Đang tải... (xem toàn văn)
Tính theå tích khoái hình choùp S.ABC vaø khoaûng caùch töø ñænh A ñeán maët phaúng.. (SBC)..[r]
(1)BÀI 1
Caâu 1:
Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) : 2x z 0x y 0
cho giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 2y 2z 0
đường trịn
có bán kính r = Câu 2:
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, F trung điểm cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C'
GI ẢI Caâu 1:
Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = (P) : (m 2n)x my nz 2m 6n
Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R =
(P) cắt (S) theo đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r =
2
d(I; P) R r
2 2
m 2n m n 2m 6n 3
(m 2n) m n
2
4m 7n 2m 5n 4m.n
2
5m 22m.n 17n
Cho n 1 5m2 22m 17 0 m 1 hay m 175
Vậy, có mặt phẳng (P):
2
(P ) : x y z (P ) : 7x 17y 5z
Caâu :
Cách 1:
Vì mặt bên lăng trụ hình vuông
AB BC CA A B / / B C/ / C A/ / a
tam giác ABC, A/B/C/ tam giác
Ta coù: B C // BC/ / B C //(A BC)/ / /
/ / / / / / /
d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC))
Ta coù: / / / /
BC FD
BC (A BC) BC A D ( A BC caân taïi A )
Dựng FH A D /
Vì BC (A BC) / BC FH H (A BC) /
A/FD vuông có: 12 / 21 12 42 12 72 FH a 21
7
FH A F FD 3a a 3a
Vaäy, d(A B; B C ) FH/ / / a 21
7
Trang
A/
B/
C/
C
B A
H
F
(2)Caùch 2:
Vì mặt bên lăng trụ hình vuoâng
ABC, A/B/C/ tam giác cạnh a
Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi vuông góc, A(0; 0; 0),
/
/ /
a a a a
B ; ; , C ; ; , A (0; 0; a),
2 2
a a a a
B ; ; a , C ; ; a
2 2
Ta coù: B C // BC, B C // (A BC)/ / / / /
/ / / / / / / /
d(B C ; A B) d(B C ; (A BC)) d(B ; (A BC))
A B/ a a 3; ; a , A C/ a a 3; ; a
2 2
2
/ / a 3
[A B; A C] 0; a ; a 0; 1; a n,
2
với n 0; 1;
2
Phương trình mp (A/BC) qua A/ với pháp vectơ n:
3
0(x 0) 1(y 0) (z a)
2
/ a
(A BC) : y z
2
/ /
a 3.a a a
a 21
2 2
d(B (A BC))
7
3
1
4
Vaäy, d(A B; B C )/ / / a 21
7
BÀI 2
Câu 1:
Trong khơng gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) đường thẳng
() : x y z 32 1 2
1 Tìm điểm M thuộc () để thể tích tứ diện MABC
2 Tìm điểm N thuộc () để thể tích tam giác ABN nhỏ
Câu 2: (1,0 điểm)
A/
C/
B/
A
B
C D x
a z
(3)Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác cạnh a SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) h Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc
GIẢI
Câu 1:
1 Phương trình tham số (D):
x 2t
y t
z 2t
M ( ) M(1 2t; t; 2t)
AB (2; 1; 2), AC ( 2; 2;1)
[AB; AC] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3.n, với n (1; 2; 2)
Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ n: (ABC): x + 2y – 2z – =
SABC 21 [AB; AC]12 ( 3) 2 ( 6)2 62 29
Đường cao MH tứ diện MABC khoảng từ M đến (ABC):
1 2t 2( t) 2(3 2t) 4t 11
MH d(M(ABC))
3 4
Thể tích tứ diện MABC V 4t 11
3
5 17
4t 11 t hay t
4
Vậy, có điểm M cần tìm là: M 23; 4 23 1; hay M 15 112 2; ;
2 N ( ) N(1 2t; t; 2t)
SABN 12 [NA; NB] 12 32t2 128t 146 22 (4t 8) 9 3 22
ABN
maxS 4t t
2
Vậy, điểm N cần tìm N(-3; 0; 1)
Câu 2:
Cách 1:
Gọi O tâm ABC
Ta có: SA SB SCOA OB OC ( ABC đều)
SO trục đường tròn (ABC)
SO (ABC)
Maø : AO BC; SO BC BC (SOA) BC SA
Dựng BI SA , suy ra: SA (IBC) SA IC.
