Tập bài giảng hình học xạ ảnh

Nó cũng không nằm ngoài mục đích nhằm làm một bộ các bài giảng tiêu chuẩn chung cho các cán bộ trường ĐHSP Hà Nội 2 theo chương trình mới vừa qua của Bộ GD và ĐT, đòi hỏi không những phả

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Nguyễn Thị Trà (chủ biên) Phạm Thanh Tâm

TẬP BÀI GIẢNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH

(Lưu hành nội bộ)

HÀ NỘI - NĂM 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Nguyễn Thị Trà (chủ biên) Phạm Thanh Tâm

TẬP BÀI GIẢNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH

(Tài liệu dùng cho sinh viên hệ sư phạm Toán trường ĐHSP Hà Nội 2)

HÀ NỘI - NĂM 2016

MỤC LỤC

Contents

MỤC LỤC iii

LỜI NÓI ĐẦU 3

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 7

1.1 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH VÀ CÁC PHẲNG 7

1.1.1 Các định nghĩa 7

1.1.2 Phẳng trong không gian xạ ảnh 8

1.1.3 Hệ điểm độc lập xạ ảnh 8

1.1.4 Định lý Desargue thứ nhất 10

Bài tập áp dụng 12

1.2 CÁC MÔ HÌNH CỦA KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 14

1.2.1 Mô hình vectơ 14

1.2.2 Mô hình bó 14

1.2.3 Mô hình aphin 15

1.2.4 Mô hình xây dựng từ một trường 16

Bài tập áp dụng 16

1.3 TỌA ĐỘ XẠ ẢNH 18

1.3.1 Mục tiêu xạ ảnh 18

1.3.2 Tọa độ điểm đối với một mục tiêu xạ ảnh 19

1.3.3 Đổi mục tiêu xạ ảnh 21

1.3.4 Cách xác định ma trận chuyển 22

Bài tập áp dụng 24

1.4 PHƯƠNG TRÌNH CỦA mPHẲNG 25

1.4.1 Phương trình tham số của mphẳng 25

1.4.2 Phương trình tổng quát của mphẳng 26

1.4.3 Tọa độ của siêu phẳng 28

1.4.4 Hệ siêu phẳng độc lập 29

Bài tập áp dụng 30

1.5 TỈ SỐ KÉP CỦA BỐN ĐIỂM THẲNG HÀNG 33

1.5.1 Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng 33

1.5.2 Tính chất tỉ số kép 34

1.5.3 Tỷ số kép tính theo tọa độ xạ ảnh 35

1.5.4 Hàng điểm điều hòa 37

1.5.5 Hình bốn đỉnh toàn phần 37

1.5.6 Bài tập áp dụng 40

1.6 TỶ SỐ KÉP CỦA CHÙM BỐN SIÊU PHẲNG 42

1.6.1 Chùm siêu phẳng 42

1.6.2 Tỉ số kép của bốn siêu phẳng thuộc chùm 43

1.6.3 Chùm bốn siêu phẳng điều hòa 45

1.6.4 Hình bốn cạnh toàn phần 46

1.6.5 Bài tập áp dụng 47

1.7 NGUYÊN TẮC ĐỐI NGẪU 49

1.7.1 Phép đối xạ trong P n 49

1.7.2 Các tính chất của phép đối xạ 49

1.7.3 Nguyên tắc đối ngẫu 50

1.7.4 Khái niệm và định lý đối ngẫu 52

1.7.5 Bài tập áp dụng 53

1.8 MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFIN 54

1.8.1 Xây dựng mô hình 54

1.8.2 Mục tiêu afin trong mô hình 55

1.8.3 Các phẳng trong mô hình 56

1.8.4 Hai phẳng song song trong mô hình 57

1.8.5 Ý nghĩa afin của tỉ số kép và ý nghĩa xạ ảnh của tỉ số đơn 59

1.8.6 Áp dụng 61

1.8.7 Bài tập áp dụng 63

