Tập bài giảng đại số tuyến tính 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phạm Thanh Tâm (chủ biên) Trần Thị Vân Anh TẬP BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Lưu hành nội bộ) HÀ NỘI - NĂM 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phạm Thanh Tâm (chủ biên) Trần Thị Vân Anh TẬP BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Tài liệu dùng cho sinh viên hệ sư phạm Toán trường ĐHSP Hà Nội 2) HÀ NỘI - NĂM 2016 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất 1.1.3 Ví dụ 1.1.4 Các phép toán ánh xạ tuyến tính 10 1.1.5 Không gian ánh xạ tuyến tính 11 1.2 ĐỊNH LÝ VỀ SỰ XÁC ĐỊNH VÀ MA TRẬN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 12 1.2.1 Định lý xác định ánh xạ tuyến tính 12 1.2.2 Đồng cấu tuyến tính 14 1.2.3 Định lý đẳng cấu tuyến tính 15 1.2.4 Ma trận ánh xạ tuyến tính 16 1.2.5 Biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính 16 1.2.6 Định lý tương ứng ánh xạ tuyến tính ma trận 18 1.2.7 Tích ánh xạ tuyến tính 19 1.3 HẠT NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 22 1.3.1 Tính chất ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính 22 1.3.2 Định lý điều kiện tương đương đơn cấu tuyến tính 23 1.3.3 Định lý đồng cấu tuyến tính không gian vectơ 26 1.3.4 Ma trận đổi sở tự đồng cấu tuyến tính 28 BÀI TẬP 34 TÓM TẮT CÁC BÀI GIẢNG CHƯƠNG 50 VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ TOÁN HỌC 51 CHƯƠNG CẤU TRÚC CỦA TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH 54 2.1 VECTƠ RIÊNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG 54 2.1.1 Không gian véc tơ bất biến 54 2.1.2 Giá trị riêng véc tơ riêng 55 2.1.3 Thuật toán tìm véc tơ riêng giá trị riêng 56 2.2 KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN CỦA CÁC TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH THỰC VÀ PHỨC 60 2.2.1 Không gian véc tơ bất biến 60 2.2.2 Ma trận tự đồng cấu tuyến tính ứng với không gian bất biến 62 2.2.3 Ví dụ 64 2.3 TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH CHÉO HÓA ĐƯỢC 66 2.3.1 Tự đồng cấu tuyến tính chéo hóa 66 2.3.2 Tiêu chuẩn chéo hóa 67 2.4 TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH LŨY LINH 72 2.4.1 Khái niệm tự đồng cấu tuyến tính lũy linh 72 2.4.2 Tính chất 72 BÀI TẬP 74 TÓM TẮT CÁC BÀI GIẢNG CHƯƠNG 83 VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ TOÁN HỌC 84 CHƯƠNG DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG 86 3.1 ÁNH XẠ ĐA TUYẾN TÍNH 87 3.1.1 Khái niệm ánh xạ đa tuyến tính 87 3.1.2 Tính chất 88 3.2 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG 97 3.2.1 Khái niệm dạng song tuyến tính dạng toàn phương 97 3.2.2 Ma trận dạng song tuyến tính 98 3.3 ĐƯA BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHUẨN TẮC 102 3.3.1 Định nghĩa dạng tắc 102 3.3.2 Sự tồn dạng chuẩn tắc dạng toàn phương 102 3.4 HẠNG VÀ HẠCH CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG 106 3.4.1 Hạng hạch dạng toàn phương 106 3.4.2 Tính chất 107 3.5 CHỈ SỐ QUÁN TÍNH CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG 110 3.5.1 Định nghĩa 110 3.5.2 Định lý phân loại số quán tính Sylvester 110 3.5.3 Điều kiện cần đủ cho dạng toàn phương xác định dương xác định âm 113 BÀI TẬP 117 TÓM TẮT CÁC BÀI GIẢNG CHƯƠNG 120 VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ TOÁN HỌC 121 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLID 122 4.1 TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLID 123 4.1.1 Không gian véc tơ Euclid 123 4.1.2 Tính chất 123 4.2 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRỰC GIAO 132 4.2.1 Định nghĩa 132 4.2.2 Tính chất 132 4.3 TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH ĐỐI XỨNG 142 4.3.1 Định nghĩa 142 4.3.2 Tính chất 142 BÀI TẬP 152 TÓM TẮT CÁC BÀI GIẢNG CHƯƠNG 162 VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ TOÁN HỌC 163 TÀI LIỆU THAM KHẢO 164 LỜI NÓI ĐẦU Ở thời đại chúng ta, khoa học kĩ thuật phát triển vũ bão Chúng đòi hỏi ngành giáo dục phải luôn đổi kịp thời để đáp ứng nhu cầu tri thức khoa học thiếu niên, giúp họ có khả lao động sáng tạo sống sôi động Hiện chương trình sách giáo khoa bậc phổ thông nước ta bắt đầu thay đổi để phù hợp với đòi hỏi Trường ĐHSP Hà Nội 2, nôi đào tạo giáo viên THPT cho nước, cần phải có đổi tương ứng chương trình đào tạo, sách giáo trình, tập giảng tài liệu tham khảo Vì mục đích đó, tập giảng Đại số tuyến tính đời nhằm mục đích thay cho sách giáo trình cũ Tập giảng Đại số tuyến tính biên soạn lần này, không nằm khuôn khổ đổi Nó nhằm mục đích làm giảng tiêu chuẩn chung cho cán trường ĐHSP Hà Nội theo chương trình vừa qua Bộ GD ĐT, đòi hỏi phải đổi nội dung kiến thức (nếu cần) phương pháp giảng dạy giảng viên phương pháp học tập sinh viên Mặt khác, qua thời gian dài thực chương trình sách giáo trình cũ, đến đánh giá ưu, khuyết điểm nó, phù hợp với trình độ đầu vào sinh viên trường đại học sư phạm Do tập giảng biên soạn lần thừa hưởng ưu điểm khắc phục thiếu sót sách cũ Đối tượng sử dụng sách sinh viên giảng viên trường ĐHSP Hà Nội Tập giảng dùng cho trường Đại học Cao đẳng khác cho tất muốn tự học môn học (nếu có đồng ý trường ĐHSP Hà Nội 2) Cơ sở để nhóm tác giả lựa chọn nội dung tập giảng dựa thay đổi hình thức đào tạo trường ĐHSP Hà Nội 2, yêu cầu đầu trình độ đầu vào sinh viên trường ĐHSP Hà Nội năm gần Ngoài ra, nhóm tác giả ý đến tính đến vai trò môn học môn khoa học khác Giải tích, Hình học, Vật lý, Hoá học,v.v đáp ứng nhu cầu học tập liên ngành, tạo điều kiện cho người học tự học học lên cao Cụ thể, tập giảng phải trang bị cho người giáo viên toán tương lai trường THPT kiến thức cần thiết, đầy đủ vững vàng Đại số tuyến tính để giảng dạy tốt phần liên quan chương trình toán THPT Tuy nhiên, nội dung phương pháp trình bày nội dung lại phải phù hợp với trình độ nhận thức khả tiếp nhận sinh