ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH §8: KHƠNG GIAN VECTO Pham Thanh Tung-3I-SEE-K64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bài giảng Đại số tuyến tính, thầy Bùi Xn Diệu [2] “Tốn cao cấp” tập - GS.TS Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), PGS.TS Trần Việt Dũng, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, PGS.TS Trần Xuân Hiển [3] “Bài tập Toán cao cấp” tập - GS.TS Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), PGS.TS Trần Việt Dũng, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, PGS.TS Trần Xuân Hiển [4] Sách “Giúp ơn tập tốt Tốn Cao Cấp: Đại số tuyến tính”, thầy Tống Đình Quỳ, thầy Nguyễn Cảnh Lương [5] “Phương pháp giải tập toán cao cấp”, tập 1, Bài tập Đại số, thầy Nguyễn Cảnh Lương, thầy Nguyễn Văn Nghị [6] “Bài tập Toán cao cấp” tập - GS.TS Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đinh, Nguyễn Hồ Quỳnh Pham Thanh Tung-3I-SEE TÀI LIỆU THAM KHẢO [7] Bộ đề thi môn Đại số tuyến tính năm Trường ĐH Bách Khoa HN [8] Đề cương mơn Đại số tuyến tính Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội Pham Thanh Tung-3I-SEE KỸ NĂNG CẦN NẮM VỮNG • Biến đổi ma trận bậc thang • Biện luận hạng ma trận • Biện luận số nghiệm hệ phương trình • Tính định thức Pham Thanh Tung-3I-SEE KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG I Không gian vecto II Không gian vecto III Hệ sinh khơng gian vecto IV Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính V Cơ sở số chiều khơng gian vecto VI Tọa độ VII Bài tốn tìm số chiều sở khơng gian vecto VIII.Bài toán đổi sở Pham Thanh Tung-3I-SEE I Không gian vecto: Định nghĩa: Tập hợp 𝑉 ≠ ∅ gọi không gian vecto quy định hai phép tốn cộng vecto nhân vô hướng thỏa mãn điều kiện sau: 𝑎+𝑏 ∈𝑉 ➢ Tính đóng kín: Giả sử ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉 ቊ 𝑘 𝑎 ∈ 𝑉 (𝑘 ∈ 𝑅) ➢ Phép cộng thỏa mãn: Với 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑉 • 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) • 𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎 • ∃0 ∈ 𝑉: + 𝑎 = 𝑎 • ∀𝑎 ∈ 𝑉, ∃𝑎′ ∈ 𝑉: 𝑎 + 𝑎′ = ➢ Phép nhân vô hướng thỏa mãn: Với 𝑘, 𝑘 ′ ∈ 𝑅 • 𝑘 𝑎 + 𝑏 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 • 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑎 = 𝑘𝑎 + 𝑘 ′ 𝑎 • 𝑘 𝑘 ′ 𝑎 = 𝑘 𝑘 ′ 𝑎 • 𝑎 = 𝑎 (∀𝑎 ∈ 𝑉) Pham Thanh Tung-3I-SEE I Không gian vecto: Bài tập 1: Tập 𝑉 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅} với phép tốn kèm theo có KGVT hay không? 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ = (𝑥 + 𝑥 ′ , 𝑦 + 𝑦 ′ , 𝑧 + 𝑧 ′ ) ቊ 𝑘 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 𝑥, 𝑘 𝑦, 𝑘 𝑧 (𝑘 ∈ 𝑅) Bài tập 2: Tập 𝑉 = 𝑥1 , 𝑥2 𝑥1 > 0; 𝑥2 > 0} với phép tốn kèm theo có KGVT hay không? 