Tập bài giảng đại số tuyến tính 2

- Sự xác định một ánh xạ tuyến tính ở đó ta sẽ thấy rằng muốn xác định một ánh xạ tuyến tính chỉ cần biết ảnh của các vectơ trong một cơ sở và ma trận của ánh xạ tuyến tính ở đây ta sẽ t

(Lưu hành nội bộ)

HÀ NỘI - NĂM 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Phạm Thanh Tâm (chủ biên) Trần Thị Vân Anh

TẬP BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2

(Tài liệu dùng cho sinh viên hệ sư phạm Toán trường ĐHSP Hà Nội 2)

HÀ NỘI - NĂM 2016

5

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

CHƯƠNG 1: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 7

1.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 8

1.1.1 Định nghĩa 8

1.1.2 Tính chất 9

1.1.3 Ví dụ 9

1.1.4 Các phép toán trên ánh xạ tuyến tính 10

1.1.5 Không gian các ánh xạ tuyến tính 11

1.2 ĐỊNH LÝ VỀ SỰ XÁC ĐỊNH VÀ MA TRẬN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 12

1.2.1 Định lý về sự xác định của ánh xạ tuyến tính 12

1.2.2 Đồng cấu tuyến tính 14

1.2.3 Định lý về đẳng cấu tuyến tính 15

1.2.4 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 16

1.2.5 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính 16

1.2.6 Định lý về tương ứng giữa ánh xạ tuyến tính và ma trận 18

1.2.7 Tích của các ánh xạ tuyến tính 19

1.3 HẠT NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 22

1.3.1 Tính chất của ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính 22

1.3.2 Định lý về điều kiện tương đương của một đơn cấu tuyến tính 23

1.3.3 Định lý đồng cấu tuyến tính các không gian vectơ 26

1.3.4 Ma trận đổi cơ sở của tự đồng cấu tuyến tính 28

BÀI TẬP 34

TÓM TẮT CÁC BÀI GIẢNG CHƯƠNG 1 50

VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ TOÁN HỌC 51

CHƯƠNG 2 CẤU TRÚC CỦA TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH 54

2.1 VECTƠ RIÊNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG 54

2.1.1 Không gian véc tơ con bất biến 54

2.1.2 Giá trị riêng và véc tơ riêng 55

2.1.3 Thuật toán tìm véc tơ riêng và giá trị riêng 56

2.2 KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN CỦA CÁC TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH THỰC VÀ PHỨC 60

2.2.1 Không gian véc tơ con bất biến 60

2.2.2 Ma trận của tự đồng cấu tuyến tính ứng với không gian con bất biến 62

2.2.3 Ví dụ 64

2.3 TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH CHÉO HÓA ĐƯỢC 66

2.3.1 Tự đồng cấu tuyến tính chéo hóa được 66

2.3.2 Tiêu chuẩn chéo hóa được 67

2.4 TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH LŨY LINH 72

2.4.1 Khái niệm của tự đồng cấu tuyến tính lũy linh 72

2.4.2 Tính chất 72

BÀI TẬP 74

TÓM TẮT CÁC BÀI GIẢNG CHƯƠNG 2 83

VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ TOÁN HỌC 84

CHƯƠNG 3 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG 86

3.1 ÁNH XẠ ĐA TUYẾN TÍNH 87

3.1.1 Khái niệm về ánh xạ đa tuyến tính 87

3.1.2 Tính chất 88

3.2 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG 97

3.2.1 Khái niệm về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương 97

3.2.2 Ma trận của dạng song tuyến tính 98

3.3 ĐƯA BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHUẨN TẮC 102 3.3.1 Định nghĩa về dạng chính tắc 102

3.3.2 Sự tồn tại dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương 102

3.4 HẠNG VÀ HẠCH CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG 106

3.4.1 Hạng và hạch của dạng toàn phương 106

3.4.2 Tính chất 107

3.5 CHỈ SỐ QUÁN TÍNH CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG 110

3.5.1 Định nghĩa 110

3.5.2 Định lý phân loại chỉ số quán tính Sylvester 110

3.5.3 Điều kiện cần và đủ cho dạng toàn phương xác định dương và xác định âm 113

BÀI TẬP 117

TÓM TẮT CÁC BÀI GIẢNG CHƯƠNG 3 120

VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ TOÁN HỌC 121

CHƯƠNG 4 KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLID 122

4.1 TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLID 123

4.1.1 Không gian véc tơ Euclid 123

4.1.2 Tính chất 123

4.2 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRỰC GIAO 132

4.2.1 Định nghĩa 132

4.2.2 Tính chất 132

4.3 TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH ĐỐI XỨNG 142

7

4.3.1 Định nghĩa 142

4.3.2 Tính chất 142

BÀI TẬP 152

TÓM TẮT CÁC BÀI GIẢNG CHƯƠNG 4 162

VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ TOÁN HỌC 163

TÀI LIỆU THAM KHẢO 164

LỜI NÓI ĐẦU

Ở thời đại của chúng ta, khoa học và kĩ thuật phát triển như vũ bão Chúng đòi hỏi ngành giáo dục phải luôn luôn đổi mới kịp thời để đáp ứng mọi nhu cầu về tri thức khoa học của thanh thiếu niên, giúp họ có khả năng lao động và sáng tạo trong cuộc sống sôi động Hiện nay chương trình và sách giáo khoa bậc phổ thông ở nước ta đã bắt đầu và đang thay đổi để phù hợp với đòi hỏi ấy Trường ĐHSP Hà Nội 2, một trong những cái nôi đào tạo giáo viên THPT cho cả nước, cần phải có những đổi mới tương ứng về chương trình đào tạo, bộ sách giáo trình, tập bài giảng và tài liệu tham khảo Vì mục đích đó, tập bài giảng Đại số tuyến tính 2 mới ra đời nhằm mục đích thay thế cho bộ sách giáo trình cũ