viên Mặt khác, tập giảng phải cung cấp đầy đủ kiến thức giúp người đọc tự học học môn khoa học khác nói trên; đồng thời đáp ứng mong muốn sinh viên có hoài bão nâng cao trình độ Vì thế, nội dung tập giảng chứa đựng điều mà sinh viên cần nắm vững, có phần không đòi hỏi sinh viên phải hiểu Cuốn sách gồm bốn chương: Chương I Trình bày khái niệm ánh xạ tuyến tính, xác định ánh xạ tuyến tính ma trận ánh xạ tuyến tính, cấu trúc ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính mối quan hệ ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính với hệ phương trình tuyến tính Chương II Trình bày giá trị riêng, véc tơ riêng không gian véc tơ bất biến Từ trình bày cấu trúc tự đồng cấu tuyến tính trường hợp chéo hóa lũy linh Tuy nhiên trường hợp tự đồng cấu lũy linh nhóm tác giả trình bày mức độ đơn giản Chương III Trình bày dạng song tuyến tính dạng toàn phương, đưa dạng toàn phương dạng chuẩn tắc, số quán tính Sylvester Các nội dung phần quan trọng lý thuyết dạng Đại số tuyến tính tổng quát, nội dung có ảnh hưởng sâu sắc đến vấn đề Hình học THPT, Hình học cao cấp, Phương trình vi phân Phương trình đạo hàm riêng Chương IV Trình bày tích vô hướng không gian véc tơ thực, không gian véc tơ Euclid, tự đồng cấu tuyến tính trực giao đối xứng cấu trúc chúng Đây nội dung đặc biệt quan trọng việc xây dựng Hình học Euclid sau Mỗi chương có phần mở đầu nêu lên yêu cầu cách học tập chương Cuối chương có phần tóm tắt đôi nét nội dung chương để bạn đọc có dịp ôn tập lại Phần tập có số lượng vượt yêu cầu chung đôi chút tác giả sách mong muốn giúp cho bạn đọc ham thích môn học có thêm hội rèn luyện kĩ Vì vậy, số đông sinh viên giảng viên cần dẫn cho họ cụ thể Tuy nhiên bạn đọc cố gắng giải nhiều tập tốt Để sử dụng tập giảng này, người học cần bổ sung kiến thức số phức, nghiệm phức đa thức mà chương trình Toán THPT chưa đề cập tới; cần có khái niệm cấu trúc đại số nhóm, vành, trường để tiện diễn đạt bắt nhịp với cách trình bày giáo trình; cần củng cố vững vàng kiến thức toán học bậc THPT Giáo trình học sau học phần Đại số tuyến tính 1, mà người học trang bị kiến thức Đại số tuyến tính tập hợp lôgic Khi giảng viên sử dựng tập giảng để giảng dạy giá, kết hợp nhiều hình thức thuyết trình giảng viên, hướng dẫn sinh viên tự đọc sách, tổ chức, semina, v.v Một điều mà tác giả muốn lưu ý thêm giảng viên là: tập giảng sử dụng để sinh viên tự học nên có nhiều chỗ phải đặt vấn đề dẫn dắt người học, có nhiều ví dụ Do giảng lớp, giảng viên nên lựa chọn điều cần thiết để có đủ thời gian truyền đạt kiến thức bản, phần lại dành cho sinh viên tự học Cũng nói trên, Đại số tuyến tính nói chung Đại số tuyến tính nói riêng có nhiều ứng dụng thực tế, sinh viên cần có kĩ vận dụng kiến thức kỹ tính toán Muốn việc thực hành sinh viên cần coi trọng cần lựa chọn hình thức giảng dạy thích hợp để đảm bảo việc học lý thuyết lớp thời gian cho việc giải tập sinh