BIC
góc phẳng nhị dieän (B, SA, C)
Trang
S
I
A
O B
(4) SOA vuông có:
2 2 2
2 2 a 3h a 3h a
SA SO OA h SA
3 3
Gọi M trung điểm BC
Ta coù: BM (SOA), BI SA
IM SA
(định lý đường vng góc)
MIA SOA
2 2
AM a 3 3ah
MI SO h
SA 3h a 2 3h a
SABSAC (c.c.c) IB IC IBC cân I
(SAB) (SAC) IBC vuông cân I IM12BC
2 2
2 2
3ah 1 a 3h 3h a
2
2 3h a
a
9h 3h a h
6
Vaäy, h a
6
Caùch 2:
Gọi H tâm ABC
và M trung điểm BC
Ta có:
SA SB SC
HA HB HC ( ABC đều)
Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi vuông góc A(0; 0; 0),
a a a a a a
B ; ; , C ; ; , H 0; ; , S 0; ; h
2 2 2
SA 0; a 33 ; h , SB a a 32; 6 ; h , SC a a 32; 6 ; h
2
1
ah ah a a a
[SA; SB] ; ; (3h 3; 3h; a 3) n ,
2 6
với n1 (3h 3; 3h; a 3)
2
2
ah ah a a a
[SA; SC] ; ; (3h 3; 3h; a 3) n ,
2 6
với n2 (3h 3; 3h; a 3)
Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ phương SA; SB nên có pháp vectơ n1
Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ phương SA; SC
nên có pháp vectơ n2
(SAB) (SAC) cos(n ; n ) 0 1 2
S z
A
z
H B
(5)2 2
2
3h 3.3h 3h.3h a 3( a 3) 27h 9h 3a
a
18h 3a h
6
Vaäy: h a
6
BÀI 3 Caâu 1:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) mặt cầu (S):
2 2
2x 2y z
(d) : ; (S) :x y z 4x 6y m
x 2y 2z
Tìm m để (d) cắt (S) hai điểm M, N cho MN = Câu 2:
Cho tứ diện OABC có đáy OBC vuông O, OB = a, OC = a 3, (a 0) đường cao
OA a 3 Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM
GIẢI
Câu 1:
Mặt cầu (S): (x 2) (y 3) z2 13 m có tâm
I(-2; 3; 0), bán kính R IN 13 m , với m < 13
Dựng IH MN MH HN 4
2
IH IN HN 13 m 16 m
, với m < -3
Phương trình tham số đường thẳng (d):
x t
y t
2
z t
(d) có vectơ phương u1; ; 112 12(2; 1; 2)
qua điểm A(0; 1; -1)
AI ( 2; 2; 1); [AI; u] (3; 6; 6)
Khoảng cách h từ I đến đường thẳng (d):
2 2 2
[AI; u] 3 6 6 81
h
u 2 2
Ta coù: IH = h
m 3 m
m 12 (thỏa điều kieän)
Trang
H N M
(6) Vậy, giá trị cần tìm: m = -12
Câu 2:
Cách 1:
Gọi N điểm đối xứng C qua O
Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)
OM // (ABN)
d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN))
Dựng OK BN, OH AK (K BN; H AK)
Ta coù: AO (OBC); OK BN AK BN
BN OK; BN AK BN (AOK) BN OH
OH AK; OH BN OH (ABN) d(O; (ABN) OH
Từ tam giác vng OAK; ONB có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 OH a 15
5
OH OA OK OA OB ON 3a a 3a 3a
Vaäy, d(OM; AB) OH a 15
5
Caùch 2:
Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz
đôi vuông góc O(0; 0; 0),
A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0), a a
M ; ;
2
vaø
a a
N 0; ;
2
laø trung điểm AC
MN đường trung bình ABC
AB // MN
AB // (OMN) d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN))
OM 2a a 3; 2 ; , ON 0; a a 32 ; 2
2 2 2
3a a a a a
[OM; ON] ; ; 3; 1; n
4 4 4
, với n ( 3; 1; 1)
Phương trình mp (OMN) qua O với pháp vectơ n : 3x y z 0
Ta coù: d(B; (OMN)) 3.a 0 a a 15
5
3 1
Vaäy, d(AB; OM) a 15
5
BÀI 4
z A a 3
a y C N
O M a
(7)Caâu 1:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () : 2x – y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
giao tuyến () mặt phẳng (xOy) (P) tạo với mặt phẳng tọa độ tứ diện tích
bằng 12536
Câu 2:
Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vng cân A, AB = AC = a
(a > 0), hình chiếu S đáy trùng với trọng tâm G ABC Đặt SG = x
(x > 0) Xác định giá trị x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) 60o.
