Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 2 - Nguyễn Phương

Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa; Các phương pháp tính định thức; Các tính chất của định thức; Hạng của ma trận; Ma trận nghịch đảo; Phương trình ma trận. Mời các bạn cùng tham khảo!

BÀI ĐỊNH THỨC Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Cho A ma trận vng cỡ n × n Mij ma trận vng cấp (n − 1) × (n − 1) có từ cách bỏ dịng i cột j ma trận A Định thức ma trận A xác định sau: det(A) = a11 a11 A11 + a12 A12 + · · · + a1n A1n nếun = n > Aij = (−1)i+j det(Mij ) Với ma trận A = (aij )n×n , det(A) thường viết sau: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n an1 an2 · · · ann Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 18 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Các phương pháp tính định thức Cách tính định thức ma trận cỡ n ≤ a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a21 a12 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) − a31 a32 a33 (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12 ) Quy tắc Sarrus - Áp dụng cho định thức cấp Nguyễn Phương (BUH) + a11 + a12 + a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 − a32 − a33 − a31 a32 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 19 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Các phương pháp tính định thức Ví dụ 2.1 −1 = × (−1) − × = −9 Ví dụ 2.2 −7 −2 Nguyễn Phương (BUH) = − −7 −2 + ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH − − = 48 −2 + + Ngày 24 tháng 10 năm 2022 20 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Các phương pháp tính định thức Ví dụ 2.3 Giải phương trình sau: 1 m m m 1 = Lời giải: Ta có 1 m m m 1 = − − 1 m 1 + m 1 m m m − + = −m + 3m − + Theo ycbt, ta có −m + 3m − = ⇐⇒ m = −2 ∨ m = Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 21 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Các phương pháp tính định thức Khai triển Laplace - Áp dụng cho định thức cấp n Cho A = (aij )n×n ma trận vng cấp n Ta có d det(A) =i ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain cj det(A) = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj , Aij = (−1)i+j det(Mij ) Ví dụ 2.4.  −3 −2  Khai triển Laplace theo dòng 1, ta Cho A =  4 có A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = (−3) − (−2) 4 +4 10 năm 2022 = −3(3 · − · 2) + 2(4 · − · 0) + 4(4 22 · 2/ 141 −Ngày ·240)tháng = 34 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Nguyễn Phương (BUH) BÀI ĐỊNH THỨC Các phương pháp tính định thức Ví dụ 2.5.  −3 −2  Khai triển Laplace theo dòng 2, ta Cho A =  4 có A = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 = −4 −2 4 +3 −3 4 − −3 −2 = 34 Ví dụ 2.6.  −3 −2  Khai triển Laplace theo cột 3, ta có Cho A =  4 A = a13 A13 + a23 A23 + a33 A33 =4 Nguyễn Phương (BUH) − −3 −2 +4 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH −3 −2 = 34 Ngày 24 tháng 10 năm 2022 23 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Các tính chất định thức Các phép biến đổi sơ cấp dòng/ cột ma trận di ↔dj P1: Hoán vị dòng i (cột i) dòng j (cột j): A −−−−→ B ci ↔cj (A −−−→ B) d →λd i P2: Nhân dòng i (cột i) với số λ ̸= 0: A −−i−−−→ B c →λc i i (A −− −−→ B) P3: Nhân dòng j (cột j) với số λ cộng dòng i (cột i): di →di +λdj ci →ci +λcj A −−−−−−−→ B (A −−−−−−→ B) Ví dụ 2.7     1 −1  d1 ↔ d3   A= −−−−−−→ −1   −1 d2 → d2 − 2d1 0 0 −− −−−−−−−−−→ 024 / 141 Ngày124 tháng 10 năm 2022 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BÀI ĐỊNH THỨC Các tính chất định thức Ví dụ 2.8   Đưa ma trận  −1  dạng bậc thang 0 Ta có     3  −1  d2 −→ d2 + d1  5  −−−−−−−−−−−→ 0 0 Ví dụ 2.9   Đưa ma trận   −2 −1 Nguyễn Phương (BUH)  −2 −1   dạng bậc thang 0  ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 25 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Ta có     −2 −1 Các tính chất định thức   −2   −1  d ←→ d  2 0 −−−−−−−−−−−−→  0 −2 −1  d2 → d2 − 2d1 −−−−−−−−−−−−−→  −5 d3 → d3 − 6d1   −18 d4 → d2 + 2d2 0   −5 d3 → 5d3 − 18d2  −−−−−−−−−−−−−→  0 0   −5 d4 → 18d4 + d3  −−−−−−−−−−−−−→  0 0 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH  −1 −2   0   −1    −1  −1   −108 30  −1  −1   −108 30  Ngày 24 tháng12 10 năm 2022 26 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Các tính chất định thức Các phép biến đổi sơ cấp định thức Cho A ma trận vuông cỡ n A′ ma trận tương ứng với A thực phép biến đổi sơ cấp dòng (hoặc cột) Khi đó, P1: Hốn vị dịng/cột làm định thức đổi dấu: det(A) = − det(A′ ) P2: Nhân dòng/cột với số λ ̸= làm định thức biến đổi gấp λ lần: det(A) = det(A′ ) λ P3: Nhân dòng/cột với số λ cộng vào dịng/cột khác khơng làm định thức thay đổi: det(A) = det(A′ ) Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 27 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Hạng ma trận Định nghĩa 2.2 Hạng ma trận A số tự nhiên r, ≤ r ≤ min{n, m} thỏa mãn điều kiện sau: Tồn định thức cấp r A khác Mọi định thức cấp lớn r (nếu có) A Nói cách khác, hạng ma trận A cấp cao ma trận A cho tồn ma trận cấp có định thức khác Ví dụ 2.17 Ta có rank(A) ≤ tồn ma trận cấp 2: A1,2;2,3 = có |A1,2;2,3 | = − ̸= nên rank(A) = Tính hạng ma trận sau: A = Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 33 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Hạng ma trận Ví dụ 2.18   −3  Tính hạng ma trận sau: A =  −1 1 −6 Ta có −1 1 = −3 −1 1 −6 =0 −3 1 −6 =0 1 −3 −1 1 −6 = Do −1 Nguyễn Phương (BUH) = ̸= =⇒ r(A) = ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 34 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Hạng ma trận Định lý 2.6 Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận Ma trận bậc thang theo dịng có hạng số dịng khác khơng Để xác định hạng ma trận A ta Biến đổi A ma trận bậc thang B phép biến đổi sơ cấp Đếm số dòng khác ma trận bậc thang B Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 35 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Hạng ma trận Ví dụ 2.19 Tìm hạng ma trận sau :   1 −1  A= 1 −5 Lời giải: Áp A, ta  A= dụng phép biến đổi sơ cấp dòng   −1 1 d2 → d2 − 2d1  −−−−−−−−−−−→ −5  d3 → d3 + d2  −−−−−−−−−−−−→  −1 −1 −8  −5  −1 −5  0 Ta thấy số dòng khác ma trận bậc thang 2, suy r(A) = Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 36 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Hạng ma trận Ví dụ 2.20   1 m Cho ma trận A =  m  Xác định m để r(A) = m 1 Lời giải: Áp dụng phép biến đổi sơ cấp dòng A, ta     1 m 1 m d2 → d2 − d1 A =  m  −−−−−−−−−−→  m − 1 − m  m 1 d3 → d3 − md1 − m − m2   1 m d3 → d3 + d2  m − 1−m  −−−−−−−−−−→ 0 − m − m2 Theo ycbt, ta có r(A) = ⇐⇒ Nguyễn Phương (BUH) m −1=0 − m − m2 = ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ⇐⇒ m = Ngày 24 tháng 10 năm 2022 37 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Hạng ma trận Tính chất 2.1 Hạng ma trận A không đổi qua phép biến đổi sau: Phép chuyển vị ma trận Tức r(A) = r(AT ), Các phép biến đổi sơ cấp dòng cột Bỏ dòng cột gồm toàn số Bỏ dịng cột tổ hợp tuyến tính dịng hay cột khác Ví dụ 2.21 Biện luận hạng ma trận   λ  A= −1 theo tham số λ Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 38 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Hạng ma trận Lời giải: Ta xét    λ  c1 ←→ c3  A= −−−−−−−→ −1  d2 → d2 − d1 −−−−−−−−−−→  d3 → d3 − 2d1  d3 → 4d3 + d2 −−−−−−−−−−−→  d3 → d3 − 2d1  λ  −1  λ 3−λ  0 −1 − 2λ  λ 3−λ  0 − 9λ r(A) = Nếu − 9λ = ⇐⇒ λ = r(A) = Nếu − 9λ ̸= ⇐⇒ λ ̸= Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 39 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Ma trận nghịch đảo Định nghĩa 2.3 Cho A ma trận vuông Ma trận B gọi ma trận nghịch đảo A AB = BA = In Ma trận A gọi ma trận khả đảo/ma trận khả nghịch Ví dụ 2.22 −1 ma trận nghịch đảo A = Bây giờ, ta tính AB BA Ma trận B = AB = 1 BA = −1 1 −1 1 = 0 1 1 = 0 Do AB = I2 = BA, nên B ma trận nghịch đảo A Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1 Ngày 24 tháng 10 năm 2022 40 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Ma trận nghịch đảo Ví dụ 2.23 Cho A = 0 khơng có ma trận nghịch đảo Gọi B = a b 0 a b 0 Ta có AB = = c d c d a + 3c b + 3d Vì AB có dịng Do đó, AB ̸= I2 với B Tính chất 2.2 I ma trận khả nghịch I −1 = I Nếu A ma trận khả nghịch A−1 Nếu A B ma trận khả nghịch −1 = A (AB)−1 = B−1 A−1 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 41 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Ma trận nghịch đảo Nếu A1 , A2 , , Ak ma trận khả nghịch A1 A2 · · · Ak , (A1 A2 · · · Ak )−1 = Ak−1 · · · A2−1 A1−1 Nếu A ma trận khả nghịch Ak với k ≥ Ak −1 = A−1 Nếu A ma trận khả nghịch a ̸= số thực, aA ma trận khả nghịch (aA)−1 = k −1 A a Nếu A ma trận khả nghịch có ma trận chuyển AT AT Nguyễn Phương (BUH) −1 = A−1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH T Ngày 24 tháng 10 năm 2022 42 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Ma trận nghịch đảo Định lý 2.7 Cho A ma trận vuông cỡ n Nếu A ma trận khả nghịch A−1 = adj(A) det(A) ma trận liên hợp adj(A) xác định sau:    adj(A) =   A11 A12 · · · A1n A21 A22 · · · A2n An1 An2 · · · Ann T       =   A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 A1n A2n · · · Ann      Aij = (−1)i+j det(Mij ) Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 43 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Ma trận nghịch đảo Ví dụ 2.24   −1 Cho A =  −1   −1    −1 adj(A) =   −   −1 −1  −3 = Vì det(A) = −2 =⇒ A−1 Nguyễn Phương (BUH) Ta có −1 0 1 −1 1 − 1 1 −1 − 0 −1 T   −3 −1  =   −1 −1 −1   −3 1  =−  −1 −1 3 − ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH T        Ngày 24 tháng 10 năm 2022 44 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Ma trận nghịch đảo Định lý 2.8 Ma trận vuông A khả nghịch det A ̸= Ví dụ 2.25   m +1 m +  Tìm m để A ma trận Cho ma trận A =  2m khả nghịch Lời giải: Ta có det(A) = m +1 m +2 2m − − m +1 + 2m − m +2 + + Theo ycbt, ta có det(A) = −3(m + 2)(m − 1) ̸= ⇐⇒ m = −2 ∧ m = −1 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 45 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Ma trận nghịch đảo Xác định A−1 Casio 570 - Kích thước tối đa × Mode −→ −→ (1/2/3) −→ Chọn cỡ −→ Nhập phần tử −→ AC −→ Shift −→ −→ (3/4/5) −→ x −1 −→ = −→ KQ Xác định A−1 Casio 580- Kích thước tối đa × Menu −→ (1/2/3/4) −→ Nhập số dòng −→ Nhập số cột −→ Nhập phần tử −→ AC −→ OPTN −→ (3/4/5/6) −→ x −1 −→ = −→ KQ Ví dụ 2.26 Cho   A =  −2 −3    B= 1  0 Tính A−1 , B−1 (AB)−1 Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 46 / 141 BÀI ĐỊNH THỨC Phương trình ma trận Cho a b hai số thực cho a ̸= Xét phương trình sau: b ax = b Khi nghiệm phương trình x = = a −1 b a Nếu A B hai ma trận nghiệm phương trình B AX = B X = − =⇒ SAI ? sao? A Cho A = (aij )n×n khả nghịch: AX = B ⇔ X = A−1 B Cho A = (aij )n×n khả nghịch: XA = B ⇔ X = BA−1 Cho A = (aij )n×n , B = (bij )m×m khả nghịch: AXB = C ⇔ X = A−1 CB−1 Ví dụ 2.27 Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận: −6 a) X= 1   −2 −1 b) X  −1  = Nguyễn Phương (BUH) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 24 tháng 10 năm 2022 47 / 141 ... ··· Ví dụ 2. 16 sin2 x cos2 x sin2 x Nguyễn Phương (BUH) + cos2 x sin2 x cos2 x = ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH cos2 x + sin2 x sin2 x + cos2 x cos2 x + sin2 x =6 Ngày 24 tháng 10 năm 20 22 32 / 141 BÀI ĐỊNH... a 32 a33 (a31 a 22 a13 + a 32 a23 a11 + a33 a21 a 12 ) Quy tắc Sarrus - Áp dụng cho định thức cấp Nguyễn Phương (BUH) + a11 + a 12 + a13 a11 a 12 a21 a 22 a23 a21 a 22 a31 − a 32 − a33 − a31 a 32 ĐẠI SỐ...BÀI ĐỊNH THỨC Các phương pháp tính định thức Cách tính định thức ma trận cỡ n ≤ a11 a 12 a21 a 22 = a11 a 22 − a21 a 12 a11 a 12 a13 a21 a 22 a23 = (a11 a 22 a33 + a 12 a23 a31 + a13 a21 a 32 ) −