1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Đại số tuyến tính Chương 4 Dạng toàn phương trên RN

131 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 131
Dung lượng 239,08 KB

Nội dung

Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương IV DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRÊN RN §1 DẠNG TỒN PHƯƠNG 347 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương IV DẠNG TỒN PHƯƠNG TRÊN RN §1 DẠNG TỒN PHƯƠNG Các khái niệm Definition 1.1 (Dạng tồn phương) Trong khơng gian vectơ Rn cho sở β = {e1 , e2 , , en } Với vectơ x ∈ Rn ta có (x)β = (x1 , x2 , , xn ) Một ánh xạ q : Rn → R xác định 347 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân q(x) = q(x1 , x2 , , xn ) = xi xj 1≤i,j≤n gọi dạng toàn phương Rn ứng với sở β Khi (1.1) gọi biểu thức toạ độ dạng toàn phương q ứng với sở β 348 (1.1) Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân q(x) = q(x1 , x2 , , xn ) = xi xj (1.1) 1≤i,j≤n gọi dạng toàn phương Rn ứng với sở β Khi (1.1) gọi biểu thức toạ độ dạng toàn phương q ứng với sở β Definition 1.2 (Ma trận dạng toàn phương) Cho dạng toàn phương (1.1), xác định Định nghĩa 1.1 Ma trận A = (aij )n xác định 348 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân   b ij aij =  bij i=j i=j gọi ma trận dạng toàn phương q cho (1.1) 349 (1.2) Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân   b ij aij =  bij i=j i=j gọi ma trận dạng toàn phương q cho (1.1) Nhận xét: 349 (1.2) Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân   b ij aij =  bij i=j i=j (1.2) gọi ma trận dạng toàn phương q cho (1.1) Nhận xét: (1) Từ hai định nghĩa ta viết biểu thức toạ độ dạng ma trận q(x) = (x)β A[x]β 349 (1.3) Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân   b ij aij =  bij i=j i=j (1.2) gọi ma trận dạng toàn phương q cho (1.1) Nhận xét: (1) Từ hai định nghĩa ta viết biểu thức toạ độ dạng ma trận q(x) = (x)β A[x]β (2) Ma trận A dạng toàn phương ma trận đối xứng 349 (1.3) Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân   b ij aij =  bij i=j i=j (1.2) gọi ma trận dạng toàn phương q cho (1.1) Nhận xét: (1) Từ hai định nghĩa ta viết biểu thức toạ độ dạng ma trận q(x) = (x)β A[x]β (1.3) (2) Ma trận A dạng toàn phương ma trận đối xứng (3) q : Rn → R dạng tồn phương khác khơng Rn q(x1 , x2 , , xn ) đa thức đẳng cấp bậc hai n biến x1 , x2 , , xn 349 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân   b ij aij =  bij i=j i=j (1.2) gọi ma trận dạng toàn phương q cho (1.1) Nhận xét: (1) Từ hai định nghĩa ta viết biểu thức toạ độ dạng ma trận q(x) = (x)β A[x]β (1.3) (2) Ma trận A dạng toàn phương ma trận đối xứng (3) q : Rn → R dạng toàn phương khác không Rn q(x1 , x2 , , xn ) đa thức đẳng cấp bậc hai n biến x1 , x2 , , xn (4) Nếu cho dạng toàn phương mà khơng nhắc tới sở 349 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta cịn có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (khơng thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải tốn mà khơng vào chứng minh chi tiết 382 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta cịn có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (không thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải tốn mà khơng vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng tồn phương q khơng gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: 382 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta cịn có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (không thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải tốn mà khơng vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng tồn phương q khơng gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: (1) q xác định dương ⇔ D − i > 0; i = 1, n; 382 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta cịn có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (khơng thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải toán mà không vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng tồn phương q khơng gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: (1) q xác định dương ⇔ D − i > 0; i = 1, n; (2) q xác định âm ⇔ D1 , D2 , , Dn đan dấu D1 < 0; (tức D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, , (−1)n Dn > 0) 382 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta cịn