Tập bài giảng về Đại số tuyến tính 2 biên soạn lần này, không chỉ nằm trong khuôn khổ của cuộc đổi mới ấy Nó còn nhằm mục đích làm một bộ các bài giảng tiêu chuẩn chung cho các cán bộ trường ĐHSP Hà Nội 2 theo chương trình mới vừa qua của Bộ GD và ĐT, đòi hỏi không những phải đổi mới những nội dung kiến thức (nếu cần) và cả phương pháp giảng dạy của giảng viên cũng như phương pháp học tập của sinh viên Mặt khác, qua một thời gian dài thực hiện chương trình và sách giáo trình cũ, đến nay đã có thể đánh giá những ưu, khuyết điểm của nó, sự phù hợp của nó với trình độ đầu vào của sinh viên các trường đại học sư phạm Do đó tập bài giảng được biên soạn lần này cũng thừa hưởng những ưu điểm và khắc phục những thiếu sót của những cuốn sách cũ Đối tượng sử dụng cuốn sách này là sinh viên và giảng viên các trường ĐHSP Hà Nội 2 Tập bài giảng cũng có thể được dùng cho các trường Đại học và Cao đẳng khác và cho tất cả những ai muốn tự học môn học này (nếu có sự đồng ý của trường ĐHSP Hà Nội 2)

Cơ sở để nhóm tác giả lựa chọn nội dung của tập bài giảng này dựa trên

sự thay đổi về hình thức đào tạo của trường ĐHSP Hà Nội 2, yêu cầu đầu ra

và trình độ đầu vào của sinh viên trường ĐHSP Hà Nội 2 hiện nay và những năm gần đây Ngoài ra, nhóm tác giả cũng chú ý đến tính đến vai trò của môn học đối với các môn khoa học khác như Giải tích, Hình học, Vật lý, Hoá học,v.v đáp ứng nhu cầu học tập liên giữa các ngành, và tạo điều kiện cho người học có thể tự học và học lên cao hơn Cụ thể, tập bài giảng này phải trang bị được cho người giáo viên toán tương lai ở trường THPT những kiến thức cần thiết, đầy đủ và vững vàng về Đại số tuyến tính để giảng dạy tốt

4

những phần liên quan trong chương trình toán THPT Tuy nhiên, nội dung và phương pháp trình bày những nội dung ấy lại phải phù hợp với trình độ nhận thức và khả năng tiếp nhận sinh viên Mặt khác, tập bài giảng này cũng phải cung cấp đầy đủ kiến thức giúp người đọc có thể tự học và học được những môn khoa học khác như đã nói trên; đồng thời đáp ứng mong muốn của những sinh viên có hoài bão nâng cao hơn nữa trình độ của mình Vì thế, nội dung tập bài giảng chứa đựng những điều rất cơ bản mà mọi sinh viên cần nắm vững, nhưng cũng có những phần không đòi hỏi mọi sinh viên đều phải hiểu

Cuốn sách này gồm bốn chương:

Chương I Trình bày về khái niệm ánh xạ tuyến tính, sự xác định của ánh

xạ tuyến tính và ma trận của ánh xạ tuyến tính, cấu trúc của ảnh và hạt nhân của một ánh xạ tuyến tính và mối quan hệ giữa ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính với hệ phương trình tuyến tính

Chương II Trình bày về giá trị riêng, véc tơ riêng và không gian véc tơ

con bất biến Từ đó trình bày về cấu trúc của một tự đồng cấu tuyến tính trong các trường hợp chéo hóa được và lũy linh Tuy nhiên trong trường hợp của tự đồng cấu lũy linh nhóm tác giả chỉ trình bày ở mức độ đơn giản

Chương III Trình bày về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương, đưa

dạng toàn phương về dạng chuẩn tắc, chỉ số quán tính Sylvester Các nội dung này là một phần rất quan trọng của lý thuyết các dạng trong Đại số tuyến tính tổng quát, các nội dung này có ảnh hưởng sâu sắc đến các vấn đề của Hình học ở THPT, Hình học cao cấp, Phương trình vi phân và Phương trình đạo hàm riêng

Chương IV Trình bày về tích vô hướng trên không gian véc tơ thực,

không gian véc tơ Euclid, các tự đồng cấu tuyến tính trực giao và đối xứng và cấu trúc của chúng Đây là nội dung đặc biệt quan trọng đối với việc xây dựng Hình học Euclid sau này

Mỗi chương đều có phần mở đầu nêu lên những yêu cầu và cách học tập của chương ấy Cuối mỗi chương có phần tóm tắt đôi nét chính nội dung của chương để bạn đọc có dịp ôn tập lại Phần bài tập có một số lượng có thể vượt quá yêu cầu chung đôi chút vì các tác giả cuốn sách mong muốn giúp cho những bạn đọc ham thích môn học này có thêm cơ hội rèn luyện kĩ năng Vì vậy, đối với số đông sinh viên thì giảng viên

cần chỉ dẫn cho họ những bài cụ thể Tuy nhiên bạn đọc cố gắng giải càng nhiều bài tập càng tốt Để có thể sử dụng tập bài giảng này, người học cần được bổ sung kiến thức về số phức, nghiệm phức của một đa thức khi mà chương trình Toán ở THPT chưa đề cập tới; hơn nữa cũng cần có khái niệm

về các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường để tiện diễn đạt và bắt nhịp được với cách trình bày giáo trình; cần củng cố vững vàng kiến thức toán học bậc THPT