viên Đối với người học, học theo tập giảng này luôn có giấy bút tay để tự mô tả khái niệm dựa theo định nghĩa; tự chứng minh định lí sau tìm hiểu kĩ giả thiết kết luận; vận dụng khái niệm, định lí để tự trình bày ví dụ cho sách Cuối chương có phần tóm tắt, bạn đọc nên tận dụng để củng cố hệ thống lại kiến thức học chương Cũng cần nói thêm Đại số tuyến tính ngành khoa học cổ đại Những điều trình bày điều nhất, mở đầu Đại số tuyến tính trường số (mà chủ yếu trường số thực) Còn nhiều vấn đề nội dung chưa thể đề cập tới Cuối cùng, tác giả hi vọng tạp giảng đáp ứng đòi hỏi chương trình, mong muốn người dạy bạn đọc Tuy nhiên, tập giảng khó tránh khỏi hết khiếm khuyết Vì thế, tác giả mong nhận nhiều ý kiến bạn đọc để sửa chữa sai sót làm cho tập giảng ngày hoàn thiện ngày hữu ích Xin chân thành cảm ơn! NHÓM TÁC GIẢ1 Phạm Thanh Tâm, Trần Thị Vân Anh CHƯƠNG 1: ÁNH XÁ TUYẾN TÍNH Ta biết tập hợp liên hệ với ánh xạ Giả sử A B hai tập hợp không rỗng, ánh xạ từ A đến B quy tắc cho ứng với phần tử a ∈ A phần tử f(a) ∈ B; f(a) gọi ảnh a Ánh xạ từ tập A đến tập B kí hiệu f: A →B Ánh xạ f xác định thỏa mãn tính xác định khắp nơi đơn trị, tức biết ảnh a ∈ A ảnh đước xác định Các ánh xạ phân loại thành đơn ánh, toàn ánh, song ánh Nếu X ⊂ A tập hợp f(X) = {b∈B | b = f(x) với phần tử x thuộc X} gọi ảnh X Nếu Y ⊂ B tập hợp f-1(y) = {a∈A | f(a)∈Y} gọi ảnh ngược (hay tạo ảnh) Y; v.v Bây giờ, không gian vectơ, chúng tạo thành phần tử độc lập, mà phần tử có phép toán Vì mối liên hệ chúng phải thể ánh xạ có liên quan đến phép toán Đó ánh xạ tuyến tính Chương dành cho việc nghiên cứu ánh xạ tuyến tính, gồm: - Khái niệm ánh xạ tuyến tính hay đồng cấu không gian vectơ, dạng ánh xạ tuyến tính : đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu - Sự xác định ánh xạ tuyến tính (ở ta thấy muốn xác định ánh xạ tuyến tính cần biết ảnh vectơ sở) ma trận ánh xạ tuyến tính (ở ta thấy ánh xạ tuyến tính không gian véc tơ hữu hạn chiều tương ứng với ma trận cố định cặp sở hai không gian véc tơ) - Khái niệm ảnh hạt nhân, mối liên quan ảnh, hạt nhân với tính chất toàn cấu, đơn cấu đẳng cấu, mối liên hệ chiều không gian nguồn với số chiểu ảnh hạt nhân  x1  x2  x3   4 x1  16 x2  x3   x  x  x    x1  x2  x3 Suy ra: r r P 9  1  1,0, 1 ,   2,1,2  Đặt r    1  r   ,0,  ; 1  2 r r  2 2 2  r2   , ,  2  3  r r r Ta 1,  2 sở trực chuẩn P 9 Hoàn toàn tương tự ta tìm sở trực chuẩn P 9 là:  2  r    ,  ,   3     r r r Vì A ma trận đối xứng nên hệ 1,  ,  3 sở trực chuẩn r r r ¡ Gọi C ma trận mà cột cột tọa độ 1 ,  ,  :     C      3    2      Khi C ma trận phép biến đổi trực giao f : ¡  ¡ r r r sở tắc ¡ thành sở 1,  ,  3 biến r r r Trong sở 1,  ,  3 dạng K có ma trận là: C t E3C  C 1C  E3 , 150 dạng H có ma trận 9 0  C AC     0 9    t Nói cách khác, sau phép biến đổi y  Cz hay z  C 1 y :  1 y1  y3  z1  2  2   z2  y1  y2  y3 3   2   y3  z3  3  Biểu thức dạng toàn phương H K