GIẢI
Câu 1:
Phương trình mặt phẳng (xOy): z =
Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác định () (xOy) có dạng:
m(2x – y + z – 5) – nz = (P) : 2mx my (m n)z 5m 0
Giao điểm A, B, C (P) trục Ox, Oy, Oz có tọa độ:
5 5m
A ; 0; , B(0; 5; 0), C 0; 0;
2 m n
Thể tích tứ diện OABC 12536 V16.OA.OB.OC1 56 2 .5.m n5m 12536
m n 3m m 1, n
m n m
m n 3m m 1, n
Vậy, có phương trình mặt phẳng (P):
1
(P ) : 2x y 3z (m 1; n 2)
(P ) : 2x y 3z (m 1; n 4)
Caâu :
Cách 1:
Gọi M trung điểm BC
AM BC
(ABC vuông cân)
Ta coù: SG (ABC) SG BC
Suy ra: BC (SAM)
Dựng BI SA IM SA IC SA
BIC
góc phẳng nhị diện (B; SA; C)
SABSAC (c.c.c)
IB IC IBC
cân I.
BC a 2; AM BM MC 1BC a 2; AG a
2
Trang
G M C S
I
A
(8) 2 2
AM a ax
AIM ~ AGS IM SG x
AS SG AG 2a
2 x
2
3ax IM
2 9x 2a
Ta coù: BIC 60 o BIM 30 o BM IM.tg30o a 22 3.3ax 22 2
2 9x 2a
2 2 2
2 2
9x 2a 3x 9x 2a 27x
a
18x 2a 9x a x
3
Vậy, xa3
Cách 2:
BC a 2
Gọi M trung ñieåm BC
a a
AM ; AG
2
Gọi E, F hình chiếu G
trên AB, AC Tứ giác AEGF hình vng a
AG AE AE AF
3
Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
C(0; a; 0), Ga a3 3; ; , S ; ; x 2 2a a
SA3 3a a; ; x , SB 2a3 ; 3a; x , SC 3 3a 2a; ; x
2
1
a a
[SA; SB] 0; ax; a 0; x; a.n
3
, với n1 0; x; a3
2
2
a a
[SA; SC] ( ax; 0; ) a x; 0; a.n ,
3
với n2 x; 0; a3
Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ phương SA, SB nên có pháp vectơ n1
Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ phương SA, SC
nên có pháp vectơ n2
Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) baèng 60o
2 o
2
2
2
a a a
0.x x.0
3 9
cos60
9x a
a a
0 x x 9
9
z x
x
y C
B
A
E
F G
(9)2 2
1 a
2 9x a
2 2 2 a
9x a 2a 9x a x
3
Vaäy, xa3
BÀI 5 Câu 1:
Trong khơng gian Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng
(d) : x1 12y z22 mặt phẳng () : 2x – y – 2z =
Câu 2:
Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác có cạnh 2a , SA vng góc với (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB, BC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SE AF
GIẢI
Caâu 1:
Goïi A(a; 0; 0) Ox .
