Một số kinh nghiệm giảng dạy chương v đạo hàm (sách giáo khoa đại số và giải tích 11, chương trình cơ bản) 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY CHƯƠNG V ĐẠO HÀM (Sách giáo khoa Đại số giải tích lớp 11, chương trình bản) Người thực hiện: Trịnh Văn Huế Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ, NĂM 2017 MỤC LỤC Mục lục: 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài .2 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .2 1.4 Phương pháp nghiên cứu… 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm .2 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2-3 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề .3-10 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục với thân, đồng nghiệp nhà trường 10 Kết luận…………………………………………………………… .10 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Trong thực tiễn đa số học sinh lớp 12 yếu đạo hàm, chương trình giải tích lớp 12 lại sử dụng đạo hàm nhiều, mà kiến thức đạo hàm lại chương cuối lớp 11 Vì dạy chương ứng dụng đạo hàm lớp 12 giáo viên gặp khơng khó khăn Từ thực tiễn mà tơi chọn đề tài kinh nghiệm “Một số kinh nghiệm giảng dạy chương V Đạo hàm (Sách giáo khoa Đại số giải tích lớp 11, chương trình bản)” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh biết cách tính đạo hàm, tạo hứng thú cho học sinh học mơn giải tích lớp 12 Giáo viên khơng cảm thấy khó khăn dạy chương ứng dụng đạo hàm lớp 12 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Chương Đạo hàm chương trình Đại số giải tích lớp 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết NỘI DUNG SÁNG KẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: Định nghĩa đạo hàm điểm • Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) x0 ∈ (a; b): f '(x0) = lim f(x) − f(x0) x→ x0 x − x0 ∆y (∆x = x – x0, ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)) ∆x→0 ∆x = lim • Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục diểm Ý nghĩa đạo hàm • f′ (x0) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) • Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M ( x0;f(x0)) M ( x0;f(x0)) là: y – y0 = f′ (x0).(x – x0) Qui tắc tính đạo hàm Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có : • (u ± v ± w)′ = u′ ± v′ ± w′ • (uv)′ = u′ v + v u ã u ữ = u′v − v′u (v ≠ 0)  v v • (ku)′ = ku′ , (k số) • Đạo hàm hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm x u′ x hàm số y = f(u) có đạo hàm u y′ u hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x là: y′x = y′ u.u′x Bảng đạo hàm Hàm sơ cấp ( C ) ′ = 0, (C số) ( x ) ′ = ( xα ) ′ = α xα −1 1 ′  ÷ = - x  x ( x )′ = x (sinx)’ = cosx 7.(cosx)’ = - sinx 8.(tanx)’ = cos x 9.(cotx)’ = sin x Hàm hợp (u = u(x)) 10 ( uα ) ′ = α xα −1u ′ u′ ′ 11  ÷ = - u u 12 ( ) ′ u = u′ u 13 (sinu)’ = (cosu).u’ = u’.cosu 14.(cosu)’ = (-sinu).u’ = -u’.sinu u' 15 (tanu)’ = cos u u' 16 (cotu)’ = sin u Vi phân • dy = df(x) = f ′(x).dx Đạo hàm cấp cao • f ''(x) = [ f '(x)] ′ ; f '''(x) = [ f ''(x)] ′ ; f (n) (x) =  f (n−1) (x)′ (n ∈ N, n ≥ 4) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm đa số học sinh tính đạo hàm chưa thạo, cịn lúng túng giải toán liên quan đến đạo hàm, tốn tính đạo hàm hàm hợp 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: VẤN ĐỀ : Tính đạo hàm định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x định nghĩa ta thực bước sau: Bước 1: Giả sử ∆x số gia đối số x0 Tính ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0) Bước 2: Lập tỉ số Bước 3: Tìm ∆y ∆x ∆y ∆x→0 ∆x lim Ví dụ : Dùng định nghĩa tính f ′(x0) với: f (x) = x2 − 4x + x0 = Giải : Giả sử ∆x số gia đối số x0 = Ta có ∆y = f (1+ ∆x) − f (1) = ( 1+ ∆x) − 4(1+ ∆x) + 3− (12 − 4.1+ 3) = 1+ 2∆x + ( ∆x) − 4− 4∆x + = ( ∆x) − 2∆x = ∆x(∆x − 2) 2 ∆y ∆x(∆x − 2) = = ∆x − ∆x ∆x ∆y = lim (∆x − 2) = −2 ∆x→ ∆x ∆x→ lim Vậy f ′(x0) = -2 VẤN ĐỀ : Tính đạo hàm cơng thức Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) cơng thức ta sử dụng quy tắc tính đạo hàm Chú ý quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp Ví dụ : Tính đạo hàm hàm số f (x) = x2 − 4x + Giải : Ta có: f ′(x) = (x2 − 4x + 3)′ = (x2)′ − (4x)′ + (3)′ = 2x1 − 4.