là: H  z12  z22  z32 K  z12  z22  z32 Thế biểu thức yi theo xi vào z i ta có:  x1  z1   2   z2  x1  x2  x3 3   2 x1  x2  x3  z3  3  Đó phép biến đổi tuyến tính không suy biến cần tìm 151 BÀI TẬP Bài 4.1 Trong không gian ¡ cho dạng song tuyến tính  xác định bởi:    x1, x2  ,  y1 , y2    x1 y1  x1 y2  x2 y1  5x2 y2 Chứng minh  ¡ ;  không gian vecto Euclid Hãy trực chuẩn hóa Gram-Schmidt sở tắc ¡ Bài 4.2 Gọi V không gian vecto không gian vectơ thực hàm số thực liên tục đoạn 0,2  sinh hàm số 1,cos x,sin x,cos2 x,sin x,K , cos mx , sin mx a) Với f , g V ta định nghĩa:  f ,g  2  f t g t  dt Chứng minh V ,  không gian vecto Euclid b) Chứng minh hệ: 1,cos x,sin x,cos2x,sin 2x,K ,cos mx,sin mx sở V Hãy trực chuẩn hóa Gram-Schmidt sở Bài 4.3 Cho V không gian vecto ¡ sinh vectơ: r r r 1  1,0,2,1, 2   2,1,2,3, 3  0,1, 2,1 Hãy tìm sở trực giao không gian vecto V  Bài 4.4 Cho V không gian vectơ ¡ xác định hệ phương trình: 152 2 x1  x2  3x3  x4    x4  3x1  x2 3x  x  x  x   Tìm hệ phương trình xác định phần bù trực giao V  V ¡ Bài 4.5 r r Cho vecto  ,  không gian vectơ Euclid E Chứng minh rằng: r r a)    với số thực dương  góc hai vectơ r r  ,  r r b)    với số thực âm  góc hai vecto kk r r  ,   Bài 4.6 r r Giả sử 1, ,  m hệ trực chuẩn không gian vectơ Euclid r (hay Unita) Chứng minh với vectơ  không gian đó, đặt r r r r xi    i  xi   ,  i  , i  1, , m ta có bất đẳng thức sau, gọi bất đẳng thức Betxen: m r2    xi i 1 Bài 4.7 r r r r Hai hệ vectơ 1, , m  , 1, ,  m   không gian vectơ Euclid E gọi hai hệ vectơ tương hỗ r r 0 , i  j 1 , i  j i  j   ij    i, j  1, , m Chứng minh rằng: r r a) Nếu hệ vecto 1, , m  độc lập tuyến tính hệ vectơ r r 1, ,  m tương hỗ với độc lập tuyến tính  153 r r b) Cho sở 1, ,  n  E có hệ vectơ tương hỗ với r r Gọi hệ u1, , un  , ta có: n r r r r    xi ei xi   ui i 1 r r r n r    yiui     xi yi n i 1 i 1 Bài 4.8 r r Trong không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều, cho hệ vectơ 1, , m  Đặt: r r r r Gr 1 , , m   det  i  j  mm  r r r r r r r r r r 11 1 1 m r r r r r r  21  2  2 m  m1  m r r  m m r r r r Gọi Gr 1, , m  định thức Gram hệ vecto 1 , , m Chứng minh rằng: r r a) Hệ 1, , m  phụ thuộc tuyến tính r r Gr 1, ,m   r r b) Hệ 1, , m  độc lập tuyến tính khi: r r Gr 1, ,m   Bài 4.9 Giả sử V W hai không gian vectơ không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều E dimV < dimW Chứng minh rằng, W có vectơ khác không trực giao với vectơ V Bài 4.10 Cho E không gian vectơ Euclid n chiều Chứng minh ánh xạ:  : E  E   Hom  E , ¡ r  r  a     r rr r r mà r : E a ¡ , x a r  x    x đẳng cấu tuyến tính 154 Bài 4.11 r r r Cho e1, e2 , e3 sở trực chuẩn không gian vectơ Euclid E f : E  E đồng cấu tuyến tính Biết: r r 1 r 1 r f  e1   e1  e2  e3 3 r 1 r r 1 r f  e2   e1  e2  e3 3 r Hãy tìm f  e3  để f đồng cấu tuyến tính trực giao Khi xác định tất không gian bất biến f Bài 4.12 r r r r Cho hai hệ vectơ 1, , m  , 1, ,  m không gian vectơ Euclid n   chiều E Chứng minh rằng, tồn tự đồng cấu tuyến tính trực giao r r  : E  E cho  i   i , i  1,K , m , i= 1,…,m ma trận Gram hai hệ vectơ trùng nhau: r r  i j mm r r  i  j   mm Bài 4.13 Phép biến đổi trực giao  : E  E có ma trận A sở r r r trực chuẩn e1, e2 , e3 E Hãy tìm sở trực chuẩn E cho ma trận B  sở có dạng tắc tìm ma trận B: 1    3 3   2    a) A  ;  3          3 155     b) A       2 2 2   2 2         Bài 4.14 Tìm dạng tắc B ma trận trực giao A sau ma trận trực giao C cho B = C 1 AC : 1    3 3   2    a) A  ;  3          3      b) A   1     2 2 2   2    1  2   1   2 Bài 4.15 Cho ma trận thực A: 0 1   a) A   1  ; 1 0    2 1   b) A   1   1 2     11 8    c) A   2 10  ;  8 10     17 8    d) A   8 17 4   4 11    156 1 1  1 1 1 ; e) A   1 1 1   1 1 1  0 0  f) A    0 1  0 0       Hãy tìm ma trận trực giao C để C 1 AC có dạng chéo Bài 4.16 Cho tự đồng cấu tuyến tính f : E  E không gian vecto Euclid hữu hạn chiều E Chứng minh f có hai ba tính chất sau có tính chất thứ ba: a) f tự đồng cấu tuyến tính đối xứng b) f tự đồng cấu tuyến tính trực giao c) f tự đồng cấu tuyến tính đối hợp, nghĩa f o f  id E Bài 4.17 Cho ánh xạ f : E  E với E không gian vectơ Euclid Chứng minh r r r r r r f  .   f  với  ,   E f ánh xạ tuyến tính   f tự đồng cấu tuyến tính đối xứng E Bài 4.18 r r Cho ánh xạ tuyến tính f : E  E thỏa mãn điều kiện f  .  với r vecto  thuộc không gian Euclid E Chứng minh rằng: r r r r r r a) f  .   f   với  ,   E   b) Ma trận A f sở trực chuẩn E ma trận phản đối xứng, nghĩa là: At   A Bài 4.20 Cho E, E ' hai không gian vectơ Euclid Ánh xạ tuyến tính  : E  E' gọi ánh xạ tuyến tính đồng dạng có số thực k  để r r r r   .   k.    r r với  ,   E Chứng minh rằng: 157 a) Mỗi ánh xạ tuyến tính đồng dạng đơn cấu r r r r b) Ánh xạ  : E  E' mà có số thực k  để   .   k.  với r r  ,   E ánh xạ tuyến tính ánh xạ tuyến tính đồng dạng   r r c) Ánh xạ tuyến tính  : E  E' mà có số  > cho       r với   E ánh xạ tuyến tính đồng dạng d) Mỗi ánh xạ tuyến tính đồng dạng  : E  E' viết   dạng   f o k.idE    k id E ' o g k  ; f , g : E  E ' đồng cấu tuyến tính trực giao e) Mọi đơn cấu tuyến tính  : E  E' bảo toàn tính trực giao r r r r r r vectơ, nghĩa       .   với  ,   E ánh xạ   tuyến tính đồng dạng Bài 4.21 Cho E không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều f : E  ¡ r dạng tuyến tính E Chứng minh tồn vecto   E rr r r cho f  x    x với x  E Bài 4.22 Cho E không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều  : E  E tự r đồng cấu tuyến tính E Với  cố định thuộc E, ta đặt tương ứng phiếm hàm E: E ¡ r r r  a   . dạng tuyến tính E Theo kết Bài tập 20, có phần tử r r r r r r nhất, kí hiệu    cho   .      với   E     r r a) Chứng minh rằng, ánh xạ   : E  E ,  a    ánh xạ tuyến   tính Ta gọi   biến đổi liên hợp  b) Với  , : E  E tự đồng cấu tuyến tính E ta có:         ; 158     .    ¡      ;  o    o  c) Chứng minh rằng,  khả nghịch   và:      1 1 d) Tự đồng cấu tuyến tính  : E  E tự đồng cấu tuyến tính đối xứng khi:    Bài 4.23 Cho  , : E  E hai tự đồng cấu tuyến tính đối xứng không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều E Chứng minh rằng, E có sở trực chuẩn đồng thời vectơ riêng    o   o Bài 4.24 Cho phép biến đổi tuyến tính  xác định ma trận sau sở trực chuẩn không gian Tìm sở trực chuẩn gồm vectơ riêng  ma trận sở  11 8    a) A   2 10  ;  8 10     17 8    b) A   8 17 4   4 11     2    c) A   2  ;  7   159 1 1 d) A   5  1 1    1  e) A   1   2 2   Bài 4.25 Tìm ma trận trực giao đưa dạng toàn phương ¡ tắc sau dạng a) 5x12  x22  x32  12 x1x2  x1x3 b) x12  x22  x32  x1x2  x2 x3  12 x1x3 c) 5x12  x22  x32  x1x2  x2 x3  x1x3 d) 3x12  3x22  3x32  x1x2  x2 x3  x1x3 Bài 4.26 Xét không gian vectơ Euclid R Hãy áp dụng phương pháp trực giao hóa Gram-schmidt để biến đổi sở u1 , u2 , u3 sau thành sở trực chuẩn: a) u1  1,1,1 , u2   1,1,0 , u3  1,2,1 b) u1  1,0,0 , u2  3,7, 2 , u3   0,4,1 Bài 4.27 Tìm giá trị  để dạng toàn phương sau xác định dương: 2 a) 6x1  x2   x3  4x1x2  2x1x3  2x2 x3 2 b) 2x1  x2  x3  2 x1x2  2x1x3 2 c) x1  2x2  3x3  2x1x2  4 x1x3  6x2 x3 Bài 4.28 Hãy xét xem dạng toàn phương thực số dạng sau tương đương với nhau: 160 2 a) f1  x1  x2 x3 , f2  2x2  x1x3 , f3  3x3  x1x2 2 b) f1  x1  x2  x3  x1x2 , f2  x12  2x22  x32  2x1x3  4x2 x3 , f3  2x12  x22  x32  12x1x2  8x1x3  10x2 x3 Bài 4.29 Trong cặp sau đây, đồng thời đưa dạng toàn phương xác định dương dạng tắc dạng toàn phương lại dạng tắc (không cần tìm phép biến đổi): a) f  21x12  18 x22  x32  x1 x2  28 x1 x3  x2 x3 , g  11x12  x22  x32  12 x1 x2  12 x1 x3  x2 x3 b) f  14 x12  x22  17 x32  x1 x2  40 x1 x3  26 x2 x3 , g  x12  x22  x32  12 x1 x2  10 x1 x3  x2 x3 Bài 4.30 Tìm phép biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương sau không gian Euclid dạng tắc trục chính: a) 6x12  5x22  x32  4x1x2  4x1x3 b) x12  x22  x32 4x1x2  4x1x3  4x2 x3 c) 3x12  8x1x2  3x22  4x32  4x3 x4  x42 d) x12  2x1x2  x22  2x32  4x3 x4  2x42 Bài 4.31 Tìm phép biến đổi đồng thời đưa dạng toàn phương xác định dương cặp dạng toàn phương sau dạng chuẩn tắc, dạng lại dạng tắc: a) f  4 x1 x2 g  x12  2x1x2  4x22 b) f  x12 15x22  4x1x2  2x1 x3  6x2 x3 g  x12  17 x22  3x32  4x1x2  2x1x3  14x2 x3 161 TÓM TẮT CÁC BÀI GIẢNG CHƯƠNG Trong chương 1, trình bày chuỗi giảng nội dung ánh xạ tuyến tính, là: - Tích vô hướng không gian véc tơ thực từ định nghĩa không gian véc tơ Euclid Các giảng nội dung tập trung vào tính chất không gian véc tơ Euclid mối liên hệ chúng với kết THPT; - Các ánh xạ tuyến tính trực giao tính chất chúng Các giảng mục tập trung đến việc xét dạng tắc tự đồng cấu tuyến tính trực giao, cụ thể khẳng định tự đồng cấu tuyến tính trực giao tổng trực tiếp phép tịnh tiến phép quay Từ có liên hệ với kết THPT; - Các ánh xạ tuyến tính