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng () : d(A; ) 2 2a2 2 2a3
2
() qua M (1; 0; 2)0 có vectơ phương u (1; 2; 2)
Đặt M M0 u
Do đó: d(A; ) đường cao vẽ từ A tam giác AM M0
0
2
AM M
[AM ; u]
2.S 8a 24a 36
d(A; )
M M u
Theo giả thiết: d(A; ) = d(A; )
2
2 2
2
2a 8a 24a 36 4a 8a 24a 36 4a 24a 36 0
3
4(a 3) a
Vậy, có điểm A(3; 0; 0)
Câu 2:
Cách 1:
Trang
C S
F M B E K
(10) Goïi M trung điểm BF EM // AF
(SA; AF) (EM; AF) SEM
SAE vuông A coù:
2 2 2
SE SA AE a 2a 3a SE a 3
AF 2a a
2
a
EM BM MF ; BF a
2
SB2 SA2AB2 a28a2 9a2 SB 3a
SF2 SA2AF2 a2 6a2 7a2 SF a 7
Áp dụng định lý đường trung tuyến SM SBF có:
2 2
SB SF 2.SM BF
2
2
2 2 2 15a
9a 7a 2SM 2a SM
2
Gọi góc nhọn tạo SE AF
Áp dụng định lý hàm Côsin vào SEM có:
2
2
2 2 3a 3a 15a
ES EM SM 2 2 2
cos cosSEM
2.ES.EM 2.a 6.a 3 2
2
o
45
Dựng AK ME; AH SK. Ta có: AK MF a
2
vaø AH (SME)
Vì AF// ME d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH.
SAK vuông có: 12 12 2 12 22 32 AH a
3
AH SA AK a a a
Vaäy, d(SE; AF) a
3
Caùch 2:
Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi vuông góc, A(0; 0; 0),
B(a 2; a 6; 0), C( a 2; a 6; 0), S(0; 0; a), a a
E ; ; ; F(0; a 6; 0)
2
vaø Ma 22 ; a 6; 0
SEa a 62 ; 2 ; a ; AF (a; a 6; 0), SM a 22 ; a 6; a
z a S
A x
E B
(11) Gọi góc nhọn tạo SE AF.ta có:
2
2
2
a a
0 a 0( a) 3a 2
2
cos cos(SE; AF)
2 a 6.a
a 3a
0 6a a
2
o
45
2 2
a a a a
[SE; SM] ; 0; ( 2; 0; 1) n,
2 2
với n ( 2; 0; 1)
Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ n : 2x z a 0.
Khoảng cách từ A đến (SEM): d(A;SEM) 0 a a
3
Vì AF // EM AF //(SEM) d(SE; AF) d(A; SEM)
Vaäy, d(SE; AF) a
3
ĐỀ 6
Câu 1:
Trong khơng gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S):
(P): 2x 2y z m 3m ; (S) : (x 1) (y 1) (z 1) 9
Tìm m để (P) tiếp xúc (S) Với m tìm xác định tọa độ tiếp điểm Câu :
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vng góc với
đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh MAB cân tính diện tích MAB theo a
L
ỜI GIẢI Caâu 1:
(P) : 2x 2y z m 2 3m 0
2 2
(S) : (x 1) (y 1) (x 1) 9 có tâm I(1; -1; 1) bán kính R =
(P) tiếp xuùc (S) d[I, (P)] R
2
2
2 2
m 3m m
2.1 2.( 1) 1.1 m 3m m 3m 9
m
m 3m
2
Vậy, (P) tiếp xúc (S) m = -5 hay m = 2, (P): 2x + 2y + z – 10 =
Đường thẳng (d) qua I vuông góc với (P) có phương trình:
x y z
2
(12) Tọa độ tiếp điểm nghiệm hệ:
x 2x 2y z 10
y x y z
z
2
Vậy, tọa độ tiếp điểm M(3; 1; 2)
Câu 2:
Cách 1:
Ta coù: SA (ABC) SA AC.
