Tiểu luận lý thuyết môđun đề tài môđun có độ dài hữu hạn
Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn A.Mở đầu Lý chọn đề tài Ngày nay, ta khó nói hết vai trị đại số lĩnh vực nghiên cứu ứng dụng, đại số đại chìa khố để sâu vào ngành tốn học Trong Đại số nội dung lý thuyết môđun vành nội dung vô quan trọng, trọng việc giảng dạy trường Đại học nội dung mà nhiều sinh viên khoa Toán quan tâm nghiên cứu Bởi nó bước lý thuyết nhóm, nội dung quan trọng để người học tìm cầu nối lĩnh vực tốn học hết tìm quan hệ toán học ngành khoa học khác Như ta biết mơđun Noether môđun Artin hai lớp môđun quan trọng mà mơđun có độ dài hữu hạn phần kiến thức cốt yếu thiếu sinh viên nghiên cứu tốn, mang đậm dấu ấn hình học đại số Với mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết dạng tập mơđun có độ dài hữu hạn nên em chọn đề tài: “Mơđun có độ dài hữu hạn” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Trên sở nghiên cứu đề tài, em muốn trình bày định nghĩa, tính chất, định lý quan trọng mơđun có độ dài hữu hạn số tập liên quan Để từ giúp em hiểu rõ môn học đồng thời nắm vững lý thuyết tập mơđun có độ dài hữu hạn để giải tốn có liên quan Đối tượng nghiên cứu Mơđun có độ dài hữu hạn Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu có sẵn internet SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn Phân tích tổng hợp Tham khảo ý kiến chuyên gia Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu phần kết luận tiểu luận em trình bày chương là: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương 2: Bài tập vận dụng SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn B.Nội dung Chương 1: Cơ sở lý thuyết 1.1 Môđun môđun 1.1.1 Môđun Giả sử R vành Một R-môđun trái M nhóm cộng giao hốn M với ánh xạ (gọi phép nhân với vô hướng) cho điều kiện sau thỏa mãn: với phần tử tùy ý Ta nói rằng, R tác động (về bên trái) lên M M môđun R 1.1.2 Môđun Định nghĩa Giả sử M R-môđun Tập M gọi môđun M A môđun R với phép cộng phép nhân vô hướng M hạn chế A Mệnh đề Cho M R-môđun Nếu A tập khác rỗng M điều kiện sau tương đương: (a) A môđun M (b) A nhóm cộng M , , ta có (c) Với , ta có l SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn Chứng minh Là hiển nhiên theo định nghĩa môđun Trước hết, với , ta có Do A nhóm cộng aben nên Với , ta có , nên A đóng kín với phép cộng M Với ta có , với , nghĩa A nhóm cộng M Các tính chất cịn lại thỏa mãn A thỏa mãn M Mệnh đề Giao họ môđun R-môđun M môđun M 1.2 Độ dài chuỗi thương chuỗi Xét chuỗi hữu hạn môđun AR (1) Trong Ai-1 mơđun thực Ai ( Số k gọi độ dài chuỗi (1) thương Ai/Ai-1 ( gọi thương chuỗi 1.3 Các định nghĩa 1) Một R-môđun M khác môđun không gọi mơđun đơn, M có hai mơđun mơđun khơng 2) Chuỗi (1) gọi lấp đầy chuỗi (2) Nếu Bi trùng với Aj chuỗi (1) 3) Hai chuỗi (1) (2) gọi đẳng cấu thương thiết lập song ánh cho thương tương ứng đẳng cấu 4) Chuỗi (1) gọi chuỗi hợp thành thương chuỗi mơđun đơn SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn Ví dụ: (1) Mơđun ZZ khơng có chuỗi hợp thành Thật Z khơng có mơđun đơn nên môđun thực B ln có mơđun khác với chúng (2) Cho không gian vectơ hữu hạn chiều với sở Khi đó: Trong chuỗi hợp thành V 1.4 Định lý Schreie Hai chuỗi hữu hạn mơđun cho có chuỗi lấp đầy đẳng cấu Chứng minh Giả sử mơđun A có chuỗi: (1) (2) Ta lồng vào Ai Ai+1 môđun con: Thực sau: Lồng vào Ao A1 môđun: Lồng vào A1 A2 mơđun: SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn Quá trình tiếp tục Lồng vào Ak-1 Ak môđun: Từ kết trên, ta có: Mà chuỗi có độ dài Ta lồng vào môđun Lồng vào Bo B1 môđun: Lồng vào B1 