2.1 ÁNH XẠ XẠ ẢNH 64

2.1.1 Các định nghĩa 64

2.1.2 Tính chất của ánh xạ xạ ảnh 64

2.1.3 Định lí về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh 66

2.1.4 Đẳng cấu xạ ảnh và Hình học xạ ảnh 66

2.1.5 Biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh 68

2.1.6 Liên hệ giữa biến đổi xạ ảnh và biến đổi afin 69

2.1.7 Câu hỏi và bài tập áp dụng 71

2.2 CÁC PHÉP THẤU XẠ TRONG n P 73

2.2.1 Các định nghĩa 73

2.2.2 Biểu thức tọa độ của phép thấu xạ 73

2.2.3 Tính chất của phép thấu xạ 74

2.2.4 Phép thấu xạ đơn 75

2.2.5 Các phép thấu xạ trong 2 P và P3 77

2.2.6 Các phép biến đổi afin sinh ra bởi các phép thấu xạ 79

2.2.7 Bài tập áp dụng 80

2.3 CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH 82

2.3.1 Định lí thứ nhất 82

2.3.2 Định lí thứ 2 83

2.3.3 Định lí thứ 3 84

Chương 3 SIÊU MẶT BẬC HAI XẠ ẢNH 85

3.1 SIÊU MẶT BẬC HAI VÀ PHÂN LOẠI XẠ ẢNH CỦA CHÚNG 85

3.1.1 Định nghĩa và kí hiệu 85

3.1.2 Giao của siêu mặt bậc hai và phẳng 87

3.1.3 Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực 87

3.1.4 Phân loại siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực 88

3.1.5 Phân loại xạ ảnh của các siêu mặt bậc hai trong và 89

3.1.6 Liên hệ giữa siêu mặt bậc hai xạ ảnh và siêu mặt bậc hai afin 90

3.1.7 Đường ôvan trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin thực 91

3.1.8 Bài tập áp dụng 93

3.2 ĐIỂM LIÊN HỢP, PHẲNG TIẾP XÚC VÀ SIÊU DIỆN LỚP HAI 95

3.2.1 Điểm liên hợp 95

3.2.2 Tính chất 95

3.2.3 Siêu phẳng đối cực và điểm kì dị 98

3.2.4 Siêu phẳng tiếp xúc của siêu mặt bậc hai 99

3.2.5 Siêu phẳng liên hợp đối với siêu mặt bậc hai không suy biến 99

3.2.6 Siêu diện lớp hai 101

3.2.7 Đối ngẫu 102

3.2.8 Định lí Mác – Lôranh 103

3.2.9 Một số khái niệm aphin 104

3.2.9 Bài tập áp dụng 104

3.3 ÁNH XẠ XẠ ẢNH GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC CHÙM ĐƯỜNG THẲNG TRONG 108

3.3.1 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm 108

3.3.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng 109

3.3.3 Áp dụng 111

3.3.4 Định lí Steniner 112

3.3.5 Cách xác định một đường ôvan trong 115

3.3.6 Bài tập áp dụng 116

3.4 ĐỊNH LÍ PASCAL VÀ ĐỊNH LÍ BRIĂNGSÔNG 118

3.4.1 Hình sáu đỉnh và định lí Pascal 118

3.4.2 Các trường hợp đặc biệt của định lí Pascal 119

3.4.3 Định lí Briăngsông 121

3.4.4 Phép biến đổi xạ ảnh của một đường ôvan 123

3.4.5 Định lí Frêgiê 125

3.4.6 Đối ngẫu của định lí Frêgiê 125

m 

 

2

P R

2

P

  2

P ¡

3.4.7 Bài tập áp dụng 126

3.5 BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH ĐỐI HỢP CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ 129

