Tiểu luận môn giải tích 3 hàm số trong không gian Rn

Tiểu luận môn giải tích 3 hàm số trong không gian Rn

PHẦN MỞ ĐẦU Nội dung chọn đề tài Hàm sớ Lí chọn đề tài Hàm sớ là khái niệm tốn học giải tích Các bài tốn hàm sớ đa dạng và phong phú, vấn đề hàm số áp dụng vào dạy học chương trình tốn học trung học phổ thông và thường xuyên xuất kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng… tốn giải tích trường trung học phổ thông ta nghiên cứu phạm vi hàm biến tập số thực và đồ thị hàm số không gian Oxy Nhưng với yêu cầu ngày càng cao toán học, nhà toán học dần mở rộng khái niệm hàm số lên không gian cao Khi giải bài tốn hàm sớ , … và tổng qt có sớ bài tốn miền xác định, miền giá trị khó giải hay phải trải qua nhiều giai đoạn khó khăn, phức tạp và chí nhiều thời gian chưa có kết xác Với mong ḿn tìm hiểu hàm số quan đến vấn đề hàm số SV Nguyễn Đình Thành và dạng bài tập liên để phục vụ cho trình học tập và giảng Trang dạy sau này nên em chọn đề tài “Hàm số ’’ làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài Nắm rõ khái niệm hàm số Nắm vấn đề và dạng bài tập liên quan đến hàm số Phương pháp nghiên cứu Dựa kiến thức có và tìm kiếm dạng bài tập thư viện, sách, báo, Internet và diễn đàn sinh viên Đối tượng nghiên cứu Hàm số và vấn đề liên quan đến hàm sớ PHẦN NỘI DUNG Chương 1: TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Hàm số Cho không gian Euclide n chiều là n số thực Một phần tử D là tập hợp Ta ánh xạ: Xác định bởi: D là hàm số n biến số xác định D Tập hợp D gọi là tập xác SV Nguyễn Đình Thành Trang định (hay miền xác định) hàm số f và (x1, x2, , xn) gọi là biến số độc lập Nếu xem (x1, x2, , xn) là toạ độ điểm nào hệ tọa độ nào ta viết Trong trường hợp n = hay n = ta có hàm hai hay ba biến số Với n = ta có định nghĩa hàm hai biến sớ sau:  Cho D , ánh xạ gọi là hàm hai biến số Ký hiệu là : Với n = ta có định nghĩa hàm ba biến số sau:  Cho D , ánh xạ gọi là hàm ba biến số Ký hiệu là : 1.1.2 Miền xác định hàm nhiều biến số Miền xác định hàm nhiều biến số là n số cho thay vào biểu thức hàm sớ phép tốn có ý nghĩa Miền xác định hàm số n biến cho Trong trường hợp là tập hợp xác định hay ta có miền xác định hàm hai hay ba biến sớ Với ta có định nghĩa miền xác định hàm hai biến sớ sau: SV Nguyễn Đình Thành Trang  Miền xác định hàm số hai biến cho là tập hợp xác định Với n = ta có định nghĩa miền xác định hàm ba biến số sau:  Miền xác định hàm số ba biến cho là tập hợp xác định Ta quy ước rằng hàm số u cho biểu thức mà khơng nói thêm miền xác định miền xác định u hiểu là tập hợp tất điểm M cho biểu thức f(M) có nghĩa, và thường là tập hợp liên thơng Với hàm biến số ta thường ký hiệu g(x,y); f(x,y); u(x,y); với Tương tự với hàm biến số ta cũng ký hiệu g(x, y, z); f(x, y, z); u(x, y, z); với Việc tìm miền xác định hàm sớ thường quy việc giải hệ bất phương trình hoặc nhiều ẩn và thơng thường ta biểu diễn miền xác định này qua hình vẽ tọa độ Đề-các Ví dụ: Tìm miền xác định hàm số sau: a) b) c) Giải SV Nguyễn Đình Thành Trang a)Hàm sớ có miền xác định là tập cho hay Đó là hình tròn đóng tâm O bán kính bằng mơ tả qua hình sau: Ngoài ta còn mơ tả hình tròn đóng này bằng hệ phương trình: b) Hàm sớ có miền xác định là tập (x, y) Đó là nửa mặt phẳng có biên là đường thỏa mãn mơ tả qua hình sau: Ngoài ta còn mơ tả nửa mặt phẳng này bằng hệ bất phương trình: SV Nguyễn Đình Thành Trang c) Hàm sớ có miền xác định là tập hợp (x, y, z) thỏa mãn Đó là hình cầu mở tâm O có bán