có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (khơng thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải tốn mà khơng vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng tồn phương q khơng gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: (1) q xác định dương ⇔ D − i > 0; i = 1, n; (2) q xác định âm ⇔ D1 , D2 , , Dn đan dấu D1 < 0; (tức D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, , (−1)n Dn > 0) 382 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tuy nhiên, để nhận biết tính xác định âm hay dương ta cịn có tiêu chuẩn dựa vào ma trận q sở tuỳ ý (khơng thiết q - tắc) Đó tiêu chuẩn Sylvester Ta thừa nhận tiêu chuẩn áp dạng kết vào giải tốn mà khơng vào chứng minh chi tiết Theorem 4.1 (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng tồn phương q khơng gian vectơ Rn A = (aij )n ∈ Mn (R) ma trận q sở β Rn Gọi D1 , D2 , , Dn n định thức A (các định thức cấp từ đến n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm đường chéo A) Khi đó: (1) q xác định dương ⇔ D − i > 0; i = 1, n; (2) q xác định âm ⇔ D1 , D2 , , Dn đan dấu D1 < 0; (tức D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, , (−1)n Dn > 0) 382 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 4.1 Đưa dạng toàn phương ba biến thực sau dạng chuẩn tắc: q(x, y, z) = 2x2 + 8xy + 4xz + 9y + 12yz + 9z ; ∀(x, y, z) ∈ R3 Từ xác định số qn tính q Hỏi q có xác định dương hay khơng? 383 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 4.1 Đưa dạng toàn phương ba biến thực sau dạng chuẩn tắc: q(x, y, z) = 2x2 + 8xy + 4xz + 9y + 12yz + 9z ; ∀(x, y, z) ∈ R3 Từ xác định số qn tính q Hỏi q có xác định dương hay khơng? Giải: Sử dụng thuật tốn Lagrange ta có: q(x, y, z) = 2[x2 + 2x(2x + z) + (2x + z)2 ] − 2(2x + z)2 + 9y + 12yz + 9z = 2(x + 2y + z)2 + y + 4yz + 7z , = 2(x + 2y + z)2 + (y + 4yz + 4z ) + 3z , = 2(x + 2y + z)2 + (y + 2z)2 + 3z 383 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 4.1 Đưa dạng toàn phương ba biến thực sau dạng chuẩn tắc: q(x, y, z) = 2x2 + 8xy + 4xz + 9y + 12yz + 9z ; ∀(x, y, z) ∈ R3 Từ xác định số quán tính q Hỏi q có xác định dương hay khơng? Giải: Sử dụng thuật tốn Lagrange ta có: q(x, y, z) = 2[x2 + 2x(2x + z) + (2x + z)2 ] − 2(2x + z)2 + 9y + 12yz + 9z = 2(x + 2y + z)2 + y + 4yz + 7z , = 2(x + 2y + z)2 + (y + 4yz + 4z ) + 3z , = 2(x + 2y + z)2 + (y + 2z)2 + 3z 383 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Xét phép đổi biến    x′ = x + 2y +   y′ =     z′ = y z, + 2z, ⇔ z,    x = x′ − 2y ′ + 3z ′ ,   y =    z = Lúc q có dạng tắc: q(x′ , y ′ , z ′ ) = 2x′2 + y ′2 + 3z ′2 384 y′ − 2z ′ , z′ Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Xét phép đổi biến       x′ = x + 2y + z, x = x′ − 2y ′ + 3z ′ ,     y′ = y + 2z, ⇔ y = y ′ − 2z ′ ,        z′ = z = z, z′ Lúc q có dạng tắc: q(x′ , y ′ , z ′ ) = 2x′2 + y ′2 + 3z ′2 Lại đổi biến:  √ ′   X = 2x   Y =    Z = y′    x = ,   , ⇔ y =    ′ z = z, 384 √1 x − 2Y + y − √ 3Z, √2 Z, √1 Z Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Ta có dạng chuẩn tắc q q(X, Y, Z) = X + Y + Z Như q có số dương quán tính s = 3, số âm quán tính t = Do q xác định dương 385 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Ta có dạng chuẩn tắc q q(X, Y, Z) = X + Y + Z Như q có số dương quán tính s = 3, số âm quán tính t = Do q xác định dương Example 4.2 Dùng tiêu chuẩn Sylvester kiểm tra tính xác định dương dạng toàn phương q(x, y, z) = 2x2 + 8xy + 4xz + 9y + 12yz + 9z ; ∀(x, y, z) ∈ R3 Giải: Ma trận q sở tắc       A =  6   385 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Các định thức A D1 = > 0, D2 = > 0, D3 = > Vậy q xác định dương 386 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân THE END 387 ... với dạng toàn phương q Rn , tồn sở q - tắc Rn Điều có nghĩa dạng toàn phương đưa dạng tắc 360 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Phương pháp đưa dạng tồn phương dạng tắc 361 Đại. .. Dạng tắc dạng tồn phương 359 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §2 : DẠNG CHÍNH TẮC CỦA DẠNG TỒN PHƯƠNG Dạng tắc dạng tồn phương Giống tốn tử tuyến tính, dạng tồn phương q Rn biểu.. .Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương IV DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRÊN RN §1 DẠNG TOÀN PHƯƠNG Các khái niệm Definition 1.1 (Dạng tồn phương) Trong khơng gian vectơ Rn cho

Ngày đăng: 25/12/2022, 09:19