ĐỊNH LÍ DESARGUE THỨ HAI 129

3.5.1 Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đường thẳng 129

3.5.2 Điểm bất động của phép đối hợp 129

3.5.3 Xác định một phép đối hợp 130

3.5.4 Chùm đường bậc hai và định lí Desargue thứ hai 131

3.5.5 Đối ngẫu của định lí Desargue thứ hai 132

3.5.6 Bài tập áp dụng 132

3.6 MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN ƠCLIT 135

3.6.1 Xây dựng mô hình 135

3.6.2 Cái tuyệt đối của không gian Ơclit 135

3.6.3 Một số kết quả của hình học Ơclit trong mô hình 137

3.6.4 Phương chính của siêu mặt bậc hai trong 2 E 141

3.6.5 Tiêu điểm của đường cônic trong 2 E 142

3.6.6 Công thức Laghe (Laguerre) 144

3.6.7 Bài tập áp dụng 145

Tài liệu tham khảo 147

LỜI NÓI ĐẦU

Tập bài giảng về Hình học xạ ảnh biên soạn lần này, nằm trong khuôn khổ của cuộc đổi mới về chương trình đào tạo theo hình thức tiếp cận năng lực đầu

ra của người học Nó cũng không nằm ngoài mục đích nhằm làm một bộ các bài giảng tiêu chuẩn chung cho các cán bộ trường ĐHSP Hà Nội 2 theo chương trình mới vừa qua của Bộ GD và ĐT, đòi hỏi không những phải đổi mới những nội dung kiến thức (nếu cần) và cả phương pháp giảng dạy của giảng viên cũng như phương pháp học tập của sinh viên Mặt khác, qua một thời gian dài thực hiện chương trình, sử dụng sách giáo trình cũ và giảng dạy tại trường ĐHSP Hà Nội 2, đến nay chúng tôi đã có thể đánh giá những ưu, khuyết điểm của hệ thống tài liệu học tập của sinh viên, sự phù hợp của nó với trình độ đầu vào của sinh viên các trường đại học sư phạm và đặc biệt chúng tôi đã có cảm nhận về những khó khan đối với sinh viên khi học tập môn Hình học xạ ảnh Do

đó tập bài giảng được biên soạn lần này cũng thừa hưởng những ưu điểm và khắc phục những thiếu sót của những cuốn sách cũ, cũng như nó sẽ khá phù hợp cho sinh viên sử dụng Đối tượng sử dụng cuốn sách này là sinh viên và giảng viên các trường ĐHSP Hà Nội 2 Tập bài giảng cũng có thể được dùng cho các trường Đại học và Cao đẳng khác và cho tất cả những ai muốn tự học môn học này (nếu có sự đồng ý của trường ĐHSP Hà Nội 2)

Cơ sở để nhóm tác giả lựa chọn nội dung của tập bài giảng này dựa trên sự thay đổi về hình thức đào tạo của trường ĐHSP Hà Nội 2, yêu cầu đầu ra và trình độ đầu vào của sinh viên trường ĐHSP Hà Nội 2 hiện nay và những năm gần đây Ngoài ra, nhóm tác giả cũng chú ý đến tính đến vai trò của môn học đối với các môn khoa học khác như Giải tích, Hình học, Vật lý, Hoá học,v.v đáp ứng nhu cầu học tập liên giữa các ngành, và tạo điều kiện cho người học có thể

tự học và học lên cao hơn Cụ thể, tập bài giảng này phải trang bị được cho người giáo viên toán tương lai ở trường THPT những kiến thức cần thiết, đầy đủ

và vững vàng về Đại số tuyến tính để giảng dạy tốt những phần liên quan trong chương trình toán THPT Tuy nhiên, nội dung và phương pháp trình bày những nội dung ấy lại phải phù hợp với trình độ nhận thức và khả năng tiếp nhận sinh viên Mặt khác, tập bài giảng này cũng phải cung cấp đầy đủ kiến thức giúp người đọc có thể tự học và học được những môn khoa học khác như đã nói trên; đồng thời đáp ứng mong muốn của những sinh viên có hoài bão nâng cao hơn nữa trình độ của mình Vì thế, nội dung tập bài giảng chứa đựng những điều rất

cơ bản mà mọi sinh viên cần nắm vững, nhưng cũng có những phần không đòi hỏi mọi sinh viên đều phải hiểu

