Tiểu luận giải tích hàm 2 một số dạng bài tập trong giải tích hàm 2

Tiểu luận giải tích hàm 2 một số dạng bài tập trong giải tích hàm 2

A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày nay, ta khó nói hết vai trị giải tích lĩnh vực nghiên cứu ứng dụng, giải tích đại chìa khố để sâu vào ngành toán học Trong giải tích nội dung giải tích hàm nội dung vô quan trọng, trọng việc giảng dạy trường Đại học nội dung mà nhiều sinh viên khoa Toán quan tâm nghiên cứu Bởi nó bước lý thuyết không gian mêtric tôpô, nội dung quan trọng để người học tìm cầu nối lĩnh vực toán học hết tìm quan hệ tốn học ngành khoa học khác Ở học phần giải tích hàm làm quen với tốn tử tuyến tính liên tục, chuẩn tốn tử, khơng gian Banach…, cịn đến với giải tích hàm làm quen với toán tử compact, phổ tốn tử, khơng gian Hilbert… với nhiều tập đa dạng, lượng kiến thức liên quan lớn mơn giải tích (1,2,3,4), phương trình vi phân, khơng gian mêtric tơpơ, giải tích hàm 1… Nên giải tập mơn giải tích hàm bạn sinh viên thường gặp nhiều khó khăn Với mong muốn hệ thống lại dạng tập mơn giải tích hàm nhằm tạo nguồn tài liệu cho bạn sinh viên dễ dàng nghiên cứu nên em chọn đề tài: “Một số dạng tập giải tích hàm 2” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Trên sở nghiên cứu đề tài, em muốn trình bày số dạng tập kèm lời giải quan trọng học phần giải tích hàm Để từ giúp em hiểu rõ môn học đồng thời nắm vững lý thuyết tập mơn giải tích hàm để giải toán tương tự Đối tượng nghiên cứu Bài tập phổ toán tử, tốn tử compact khơng gian Hilbert Trang Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu có sẵn internet Phân tích tổng hợp Tham khảo ý kiến chuyên gia Cấu trúc đề tài Ngồi phần mở đầu phần kết luận tiểu luận em trình bày chương là: Chương 1: Một số tập toán tử compact phổ toán tử Chương 2: Một số tập không gian Hilbert Trang B.NỘI DUNG Chương 1: Một số tập toán tử compact phổ toán tử 1.1 Bài tập có lời giải Bài 1: Cho khơng gian định chuẩn với chuẩn max xác định công thức a b với Chứng minh A, B toán tử compact X Giải a Lấy hình cầu đơn vị X Ta cần chứng minh tập compact tương đối + Chứng minh: tập bị chặn Xét tập bị chặn (1) + Cần chứng minh đồng liên tục  Liên tục liên tục mà  Đồng liên tục mà mà , mà Ta cần chứng minh Trang Xét (vì ) đồng liên tục (2) Từ (1) (2) tập compact tương đối Theo định lý Ascoli A tập compact X b Lấy hình cầu đóng đơn vị X Ta cần chứng minh tập compact tương đối  bị chặn Xét (vì ) Suy bị chặn  đồng liên tục Xét (vì Trang Suy đồng liên tục Khi đó: tập compact tương đối Vậy B toán tử compact X Bài 2: Tốn tử compact khơng gian vơ hạn chiều khơng có tốn tử nghịch đảo liên tục Giải Giả sử A toán tử compact không gian vô hạn chiều X Nếu liên tục compact Mặt khác, tốn tử đơn vị không gian vô hạn chiều không compact Vậy tồn khơng liên tục Trang Bài 3: Cho tốn tử xác định cơng thức Tìm Giải  Chứng minh A tốn tử tuyến tính Xét ta có: Suy ra: Vậy A tốn tử tuyến tính  Chứng minh A liên tục Ta có: ; nên: Với Vậy A