Giáo trình này được học sau học phần Đại số tuyến tính 1, khi mà người học được trang bị những kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính và tập hợp lôgic Khi giảng viên sử dựng tập bài giảng này để giảng dạy giá, có thể kết hợp nhiều hình thức như thuyết trình của giảng viên, hướng dẫn sinh viên tự đọc sách, tổ chức, semina, v.v Một điều mà các tác giả muốn lưu ý thêm đối với các giảng viên là: vì tập bài giảng còn được sử dụng để sinh viên tự học nên có nhiều chỗ phải đặt vấn đề dẫn dắt người học, có nhiều ví dụ Do đó khi giảng bài ở lớp, các giảng viên nên lựa chọn những điều cần thiết nhất để có

đủ thời gian truyền đạt những kiến thức cơ bản, những phần còn lại dành cho sinh viên tự học Cũng như đã nói trên, Đại số tuyến tính nói chung và Đại số tuyến tính 2 nói riêng có nhiều ứng dụng trong thực tế, do đó sinh viên cần có

kĩ năng vận dụng kiến thức và kỹ năng tính toán Muốn thế việc thực hành của sinh viên cần được coi trọng và chúng ta cần lựa chọn hình thức giảng dạy thích hợp để đảm bảo giữa việc học lý thuyết ở lớp và thời gian cho việc giải bài tập của sinh viên

Đối với người học, khi học theo tập bài giảng này này luôn luôn có giấy

và bút trong tay để tự mình mô tả các khái niệm dựa theo những định nghĩa;

tự mình chứng minh các định lí sau khi đã tìm hiểu kĩ giả thiết và kết luận; vận dụng các khái niệm, các định lí để tự mình trình bày các ví dụ cho trong sách Cuối mỗi chương có phần tóm tắt, bạn đọc nên tận dụng nó để củng cố và hệ thống lại kiến thức đã học được ở chương ấy Cũng cần nói thêm rằng Đại số tuyến tính là một trong những ngành khoa học cổ nhất nhưng cũng rất hiện đại Những điều được trình bày ở đây chỉ là những điều cơ bản nhất, mở đầu của Đại số tuyến tính trên trường số (mà chủ yếu là trường số thực) Còn nhiều vấn đề nội dung chưa thể đề cập tới

Cuối cùng, các tác giả hi vọng rằng tạp bài giảng này sẽ đáp ứng được những đòi hỏi của chương trình, những mong muốn của người dạy và bạn

6

đọc Tuy nhiên, tập bài giảng cũng sẽ khó tránh khỏi hết mọi khiếm khuyết

Vì thế, các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến của bạn đọc để có thể sửa chữa những sai sót làm cho tập bài giảng này ngày càng hoàn thiện và ngày càng hữu ích hơn

Xin chân thành cảm ơn!

NHÓM TÁC GIẢ 1

1 Phạm Thanh Tâm, Trần Thị Vân Anh

CHƯƠNG 1: Á NH XÁ TUYẾ N TÍ NH

Ta đã biết các tập hợp liên hệ với nhau bởi các ánh xạ Giả sử A và B

là hai tập hợp không rỗng, một ánh xạ từ A đến B là một quy tắc nào đó cho ứng với phần tử a ∈ A một phần tử duy nhất f(a) ∈ B; f(a) được gọi

là ảnh của a Ánh xạ từ tập A đến tập B được kí hiệu là f: A →B Ánh xạ

f được xác định nếu nó thỏa mãn tính xác định khắp nơi và đơn trị, tức là biết ảnh của mọi a ∈ A và mỗi ảnh đó đước xác định duy nhất Các ánh xạ được phân loại thành đơn ánh, toàn ánh, song ánh

Nếu X ⊂ A thì tập hợp

f(X) = {b∈B | b = f(x) với một phần tử x nào đó thuộc X}

được gọi là ảnh của X

Nếu Y ⊂ B thì tập hợp

f-1(y) = {a∈A | f(a)∈Y}

được gọi là ảnh ngược (hay tạo ảnh) của Y; v.v

Bây giờ, đối với các không gian vectơ, chúng tạo thành không chỉ bởi những phần tử độc lập, mà các phần tử ở đây còn có cả những phép toán

Vì thế mối liên hệ giữa chúng cũng phải được thể hiện bởi những ánh xạ có liên quan đến các phép toán ấy Đó là ánh xạ tuyến tính

Chương này dành cho việc nghiên cứu ánh xạ tuyến tính, gồm:

- Khái niệm ánh xạ tuyến tính hay các đồng cấu không gian vectơ, các dạng ánh xạ tuyến tính như : đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu

- Sự xác định một ánh xạ tuyến tính (ở đó ta sẽ thấy rằng muốn xác định một ánh xạ tuyến tính chỉ cần biết ảnh của các vectơ trong một cơ sở) và ma trận của ánh xạ tuyến tính (ở đây ta sẽ thấy được rằng mỗi ánh xạ tuyến tính giữa các không gian véc tơ hữu hạn chiều đều tương ứng một và chỉ một với một ma trận nào đó khi chúng ta cố định một cặp cơ sở của hai không gian véc tơ)