Chúng ta trong cộng đồng của thế giới, đang sống cùng với hình học Euclid

và cùng với một thực tế rằng hình học Euclid có thể mô tả thế giới xung quanh

của chúng ta khá tốt Trong hình học Euclid, kích thước của những vật có độ dài, hai đường thẳng cắt nhau xác định góc giữa chúng, hai đường thẳng song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không cắt nhau Hơn nữa các tính chất này là không thay đổi khi chúng ta thực hiện một phép biến đổi Euclid (chẳng hạn như phép tịnh tiến, phép đối xứng, phép quay, …) Tuy nhiên, khi chúng ta xem xét quá trình xử lý của máy ảnh của một camera, chúng trở nên đơn giản để thấy rằng hình học Euclid thực sự không còn phù hợp nữa: độ dài và góc là không được bảo toàn, hai đường thẳng song song có thể cắt nhau

Trên thực tế hình học Euclid là một phần nhỏ của hình học xạ ảnh, giữa chúng còn có hai loại hình học khác là hình học aphin và hình học đồng dạng Các loại hình học này có mối quan hệ với nhau, để xem xét mối quan hệ giữa các loại hình học này người ta xem xét đến các mô hình: mô hình aphin của không gian xạ ảnh, mô hình xạ ảnh của không gian aphin, mô hình xạ ảnh của không gian Euclid, …

Tập bài giảng về Hình học xạ ảnh này gồm ba chương:

Chương I Không gian xạ ảnh

Trong chương này, chúng tôi trình bày về các nội dung: Không gian xạ ảnh, các phẳng trong không gian xạ ảnh, các mô hình của không gian xạ ảnh, tọa độ

xạ ảnh, phương trình của các phẳng trong không gian xạ ảnh, tỉ số kép của bón điểm thẳng hang và chum bốn đường thẳng đồng qui, nguyên tắc đối ngẫu và

mô hình xạ ảnh của không gian aphin

Chương II Ánh xạ xạ ảnh

Trog chương này, chúng tôi trình bày về các nội dung: Ánh xạ xạ ảnh và các tính chất, các phép thấu xạ trong không gian xạ ảnh và các định lý cơ bản của ánh xạ xạ ảnh

Chương III Siêu mặt bậc hai xạ ảnh

Trong chương này, chúng tôi trình bày các nội dung: siêu mặt bậc hai xạ ảnh, tính liên hợp và đối cực trong không gian xạ ảnh, ánh xạ xạ ảnh giữa các đường thẳng và các chùm đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh, định lý Pascal

và định lý Briachon, biến đổi xạ ảnh đối hợp và định lý Desargues thứ hai, mô hình xạ ảnh của không gian Euclid

Mỗi chương đều có phần mở đầu nêu lên những yêu cầu và cách học tập của chương ấy Cuối mỗi chương có phần tóm tắt đôi nét chính nội dung của chương để bạn đọc có dịp ôn tập lại Phần bài tập có một số lượng có thể vượt quá yêu cầu chung đôi chút vì các tác giả cuốn sách mong muốn giúp cho những bạn đọc ham thích môn học này có thêm cơ

hội rèn luyện kĩ năng Vì vậy, đối với số đông sinh viên thì giảng viên cần chỉ dẫn cho họ những bài cụ thể Tuy nhiên bạn đọc cố gắng giải càng nhiều bài tập càng tốt Để có thể sử dụng tập bài giảng này, người học cần được bổ sung kiến thức về số phức, nghiệm phức của một đa thức khi mà chương trình Toán ở THPT chưa đề cập tới; hơn nữa cũng cần có khái niệm về các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường để tiện diễn đạt và bắt nhịp được với cách trình bày giáo trình; cần củng cố vững vàng kiến thức toán học bậc THPT Giáo trình này được học sau học phần Đại số tuyến tính 1, Đại số tuyến tính