đối xứng tính chất chúng Các giảng mục tập trung hướng đến dạng tắc tự đồng cấu đối xứng mà khẳng định tự đồng cấu tuyến tính đối xứng chéo hóa Cuối mục giảng phương pháp chéo hóa tự đồng cấu đối xứng phương pháp trực giao ứng dụng đưa dạng toàn phương dạng tắc Euclid phương pháp trực giao 162 VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ TOÁN HỌC Các dạng toàn phương bắt đầu nghiên cứu khoảng từ năm 300 đến năm 200 trước công nguyên nhà toán học Hy lạp Euclid, Archimedes Apollonios Euclid tiếng với sách "Cơ sở" gồm 13 tập trình bày cách hệ thống toàn kiến thức toán học lúc Archimedes nhiều người đánh giá nhà toán học vĩ đại lịch sử phát minh khoa học Apollonios tiếng sách "Các nhát cắt hình nón" gồm tập với khoảng 400 định lý ông người đưa khái niệm trực giao, công thức tắc chứng minh tồn dạng tắc trục trường hợp hai chiều Chính Apollonios người đưa tên gọi mặt bậc hai dịp, hyperbol parabol Việc phân loại dạng toàn phương không gian chiều hoàn thành năm 1748 nhà toán học Thụy Sĩ Euler Dạng tắc dạng toàn phương nhiều chiều Lagrange chứng minh năm 1759 Luật quán tính Sylvester Jacobi phát phát vào khoảng năm 1850 Gauss người sử dụng ma trận để nghiên cứu dạng toàn phương Không gian Euclid (Euclid) ban đầu hiểu không gian thực chiều với hệ tiên đề Euclid Nhà toán học người Ba lan, Banach (1892- 1945), người mở rộng nghiên cứu sang không gian nhiều chiều ông coi ông tổ không gian định chuẩn Ma trận trực giao định nghĩa Frobemus Weierstrass người đưa chứng minh xác "mọi ma trận đối xứng thực chéo hóa được" vào năm 1858 163 TÀI LIỆU THAM KHẢO A TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT [1] Phan Hồng Trường, Đại số tuyến tính, Trường ĐHSP Hà Nội (tài liệu lưu hành nội bộ), năm 2001 [2] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2005 [3] Ngô Việt Trung, Đại số tuyến tính, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, năm 2005 [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, năm 2000 [5] Proskuriakôp, Bài tập đại số tuyến tính, Naura, Moskva, 1978 (tiếng Nga) B TÀI LIỆU TIẾNG ANH [1] T.S Blyth and E F Robertson, Basic Linear Algebra, Second Edition, Springer 2002 [2] Kenneth Hoffman and Ray Kunze, Linear Algebra, Second Edition [3] Georgi E Shilov, Linear Algebra, Dover publications, INC., New York 1977 164 ... xạ tuyến tính ma trận 18 1 .2. 7 Tích ánh xạ tuyến tính 19 1.3 HẠT NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 22 1.3.1 Tính chất ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính 22 1.3 .2 Định... ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH LŨY LINH 72 2.4.1 Khái niệm tự đồng cấu tuyến tính lũy linh 72 2.4 .2 Tính chất 72 BÀI TẬP 74 TÓM TẮT CÁC BÀI GIẢNG CHƯƠNG ... EUCLID 123 4.1.1 Không gian véc tơ Euclid 123 4.1 .2 Tính chất 123 4 .2 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRỰC GIAO 1 32 4 .2. 1 Định nghĩa 1 32 4 .2. 2 Tính chất