Đang tải... (xem toàn văn)
Đề tài tiểu luận môn lý thuyết môđun với đề tài Môđun Artin đã được giáo viên chỉnh sửa
Lý thuyết Môđun Môđun Artin A.MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Có thể nói ngành tốn học đại ngày trình phát triển cần tới cấu trúc đại số Vì thế, Đại số chiếm vị trí quan trọng tốn học Nó góp phần thúc đẩy phát triển tốn học đại đầu tàu để dẫn dắt đào sâu nghiên cứu toán học Ngày nay, nhu cầu học hỏi tốn học nói chung Đại số nói riêng sinh viên chuyên ngành Tốn học người u thích tốn ngày tăng Đối tượng chủ yếu Đại số cấu trúc Đại số nhóm, vành, trường, mơđun, … đó, mơđun khái niệm quan trọng Đại số đại, không kể đến môđun Noether môđun Artin Với mong muốn tìm hiểu sâu sắc lý thuyết tập môđun Artin nên chọn đề tài: “Môđun Artin” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Trên sở nghiên cứu đề tài, em trình bày định nghĩa, định lý, hệ quả, mệnh đề số tốn chứng minh mơđun Artin để giúp nắm lý thuyết tập mơđun Artin, từ giải tốn liên quan Đối tượng nghiên cứu Mơđun Artin Phương pháp nghiên cứu + Tham khảo tài liệu có sẵn + Tham khảo ý kiến chuyên gia + Phương pháp phân tích + Phương pháp tổng hợp SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang Lý thuyết Môđun Môđun Artin + Tham khảo tài liệu internet Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, tiểu luận trình bày chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương 2: Mơđun Artin tốn chứng minh SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang Lý thuyết Môđun Môđun Artin B NỘI DUNG Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun 1.1.1 Định nghĩa Giả sử R vành Một R-mơđun trái M nhóm cộng giao hốn M với ánh xạ: (gọi phép nhân với vô hướng) cho điều kiện sau thỏa mãn: với phần tử tùy ý Ta nói rằng, R tác động (về bên trái) lên M M mơđun R 1.1.2 Tính chất Nếu tương ứng phần tử trung hịa M R ta suy rằng: (1) (2) với Thật vậy, Tương tự SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang Lý thuyết Môđun Môđun Artin Đối với đẳng thức (2), ta có: Tương tự, ta có: 1.2.Mơđun 1.2.1 Định nghĩa Giả sử M R-môđun Tập M gọi môđun M A môđun R với phép cộng phép nhân vô hướng M hạn chế A 1.2.2 Các mệnh đề Mệnh đề Cho M R-môđun Nếu A tập khác rỗng M điều kiện sau tương đương: (a) A môđun M (b) A nhóm cộng M , , ta có (c) Với , ta có Chứng minh Là hiển nhiên theo định nghĩa môđun Trước hết, với , ta có Do A nhóm cộng aben nên Với , ta có , nên A đóng kín với phép cộng M Với ta có , với , nghĩa A nhóm cộng M Các tính chất cịn lại thỏa mãn A thỏa mãn M Mệnh đề SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang Lý thuyết Môđun Môđun Artin Giao họ môđun R-môđun M môđun M SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang Lý thuyết Mơđun Mơđun Artin Chương 2: MƠĐUN ARTIN VÀ CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH 2.1 Mơđun Artin Định nghĩa Cho M R-mơđun (i) Ta nói dây chuyện (hay chuỗi, xích) môđun M: đường (hay ổn định) chứa số hữu hạn khác nhau, tức (ii) Môđun M gọi Artin tập không rỗng môđun có phần tử tối tiểu Do đó, R-môđun M gọi môđun Artin tập khác rỗng mơđun M ln chứa phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm Từ đó, ta có nhận xét: Các mơđun Artin cịn gọi mơđun thỏa mãn điều kiện tối tiểu Định lý Cho M R-môđun, A môđun M Các điều kiện sau tương đương: (i) M môđun Artin (ii) A môđun Artin (iii) Mọi chuỗi giảm môđun M dừng, tức tồn cho Chứng minh Giả sử chuỗi giảm môđun M, mà M Artin nên tập có phần tử cực tiểu, chẳng hạn , đó: SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang Lý thuyết Môđun Môđun Artin Giả sử S tập khác rỗng môđun M A Vì nên ta chọn mơđun Khi đó, khơng cực tiểu tồn thực chứa Như vậy, S khơng có phần tử cực tiểu tồn chuỗi giảm không dừng môđun M: mẫu thuẫn với Giả sử M môđun Artin, + Chứng minh A Artin Gọi tập hợp môđun A, tập hợp môđun M Từ giả thiết M Artin nên có phần tử tối tiểu Do đó, A Artin + Chứng minh Artin Ta có phép chiếu Gọi tập hợp môđun M Lại có M Artin nên có phần tử tối tiểu phần tử tối tiểu Vậy Artin Giả sử chuỗi tăng mơđun M Khi đó, theo (iii): Artin, ta