2 và Hình học tuyến tính khi mà người học được trang bị những kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính và hình học trực quan Khi giảng viên sử dựng tập bài giảng này để giảng dạy giá, có thể kết hợp nhiều hình thức như thuyết trình của giảng viên, hướng dẫn sinh viên tự đọc sách, tổ chức, semina, v.v Một điều mà các tác giả muốn lưu ý thêm đối với các giảng viên là: vì tập bài giảng còn được

sử dụng để sinh viên tự học nên có nhiều chỗ phải đặt vấn đề dẫn dắt người học,

có nhiều ví dụ Do đó khi giảng bài ở lớp, các giảng viên nên lựa chọn những điều cần thiết nhất để có đủ thời gian truyền đạt những kiến thức cơ bản, những phần còn lại dành cho sinh viên tự học Cũng như đã nói trên, Hình học nói chung và Hình học xạ ảnh nói riêng có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế

ở THPT, do đó sinh viên cần có kĩ năng vận dụng kiến thức và kỹ năng tính toán

và áp dụng vào giải các bài tập ở THPT Muốn thế việc thực hành của sinh viên cần được coi trọng và chúng ta cần lựa chọn hình thức giảng dạy thích hợp để đảm bảo giữa việc học lý thuyết ở lớp và thời gian cho việc giải bài tập của sinh viên

Đối với người học, khi học theo tập bài giảng này này luôn luôn có giấy và bút trong tay để tự mình mô tả các khái niệm dựa theo những định nghĩa; tự mình chứng minh các định lí sau khi đã tìm hiểu kĩ giả thiết và kết luận; vận dụng các khái niệm, các định lí để tự mình trình bày các ví dụ cho trong sách Cuối mỗi chương có phần tóm tắt, bạn đọc nên tận dụng nó để củng

cố và hệ thống lại kiến thức đã học được ở chương ấy Cũng cần nói thêm rằng Đại số tuyến tính là một trong những ngành khoa học cổ nhất nhưng cũng rất hiện đại và hình học xạ ảnh được xây dựng dựa trên nền là Đại số tuyến tính Những điều được trình bày ở đây chỉ là những điều cơ bản nhất, mở đầu của Đại số tuyến tính trên trường số (mà chủ yếu là trường số thực) Còn nhiều vấn đề nội dung chưa thể đề cập tới

Cuối cùng, các tác giả hi vọng rằng tạp bài giảng này sẽ đáp ứng được những đòi hỏi của chương trình, những mong muốn của người dạy và bạn đọc Tuy nhiên, tập bài giảng cũng sẽ khó tránh khỏi hết mọi khiếm khuyết Vì thế, các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến của bạn đọc để có thể sửa chữa những

sai sót làm cho tập bài giảng này ngày càng hoàn thiện và ngày càng hữu ích hơn

Xin chân thành cảm ơn!

NHÓM TÁC GIẢ 1

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

Trong chương này, đầu tiên chúng ta sẽ xem xét và giới thiệu khái niệm, tính chất và các ví dụ minh họa cho không gian xạ ảnh và các định nghĩa cơ sở quan trọng khác trong không gian xạ ảnh

P được gọi là một điểm của không gian xạ ảnh n

P Với mỗi ur 0r, urV n1 thì   n

 r   , ta nói vectơ ur là vectơ đại

diện của điểm U

Nhận xét 1.1.1.2 Hai vectơ ur và ur (khác 0r ) cùng đại diện cho một điểm, tức là    ur  ur U khi và chỉ khi:

ur kur , kK\ 0  Tương tự như trong không gian aphin, chúng ta cũng sẽ đưa vào khái niệm của các phẳng xạ ảnh, một đối tượng trung tâm của khong gian xạ ảnh

1.1.2 Phẳng trong không gian xạ ảnh

Định nghĩa 1.1.2.1 Cho không gian xạ ảnh P n và W là không gian vectơ con m1 chiều của V n1 m0