B2 môđun: SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn Quá trình tiếp tục Lồng vào Bs-1 Bs môđun: Từ kết ta có Mà chuỗi có độ dài Vậy chuỗi lấp đầy chuỗi trước tương ứng với nó, ta có chuỗi có độ dài Ngồi ra, ta có thương đẳng cấu 1.5 Định lý Jordan – Holder Giả sử M R-mơđun có chuỗi hợp thành với độ dài n Khi chuỗi hợp thành khác M có độ dài n dãy giảm mơđun bổ sung thành chuỗi hợp thành M Chứng minh Trước hết ta xét bổ đề sau: Gọi độ dài nhỏ chuỗi hợp thành M Nếu N mơđun M N mơđun thực M Thật vậy, giả sử độ dài nhỏ chuỗi hợp thành SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn Khi Là dãy giảm môđun N Với i, ánh xạ tự nhiên đơn ánh Vì đơn nên đơn Điều cho phép lập chuỗi hợp thành N có độ dài nhỏ t cách bỏ hạng tử lặp lại Do số , độ dài nhỏ chuỗi hợp thành N, nhỏ Giả sử , với , đẳng cấu với Vì nên ta có Điều kéo theo ,… cuối , tức Vậy N môđun thực M Bây ta chứng minh định lý Xét chuỗi hợp thành tuỳ ý: Từ bổ đề suy ra: Vì t độ dài nhỏ chuỗi hợp thành M nên Do đó, chuỗi hợp thành M có độ dài nhau: Bây xét dãy giảm (ngặt) mơđun M: Nếu dãy không chuỗi hợp thành M với đó, khơng đơn, điều nghĩa tồn mơđun L thỗ mãn bao hàm thức ngặt: Đến ta xét dãy giảm mơđun con: SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn Nếu ta lại lặp lại trình bổ sung Sau số hữu hạn bước ta thu chuỗi hợp thành M Khi định lý chứng minh hồn tồn 1.6 Độ dài mơđun Định nghĩa Nếu R- mơđun M có chuỗi hợp thành gọi mơđun có độ dài hữu hạn độ dài chuỗi hợp thành gọi độ dài môđun M Ký hiệu Nếu M khơng có chuỗi hợp thành ta coi Ví dụ: -mơđun có hai dãy khớp hợp thành đẳng cấu 1.7 Một số tính chất độ dài môđun 1.7.1 Mệnh đề Một R-môđun M có chuỗi hợp thành M vừa Noether, vừa Artin Chứng minh Giả sử M có chuỗi hợp thành độ dài Theo định lý Jordan – Holder Khi dãy tăng giảm (ngặt) mơđun M có độ dài Do M vừa Noether vừa Artin Giả sử M vừa Noether vừa Artin, ta cần chứng minh M có chuỗi hợp thành M Noether nên có mơđun tối đại thực M1 Mà M1 mơđun Noether nên lại có môđun tối đại thực M2 Tiếp tục trình ta thu dãy giảm (ngặt) mơđun M: SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn Vì M Artin nên với k Khi chuỗi hợp thành M 1.7.2 Mệnh đề Cho dãy khớp R-mơđun Khi đó, độ dài M tổng độ dài : Chứng minh Môđun M Noether (Artin) chi Noether (Artin) Do đó, hữu hạn và hữu hạn Nên hệ thức hiển nhiên ba mơđun có độ dài Bây ta coi tất đồ dài hữu hạn Giả sử chuỗi hợp thành với chuỗi hợp thành , với Xét chuỗi: Theo hệ đồng cấu mơđun, ta có đẳng cấu Mà vế phải đơn với i Do chuỗi chuỗi hợp thành M có độ dài tức 1.7.3 Mệnh đề Giả sử MR mơđun có độ dài hữu hạn tự đồng cấu Khi đó: 1) Tồn số tự nhiên cho với 2) tự đẳng cấu toàn cấu đơn cấu SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang 10 Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn 1.7.4 Định lý Cho tự đồng cấu môđun MR 1) Nếu M Artin tồn số tự nhiên cho Với Hơn nữa, tự đồng cấu đẳng cấu 2) Nếu M Noether tồn số tự nhiên cho Với Hơn nữa, tự đồng cấu đẳng cấu Chứng minh 1) Nếu M môđun Artin dãy sau dừng Bởi tồn cho với ta có Đặt , với ta có Bởi Từ Suy tồn cho Vậy ta có điều cần chứng minh Nếu đơn cấu hiển nhiên đơn cấu Bởi 2) Nếu M Noether dãy sau dừng Do tồn cho với Với ta có , với Nếu với Khi đó SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang 11 Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn Từ suy , nghĩa Bây ta xét tồn cấu tồn cấu Bởi Ker Từ Từ ta suy điều cần chứng minh SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang 12 Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn Chương 2: Bài tập