực sao cho z 1 + 2iz 2 + 6 = 0 v z + 2 = 2iz 1. 2. Tìm hai số phức z 1 = x v z 2 = yi, với x, y là hai số thực sao cho điểm biểu diễn số phức (z 1 + z 2 )/2 nằm trên đường thẳng x -2y + 3 = 0 Bi 7: ( Đề thi Đại học 2007A) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho A(0; 2), B(-2; -2), C(4; -2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B của tam giác ABC, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam gic HMN. 4 2 -2 -4 -6 -5 5 H: (1.00, 1.00) LN: (x-0.50) 2 +(y+0.50) 2 = 1.58 2 NM H A CB 10 8 6 4 2 -2 -5 5 10 x+y-8=0 x+y-2=0 A: (2.00, 2.00) C: (3.00, 5.00) B: (-1.00, 3.00) g x ( ) = 8-x f x ( ) = 2-x Bài 7 Bài 8 Phức hĩa: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diển các số phức 2i, -2-2i, 4-2i . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B của tam giác ABC, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam gic HMN. Bi 8: ( Đề thi Đại học 2007B) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 2), đường thẳng d 1 có phương trình: x + y – 2 = 0, đường thẳng d 2 có phương trình: x +y – 8 = 0. Tìm hai điểm B, C lần lượt nằm trên d 1 , d 2 sao cho tam gic ABC vuơng cn tại A. Phức hĩa: a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diển cc số phức z 1 = 2+ 2i, z 2 = m + (2-m).i, z 3 = ( 8- n) + n.i . Tìm m, n sao cho tam gic ABC vuơng cn tại A. b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diển các số phức z 1 = 2+ 2i, z 2 = (m +2) –m.i, z 3 = ( n + 2) + (6- n).i . Tìm m, n sao cho tam gic ABC vuơng cn tại A. Bi 9: Cho 1 2 ; 2; 3 A B C z i z z i= − + = = − + . Tìm z sao cho: A B C z z z z z z − = − = − . Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 7 [...]... đề tài này làm tài liệu để ôn luyện cho học sinh 12 Đề tài này có nhiều vấn đề cần phải được bổ cứu, mong các bạn đọc, đồng nghiệp góp ý, v cĩ gì sai sĩt mong cc bạn lượng thứ Xin chn thnh cảm ơn! Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 12 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức MỤC LỤC Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 13 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích. .. gic vuơng cn b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuơng PHẦN III: KẾT LUẬN Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 11 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức Chúng ta đ biết rằng khơng cĩ một “chìa khoá” vạn năng nào có thể mở được tất cả các kho tng tri thức của nhn loại, phương pháp dùng chương số phức để ôn tập h́nh học phẳng cũng vậy, nhưng... Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z ( 2 – 5.i) thoả mn từng điều kiện sau: 1/ | z − 1|= 1 Cu 9: Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong 2/ | z −i |= 1 z +i Trang 10 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z + 2 – 3i thoả mn: 1/ z 2 l số ảo 2/ | z |=| z − 3 + 4i | Cu 10; Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z... Từ thực tế giảng dạy thu được kết quả khả quan tôi đ mạnh dạn viết nn đề tài này Theo tôi đề tài có tác dụng: - Thể hiện mối quan hệ gần gũi giữa hình giải tích phẳng v số phức - Giải quyết được tâm lí sợ khó khi ơn tập lại những kiến thức h́nh giải tích phẳng - Gây được cho học sinh hứng thú và sự tự tin khi làm bài và đối với rất nhiều bài toán có thể giải quyết một cách dễ dàng hơn - Bản thân cũng... III BI TẬP TỰ LUYỆN: CC BI TỐN TỔNG HỢP Kí hiệu: A(x; y) là điểm biểu diển số phức z A = x + yi trong mặt phẳng tọa độ Oxy -6 Cu 1: Cho z A = 1 + i; z B = x + 3i; zC = yi ; với x, y l hai số thực Tìm x; y sao cho: z B − z A = zC − z B = z A − zC Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 8 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức Cu 2: Chứng minh: Các điểm biểu diễn số phức... z |< 2 , 0 < arg z < π Cu 3: Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 9 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức 1 trong các trường hợp sau: z 2/ z = x + yi,0 < x < 1 Hy biểu diễn hình học của tập hợp cc điểm phức w = 1/ | z |< 1 3/ 0 < arg z < π 4 Cu 4: Hy biểu diễn hình học tập hợp cc điểm phức trong các trường hợp sau: z −1 với | z |< 1 z +1 z+i 2/ w = với | z |> 1 z...Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức Lời giải: z = x + y.i; với x, y l hai số thực z − z A = z − z B = z − zC ( x − 2) 2 + y 2 = ( x + 3) 2 + ( y − 1) 2  x = − 11  11 13  6 x − 4 y = −1 14 ⇔ ⇔ ⇒z=− − i 14 14  −10 x + 2 y = 6  y = − 13  14 Nhận xt: Bi tốn trn l phức hĩa của bi toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(-1; 2); B(2; 0); C(-3; 1)... A ; z B ; zC ; z D sao cho A; B; C; D l 4 đỉnh của một hình vuơng CC BI TỐN TÌM QUĨ TÍCH TRONG MẶT PHẲNG PHỨC Cu 1: Hy biểu diễn hình học của tập hợp cc điểm phức z thoả mn điều kiện: 1/ | z + i |=| z − 1| 2/ | z − 2 |= 2 3/ | z + 1| + | z − 1|= 4 4/ | z − 2 | − | z + 2 |= 3 Nu ý nghĩa hình học của mỗi hệ thức trn Cu 2: Hy biểu diễn hình học của tập hợp cc điểm phức: w = z 2 trong các trường hợp sau:... 2 z+i 1/ w = Cu 5: Tìm cc tập điểm biểu diễn số phức z thoả mn điều kiện: 1/ Mơdun bằng 2 π 2/ argz bằng 6 Cu 6: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mn từng điều kiện sau: 1/ Một acgumen của z − ( 1 + 2i ) bằng π 6 2/ Một acgumen của z + i bằng một acgumen của z − 1 Cu 7: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng biểu diễn các số phức z sao cho một acgumen... ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Trang 14 Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………….………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… . Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức. SỞ GD & ĐT TỈNH PHÚ YÊN TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU Đề tài: “ Ôn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức”. Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức. Người thực hiện: Nguyễn Văn Phong Trang 2 Trường THPT Nguyễn Du Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số