kính bằng mơ tả qua hình sau: Ngoài ta còn mơ tả hình cầu mở này bằng bất phương trình: 1.1.3 Miền giá trị hàm nhiều biến số Miền giá trị hàm số là tập hợp tất giá trị hàm số điểm biến thiên miền xác định D Từ định nghĩa miền giá trị hàm sớ n biến ta suy định nghĩa hàm và biến Với ta có định nghĩa miền giá trị hàm hai biến sau:  Miền giá trị hàm số hàm sớ điểm SV Nguyễn Đình Thành là tập hợp tất giá trị biến thiên miền xác định D Trang Với ta có định nghĩa miền giá trị hàm ba biến sau:  Miền giá trị hàm số là tập hợp tất giá trị hàm số điểm biến thiên miền xác định D Ví dụ:  Hàm số , D: , có miền giá trị hàm số là tất giá trị trục số thực bỏ giá trị nằm đoạn (-∞;0)  Hàm sớ , D: , , có miền giá trị hàm sớ là tất giá trị trục số thực 1.1.4 Đồ thị hàm số 1.1.4.1 Định nghĩa đồ thị hàm số n biến Đồ thị hàm số n biến là tập hợp điểm không gian (n+1) chiều xác định sau: Trong S là miền xác định hàm số 1.1.4.2 Vẽ đồ thị hàm số Như ta biết, tọa độ Đề-các Oxyz, hàm miền D Như với mỗi điểm điểm với xác định cho tương ứng Khi M chạy D điểm P di chuyển không gian vạch nên mặt (S) Mặt (S) gọi là đồ thị hàm hai biến Ví dụ: Đồ thị hàm số biểu diễn sau: SV Nguyễn Đình Thành Trang Với mỡi sớ c, phương trình f (x, y) = c cho tập hợp nghiệm là đường cong mặt phẳng Đường cong này gọi là đường mức c và dễ biểu diễn hẳn điểm không gian chiều đường mức hàm f (x, y) nói là hình vẽ bên 1.1.4.3 Dùng MATLAB để vẽ số đồ thị hàm hai biến Trong thực tế việc vẽ đồ thị hàm số có nhiều biến bằng tay là khó nên ta thường dung công cụ là phần mềm máy tính để vẽ mà cụ thể em dùng phần mềm MATLAB để vẽ: Sử dụng hàm ezsurf() hoặc surf() MATLAB để vẽ đồ thị hàm hai biến miền xác định [a, b]× [c, d] Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm   Dùng hàm ezsurf(): ezsurf(‘sqrt(4-2*x^2-3*y^2)’) Dùng hàm surf(): meshgrid Z=sqrt( * * surf Kết ta thu đồ thị hàm SV Nguyễn Đình Thành sau: Trang Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm z = cos(xy)   Dùng hàm ezsurf(): ezsurf(‘cos(xy)’,[-3 -3 3]) Dùng hàm surf(): meshgrid Z= cos(X.*Y); surf Kết ta thu đồ thị hàm sau: 1.1.4.4 Khó khăn vẽ đồ thị hàm số Khi ta xét bài tốn hàm sớ nhiều biến có trở nên khó khăn ta khơng có phương tiện biểu diễn đồ thị cách trực tiếp Ta khơng biết hình dạng hàm biến khơng gian, ta dùng đường mức để biểu diễn hình học hàm biến Thay cho SV Nguyễn Đình Thành Trang đường mức ta có mặt mức Mặt mức là cơng cụ để ta biểu diễn đồ thị hàm sớ nhiều biến có 1.1.4.5 Một số đờ thị không gian a) Mặt phẳng Mặt phẳng là đồ thị hàm hai biến tuyến tính, nói cách khác phương trình mặt phẳng có dạng: Chẳng hạn định có , hàm sớ xác Ta có ví dụ mặt phẳng qua hình vẽ sau đây: b) Ellipsoid Ellipsoid là mặt cong, phương trình tắc có dạng Đây là hàm hai biến cho dạng ẩn Hàm số là đa trị Chẳng hạn coi z là biến phụ thuộc và x và y miền xác định là hình Ellipsoid có bán trục a và b: Khi ta có mặt cầu tâm gớc tọa đồ và bán kính là R: SV Nguyễn Đình Thành Trang 10 Miền giá trị hàm số trục số thực là là tất giá trị bỏ giá trị nửa khoảng (-∞;0] c) Hàm số f(x,y)= xác định Miền xác định hàm số là tập hợp } Miền xác định là vành khuyên đóng giới hạn đường tròn , SV Nguyễn Đình Thành Ta biểu diễn miền xác định bằng hình sau: Trang 16 Miền giá trị hàm số f(x,y)= giá trị trục số thực là tất bỏ giá trị đoạn (-∞;0) d) Hàm số xác định -1 Miền xác định hàm số là tập hợp Miền xác định là miền mở nằm đới xứng hai bên trục Oy và bị giới hạn hai đường thẳng y 1-x