Do SAC vng A có AM
trung tuyến nên MA 1SC
2
Ta lại có: SA (ABC)AB BC ( ABC vuông taïi B)
SB BC (định lý đường vng góc)
Do SBC vng B có BM trung tuyến nên MB12SC
Suy ra: MA = MB MAB cân M
Dựng MH // SA HK // BC (H AC; K AB)
vì:
1
MH SA a
SA (ABC) MH (ABC) 2
BC AB HK AB HK 1BC a
2
MHK vuông H có: MK2 MH2 HK2 a2a2 2a2 MK a 2
Diện tích MAB:
2
MAB 1 a
S MK.AB a 2.a
2 2
Cách 2:
ABC vuông B có:
2 2 2
AC AB BC a 4a 5a
AC a
Dựng BH AC (H AC), ta có:
2
AB a a
AH
AC a 5
2 2
1 1
BH AB BC 4a
2a BH
5
Dựng hệ trục tọa vng góc Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc
2a a
A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ;
5
S
M
C H
B K A
z S 2a
M
C y a 5 H
B A
K x a
(13) Tọa độ trung điểm M SC M 0; a 5; a
2
Ta coù: MA 0; a 5; a MA 3a
2
2a 3a 3a
MB ; ; a MB
2 5
suy ra: MA = MB MAB cân M
Ta có:
2
2
a 2a
[MA; MB] ; ; a [MA; MB] a
5
Diện tích MAB:
2
MAB 1 a
S [MA; MB] a
2 2
BÀI 7 Câu 1:
Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc
o o
(0 90 )
Tính thể tích khối hình chóp S.ABC khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng
(SBC) Caâu 2:
Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng:
(d1) :
4 z
t y
t 2 x
; (d2) :
0 12 z 3 y 4 x 4
0 3 y x
Chứng minh (d1) (d2) chéo Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vng góc chung (d1) (d2)
GIẢI
Câu :
Cách 1:
Gọi H trung điểm BC
Do S.ABC ABC nên
chân đường cao đỉnh S trùng với giao điểm ba đường cao trực tâm O
của ABC có SBC cân S
suy ra: BC SH, BC AH, neân SHA .
Ta coù: OH 1AH a
3
Trang 13
S
A
O B
H C
(14)SHO
vuông góc: SO HO.tg a 3tg
6
vaø SH HO a
cos 6.cos
Thể tích hình chóp S.ABC:
2
ABC
1 a a a tg
V SO.S tg
3 24
Diện tích SBC:
2
SBC a
S SH.BC
2 12.cos
Gọi h khoảng cách từ A đến (SBC), ta có:
3
SBC
SBC
1 3.V a tg a a
V h.S h : sin
3 S 24 12cos
Cách 2:
Vì S.ABC hình chóp
nên chân đường cao đỉnh S trùng với tâm O đường tròn (ABC)
Gọi M trung điểm BC Ta có:
- AO 2AM a
3
vaø OM a
6
- AM BC, SM BC SMA
- SOM vuông có:
a
SO OM.tg tg
6
Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0; 0; 0),
a a a a a a a a
B ; ; ,C ; ; ,M 0; ; , O 0; ; , S 0; ; tg
2 2 2 3
Thể tích hình chóp:
3 ABC
1 a tg
V SO.S
3 24
Ta coù: BS a2; a a 36 ; 6 tg , BC ( a; 0; 0)
2
a a
[BS; BC] 0; tg ; n
6
Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B với vectơ pháp tuyến n :
2
a a a a
O x tg y (z 0)
2 6
a
(SBC) : tg y z tg
2
Khoảng cách d từ A đến (SBC):
C
M
B x
A z
S
(15)2
a a 3
tg O O tg tg
2 2 a 3
d 1 sin
2
tg
cos
Câu 2:
(d1) qua điểm A(0; 0; 4) có vectơ phương u1 (2; 1; 0)
(d2) ñi qua điểm B(3; 0; 0) có vectơ phương u2 (3; 3; 0)
AB (3; 0; 4)
AB.[u ; u ] 36 01 AB, u , u1
không đồng phẳng
Vậy, (d1) (d2) chéo
(d2) có phương trình tham số:
/ /
x t
y t
z
Gọi MN đường vng góc chung (d1) (d2)
M (d ) M(2t; t; 4), N (d ) N(3 t ; t ; 0) / /
/ /
MN (3 t 2t; t t; 4)
Ta coù:
/ / /
1
/ /
2
MN u 2(3 t 2) (t t) t M(2; 1; 4)
N(2; 1; 0) t
3 t 2t (t t)
MN u
Tọa độ trung điểm I MN: I(2; 1; 2), bán kính R12MN 2.
Vậy, phương trình mặt cầu (S): (x 2) 2(y 1) 2(z 2) 4
BÀI 8 Caâu 1:
Trong khơng gian Oxyz có mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z – = 0, (Q): 3x – 4y + 9z + = đường thẳng:
(d1): ; (d ):x 23 y31 z42
3 z
3 y
5 x
2
Viết phương trình đường thẳng () song song với hai mặt phẳng (P) (Q),
và cắt hai đường thẳng (d1) (d2) Câu 2:
(16)Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N trung điểm AB C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN)
GIẢI
Câu 1:
(P) có pháp vectơ nP (3; 12; 3) 3(1; 4; 1) 3n , /P với n/P (1; 4; 1)
(Q) có pháp vectơ nQ (3; 4; 9)
(d1) có vectơ phương u1 (2; 4; 3)
(d2) có vectơ phương u2 ( 2; 3; 4)
Goïi:
/
/
/ /
/ /
1
( ) (P) (Q) (P )//(P), (Q )//(Q) (d ) (P ), (d ) (Q )
u u
Suy () giao tuyến hai mặt phẳng (P/)
và (Q/), (
) // (/)
() có vectơ phương u [n ; n ] (32; 12; 16) 4(8; 3; 4) 4u ,/P Q /
với u/ (8; 3; 4).
mp (P/) có cặp vectơ phương u1
u/ nên có pháp vectơ:
/ /
P
n [u ; u ] (25; 32; 26)
Phương trình mp (P/) chứa (d1) qua điểm A(-5; 3; -1) (d )1 với nP/ là:
25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) =
/
(P ) : 25x 32y 26z 55
mp (Q/) coù cặp vectơ phương u2
u/ nên có pháp vectơ:
/ /
Q
n [u ; u ] (0; 24; 18)
Phương trình mp (Q/) chứa (d2) qua điểm B(3; -1; 2) (d )2 với nQ/
laø:
0(x 3) 24(y 1) 18(z 2) 0
/
(Q ) : 4y 3x 10
Ta coù: ( ) (P ) (Q ). / /
Vậy, phương trình đường thẳng () : 25x 32y 26z 55 04y 3z 10 0
Câu 2:
Cách 1:
Bốn tam giác vuông AA M, BCM, CC N, A D N baèng (c.g.c)/ / / /
/ /
A M MC CN NA
/
A MCN
hình thoi
Trang 16
Q P
Q/
P/
u
1
u
2
u
B d2 d1
A
q
n
p
n
D/
A/ B/
C/
D C
(17) Hai hình chóp B/A/MCN B/.A/NC có chung
đường cao vẽ từ đỉnh B/
/ /
A MCN A NC
S 2.S
neân: VB A MCN/ / 2.VB A NC./ /
Maø: / / / / / / /
3
/
B ANC C.A B N A B N B A MCN
1 1 a a
V V CC S a .a.a V
3
Ta coù: A MCN/ /
1
S A C.MN,
2
với A C a 3; MN BC/ / a
/
2 A MCN
a
S
2
Gọi H hình chiếu B/ (A/MCN), ta có: B A MCN/ / / A MCN/
1
V B H.S
3
/ / /
3 / B A MCN
A MCN
3.V a a 6 a 6
B H :
S 3
Caùch 2:
Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz
đôi vuông góc,
A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0),
D(0; 0; 0), A/(a; 0; a),
B/(a; a; a), C/(0; a; a), D/(0; 0; a),
a a
M a; ; , N 0; ; a
2
Ta coù: A C ( a; a; a), MN ( a; 0; a)/
/ 2 2
2
[A C; MN] (a ; 2a ; a ) a (1; 2; 1) a n với n (1; 2; 1)
Phương trình mp (A/MCN) qua C(0; a; 0) với pháp vectơ n :
1(x 0) 2(y a) 1(z 0) 0
/
(A MCN) : x 2y z 2a
Khoảng cách d từ B/(a; a; a) đến mp(A/MCN):
a 2a a 2a 2a a
d
3
1
ĐỀ 9 Caâu 1:
Trang 17
C a
A/
C/
D A
B M
N D/
z
a
a y
(18)Trong không gian Oxyz cho đường thẳng: (d1) :
t2 6 z
t 4 y
t x
; vaø (d2) :
1 't z
6 't 3 y
't x
Gọi K hình chiếu vng góc điểm I(1; -1; 1) (d2) Tìm phương trình tham số đường thẳng qua K vng góc với (d1) cắt (d1)