𝑥1 , 𝑥2 + 𝑦1 , 𝑦2 = (𝑥1 𝑦1 , 𝑥2 𝑦2 ) ൝ 𝑘 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥1 𝑘 , 𝑥2 𝑘 (𝑘 ∈ 𝑅) Pham Thanh Tung-3I-SEE I Không gian vecto: Bài tập 1: Giải Kiểm tra phép nhân: Giả sử 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉; 𝑘, 𝑘 ′ ∈ 𝑅 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑥, 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑦, 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑧 𝑘 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑘 ′ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = = ➢ Phép nhân vô hướng • 𝑘 𝑎 + 𝑏 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 • 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑎 = 𝑘𝑎 + 𝑘 ′ 𝑎 • 𝑘 𝑘 ′ 𝑎 = 𝑘 𝑘 ′ 𝑎 • 𝑎 = 𝑎 (∀𝑎 ∈ 𝑉) 𝑘 𝑥, 𝑘 𝑦, 𝑘 𝑧 + 𝑘 ′ 𝑥, 𝑘 ′ 𝑦, 𝑘 ′ 𝑧 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑥, 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑦, 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑧 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≠ 𝑘 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑘 ′ 𝑥, 𝑦, 𝑧 (Do 𝑘 + 𝑘 ′ ≠ 𝑘 + 𝑘 ′ ) Tập 𝑉 phép toán cho không tạo thành KGVT Pham Thanh Tung-3I-SEE I Không gian vecto: ➢ Một số không gian vecto thường gặp: • Tích Đề-Các: 𝑅𝑛 = 𝑥1 , 𝑥2 , , 𝑥𝑛 | 𝑥1 , 𝑥2 , , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅 • Tập hợp đa thức có bậc nhỏ 𝑛 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ∈ 𝑅 • Tập hợp ma trận cỡ ì : ì ã Tp hp cỏc ma trn vuông cấp 𝑛: 𝑀𝑛 Pham Thanh Tung-3I-SEE II Không gian vecto con: • Định nghĩa: Với ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑊; 𝑘 ∈ 𝑅, 𝑊 KGVT 𝑉 xảy 𝑊 ⊂ 𝑉, 𝑊 ≠ ∅ Tập hợp ൝ 𝑎+𝑏 ∈𝑊 𝑘𝑎 ∈ 𝑊 Pham Thanh Tung-3I-SEE VII Bài tốn tìm số chiều sở không gian vecto Bài tập 1: Tìm sở số chiều khơng gian nghiệm hệ sau 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = ቐ 2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 + 5𝑥4 = −𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 + 6𝑥4 = Bài tập 2: Tìm 𝑎, 𝑏 để khơng gian nghiệm hệ sau có số chiều 1: 𝑏𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = ൞ + 2𝑏 𝑥 + 𝑎 + 𝑦 + 2𝑧 = 2𝑏 − 𝑥 + 𝑎 + 𝑦 + 𝑧 = 75 VII Bài tốn tìm số chiều sở không gian vecto Bài tập 1: Giải: −1 1 −1 1 −1 𝐴ҧ = −1 → −5 → −5 −1 0 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴ҧ = < ⇒ Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào tham số 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = Hệ ban đầu ⇔ ቐ −5𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 = 𝑥3 + 2𝑥4 = 76 VII Bài tốn tìm số chiều sở không gian vecto Bài tập 1: Giải: (Tiếp) 𝑥1 = −𝑡 𝑥2 = −𝑡 Đặt 𝑥4 = 𝑡 𝑡 ∈ 𝑅 ⇒ ⇒ 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥2 = 𝑡 −1, −1, −2,1 𝑥3 = −2𝑡 𝑥4 = 𝑡 ⇒ Không gian nghiệm hệ 𝑆 = 𝑡 −1, −1, −2,1 𝑡 ∈ 𝑅} ⇒ 𝑆 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 −1, −1, −2,1 Dễ thấy hệ −1, −1, −2,1 ⇒ Một sở 𝑆 độc lập tuyến tính −1, −1, −2,1 , dim 𝑆 = 77 VII Bài tốn tìm số chiều sở không gian vecto Bài tập 2: Giải: Gọi 𝑆 không gian nghiệm hệ Để dim 𝑆 = ⇔ 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴ҧ = 𝑏 1 𝐴ҧ = + 2𝑏 𝑎 + → 2𝑏 − 𝑎 + 1 𝑎−1 Để 𝑟 𝐴 = ⇔ 𝑎+5 𝑎+2 𝑏 1 + 2𝑏 → ⋯ → 2𝑏 − 𝑎−1 𝑏 𝑏−2 𝑎=1 =0⇔ 𝑎−1 𝑏−2 =0⇔ቈ 𝑏−2 𝑏=2 𝑎=1 Vậy với ቈ khơng gian nghiệm hệ sau có số chiều 𝑏=2 78 VII Bài tốn tìm số chiều sở không gian vecto Bài tập (Cuối kỳ 20201): Ký hiệu 𝑄 tập nghiệm hệ phương trình 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = ቐ 2𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑝𝑥3 + 5𝑥4 = −2𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑞𝑥4 = Với 𝑝, 𝑞 tham số Chứng minh 𝑄 không gian 𝑅4 Tìm 𝑝, 𝑞 để dim 𝑄 = (Đáp án: 𝑞 ≠ 6, 𝑝 ∈ 𝑅) 79 VIII Bài toán đổi sở: ➢ Bài tốn: Trong khơng gian vecto 𝑛 chiều 𝑉, giả sử 𝑉 có sở 𝑆 = {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } 𝑐1 𝑐2 ′ ′ ′ ′ 𝑆 = 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 , tọa độ vecto 𝑢 sở 𝑆, kí hiệu [𝑢]𝑆 = ⋮ 𝑐𝑛 Vậy từ [𝑢]𝑆 tìm [𝑢]𝑆 ′ khơng? Liệu [𝑢]𝑆 [𝑢]𝑆 ′ có mối quan hệ khơng? 80 VIII Bài tốn đổi sở: ➢ Cách làm: • Để tìm [𝑢]𝑆 ′ thơng qua [𝑢]𝑆 sử dụng công thức liên hệ: 𝑢 𝑆 = 𝑃 𝑢 𝑆′ Với 𝑃 gọi ma trận chuyển từ sở 𝑆 sang sở 𝑆 ′ 𝑃 = 𝑣′1 𝑆 𝑣′2 𝑆… 𝑣′𝑛 𝑆 • Nếu 𝑃 ma trận chuyển từ sở 𝑆 sang 𝑆 ′ 𝑃−1 ma trận chuyển từ sở 𝑆 ′ sang 𝑆 81 VIII Bài toán đổi sở: Bài tập 1: Trong khơng gian 𝑅3 , tìm ma trận chuyển sở từ sở 𝐵1 = 𝑢1 = 1, −1,2 , 𝑢2 = 1,0, −2 , 𝑢3 = 1, −1,1 sang sở 𝐵2 = {𝑣1 = 2, −1,3 , 𝑣2 = 3,2,1 , 𝑣3 = −2,1,2 } Bài tập 2: (Đề thi Cuối kỳ K58) Trong khơng gian 𝑃2 𝑥 cho sở tắc 𝐸 = 1; 𝑥; 𝑥 sở 𝑆 = 1,4 − 𝑥, + 𝑥 Tìm ma trận chuyển sở từ 𝐸 sang 𝑆 ma trận chuyển sở từ 𝑆 sang 𝐸 82 VIII Bài toán đổi sở: Bài tập 1: 𝐵1 = 𝑢1 = 1, −1,2 , 𝑢2 = 1,0, −2 , 𝑢3 = 1, −1,1 𝐵2 = {𝑣1 = 2, −1,3 , 𝑣2 = 3,2,1 , 𝑣3 = −2,1,2 } Giải: Ma trận chuyển sở 𝑃 = [𝑣1 ]𝐵1 [𝑣2 ]𝐵1 [𝑣3 ]𝐵1 𝑣1 = 𝑎𝑢1 + 𝑏𝑢2 + 𝑐𝑢3 ⇔ 2, −1,3 = 𝑎 1, −1,2 + 𝑏 1,0, −2 + 𝑐 1, −1,1 𝑎=4 𝑎+𝑏+𝑐 =2 ⇔ ቐ −𝑎 − 𝑐 = −1 ⇔ ൝ 𝑏 = ⇒ [𝑣1 ]𝐵1 = 𝑐 = −3 −3 2𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 83 VIII Bài toán đổi sở: Bài tập 1: Giải: (Tiếp) 𝑣2 = 𝑎𝑢1 + 𝑏𝑢2 + 𝑐𝑢3 ⇔ 3,2,1 = 𝑎 1, −1,2 + 𝑏 1,0, −2 + 𝑐 1, −1,1 𝑎 = 13 𝑎+𝑏+𝑐 =3 13 ⇔ ቐ −𝑎 − 𝑐 = ⇔ ൝ 𝑏 = ⇒ [𝑣2 ]𝐵1 = 2𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 𝑐 = −15 −15 𝑣3 = 𝑎𝑢1 + 𝑏𝑢2 + 𝑐𝑢3 ⇔ −2,1,2 = 𝑎 1, −1,2 + 𝑏 1,0, −2 + 𝑐 1, −1,1 𝑎=1 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −2 ⇔ ቐ −𝑎 − 𝑐 = ⇔ ൝𝑏 = −1 ⇒ [𝑣3 ]𝐵1 = −1 2𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 𝑐 = −2 −2 84 VIII Bài toán đổi sở: Bài tập 1: Giải: (Tiếp) Ma trận chuyển sở từ sở từ 𝐵1 sang 𝐵2 𝑃 = [𝑣1 ]𝐵1 [𝑣2 ]𝐵1 [𝑣3 ]𝐵1 = −3 13 −1 −15 −2 85 VIII Bài toán đổi sở: Bài tập 2: 𝐸 = 1; 𝑥; 𝑥 , 𝑆 = 1,4 − 𝑥, + 𝑥 Giải: Ma trận chuyển sở từ 𝐸 → 𝑆: 𝑃 = [1]𝐸 [4 − 𝑥]𝐸 [ + 𝑥 ]𝐸 Ma trận chuyển sở từ 𝑆 → 𝐸: 𝑃−1 = 0 = −1 0 4 −1 −20 86 VIII Bài toán đổi sở: ❖Đặc biệt: Cách viết nhanh ma trận chuyển sở 𝑃 từ sở tắc 𝐸 = 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , … sang sở 𝑆 = 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , … , 𝑢𝑛 là: 𝑃 = 𝑢1 𝑢2 𝑢3 … 𝑢𝑛 Với 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , … , 𝑢𝑛 tọa độ vecto 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , … 𝑢𝑛 viết theo cột 87 HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 88 THANK YOU ! 89 ... luận số nghiệm hệ phương trình • Tính định thức Pham Thanh Tung-3I-SEE KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG I Không gian vecto II Không gian vecto III Hệ sinh không gian vecto IV Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến. .. ,