tốn tử tuyến tính liên tục  Tìm Xét phương trình Hay song ánh Suy Trang Vậy phổ A điểm nằm đường tròn đơn vị Bài 4: Cho tốn tử xác định Tìm Giải  Chứng minh A tốn tử tuyến tính Xét Vậy A tốn tử tuyến tính  Chứng minh A liên tục Vậy A tốn tử tuyến tính liên tục  Tìm Xét phương trình Trang Với Với Khi (*) trở thành: Phương trình có nghiệm Hay song ánh Suy Trang Bài 5: Tìm phổ a Tốn tử xác định b Tốn tử xác định Trong L khơng gian tuyến tính , nghĩa Giải a + Chứng minh A tốn tử tuyến tính Xét Ta có: Suy ra: Vậy A tốn tử tuyến tính + Chứng minh A liên tục Vậy A liên tục + Tìm Xét phương trình Xét Trang Coi C hàm theo x, ta có: Thay vào (1), ta được: Vậy nghiệm phương trình (1) là: Phương trình ln có nghiệm Vậy b + Chứng minh A tốn tử tuyến tính Xét Ta có: Suy ra: Vậy A tốn tử tuyến tính + Chứng minh A liên tục Trang 10 (1) Xét phương trình Chọn C hàm theo x ta có: Suy ra: Suy nghiệm phương trình Ta có: Để Trang 12 Nên Vậy 1.2 Bài tập tương tự Bài 1: Xét tính compact tốn tử xác định a) b) c) Bài 2: Cho tốn tử tuyến tính Chứng minh A tốn tử compact Bài 3: Cho không gian định chuẩn “max” Đặt Chứng minh A toán tử compact Bài 4: Chứng minh A toán tử compact, với Bài 5: Gọi tốn tử tuyến tính xác định Tìm Bài 6: Cho khơng gian định chuẩn “sup” Đặt Tìm Bài 7: Tìm phổ Trang 13 Chương 2: Một số tập không gian Hilbert 2.1 Bài tập có lời giải Bài 1: Cho không gian tiền Hilbert a Chứng minh b Chứng minh Giải a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có: Vì Suy ra: Tương tự, ta chứng minh b Ta có: Vì , mà nên =1 Và ; Suy ra: ; Do đó: Bài 2: Chứng minh không gian tiền Hilbert trực giao với Giải Giả sử trực giao với , nghĩa (1) Ta có: Trang 14 (do (1)) Giả sử thỏa mãn , ta cần chứng minh: Khi đó: Cho , ta có: (1) Cho , ta có: (2) Từ (1) (2), suy ra: hay trực giao với Bài 3: Cho không gian Hilbert, tốn tử tuyến tính thỏa mãn Chứng minh A liên tục Giải Chứng minh A liên tục A ánh xạ đóng tập đóng Ta chứng minh A tốn tử đóng Ta có Ta chứng minh tập đóng Thật vậy, giả sử dãy mà Ta chứng minh Vì nên suy Trang 15 Xét , Mà Và (giả thiết) Suy , Do đó: (đpcm) Bài 4: Cho hệ trực chuẩn không gian tiền Hilbert , dãy số bị chặn Chứng minh rằng: a hội tụ với b toán tử tuyến tính liên tục Tính Giải a hội tụ với Theo đề, dãy số bị chặn nên Ta có: Do chuỗi hội tụ với b tốn tử tuyến tính liên tục Tính Ta có: Do đó: Vậy A tốn tử bị chặn, Suy A toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác, ta có: Do đó: Vậy Trang 16 Bài 5: Cho A toán tử tự liên hợp, toán tử compact khơng gian Hilbert Chứng minh A tốn tử compact Giải Giả sử A tự liên hợp Cần chứng minh Ta có Lại có: (Do A tự liên hợp) giả sử Cần chứng minh A tự liên hợp Ta có Mà giả thuyết ta có: Nên Mặt khác Suy A tự liên hợp Bài 6: Chứng minh tốn tử xác định cơng thức a b c Giải a + Chứng minh A toán tử tuyến tính Trang 17 , Ta có: Suy ra: Do đó: A tốn tử tuyến tính + Chứng minh A liên tục Suy ra: Vậy A liên tục Kết luận A tốn tử tuyến tính liên tục + A*? Gọi A* toán