(x)′ + = 2x − 4.1 Ví dụ : Tính đạo hàm hàm số 3x2 + 2x − y= x2 − Giải :  3x2 + 2x − 1′ (3x2 + 2x − 1)′ (x2 − 1) − (3x2 + 2x − 1)(x2 − 1)′ ′ Ta có y =  ÷=  x2 − ÷ (x2 − 1)2   = = (6x + 2)(x2 − 1) − (3x2 + 2x − 1)2x (x2 − 1)2 −2x2 − 4x − (x2 − 1)2 Ví dụ : Tính đạo hàm hàm số y = (x2 − 3x + 1).sin x Giải : Ta có y' = (x2 − 3x + 1)′.sin x + (x2 − 3x + 1).(sin x)′ = (2x − 3)sin x + (x2 − 3x + 1)cos x Ví dụ : Tính đạo hàm hàm số y = x.cos3x Giải : Ta có : ′ y′ = ( x ) cos3x + x(cos3x)′ = = x x cos3x − x(sin3x)(3x)′ cos3x − x sin3x Ví dụ : Tính đạo hàm hàm số y = 2x2 − 5x + Giải : Ta có : ( ) ′ 2x2 − 5x + ′ y′ =  2x2 − 5x + ÷ =   2x2 − 5x + 4x − = 2x2 − 5x + Ví dụ : Tính đạo hàm hàm số f(x) = 2x2 − x + x0 = Giải : Ta có: ( )′ f ′ ( x) = 2x2 − x + = 4x − ( ) ( ) ⇒ f ′ x0 = f ′ = 4.2 − 1= Bài tập Bài : Tính đạo hàm hàm số sau: a) f(x) = x3 − 3x + b) f(x) = x2 − 2x 5x − e) f(x) = cosx f) f(x) = sinx Bài : Tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y = f(x) = 3− x x0 = –1 c) f(x) = d) f(x) = x + 2, (x > − 2) 2x + x0 = x−1 π c) y = f(x) = sinx x0 = b) y = f(x) = d) y = f(x) = x x0 = x + x + x = e) y = f(x) = x−1 Bài : Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = 2x4 − x3 + x − b) y = − x + x x 3 x d) y = x − 3x + c) y = (x3 − 2)(1− x2) 2x2 − 4x + e) y = x− x−1 f) y = Bài : Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = (x2 + x + 1)4 2x2 x2 − 2x − b) y = (1− 2x2)5 (x + 1)2  2x + 1 c) y =  d) y = ÷ x − (x − 1)3   e) y = f) y = ( 3− 2x2 ) (x − 2x + 5) Bài : Tính đạo hàm hàm số sau: 4x + y = a) x2 + b) y = (x − 2) x2 + Bài :Tính đạo hàm hàm số sau:  sinx  a) y =  ÷  1+ cosx  b) y = x.cosx c) y = sin3(2x + 1) d) y = cot2x e) y = sin + x2 f) y = sinx + 2x g) y = tan2x + tan3 2x + tan5 2x h) y = 2sin2 4x − 3cos3 5x Bài 7: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = 5sinx – 3cosx c) y = x.cotx e) y = cos x sin x g) y = sin x π i) y = cot (2x + ) l) y = cot 1+ x2 b) y = cos (x3) d) y = (1 + cot x ) f) y = cos x − cos x sin x + cos x h) y = sin x − cos x k) y = sin (cos x) m) y = sin x sin 3x VẤN ĐỀ : Phương trình tiếp tuyến hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến điểm M(x0, y0) ∈ (C) là: y − y0 = f '(x0)(x − x0) (*) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: + Gọi x0 hoành độ tiếp điểm Ta có: f ′(x0) = k (ý nghĩa hình học đạo hàm) + Giải phương trình tìm x0, tìm y0 = f(x0) + Viết phương trình tiếp tuyến theo cơng thức (*) Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) qua điểm A(x1, y1) cho trước: + Gọi (x0 , y0) tiếp điểm (với y0 = f(x0)) + Phương trình tiếp tuyến (d): y − y0 = f '(x0)(x − x0) (d) qua A (x1, y1) ⇔ y1 − y0 = f '(x0) (x1 − x0) (1) + Giải phương trình (1) với ẩn x0, tìm y0 = f(x0) f '(x0) + Từ viết phương trình (d) theo cơng thức (*) Nhắc lại: Cho (∆): y = ax + b Khi đó: + (d) ⁄⁄ (∆) ⇒ kd = a + (d) ⊥ (∆ ) ⇒ kd = − a x Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = : a) Tại điểm có tung độ b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − 4x + Hướng dẫn 1 ⇒ y′ = − (x ≠ 0) x x 1 1 a) Với y0 = ta có x = ⇔ x0 = ; y′ (2) = − Ta có y=  1   Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm  2; ÷là: 1 1 = − (x − 2) ⇔ y = − x + + 4 2 ⇔ y = − x+ y− b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −4x + nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –4 