- Khái niệm ảnh và hạt nhân, mối liên quan giữa ảnh, hạt nhân với tính chất toàn cấu, đơn cấu và đẳng cấu, mối liên hệ về chiều của không gian nguồn với số chiểu của ảnh và của hạt nhân

8

- Trên tập các ánh xạ tuyến tính từ không gian V đến không gian W cũng có thể xác định phép cộng hai ánh xạ và phép nhân một ánh xạ với một số làm cho tập các ánh xạ này trở thành một không gian vectơ Đó cũng là những điều mà bạn đọc cần nắm vững để có thể hiểu được các khái niệm giá trị riêng, vectơ riêng và không gian con bất biến của một tự đồng cấu, sẽ được nghiên cứu tiếp ở chương II

Các ánh xạ tuyến tính còn được nghiên cứu tiếp ở những chương sau Nó còn được mở rộng thành các khái niệm ánh xạ nửa tuyến tính, đa tuyến tính, đa tuyến tính thay phiên Song trong phạm vi của tập bài giảng này chúng tôi chưa thể trình bày những lớp ánh xạ đa tuyến tuyến tính như thế Một dạng đặc biệt của ánh xạ đa tuyến tính sẽ được trình bày ở chương III

Đó là dạng song tuyến tính

Để hiểu được những điều trình bày trong chương này, bạn đọc cần nắm vững những từ thức đã học về không gian vectơ, ma trận và ánh xạ giữa hai tập hợp

1.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1.1 Cho là hai không gian vectơ trên trường Ánh xạ được gọi là một ánh xạ tuyến tính trên K nếu thỏa mãn hai điều kiện (bảo toàn phép toán của không gian véc tơ):

Đây là khẳng định khá đơn giản, nó đến từ việc chúng ta tổ hợp hai điều kiện xác định của một ánh xạ tuyến tính nên công việc kiểm tra, chứng minh tính chất này chúng tôi sẽ dành cho bạn đọc như bài tập

1.1.2 Tính chất

Các ánh xạ tuyến tính giữa các không gian véc tơ trên trường K có các tính chất cơ bản, được phát biểu thành mệnh đề sau đây:

Mệnh đề 1.1.2.1 Một ánh xạ tuyến tính trên trường K giữa hai không

gian véc tơ bất kì luôn có các tính chất đơn giản sau:

1) Ánh xạ tuyến tính bảo toàn véc tơ không, tức là:

2) Ánh xạ tuyến tính bảo toàn véc tơ đối, tức là:

3) Ánh xạ tuyến tính có tính chất bảo toàn một tổ hợp tuyến tính bất kì:

với mọi các 1, ,mK và các véc tơ

Chứng minh

Đây là các khẳng định khá đơn giản, chứng minh các kết quả này đến từ việc chúng ta dùng hai điều kiện xác định của một ánh xạ tuyến tính nên công việc kiểm tra, chứng minh tính chất này chúng tôi sẽ dành cho bạn đọc như bài tập

1.1.3 Ví dụ

Ví dụ 1.1.3.1 Một kiểm tra đơn giản ta có thể thấy ngay các ánh xạ đặc

biệt sau của lý thuyết tập hợp cũng đều là các ánh xạ tuyến tính;

• Ánh xạ không, ánh xạ mà biến các véc tơ bất kì thành véc tơ không,

• Ánh xạ đồng nhất của một không gian véc tơ,

• Ánh xạ thu hẹp của một ánh xạ tuyến tình,

• Ánh xạ hợp thành của hai ánh xạ tuyến tính,

10

• Ánh xạ nghịch đảo của một song ánh tuyến tính;

Ví dụ 1.1.3.2 Kí hiệu ¡  x là tập các đa thức một biến x với hệ số trên

là một ¡  ánh xạ tuyến tính

Chú ý 1.1.3.3 Việc kiểm tra các ví dụ trên là các ánh xạ tuyến tính là

công việc khá đơn giản nên công việc kiểm tra này chúng tôi sẽ dành cho bạn đọc, xem như là một bài tập thực hành tính toán để các bạn làm quen với các ánh xạ tuyến tính

Chúng ta chú ý một chút, nếu chúng ta xét một ánh xạ giữa hai tập hợp bất kì thì nói chung chúng không có gì đặc biệt Song, các không gian véc tơ

là các tập hợp mà có phép toán nên nếu chúng ta xét một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian véc tơ thì chúng ta cũng có thể định nghĩa được các phép toán giữa các ánh xạ này

1.1.4 Các phép toán trên ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 1.1.4.1 Giả sử và là những – không gian vectơ và

là những ánh xạ tuyến tính trên K từ V đến W Chúng ta gọi tổng của ánh xạ và ánh xạ là một ánh xạ mà được kí hiệu bởi , ánh xạ này được xác định bởi

trên K từ V đến W, tuy nhiên đây là khẳng định khá đơn giản nên công việc kiểm tra này chúng tôi sẽ dành cho bạn đọc như bài tập

1.1.5 Không gian các ánh xạ tuyến tính

Định lý 1.1.5.1 Tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính từ K-không gian véc

tơ vào K-không gian véc tơ cùng với phép cộng hai ánh xạ tuyến tính và phép nhân một vô hướng với một ánh xạ tuyến tính là một không gian vectơ trên trường Ta kí hiệu không gian vectơ các K-ánh xạ tuyến tính từ V vào

Chứng minh

là những ánh xạ tuyến tính trên K Chúng ta cũng có thể kiểm

8 tiên đề về không gian véc tơ trên trường K chúng tôi sẽ dành cho các bạn sinh viên xem như bài tập thực hành

12

1.2 ĐỊNH LÝ VỀ SỰ XÁC ĐỊNH VÀ MA TRẬN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Ta đã thấy từ K-không gian vectơ V bất kì đến một K-không gian W tuỳ ý luôn luôn có đồng cấu không (theo ví dụ trên) Một câu hỏi chúng tôi đặt ra trong mục này là: Ngoài đồng cấu không còn có đồng cấu nào khác không và nếu có thì có cách nào để xác định chúng không?