có dãy giảm mơđun con: dừng, SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang Lý thuyết Môđun Mơđun Artin tức Vậy tối tiểu Do M Artin Hệ Nếu môđun M tổng hữu hạn mơđun Artin môđun Artin Chứng minh Đặt Chứng minh hệ quy nạp theo n + Với mệnh đề + Giả sử mệnh đề với , tức là Artin Theo định lí biết (trong Đại số đại cương): Artin Suy Artin Hệ Nếu vành R Artin M R-mơđun hữu hạn sinh M môđun Artin Chứng minh Giải sử tập sinh R-môđun M Với Xét ánh xạ: SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang Lý thuyết Môđun Môđun Artin Ta chứng minh đồng cấu R-môđun Thật vậy, : (1) , ta có: (2) Từ (1) (2), suy ra: đồng cấu R-mơđun Khi đó: Theo định lý trên, R Artin nên Artin Theo hệ trên, suy M Artin Hệ Cho dãy khớp ngắn R-mơđun: Khi đó, mơđun Artin và môđun Artin Chứng minh Khơng gian tổng qt coi môđun Giả sử M môđun Artin Khi đó, dãy giảm mơđun dãy giảm môđun , phải dừng Vậy mơđun Artin SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang Lý thuyết Môđun Môđun Artin Vì dãy mơđun ảnh dãy giảm qua tồn cấu tắc, dãy giảm dừng, nên dãy giảm dừng Vậy môđun Artin Giả sử , môđun Artin, cho dãy giảm mơđun Khi ta nhận hai dãy giảm Và môđun tương ứng Do môđun Artin nên tồn số tự nhiên để: với Vậy M môđun Artin Hệ Tổng trực tiếp họ hữu hạn R-môđun Artin R-môđun Artin Các ví dụ (1) Mọi khơng gian vectơ hữu hạn chiều V trường K môđun Artin Thật vậy, giả sử sở V dây chuyền không gian V Mỗi tập khơng rỗng khơng gian vectơ V có phần tử tối tiểu Vậy không gian vectơ hữu hạn chiều V trường K môđun Artin (2) Mọi không gian vectơ vô hạn chiều V không Artin, V K-môđun Thật vậy, giả sử tập phần tử độc lập tuyến tính V SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang 10 Lý thuyết Môđun Mơđun Artin Khi đó: Vậy khơng dừng Suy ra, khơng gian vectơ V khơng mơđun Artin Ta hiểu theo cách khác: Giả sử sở V Khi đó: mơđun cực đại môđun cực đại môđun cực đại K-môđun đơn Tương tự: môđun đơn môđun đơn Suy ra, V không môđun Artin (3) -môđun Artin Thật vậy, để chứng minh -môđun Artin, ta chuỗi với môđun -môđun sinh phần tử ; chứa tất môđun thực Từ đó, suy tập khơng rỗng mơđun có mơđun nhỏ Trước hết, ta nhận xét rằng: Thật vậy, nguyên tố nên tồn cho SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang 11 Lý thuyết Môđun Môđun Artin Suy ra: Do đó, -mơđun Artin (4) Vành số ngun -mơđun, khơng mơun Artin ta có dãy mơđun sau khơng dừng: (5) Một R-mơđun đơn mơđun Artin Do trường môđun Artin (6) V K không gian vectơ vơ hạn chiều V khơng mơđun Artin Thật vậy, giả sử tập hợp phần tử độc lập tuyến tính V đó, dãy sau không dừng: 2.2 Các đặc trưng khác môđun Artin Mệnh đề R-môđun M hữu hạn sinh tập môđun M thỏa mãn , tồn tập hữu hạn cho Chứng minh Giả sử M hữu hạn sinh, Do nên phần tử tổng hữu hạn phần tử thuộc Do tồn tập hữu hạn để Từ đó, suy ra: Xét tập hợp mơđun dạng Khi đó, theo giả thiết tồn tập hữu hạn cho Điều chứng tỏ M hữu hạn sinh Đặc trưng nhóm mơđun hữu hạn sinh cho phép ta đưa khái niệm đối ngẫu với sau SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang 12 Lý thuyết Môđun Môđun Artin Định nghĩa Môđun gọi hữu hạn đối sinh tập hợp mô đun M, thỏa mãn , tồn tập hữu hạn cho Ví dụ (1) Môđun không hữu hạn sinh đối sinh , tập tất số nguyên tố, (2) Không gian vectơ V trường K hữu hạn đối sinh hữu hạn chiều Bây trình bày đặc trững môđun Artin liên quan tới khái niệm hữu hạn sinh (hữu hạn đối sinh) Định lí Các điều sau tương đương: (i) Môđun Artin (ii) Mỗi môđun thương M hữu hạn đối sinh (iii) Đối với tập hợp môđun môđun M tồn tập hữu hạn cho SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang 13 Lý thuyết Môđun Mơđun Artin Chứng minh Đặt xét phép chiếu tắc , ta có: Theo giả thiết tồn tập hữu hạn cho Khi đó, dễ dàng suy Giả sử tập hợp mơđun thỏa mãn Khi đó: , với phép chiếu Khi đó, theo giả thiết tồn tập hữu hạn cho Từ suy Đối với tập mơđun M, ta xét tập hợp tất Theo , tập này, tồn phần tử tối tiểu Do tính tối tiểu D, , ta có Giả sử dãy giãm môđun M Khi đó, tìm cho Do với Vậy M Artin (theo định lý đầu tiên) Mệnh đề Cho N môđun R-môđun M M Artin N Artin Chứng minh