Câu 2:
1 Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SAB)
vng góc với đáy, hai mặt bên cịn lại tạo với đáy góc
GIẢI
Câu 1:
(d1) có vectơ phương u1 (1; 1; 2)
(d2) có vectơ phương u2 (1; 3; 1)
K (d ) K(t ; 3t 6; t 1)/ / / IK (t 1; 3t 5; t / / / 2)
IK u2 t 9t 15 t 0/ / / t/ 18 K 18; 12 7;
11 11 11 11
Giả sử () cắt (d1) H(t; t; 2t), (H (d ))
HK1118 t; 5611 t; 1159 2t
HK u1 18 t 56 t 118 4t t 26
11 11 11 11
30
HK 4; ; (44; 30; 7)
11 11 11
Vậy, phương trình tham số đường thẳng ():
18
x 44
11 12
y 30
11
z
11
Câu 2:
Cách 1:
Dựng SH AB
Ta coù:
(SAB) (ABC), (SAB) (ABC) AB, SH (SAB)
SH (ABC)
SH đường cao hình chóp.
Dựng HN BC, HP AC
Trang 18
S
H
C B
N
(19)
SN BC, SP AC SPH SNH
SHN = SHP HN = HP
AHP vuông có: HP HA.sin60o a
4
SHP vuông có: SH HP.tg a 3tg
4
Thể tích hình chóp
2
ABC
1 a a a
S.ABC : V SH.S tg tg
3 4 16
Caùch 2:
Dựng SH AB
Ta coù: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) B, SH (SAB) SH (ABC)
Vì (SAC) (SBC) tạo với (ABC) góc ABC đều, nên suy H trung điểm
AB
Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz
đôi vuông góc, H(0; 0; 0),
a a
A ; 0; ; B ; 0; ,
2
a
C 0; ; , S(0; 0; h), (h 0)
2
Phương trình mp (ABC):
z = 0, với pháp vectơ n1 (0; 0;1)
Phương trình mp (SAC):
x y z 1
aa h
(SAC) : 2h 3x 2hy a 3z ah
với n2 (2h 3; 2h; a 3)
(SAC) tạo với (ABC) góc :
2 2 2
0 a a 3
cos
0 12h 4h 3a 16h 3a
2
2
2
2 2
1 1 tg 16h 3a
cos 3a
3a tg a
h h tg
16
Thể tích hình chóp S.ABC:
2
ABC
1 a a a
V h.S tg tg
3 4 16
ĐỀ 10
Trang 19
z h S
B
C
A
x
H
a 2
a 3 2
(20)Caâu 1:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng:
(1) :
x y z 1; ( ):x y z
7
1 Lập phương trình tắc đường thẳng (3) đối xứng với (2) qua (1)
2 Xét mặt phẳng ( : x + y + z + = Viết phương trình hình chiếu (2) theo phương (1) lên
mặt phẳng ()
3 Tìm điểm M mặt phẳng () để MM MM 1 đạt giá trị nhỏ biết M1(3; 1; 1) M2(7; 3; 9)
Caâu 2:
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a, góc BAC 120 o
,
cạnh bên BB' = a Gọi I trung điểm CC' Chứng minh AB'I vuông A tính cosin góc
giữa hai mặt phẳng (ABC) (AB'I)
GIẢI
Caâu 1:
1
1
1
1
x 7t ( ) : y 2t z 3t
có vectơ phương u1 ( 7; 2; 3)
2
2
2
x 7t ( ) : y 2t z t
2
qua A (7; 3; 9), B(8; 5; 8)
có vectơ phương u (1; 2; 1)
Gọi H hình chiếu A (1)
H ( ) 1 H(3 7t ; 2t ; 3t )
1 1
AH ( 7t ; 2t ; 3t )
AH u 1 7( 7t ) 2( 2t ) 3( 3t ) 0 1 1 1
1
t H(3; 1; 1)
Gọi A/ điểm đối xứng A qua H A/(-1; -1; -7)
Gọi K hình chiếu B (1) B/ điểm đối xứng B qua K Tương tự ta
tìm được:
/
114 25 22 20 105 204
K ; ; B ; ;
31 31 31 31 31 31
A B/ / 11; 74; 13 (11; 74; 13) a
31 31 31 31 31
với a (11; 74; 13)
Phương trình đường thẳng (3) đối xứng với (2) qua (1) phương trình đường thẳng
/ /
A B qua A/ với vectơ phương a.