3) Mỗi 2-phẳng xạ ảnh tương ứng là ảnh của tập các không gian véc tơ con 1 chiều của không gian véc tơ 3 chiều qua song ánh p, nó còn được gọi là mặt phẳng

4) Mỗi (n-1)-phẳng xạ ảnh tương ứng là ảnh của tập các không gian véc tơ con 1 chiều của không gian véc tơ n chiều qua song ánh p, nó còn được gọi là siêu phẳng

Nhận xét 1.1.2.3 Mỗi mphẳng      W là không gian xạ ảnh m chiều

liên kết với không gian vectơ W bởi song ánh :

 W : W

Việc chứng minh khẳng định của nhận xét này chỉ đơn giản là việc dùng định nghĩa và kiểm tra tính chất song ánh nên chúng tôi dành cho bạn đọc xem như là một bài tập thực hành

1.1.3 Hệ điểm độc lập xạ ảnh

Cho không gian xạ ảnh n

P là không gian xạ ảnh n chiều liên kết với K không gian vectơ n 1

V  bởi song ánh 

Định nghĩa 1.1.3.1 Ta gọi hệ gồm r điểm M M1, 2, ,M r r1của không gian xạ ảnh n

P là hệ độc lập xạ ảnh nếu hệ gồm r vectơ m mr1, r2, ,mrr tương ứng đại diện cho các điểm là một hệ véctơ độc lập tuyến tính trong n 1

V  Một hệ các điểm trong không gian xạ ảnh không độc lập xạ ảnh sẽ được gọi

1) Hệ chỉ gồm 1 điểm luôn luôn là hệ điểm độc lập xạ ảnh

2) Hệ gồm 2 điểm độc lập xạ ảnh hai điểm đó phân biệt

3) Hệ gồm 3 điểm độc lập xạ ảnh  ba điểm đó không thẳng hàng

Tổng quát hơn những nhận xét ở trên, dùng lý luận của không gian véc tơ chúng ta sẽ có một đặc trưng cho hệ các điểm bất kì là độc lập xạ ảnh bởi kết quả của định lý sau :

Định lí 1.1.3.3 Hệ r điểm trong không gian xạ ảnh ( r0) là độc lập xạ ảnh khi và chỉ khi chúng không tồn tại một r 2 phẳng xạ ảnh nào mà có thể chứa được r điểm đó

Chứng minh

Hệ M M1, 2, ,M r là hệ độc lập xạ ảnh của P n khi và chỉ khi hệ các vectơ đại diện m mr1, r2, ,mrr độc lập tuyến tính Như vậy m mr1, r2, ,mrr không cùng thuộc một không gian vectơ con r1 chiều, hay nói cách khác rằng hệ các điểm M M1, 2, ,M r không cùng nằm trên một r 2 phẳng xạ ảnh

Trong hình học aphin chúng ta có một kết quả bảo rằng: Qua r điểm độc lập aphin bất kì luôn tồn tại duy nhất một (r-1)-phẳng aphin chứa các điểm đó Một kết quả tương tự cho các điểm độc lập xạ ảnh trong hình học xạ ảnh được phát biểu thành định lý sau đây :

Định lí 1.1.3.4 Có duy nhất một r 1 phẳng đi qua hệ r điểm độc lập xạ

Vì vậy có duy nhất r 1 phẳng      W đi qua M M1, 2, ,M r

Kí hiệu Chúng ta kí hiệu M M1, 2, ,M r là r 1 phẳng đi qua r điểm

độc lập M M1, 2, ,M r

Định lý tiếp sau đây cho chúng ta một công cụ đắc lực khi ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải quyết một số bài toán về thẳng hàng hoặc đồng quy

1.1.4 Định lý Desargue thứ nhất

Định lí 1.1.4.1 Trong không gian xạ ảnh cho 6 điểm A B C A B C, , ,   , ,

trong đó, không có 3 điểm nào thẳng hàng Khi đó, hai mệnh đề sau tương đương:

Do vectơ đại diện có thể sai khác thừa số khác 0 nên ta có thể chọn:

sr  ar ar Tương tự:

sr  br br, sr  cr cr

Do đó:

ar     ar br br cr cr Đặt:

pr    ar br br ar Khi đó pr là vectơ đại diện của điểm:

PABA B 

Tương tự, qr    br cr cr br thì qr là vectơ đại diện của điểm QBCB C 

rr    ar cr cr arthì rr là vectơ đại diện của RACA C 

Xét 6 điểm A A R B B Q, , , , , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng cùng với ba đường thẳng AA BB QR, , đồng quy tại P Theo chứng minh trên, các giao điểm

S  AABB, C ARBQ, C A R B Qthẳng hàng Vậy 3 đường thẳng AA BB CC, ,  đồng quy

Bài tập áp dụng

Bài 1.1.1

Chứng minh rằng trong không gian xạ ảnh 2

P :

a Qua hai điểm phân biệt có một và chỉ một đường thẳng

b Hai đường thẳng phân biệt có duy nhất một điểm chung

a Giao (theo nghĩa tập hợp) của hai phẳng nếu không rỗng là phẳng nào đó

b p- phẳng và (n-p)–phẳng luôn luôn có điểm chung

c Giao của một siêu phẳng và một m-phẳng không nằm trên siêu phẳng đó

Bài 1.1.7

Hệ k + 1 điểm (k ≥ 2) của gọi là hệ điểm phụ thuộc ở vị trí tổng quát nếu

hệ đó không độc lập, nhưng mọi hệ con thực sự của nó đều độc lập

Giả sử là hệ điểm phụ thuộc ở vị trí tổng quát

Chứng minh rằng nếu thì giao của

Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng MN, AC, PQ đồng quy thì ba đường thẳng MQ, BD, NP cũng đồng quy và ngược lại

1.2 CÁC MÔ HÌNH CỦA KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

Các khái niệm mở đầu cơ bản về không gian xạ ảnh chúng ta đã biết trong tiết trước Tiết này để giúp dễ hiểu hơn ta xem xét một số mô hình không gian

xạ ảnh liên kết với các không gian véctơ quen thuộc

Trong mô hình này ta có:

+ Mỗi điểm của mô hình vectơ này là một không gian vectơ con 1 chiều của

không gian véc tơ n 1

V  + Mỗi mphẳng là tập hợp các không gian vectơ 1 chiều thuộc một không gian vectơ con m1 chiều của không gian véc tơ V n1

Trong mô hình này ta có:

+ Mỗi điểm xạ ảnh là một đường thẳng của n 1

A  đi qua O

+ Mỗi mphẳng là tập hợp các đường thẳng đi qua O và nằm trong cái

phẳng m1 chiều của A n1

là không gian xạ ảnh liên kết với n 1

V  thông qua song ánh

1

 o    

Trong mô hình này ta có:

+ Mỗi điểm xạ ảnh trong mô hình aphin này hoặc là một điểm của không gian aphin n

A , hoặc là một không gian vectơ con 1 chiều của không gian véc tơ

1.2.4 Mô hình xây dựng từ một trường

Mô hình 1.2.4.1 Cho K là một trường

Gọi n

S là siêu cầu thực trong không gian Ơclit n 1

E  và gọi  n

S là tập các cặp điểm xuyên tâm đối của n

S (tập các phần tử của  n

S có thể đồng nhất với tập các đường thẳng đi qua tâm của siêu cầu)

S 

a Hãy làm choS n1 trở thành không gian xạ ảnh n chiều

b Hãy chỉ ra cụ thể trong mô hình trên, các m-phẳng xạ ảnh là những tập nào? Cùng giống như bài tập trên hãy chỉ ra cụ thể một điểm là gì, một đường thẳng là gì trong mô hình này

