Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England.[r]
(1)BÀI CÁC MỐI LIÊN HỆ TUYẾN TÍNH TRONG KHƠNG GIAN
VECTƠ N CHIỀU – CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN Rn
Hướng dẫn học
Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau:
Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn
Đọc tài liệu:
1 Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại học KTQD, 2012
2 Bộ mơn tốn bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB
Giáo dục
4 Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw-Hill, Inc
5 Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England
Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email
Tham khảo thông tin từ trang Web môn học
Nội dung
Khái niệm tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính; Sự phụ thuộc tuyến tính;
Cơ sở không gian vectơ n chiều
Mục tiêu
Sinh viên nắm khái niệm tổ hợp tuyến tính, biểu diễn tuyến tính vectơ
qua hệ vectơ
Nắm khái niệm sựđộc lập phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ, khái niệm sở khơng gian
Ngồi sinh viên biết cách xác định hệ vectơđộc lập hay phụ thuộc tuyến tính, vectơ có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ hay không
(2)Tình dẫn nhập
Biểu diễn vectơ qua hệ vectơ
Cho vectơ:
X1 = ( 2, –3, )
X2 = ( 3, 1, –5)
X3 = (–1, 4, )
X = (–1, , 3)
(3)2.1 Khái niệm tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính 2.1.1 Khái niệm tổ hợp tuyến tính
Trong khơng gian Rn (n cốđịnh) cho m vectơ
X1, X2, …, Xm (2.1)
Lấy m số bất kỳα1, α2, …, αm lập tổng:
α1X1 + α2X2 + … + αmXm (2.2)
Định nghĩa: Mỗi tổng (2.2), α1, α2, …, αm số thực cho trước, gọi tổ hợp tuyến tính vectơ (2.1) Các sốαi (i = 1, 2,…, m) gọi hệ số tổ hợp tuyến tính
Từ vectơ (2.1) ta lập vơ số tổ hợp tuyến tính (mỗi hệ số α1,
α2,…, αm cho tương ứng tổ hợp tuyến tính chúng) tổ hợp tuyến tính vectơ (2.1) vectơ n chiều
2.1.2 Phép biểu diễn tuyến tính
Định nghĩa: Ta nói vectơ X Rn biểu diễn tuyến tính qua vectơ X
1, X2, …,
Xm tồn tổ hợp tuyến tính vectơ X1, X2, …, Xm
vectơ X, tức tồn số thực α1, α2, …, αm cho:
X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm (2.3) Đặc biệt, vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ Y (X = αY) ta nói vectơ
X tỷ lệ với vectơ Y
Ví dụ: Với X1, X2, …, Xm vectơ n chiều ta ln có:
On = 0X1 + 0X2 + … + 0Xm
Tổ hợp tuyến tính vế phải (với tất hệ số không) gọi tổ hợp tuyến tính tầm thường vectơ X1, X2,…, Xm Như vậy, không gian Rn vectơ
khơng ln biểu diễn tuyến tính qua vectơ (ít tổ hợp tuyến tính tầm thường)
Định lý sau cho thấy phép biểu diễn tuyến tính có tính chất bắc cầu:
Định lý: Nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ X1, X2, …, Xm vectơ
Xi ( i = 1, 2, …, m) biểu diễn tuyến tính qua vectơ Y1,Y2, …, Yp X biểu diễn
tuyến tính qua vectơ Y1,Y2, …, Yp
2.1.3 Dạng vectơ hệ phương trình tuyến tính Cho hệ phương trình tuyến tính:
11 12 1n n
21 22 2n n
m1 m2 mn n m
a x a a x b a x a a x b
a x a a x b
(4)Ma trận mở rộng hệ phương trình là:
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn m
a a a b
a a a b
A
a a a b
Ma trận mở rộng có n + cột, cột thứ j (j = 1, 2,…, n) cột hệ số ẩn xj,
còn cột cuối cột số hạng tự Ta gọi Acj cột hệ số ẩn xj (cột thứ j
mạ trận hệ số) B cột số hạng tự do:
1j 1
2j
c j
m mj
a b
a b
A = (j = 1, 2, , n); B = b a
Nếu xem cột vectơ m chiều, thông qua phép tốn vectơ, ta biểu diễn hệ phương trình (2.4) dạng tương đương sau:
11 12 1n
22 22 2n
1 n
m1 m2 mn m
a a a b
a a a b
x + x + + x =
a a a b
(2.5)
C C C
1A1 2A2 nAn B
x x x
Ở dạng (2.5) vấn đề tìm nghiệm hệ phương trình (2.4) tương đương với việc tìm hệ số biểu diễn tuyến tính cột số hạng tự qua cột ma trận hệ số Mỗi nghiệm hệ phương trình (2.5) số thực (α1, α2, …, αn) mà gán x1 = α1,
x2 = α2, …, xn = αn, tổ hợp tuyến tính vế trái phương trình (2.5) vectơ B
Như vậy:
Hệ phương trình tuyến tính (2.4) có nghiệm cột số hạng tự B biểu diễn tuyến tính qua cột C C C
1 n
A , A , , A ma trận hệ số
Mỗi hệ số biểu diễn tuyến tính cột số hạng tự qua cột ma trận hệ số
là nghiệm hệ phương trình (2.4)