Vậy, phương trình tắc (3): x y z 711 74 13
2 Mặt phẳng () chứa (2) () // (1)
A
A/
B/
B
K
1
u
(21) () có cặp vectơ phương u1 ( 7; 2; 3), u2 (1, 2, 1)
[u ; u ] ( 8; 4; 16)1 4(2; 1; 4) 4n ,
với n (2; 1; 4)
Phương trình mp () qua A(7; 3; 9) ( )2 với pháp tuyến n
: ( ) : 2x y 4z 53 0
Ta coù: ( ) ( ) ( ) /2 laø hình chiếu (2) lên () theo phương (1)
Vậy, phương trình hình chiếu 2/
x y z ( ) :
2x y 4z 53
3 Gọi I trung điểm M M1 I(5; 2; 5)
Ta coù: MM MM1 2MI
1
MM MM
nhỏ 2MI
nhỏ
M hình chiếu I ()
Phương trình đường thẳng () qua I
và vng góc với () là:
x t y t z t
Goïi M giao điểm () ()
M ( ) M(5 t; t; t)
M ( ) t t t 0 t5 M(0; 3; 0)
Vậy, điểm M cần tìm: M(0; -3; 0)
Câu 2:
Cách 1:
Gọi H trung điểm BC AH BC.
ABH nửa tam giác cạnh AB = a AHa2 BH a BC a
2
IB C/ / vuông có:
2
/ / / / a 13a
IB IC B C 3a
4
AIC vuông có:
2
2 2 a 5a
AI IC AC a
4
Ta coù:
2
2 / 5a 13a /
AI AB 2a IB
4
(AB/ đường chéo hình vng AA/B/B cạnh a)
Vậy, AB/I vuông A
Ta có: /
2 /
AB I
1 a a 10
S AI.AB a
2 2
2
ABC 1 a a
S AH.BC a
2 2
Gọi góc hai mặt phẳng (ABC) (AB/I), theo công thức chiếu, ta có:
Trang 21
M2
u
M1 I
()
M0 M
A/
B/ C/
A
B 30o C
(22)/
2
ABC AB I
S a a 10 30
cos :
S 4 10
Cách 2:
Gọi H trung điểm BC AH BC
ABH nửa tam giác cạnh AB = a
a AH
2
vaø BH a BC a
2
Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi vuông góc, A(0; 0; 0),
/
/ /
a a a a
B ; ; , C ; ; , A (0; 0; a),
2 2
a a a a a a a
B ; ; a , C ; ; a , I ; ;
2 2 2 2
/ a a a a a
AB ; ; a , AI ; ;
2 2 2
Ta coù:
2 2
/ a a a a a 3a a 2a
AB AI a
2 2 2 4
/
AB AI
Vậy, AB/I vuông A
* Phương trình mp(ABC): z = có pháp vectơ n1 (0; 0; 1)
* mp (AB/I) có cặp vectơ phương AB , AI / , nên có pháp vectơ:
2 2 2
/
2
a 3a 2a a a
[AB ; AI] ; ; (1; 3; 3) n
4 4 4
với n2 (1; 3; 3)
Gọi góc (ABC) (AB/I), ta có:
0 2 3 30
cos
10
0 1 27 12 40
60o
B/
A/
C/
z a
B
C A
H I