1.2.1 Định lý về sự xác định của ánh xạ tuyến tính

Định lý 1.2.1.1 Giả sử là một không gian vectơ – chiều Khi đó, mỗi ánh xạ tuyến tính từ vào được hoàn toàn xác định bởi ảnh của một

cơ sở Nói một cách rõ hơn là, giả sử là một cơ sở của còn

là vectơ nào đó của Khi đó có một và chỉ một ánh xạ tuyến tính sao cho:

Chứng minh

Ta phải kiểm tra rằng f là một ánh xạ tuyến tính Thật vậy, với hai véc tơ

Theo định nghĩa của ánh xạ f ta có:

theo định nghĩa của f ta có:

14

Ý nghĩa của định lí:

1) Để xác định một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian véc tơ hữu hạn chiều chúng ta chỉ cần xác định ảnh của các vectơ trong một cơ sở nào đó 2) Nếu không gian véc tơ V có chiều n thì mỗi hệ n vectơ của W xác định một ánh xạ tuyến tính từ V đến W Như vậy, có thể có vô số ánh xạ tuyến tính

từ V đến W nếu W khác không gian véc tơ không

1.2.2 Đồng cấu tuyến tính

Trong lý thuyết tập hợp các ánh xạ giữa các tập hợp được phân ra thành các ánh xạ đặc biệt là đơn ánh, toàn ánh, song ánh Tương ứng với chúng, các ánh xạ tuyến tính cũng được phân thành đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu

Định nghĩa 1.2.2.1 Cho V, W là các không gian véc tơ trên trường K

Ánh xạ tuyến tính trên trường K, , được gọi là:

a) Một đơn cấu tuyến tính (đơn cấu) nếu là đơn ánh từ V đến W

b) Một toàn cấu tuyến tính (toàn cấu) nếu là toàn ánh từ V đến W c) Một đẳng cấu tuyến tính (đẳng cấu) nếu là song ánh từ V đến W

Chúng ta chú ý rằng, một ánh xạ tuyến tính giữa các K-không gian véc tơ

đôi khi người ta còn gọi với một tên khác là đồng cấu tuyến tính Sử dụng lý

thuyết ánh xạ của các tập hợp và các tính chất của ánh xạ tuyến tính chúng ta

có thể khẳng định được kết quả sau:

Mệnh đề - Định nghĩa 1.2.2.2 Nếu là một đẳng cấu tuyến tính thì ánh xạ ngược cũng là một đẳng cấu tuyến tính Chúng ta gọi là phép nghịch đảo của

Chứng minh Chứng minh của định lý này rất đơn giản nên chúng tôi sẽ

để dành nó cho các bạn sinh viên xem như bài tập

Do đó chúng ta cũng có thể nói rằng mỗi đẳng cấu tuyến tính giữa các không gian véc tơ là một đồng cấu tuyến tính khả nghịch Trong trường hợp này, chúng ta cũng nói rằng không gian véc tơ V đẳng cấu với không gian véc

f V W f

1.2.3 Định lý về đẳng cấu tuyến tính

Trong trường hợp hai không gian V và W là các không gian véc tơ hữu hạn chiều chúng ta có một đặc trưng cho tính chất đẳng cấu giữa chúng thông qua số chiều

Định lý 1.2.3.1 Hai không gian vectơ hữu hạn chiều trên cùng trường

là đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng là các không gian véc tơ có cùng số chiều trên K

Chứng minh

Thật vậy:

Tiếp theo, ta chứng minh các véc tơ của W biểu thị tuyến tính duy nhất

Từ hai khẳng định trên chúng ta suy ra rằng hệ các véc tơ

trong không gian véc tơ W là một cơ sở của K-không gian

16

Khi đó theo định lý xác định ánh xạ tuyến tính chúng ta đã biết ở trước,

tuyến tính là một song ánh từ không gian véc tơ V vào không gian véc tơ

1.2.4 Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 1.2.4.1 Giả sử là những – không gian vectơ hữu hạn

Khi đó, mỗi ánh xạ tuyến tính được xác định duy nhất bởi hệ vectơ

Các vectơ lại biểu thị tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở của :

Trong đó các hệ số đều thuộc trường Như vậy ánh xạ tuyến tính được xác định một cách duy nhất bởi các vô hướng Sắp xếp chúng thành ma trận:

và gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với cặp cơ sở và

1.2.5 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính

Chúng ta chú ý, nếu chúng ta cố định một cơ sở của không gian véc tơ V thì mỗi ánh xạ tuyến tính từ V đến W là tương ứng với duy nhất một ma trận

ở đây m = dimW Chúng ta có một câu hỏi ngay lập tức rằng: với việc cố định một cơ sở của không gian véc tơ V và ma trận của tự đồng cấu tuyến tính nói trên thì liệu chúng ta có một biểu diễn nào cho ảnh của ánh xạ tuyến tính thông qua ma trận nói trên hay không? Quá trình xây dựng và các kết quả tiếp

theo dưới đây sẽ giúp chúng ta trả lời cho vấn đề này

Xây dựng 1.2.5.1 Cho là ánh xạ tuyến tính, có ma trận

tính bởi công thức:

Ta gọi công thức trên là biểu thị tọa độ của ánh xạ tuyến tính đối với

nhất nên ta có được công thức trên

được viết dưới dạng ma trận

18

trong đó ma trận là ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với cặp cơ sở

1.2.6 Định lý về tương ứng giữa ánh xạ tuyến tính và ma trận

Như đã nhận xét ở trên, mỗi ánh xạ tuyến tính từ V đến W là tương ứng với duy nhất một ma trận có dạng:

ở đây m = dimW Chúng ta có một câu hỏi ngay lập tức rằng: tương ứng ngược lại giữa các ma trận và các tự đồng cấu tuyến tính thì sao? Chúng có tồn tại hay không và nếu các tương ứng đó có tồn tại thì sự tồn tại đó có là duy nhất hay không? Kết quả của định lý sau đây sẽ giúp cho chúng ta khẳng định rằng tương ứng này là tương ứng một và chỉ một

Định lý 1.2.6.1 Ánh xạ cho tương ứng đặt mỗi một K-ánh xạ tuyến tính

với ma trận trong một cặp cơ sở cố định của và

là một K-đẳng cấu tuyến tính từ K-không gian véc tơ lên không gian véc tơ Do đó ta có là K-không gian

1.2.7 Tích của các ánh xạ tuyến tính

Định lý 1.2.7.1 Cho U,V,W là các không gian véc tơ trên K và các ánh xạ

, là những ánh xạ tuyến tính trên K Khi đó ánh xạ tích cũng là ánh xạ tuyến tính trên K

có :

Chứng ta chú ý rằng, việc chứng minh các công thức về các ánh xạ tuyến

tính trên trường K:

hay các công thức về ma trận

là có thể được kiểm tra dễ dàng trên việc tính toán cụ thể của ảnh của một ánh

xạ tuyến tính như các ánh xạ thông thường Công việc kiểm tra, tính toán các ảnh của các ánh xạ tuyến tính tương ứng chúng tôi sẽ dành nó cho các bạn sinh viên, người đọc và xem như một bài tập thực hành cho người đọc

22

1.3 HẠT NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Trở lại nhận xét ở trên, nếu chúng ta xét một ánh xạ giữa hai tập hợp bất kì thì nói chung chúng không có gì đặc biệt Song, các không gian véc tơ là các tập hợp mà có phép toán nên nếu chúng ta xét một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian véc tơ thì có thể ảnh và ảnh người của chúng cũng sẽ có những tính chất và đặc điểm riêng.

1.3.1 Tính chất của ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính

Định lý1.3.1.1 Giả sử là một ánh xạ tuyến tính Khi đó ta có các tính chất sau:

a) Nếu là một không gian vectơ con của thì ảnh của nó qua

là một không gian vectơ con của

b) Nếu là một không gian vectơ con của thì nghịch ảnh của

nó qua là một không gian vectơ con của

Theo giả thiết ánh xạ là ánh xạ tuyến tính nên:

Suy ra Vậy là một không gian vectơ con của

Định nghĩa 1.3.1.2 Cho V, W là các K-không gian véc tơ và giả sử

là một ánh xạ tuyến tính trên K Khi đó, ta có các định nghĩa: a) Không gian vectơ con của là hạt nhân (hay hạch) của và kí hiệu là Số chiều của gọi là số khuyết của

b) Không gian vectơ con là của là ảnh của và

kí hiệu là Số chiều của gọi là hạng của và kí hiệu là

Định lý 1.3.1.3 (về điều kiện tương đương của toàn cấu tuyến tính)

Ánh xạ tuyển tính là toàn cấu khi và chỉ khi hạng của f bằng số chiều của W, tức là

Chứng minh

1.3.2 Định lý về điều kiện tương đương của một đơn cấu tuyến tính

Trong lý thuyết tập hợp chúng ta đã biết rằng,:

- Một ánh xạ là đơn ánh khi và chỉ khi ảnh của hai phần tử phân biệt là hai phân tử phân biệt;

- Một ánh xạ là toàn ánh khi và chỉ khi ảnh ảnh của ánh xạ đó là toàn bộ tập đích;

- Một ánh xạ là song ánh giữa hai tập khi và chỉ khi ánh xạ đó là đơn ánh đồng thời là một toán ánh

Tuy nhiên, trong trường hợp của chúng ta là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian véc tơ, những đối tượng có phép toán, cấu trúc Vì vậy, rất có thể

dim

24

chúng ta sẽ có những đặc trưng đặc biệt cho tính chất đơn cấu tuyến tính, toàn cấu tuyến tính và đẳng cấu tuyến tính Cụ thể, ddonhj lý dưới đây cho chúng

ta một danh sách các điều kiện tương đương với một đơn cấu tuyến tính

Định lý 1.3.2.1 Cho V,W là các K-không gian véc tơ và là ánh

xạ tuyến tính trên K Ta có các mệnh đề sau là tương đương:

không gian véc tơ như sau: Nếu ta có tổ hợp tuyến tính

là hệ véc tơ độc lập tuyến tính trong K-không gian véc tơ V nên chúng ta có ngay rằng các hệ số đồng nhất bằng không, tức là chúng ta có