Để biểu diễn tuyến tính vectơ n chiều X qua vectơ n chiều X1, X2, …, Xm cho
trước, ta phải tìm số (α1, α2, …, αm) cho: X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm
Điều thực thơng qua việc giải hệ phương trình tuyến tính có cột số
hạng tự vectơ X cột ma trận hệ số vectơ X1, X2, …, Xm Ma
trận mở rộng hệ phương trình (ta viết vectơ thành cột): A = [ X1 X2 … Xm X]
(5)Giải: Bộ hệ số (α1, α2, α3) biểu diễn tuyến tính vectơ X qua vectơ X1, X2, X3
cho nghiệm hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng sau:
1 16
A = 1
3 1
Chú ý ma trận A có cột thứ vectơ X1, cột thứ hai vectơ X2, cột thứ ba
là vectơ X3 cột số hạng tự vectơ X Quá trình khửẩn thực ma
trận mở rộng sau: A
1
1 16 16
= 1 23
3 1 16 49
2 16 16
23 23
0 15 48 147 0 32
Quá trình khửẩn kết thúc dạng tam giác
1
2
3
α + 2α + 5α = 16 3α + 8α = 23 8α = 32
Giải hệ phương trình ta tìm được:
α1 = 2, α2 = –3 ,α3 =
Như vậy, vectơ X biểu diễn tuyến tính cách qua vectơ X1, X2, X3:
X = 2X1 –3X2 + 4X3 2.2 Sự phụ thuộc tuyến tính
2.2.1 Khái niệm phụ thuộc tuyến tính Cho m vectơ n chiều:
X1, X2, …, Xm (2.6)
Khi xem xét quan hệ vectơ (2.6) ta gọi vectơđó hệ vectơ
Định nghĩa: Ta nói hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính tồn m số
thực k1, k2, …,km, có số khác 0, cho:
k1X1 + k2X2 + … + kmXm = On (2.7)
Ngược lại đẳng thức (2.7) thỏa mãn tất hệ số vế trái (k1 = k2 = … = km = 0) ta nói hệ vectơ (2.6) độc lập tuyến tính
Khái niệm phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ nhìn nhận góc độ biểu diễn tuyến tính vectơ khơng On qua vectơ hệđó Như ta biết, vectơ On biểu
(6)tầm thường (tổ hợp tuyến tính với tất hệ số 0) Câu hỏi đặt là: tổ
hợp tuyến tính tầm thường vectơ (2.6) cịn tổ hợp tuyến tính khác vectơ On hay khơng? Nếu câu trả lời có hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính Nếu
câu trả lời khơng, tức tổ hợp tuyến tính tầm thường tổ hợp tuyến tính On, hệ vectơ (2.6) độc lập tuyến tính
2.2.2 Xét phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ
Để xét phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ (2.6) ta xem hệ thức (2.7) hệ
phương trình tuyến tính viết dạng vectơ, với ẩn số k1, k2, …, km
Ma trận hệ số hệ phương trình có cột theo thứ tự vectơ n chiềuX1,
X2, …, Xm viết dạng cột Đối với hệ phương trình tuyến tính (2.7)
có hai khả xảy ra:
(1) Hệ có nghiệm k1 = k2 = … = km = Trong trường hợp hệ vectơ (2.6) độc lập tuyến tính
(2) Hệ có vơ số nghiệm, tồn nghiệm khơng tầm thường (k1, k2,…, km) Trong
trường hợp hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính
Như vậy, muốn biết hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta làm sau:
Lập ma trận A với cột vectơ X1, X2, …, Xm viết dạng cột;
Áp dụng thủ tục khửẩn liên tiếp hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số ma trận A Hệ vectơđộc lập tuyến tính q trình khử ẩn kết thúc ở
dạng tam giác, phụ thuộc tuyến tính trình khửẩn kết thúc dạng hình thang
Ví dụ 1: Trong khơng gian Rn xét hệ vectơ: E1 = (1, 0, …, 0)
E2 = (0, 1, …, 0)
……… En = (0, 0, …, 1)
Các vectơ E1, E2, …, En gọi vectơ đơn vị không gian Rn Xét hệ
phương trình tuyến tính với ma trận hệ số các cột theo thứ tự vectơ
E1, E2, …, En ( viết vectơ dạng cột):
1
0
A =
0
Hệ phương trình tuyến tính sẵn dạng tam giác, hệ vectơđơn vịđộc lập tuyến tính
Ví dụ 2: Cho hệ vectơ chiều X1 = (1, 3, –2, 5),
X2 = ( 3, –2, 1, 4),
(7)Muốn biết hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta xét hệ phương trình tuyến tính ẩn số k1, k2, k3, với ma trận hệ số có cột thứ vectơ
X1, cột thứ hai vectơ X2, cột thứ ba vectơ X3:
1
3
A =
2
5
Phương pháp khửẩn liên tiếp thực ma trận hệ số sau:
1 1
0 11 11 1
0 0 0
0 0 0
1
0 11 11
A
0 7
0 11 11
Quá trình khửẩn kết thúc dạng hình thang:
1
2
k + 3k k = k + k =
Do hệ vectơđã cho phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ 3: Xét hệ vectơ:
X1 = (–2, 2, 3, 4)
X2 = (3, –2, 3, 5)
X3 = (4, 1, 6, –3)
Hệ thức k1X1 + k2X2 + k3X3 = O4 cho tương ứng với hệ phương trình tuyến tính
thuần có ma trận hệ số là:
2
2
A =
3
4
Biến đổi khửẩn:
2 4
2 1
A
6 12 15 24
4 11
2 4
0 5
0 51 0 51
0 50 0