Giả sử M R-môđun Artin SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang 14 Lý thuyết Môđun Môđun Artin + Xét dãy giảm môđun N: dãy giảm môđun M Do M môđun Artin nên tồn để Vậy N môđun Artin + Giả sử dãy giảm mơđun mơđun Trong đó, mơđun có dạng với P mơđun M Do đó, tồn dãy giảm môđun M: cho Do M mơđun Artin nên dãy dừng Do đó, tồn để Tức tồn để Hay Vậy môđun Artin Nếu N môđun Artin Với dãy giảm mơđun mơđun M: Ta có dãy giảm tương ứng môđun N là: Và dãy giảm môđun môđun là: Do N môđun Artin nên hai dãy phải dừng tức tồn để: Suy Với , ta có: SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang 15 Lý thuyết Môđun Môđun Artin Thật vậy, + Với , đặt , đó: Do đó: Suy ra: Hay Vậy (1) + Ngược lại: Với Đặt với Thì , Từ Vậy (2) Từ (1) (2) suy ra: Tức với Vậy M R-môđun Artin Mệnh đề Cho R vành có đơn vị, tự đồng cấu R-mơđun Artin M Khi đơn cấu đẳng cấu Chứng minh SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang 16 Lý thuyết Môđun Môđun Artin Giả sử M R-môđun Artin, tự đồng cấu đơn cấu ta có dãy giảm mơđun M: Do M môđun Artin nên dãy phải dừng, tức tồn để Với , ta có: , đó, tồn để: Tức Do đơn cấu nên đơn cấu Vì vậy, hay có tạo ảnh tức tồn cấu Vậy đẳng cấu 2.3 Bài tập Bài tập Cho M R-môđun Chứng minh môđun M cho , mơđun Artin mơđun Artin Giải Ta có đồng cấu: Theo định lý đồng cấu Nếu , môđun Artin mơđun Artin Ta biết mơđun môđun Artin nên môđun Artin SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang 17 Lý thuyết Mơđun Mơđun Artin Ta có: Như vậy, môđun Artin Bài tập Chứng minh tự đơn cấu môđun Artin tự đẳng cấu Giải Giả sử M R-môđun Artin tự đồng cấu Ta cần chứng minh: Hay Từ đó, ta có dãy giảm mô đun môđun Artin M: (*) Do M môđun Artin nên dãy (*) dừng, tức là: Nói riêng, Đặt , ta có: Suy ra: toàn cấu Suy ra, toàn cấu Kết hợp với giả thiết, suy tự đẳng cấu SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang 18 Lý thuyết Môđun SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Môđun Artin Trang 19 Lý thuyết Môđun Môđun Artin C.KẾT LUẬN Thông qua việc nghiên cứu, tiểu luận em thu số kết sau: Hệ thống hóa định nghĩa, định lý, hệ mệnh đề số kiến thức liên quan đến môđun Artin Chứng minh định lý, hệ mệnh đề; tìm số ví dụ mơđun Artin môđun không Artin Sử dụng kiến thức thu thập vào chứng minh số toán liên quan SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang 20 Lý thuyết Môđun Môđun Artin D.TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình Mơđun nhóm Aben, NXB Đại học Sư phạm, 2008 [2] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết Môđun vành, NXB Giáo dục, 2001 [3] Dương Quốc Việt, Bài tập Lý thuyết Module, NXB Đại học Sư phạm, 2015 [4].https://text.123doc.org/document/3469002-mo-dun-artin-khoa-luan-totnghiep-dai-hoc.html SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang 21 Lý thuyết Môđun Môđun Artin MỤC LỤC A MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài .1 Mục đích nghiên cứu .1 Đối tượng nghiên cứu .1 Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài B NỘI DUNG .3 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất 1.2 Môđun 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các mệnh đề Chương 2: MÔĐUN ARTIN VÀ CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH 2.1 Mơđun Artin 2.2 Các đặc trưng khác môđun Artin 13 2.3 Bài tập 19 C KẾT LUẬN 21 D TÀI LIỆU THAM KHẢO .22 SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang 22 .. .Lý thuyết Môđun Môđun Artin + Tham khảo tài liệu internet Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, tiểu luận trình bày chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương 2: Môđun. .. Mệnh đề Cho N môđun R-mơđun M M Artin N Artin Chứng minh Giả sử M R -môđun Artin SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang 14 Lý thuyết Môđun Môđun Artin + Xét dãy giảm môđun N: dãy giảm môđun M Do M môđun. .. theo (iii): Artin, ta có dãy giảm môđun con: dừng, SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh Trang Lý thuyết Môđun Môđun Artin tức Vậy tối tiểu Do M Artin Hệ Nếu môđun M tổng hữu hạn môđun Artin mơđun Artin Chứng