Vì vậy, hệ vé tơ độc lập tuyến tính trong K-không gian véc tơ W

như bài tập)

trong K-không gian véc tơ W Khi đó hệ này sinh ra K-không gian véc tơ W Thật vậy:

véc tơ độc lập tuyến tính trong K-không gian véc tơ W

ta có :

tuyến tính trong K-không gian véc tơ W nên dễ dàng chúng ta có được

Vì vậy, chúng ta có ngay rằng đồng cấu tuyến tính là một đơn cấu tuyến tính

26

1.3.3 Định lý đồng cấu tuyến tính các không gian vectơ

Ở mục trên chúng ta thấy rằng, một đơn cấu tuyến tính có rất nhiều điều kiện tương đương Điều này có nghĩa rằng, nếu chúng ta biết một đơn cấu tuyến tính cũng đồng nghĩa với việc chúng ta có rất nhiều tính chất, thông tin của đồng cấu này và ngược lại Vì vậy, một câu hỏi tự nhiên cho mục này rằng liệu từ một đồng cấu tuyến tính chúng ta có thể xây dựng được một đơn cấu tuyến tính hay không?

Định lý 1.3.3.1 Giả sử là một ánh xạ tuyến tính trên trường K Khi đó f cảm sinh một ánh xạ tuyến tính trên K xác định bởi

là một đơn cấu Đặc biệt, đơn cấu tuyến tính này tạo ra một đẳng cấu tuyến tính từ lên Imf

+) Xét ánh xạ tuyến tính (ánh xạ này xác định vì ảnh của ánh xạ cảm sinh từ f bằng với ảnh của f)

Ta có

Kết hợp với ánh xạ f là đơn cấu tuyến tính chúng ta suy ra là đẳng cấu tuyến tính

Hệ quả 1.3.3.2 (Định lý về số chiều của tự đồng cấu tuyến tính) Đối

với ánh xạ tuyến tính bất kì trên trường K, ở đây không gian véc tơ

là không gian vectơ hữu hạn chiều trên K Khi đó ta có đẳng thức số chiều:

Chứng minh

Hay

Hệ quả 1.3.3.3 Giả sử là một ánh xạ tuyến tính trên K Khi

đó, với mọi K-không gian vectơ con của thì ảnh của T có số chiều không lớn hơn số chiều của ảnh của f, tức là ta luôn có:

dimV  dimKerf  dim Imf

Chú ý 1.3.3.7 Khi ta sẽ gọi ma trận của trong cặp cơ sở

Định lý 1.3.3.8 Giả sử là một không gian vectơ hữu hạn chiều và

là một tự đồng cấu tuyến tính của Khi đó, các mệnh đề dưới đây là các mệnh đề tương đương:

của không gian véc tơ hữu hạn chiều V

Vì vậy, ta có:

Tự đồng cấu tuyến tính của K-không gian véc tơ hữu hạn chiều V là

tuyến tính Do đó hiển nhiên ta có điều phải chứng minh cho ba mệnh đề tương đương trong định lý

1.3.4 Ma trận đổi cơ sở của tự đồng cấu tuyến tính

Ở mục trên chúng ta đã có, nếu chúng ta cố định một cơ sở của không gian véc tơ V thì mỗi tự đồng tuyến tính của V là tương ứng với duy nhất một

ma trận có dạng:

:

f V V V

:

f V V V

ở đây m = dimW và ánh xạ tuyến tính f được cho bởi một biểu thức tọa độ có dạng f(x)=Ax Chúng ta có một câu hỏi ngay lập tức rằng: Nếu bây giờ chúng

ta xét ánh xạ tuyến tính này trong hai cơ sở khác nhau của K-không gian véc

tơ V thì các biểu thức tọa độ (ma trận) tương ứng của f sẽ có mối quan hệ với nhau như thế nào? Định lý dưới đây sẽ cho chúng ta câu trả lời về câu hỏi thú

vị này

Định lý 1.3.4.1 Giả sử và là hai cơ sở của không gian vectơ , là ma trận chuyển từ cơ sở sang cơ sở và

là một tự đồng cấu tuyến tính của Khi đó, nếu ánh xạ tuyến tính

có ma trận trong cơ sở , có ma trận là trong cơ sở thì ma trận đồng dạng với ma trận Cụ thể là ta có

Chứng minh

Ta có

Mặt khác

Suy ra từ hai đẳng thức trên ta được:

30

Hệ quả 1.3.4.2 a) Hai ma trận đồng dạng với nhau khi và chỉ khi chúng

là ma trận của cùng một tự đồng cấu tuyến tính của một không gian vectơ trong hai cơ sở tương ứng nào đó của không gian này

b) Định thức của ma trận của một tự đồng cấu tuyến tính trong những cơ

sở khác nhau của không gian là như nhau

Định nghĩa 1.3.4.3 Cho Gọi là ma trận của trong một cơ sở nào đó của Khi đó, ta định nghĩa:

a) là định thức của tự đồng cấu tuyến tính và kí hiệu là b) Tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận là vết của Kí hiệu là vết :

Ta cũng gọi số này là vết của ma trận , kí hiệu là vết

1.3.5 Không gian vectơ đối ngẫu

Như chúng ta đã biết ánh xạ tuyến tính từ K-không gian véc tơ V đến K-không gian véc tơ W Tuy nhiên chúng ta cũng biết bản thân trường K cũng là một K không gian véc tơ nên chúng ta cũng sẽ có ánh xạ tuyến tính từ K-không gian véc tơ V đến K-không gian véc tơ K Từ tính chất đặc biệt đó, chúng ta mong muốn và hy vọng rằng các ánh xạ tuyến tính từ K-không gian véc tơ V đến K-không gian véc tơ K sẽ

có những tính chất đặc biệt nào đó

Định nghĩa 1.3.5.1 Cho V là Kkhông gian vectơ Ta gọi Hom V K là không ( , )

gian vectơ đối ngẫu của V và kí hiệu là V* Mỗi phần tử của *

V được gọi là một dạng tuyến tính trên V

Để ý, nếu dimV n thì dim *V  dimHom V K( , ) n Do đó *

V V Điều này không còn đúng nữa khi V là không gian vectơ vô hạn chiều



Định nghĩa 1.3.5.2 Giả sử : f V W là một ánh xạ tuyến tính Ta gọi là ánh xạ đối ngẫu của ánh xạ tuyến tính f , là một ánh xạ, kí hiệu là *

f cho bởi:

*

0

:

nghĩa là ta có f   r f r  với mọi rV,W

Mệnh đề 1.3.5.3 Ánh xạ đối ngẫu f:W V của ánh xạ tuyến tính f V: W

bằng dimV nên để chứng minh hệ này là một cơ

sở của V, ta chỉ cần chỉ ra nó độc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử có

1

0

n

i i i

32

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.3.5.5 Ta gọi cơ sở 1  , ,n

của V nói trong mệnh đề 3.4 là cơ sở đối ngẫu với cơ sở     r1, ,rn của không gian vectơ V

Ta có đẳng cấu tuyến tính giữa không gian véc tơ V và không gian véc tơ đối ngẫu của nó, cụ thể là cho bởi ánh xạ:

 

:

là một đẳng cấu và đẳng cấu này không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở của V Việc chứng minh của khẳng định này dành cho bạn đọc, xem như bài tập

Định lý 1.3.5.6 Giả sử ánh xạ tuyến tính :f V W có ma trận A trong cặp cơ sở

  e  er1, ,ern,   r1 , ,rm Khi đó ánh xạ đối ngẫu của f là f:W V

m

j kj k k

34

BÀI TẬP Bài 1.1

Xét xem các ánh xạ cho trong các trường hợp sau đây có phải ánh xạ tuyến tính trên các trường tương ứng hay không?

a) Nếu hệ vectơ  r r1, 2,K,rm phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ

vectơ f    r1 , f r2 ,K , f  rm  phụ thuộc tuyến tính trong W

b) rank f    r1 , f r2 ,K , f  rm rank r r1, 2,K ,rm

Hướng dẫn

a) Dùng tính chất bảo toàn tổ hợp tuyến tính của một ánh xạ tuyến tính b) Sử dụng kết quả phần a) ta thấy ngay rằng mọi hệ các véc tơ độc lập tối đại trong hệ các véc tơ f    r1 , f r2 ,K , f  rm  của K-không gian véc tơ

W đều có số véc tơ không lớn hơn số véc tơ độc lập tuyến tính tối đại trong hệ các véc tơ  r r1, 2,K,rm của K-không gian cé véc tơ V Từ đó ta có ngay kết quả của bài toán

Bài 1.3

Cho hệ vectơ sau trong ¡ : 3

     

r1 1,1,1 ,r2 1,1,0 ,r3 1,0,0 

r1 2,2,2 ,r2 1,1,2 ,r3 0,1,1 a) Viết ma trận của tự đồng cấu tuyến tính của ¡ biến 3 ri tương ứng thành ri, i1,2,3, trong cơ sở chính tắc của ¡ 3

b) Viết ma trận của tự đồng cấu tuyến tính của ¡ biến 3 ri tương ứng thành ri, i1,2,3, trong cơ sở chính tắc của¡ 3

c) Tìm ảnh của r 1,2,3 qua các tự đồng cấu tuyến tính trên

Hướng dẫn

Biễu diễn các véc tơ trong hệ r12,3,5, r2 0,1,2, r3 1,0,0 và

hệ r1 1,1,1, r2 1,1, 1 , r3 2,1,2 qua cơ sở cho ban đầu Từ đó tính các ma trận tương ứng với các ánh xạ tuyến tính yêu cầu

36

Tìm ma trận chuyển P từ cơ sở B sang cơ sở B và ma trận chuyển P từ

cơ sở B sang cơ sở B

Hãy tìm ma trận của f đối với cơ sở B

Hướng dẫn

Ma trận của f đối với cơ sở B sai khác so với ma trận của f đối với cơ

sở B bởi một phép đổi tọa độ P từ cơ sở B sang cơ sở B Từ đó chúng ta dễ dàng có thể giải quyết bài toán trên

Bài 1.6

Cho trong K hệ vectơ n  r r1, 2,K,rn độc lập tuyến tính và một hệ n

vectơ tùy ý  r r1, 2,K,rn Giả sử : n n

tính của K xác định bởi điều kiện n f  ri ri,i1, ,n Gọi ,A B tương ứng

là ma trận các cột tọa độ của hệ vectơ  r1, r2,K ,rn và hệ vectơ  r r1, 2,K,rn đối với một cơ sở e er r1, ,2 K,ern nào đó đã chọn của K Chứng minh rằng, n

Ma trận của một tự đồng cấu tuyến tính của không gian vectơ V trong cơ

sở e er r1, ,2 K,ern của V sẽ thay đổi như thế nào nếu ta đổi chỗ hai vectơ eri và

j

Bài 1.10

véc tơ  e  e er r1, ,2 K,ern   ,    r r1, 2,K ,rm là những cơ sở tương ứng trong

V và W và A là ma trận của f đối với hai cơ sở này Chứng minh rằng: a) Hệ vectơ f e   r1 , f er2 ,K , f e rn  là một hệ sinh của Im f