Bài tập áp dụng Bài 1: Chứng minh môđun N R-môđun N cực đại môđun thương đơn Giải N môđun cực đại M và khơng có mơđun P M cho Tức mơđun thương khác có hai mơđun Theo định nghĩa mơđun điều đồng nghĩa với môđun đơn Bài 2: Chứng minh M R-mơđun Noether, tồn dãy mơđun M Sao cho R-môđun đơn với Giải Vì M mơđun Norther nên tập mơđun thực M có phần tử cực đại M1 Mà tập 1, ta chứng minh mơđun đơn Lại M1 mơđun Noether nên tập mơđun thực M có phần tử cực đại M2 Mà tập 1, ta chứng minh đơn Cứ tiếp tục vậy, ta xây dựng dãy môđun M nêu SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang 13 Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn Bài 3: Cho dãy khớp R-mơđun có độ dài hữu hạn Chứng tỏ Giải Nếu dãy khớp Ta suy , Nếu dãy khớp Cho ta Trường hợp ta chứng minh mệnh đề 1.7.2 Bây giả sử điều cần chứng minh với Nhận xét dãy khớp cắt thành hai dãy khớp sau Và Bởi trường hợp giả thuyết quy nạp ta có: SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang 14 Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn Từ ta kết luận Bài 4: Cho M R-mơđun có độ dài hữu hạn I iđêan R cho Chứng minh M có độ dài hữu hạn Giải Ta biết ideal cấu trúc R-mơđun M Tức N -mơđun M Từ suy dãy hợp thành M dãy hợp thành M Vậy Bài tập đề nghị Bài 1: Cho M mơ đun có độ dài hữu hạn vành Noether R Chứng minh Bài 2: Cho R vành Noether, P iđêan tối đại R, Q iđêan R Khi điều kiện sau tương đương: (i) Q P - nguyên thủy (ii) (iii) với SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang 15 Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn C.KẾT LUẬN Qua nghiên cứu, tiểu luận em thu số kết sau: Hệ thống hóa khái niệm, định nghĩa số kiến thức liên quan đến mơđun có độ dài hữu hạn Tìm ví dụ chứng minh số tính chất, định lý mơđun có độ dài hữu hạn Dùng kiến thức lý thuyết nghiên cứu để giải số tốn có liên quan SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang 16 Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn D.TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Việt Hải, Đại số giao hoán, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình Mơđun nhóm Aben, NXB Đại học Sư phạm, 2008 [3] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết Môđun vành, NXB Giáo dục, 2001 [4] Dương Quốc Việt, Bài tập Lý thuyết Module, NXB Đại học Sư phạm SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang 17 Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn MỤC LỤC A Mở đầu 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu .1 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .1 Cấu trúc đề tài .2 B Nội dung Chương 1: Cơ sở lý thuyết 1.1 Môđun môđun 1.1.1 Định nghĩa môđun 1.1.2 Định nghĩa môđun 1.2 Độ dài chuỗi thương chuỗi .4 1.3 Một số định nghĩa 1.4 Định lý Schreie 1.5 Định lý Jordan – Holder .8 1.6 Định nghĩa độ dài môđun 1.7 Một số tính chất độ dài mơđun Chương 2: Bài tập áp dụng 13 C KẾT LUẬN 17 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang 18 ... quy nạp ta có: SVTH: Nguyễn Đình Thành Trang 14 Lý thuyết Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn Từ ta kết luận Bài 4: Cho M R-mơđun có độ dài hữu hạn I iđêan R cho Chứng minh M có độ dài hữu hạn Giải... mơđun có độ dài hữu hạn độ dài chuỗi hợp thành gọi độ dài môđun M Ký hiệu Nếu M khơng có chuỗi hợp thành ta coi Ví dụ: -mơđun có hai dãy khớp hợp thành đẳng cấu 1.7 Một số tính chất độ dài môđun. .. Mơđun Mơđun có độ dài hữu hạn Quá trình tiếp tục Lồng vào Bs-1 Bs môđun: Từ kết ta có Mà chuỗi có độ dài Vậy chuỗi lấp đầy chuỗi trước tương ứng với nó, ta có chuỗi có độ dài Ngồi ra, ta có thương