Gọi (x0; y0) toạ độ tiếp tuyến ⇒ y′ (x0) = −4   x0 = ⇔− = −4 ⇔  x02  x0 = −  1 • Với x0 = ⇒ y0 = 1  Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm  ;2÷là y = −4x + 2  • Với x0 = − ⇒ y0 = −2   Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm  − ; −2÷là y = −4x −   Ví dụ 2: Cho hàm số f (x) = x2 − 2x + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị x+ hàm số f (x) điểm có hồnh độ x2 + 2x − x2 − 2x + ⇒ f ′(x) = x+ (x + 1)2 Với x0 = 1⇒ f ( x0 ) = 1, f ′(1) = − Ta có f (x) = ⇒ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = − x + 2 Bài tập Bài 1.Cho hàm số (C): y = f(x) = x2 − 2x + Viết phương trình tiếp với (C): a) Tại điểm có hồnh độ x0 = b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + = c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = Bài 2.Cho hàm số y = f(x) = − x + x (C) x−1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(2; 4) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 3x + (C) 1− x Bài 3.Cho hàm số y = f(x) = a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(2; –7) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với d: y = x + 100 e) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với ∆: 2x + 2y – = Bài Viết phương trình tiếp tuyến (C ): y=x3-3x+7 a) Tại điểm A(1;5) b) Song song với đường y=6x+1 Bài Viết phương trình tiếp tuyến (c ): y=x3-3x2 , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y= x VẤN ĐỀ : Tính đạo hàm cấp cao Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dùng công thức: y(n) = (yn−1)/ Để tính đạo hàm cấp n: • Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n • Dùng phương pháp quy nạp tốn học để chứng minh cơng thức Ví dụ: Cho hàm số f (x) = (2x − 3)5 Tính f′′(3), ′′′(3) Giải: Ta có: f ′(x) = 5(2x − 3)4(2x − 3)′ = 10(2x − 3)4 ( )′ ( )′ f ′′(x) = 10(2x − 3)4 = 80(2x − 3)3 f ′′′(x) = 80(2x − 3)3 = 480(2x − 3)2 ⇒ f ′′(3) = 80(2.3− 3)3 = 2160 f ′′′(3) = 480(2.3− 3)2 = 4320 10 Bài tập Cho hàm số f(x) = 3(x + 1)cosx Bài 1: a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính  π f ''(π), f '' ÷, f ''(1)  2 Tính đạo hàm hàm số đến cấp ra: a) y = cosx, y''' b) y = 5x4 − 2x3 + 5x2 − 4x + 7, y'' Baøi 2: x− , y'' x+ e) y = xsinx, y'' c) y = g) y = (x2 + 1)3,y'' d) y = 2x − x2 , y'' f) y = xtanx, y'' h) y = x6 − 4x3 + 4, y(4) Bài 3: Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: x +1 2x + a) y = b) y = x + x−2 x−2 c) y = x x −1 e) y = x sin x d) y = x x + f) y = (1 − x ) cos x g) y = x.cos2x h) y = sin5x.cos2x 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: Chất lượng giảng dạy thân nâng lên, đa số học sinh tiếp thu được, cụ thể làm dạng tập đạo hàm Học sinh học tập tích cực, u thích mơn tốn Kết luận Trên vài kinh nghiệm nhỏ phương pháp giảng dạy “Đạo hàm ” Rất mong quý thầy cô bạn đồng nghiệp có nhiều ý kiến đóng góp, trao đổi để lần sau hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo viên, Sách giáo khoa Sách tập Đại số Giải tích lớp 11 theo chương trình chuẩn chương trình nâng cao nhà xuất Giáo dục phát hành năm 2007 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trịnh Văn Huế 11 ... đề tài kinh nghiệm ? ?Một số kinh nghiệm giảng dạy chương V Đạo hàm (Sách giáo khoa Đại số giải tích lớp 11, chương trình bản)? ?? 1 .2 Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh biết cách tính đạo hàm, tạo... Tính đạo hàm hàm số 3x2 + 2x − y= x2 − Giải :  3x2 + 2x − 1′ (3x2 + 2x − 1)′ (x2 − 1) − (3x2 + 2x − 1)(x2 − 1)′ ′ Ta có y =  ÷=  x2 − ÷ (x2 − 1 )2   = = (6x + 2) (x2 − 1) − (3x2 + 2x − 1)2x... tiễn đa số học sinh lớp 12 yếu đạo hàm, chương trình giải tích lớp 12 lại sử dụng đạo hàm nhiều, mà kiến thức đạo hàm lại chương cuối lớp 11 V? ? dạy chương ứng dụng đạo hàm lớp 12 giáo viên gặp