tử liên hợp A Khi đó: Từ đó, suy ra: b + Chứng minh A tốn tử tuyến tính Trang 18 Ta có: Suy ra: Vậy A tốn tử tuyến tính + Chứng minh A liên tục Suy ra: Vậy A liên tục Kết luận: A tốn tử tuyến tính liên tục + Tìm tốn tử liên hợp A Goi toán tử liên hợp A Khi đó: Từ đó, suy ra: c Trang 19 + Chứng minh A toán tử tuyến tính Ta có: Suy ra: Vậy A tốn tử tuyến tính + Chứng minh A liên tục Suy ra: Vậy A liên tục Kết luận: A tốn tử tuyến tính liên tục + Tìm tốn tử liên hợp A Gọi A* toán tử liên hợp A Khi đó: Từ đó, suy ra: Trang 20 Bài 7: Giả sử hai phần tử cố định khơng gian Hilbert tốn tử xác định Tìm tốn tử liên hợp A Chứng minh Giải + Chứng minh A tốn tử tuyến tính , ta cần chứng minh: Vậy A tốn tử tuyến tính + Chứng minh A liên tục Suy ra: (theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz) Vậy A liên tục với + Tìm A* Gọi A* toán tử tự liên hợp A Khi đó: (1) Ta có: Trang 21 Mà (do (1)) Nên Suy ra: + Xét Suy ra: Mà (chứng minh trên) Nên (a) Và Suy ra: (theo Schwarz) Mà Nên (b) Từ (a) (b), ta được: (đpcm) 2.2 Bài tập tương tự Bài 1: Kiểm tra không gian sau không gian tiền Hilbert: a , b Trang 22 c d e f Bài 2: Cho : a Chứng minh không gian tiền Hilbert b Chứng minh không gian Banach (Không gian Hilbert) Trang 23 C KẾT LUẬN Qua tiểu luận em hệ thống số dạng tập giải tích hàm kèm theo lời giải, đồng thời đưa số tập với dạng tương tự Thơng qua dạng tốn em nhận thấy tốn chứng minh tập compact, tìm phổ tốn tử, chứng minh khơng gian tiền Hilbet, không gian Hilbert… đa dạng đa số có phương pháp giải cụ thể Nhưng số toán ta phải vận dụng linh hoạt lý thuyết học học phần trước tìm lời giải thích hợp Tóm lại để giải tốt tập mơn giải tích hàm ta cần nắm vững lý thuyết thường xuyên giải tập để có kỹ cần thiết giải toán Trang 24 D TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Đình Đồng, Bài tập giải tích hàm, NXB giáo dục đào tạo [2] Nguyễn Xuân Liêm, Bài tập giải tích hàm, NXB giáo dục, 2000 [3] Phạm Nguyễn Hồng Ngự, Bài giảng giải tích hàm Trang 25 MỤC LỤC A MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài .1 Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài B NỘI DUNG Chương 1: Một số tập toán tử compact phổ toán tử 1.1 Bài tập có lời giải 1.2 Bài tập tương tự 13 Chương 2: Một số tập không gian Hilbert 15 2.1 Bài tập có lời giải 15 2.2 Bài tập tương tự 25 C KẾT LUẬN 27 D TÀI LIỆU THAM KHẢO .28 Trang 26 ... Chương 1: Một số tập toán tử compact phổ toán tử 1.1 Bài tập có lời giải 1 .2 Bài tập tương tự 13 Chương 2: Một số tập không gian Hilbert 15 2. 1 Bài tập có lời giải ... giải tập để có kỹ cần thiết giải tốn Trang 24 D TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Đình Đồng, Bài tập giải tích hàm, NXB giáo dục đào tạo [2] Nguyễn Xuân Liêm, Bài tập giải tích hàm, NXB giáo dục, 20 00... Trang 22 c d e f Bài 2: Cho : a Chứng minh không gian tiền Hilbert b Chứng minh không gian Banach (Không gian Hilbert) Trang 23 C KẾT LUẬN Qua tiểu luận em hệ thống số dạng tập giải tích hàm kèm