1.3 TỌA ĐỘ XẠ ẢNH

Phương pháp tọa độ là một trong các phương pháp rất hữu hiệu để giải các bài toán hình học Nhờ có phương pháp này mà các bài toán chứng minh thẳng hàng, quỹ tích, vuông góc…được giải quyết một cách dễ dàng hơn Trong hình học xạ ảnh nói riêng, nó cũng thể hiện vai trò vô cùng quan trọng Tuy nhiên trước khi đi vào ứng dụng chứng minh các bài toán xạ ảnh bằng phương pháp tọa độ, trong tiết này chúng ta sẽ đưa ra các khái niệm cơ bản về mục tiêu xạ ảnh, tọa độ xạ ảnh…

1.3.1 Mục tiêu xạ ảnh

Định nghĩa 1.3.1.1 Cho không gian xạ ảnh n

P liên kết với K - không gian vectơ n 1

V  Một tập hợp có thứ tự gồm n2 điểm S S0, , ,1 S E của n;  P n được gọi là mục tiêu xạ ảnh nếu bất kì n1 điểm trong n2 điểm đó đều độc lập

Trong đó:

- Các điểm S i gọi là đỉnh thứ i của mục tiêu xạ ảnh, i0,n

- Điểm E gọi là đỉnh đơn vị của mục tiêu

- Các mphẳng mn đi qua m1 đỉnh gọi là các mphẳng tọa độ

- Đường thẳng S S i j i j gọi là trục tọa độ

Định lí 1.3.1.2 Với mỗi mục tiêu xạ ảnh S S0, , ,1 S E , luôn tìm được n; một cơ sở e er r0, , ,1 ern của V n1 sao cho vectơ eri là đại diện của đỉnh S i

i0,1, ,n và vetctơ er   er0 ern là đại diện của điểm E

Chứng minh

Lấy vectơ eri đại diện cho đỉnh S i và vectơ er đại diện cho điểm E

Vì n1 đỉnh S i độc lập nên n1 vectơ eri độc lập tuyến tính trong n 1

Nhận xét 1.3.1.4 Một mục tiêu xạ ảnh có thể có nhiều cơ sở đại diện, hai cơ

sở đại diện cho một mục tiêu xạ ảnh chỉ khác nhau một phép vị tự trong n 1

 0, , ,1 n

X  x x x

Tính chất 1.3.2.2 Toạ độ của các điểm có các tính chất sau đây:

a) Nếu X x x0, , ,1 x n thì các x ikhông đồng thời bằng 0 do véctơ đại diện của điểm X là xr 0r

b) Vì các cơ sở đại điện cho cùng một hệ mục tiêu sai khác nhau một phép vị

Do đó tọa độ của điểm X thường được kí hiệu dưới dạng sau:

 0: 1: : n

X  x x x c) Đối với mục tiêu  i; n0

Nhận xét 1.3.2.3 Các tính chất trên cho thấy sự khac biệt của không gian xạ

ảnh với không gian aphin và không gian Euclid Thật vậy:

- Trong 2

P bộ số 0,0,0 không phải là tọa độ của bất cứ điểm nào, nhưng trong A3hoặc 3

E thì bộ đó là tọa độ của điểm gốc mục tiêu tọa độ

- Hoặc như trong P2 thì hai bộ số 1,0, 2  và 1,0,2 là tọa độ của cùng một điểm xạ ảnh, nhưng trong 3



ur

Cho điểm X bất kì với tọa độ lần lượt trong hai mục tiêu trên là

n

x x x x

n

x x x x

đại diện cho điểm E

Từ đây suy ra hệ phương trình sau :

 , do hệ các vector eri độc lập tuyến tính nên detB0

Như vậy, hệ (4) là hệ Crammer nên có nghiệm duy nhất k k0, , ,1 k n

Gọi e e e er r r r0   , , ,1 2 lần lượt là các vector đại diện cho các điểm S S S E0   , 1, 2,

Ta có

0 0 1 1 2 2

erk er k erk ernên

231313

k k k

e



urcho hệ mục tiêu S S S E0   , ,1 2, như sau :

Viết công thức đổi tọa độ trong 2

P trong các trường hợp sau đây:

a) Từ mục tiêu S S S E sang mục tiêu 0, ,1 2;  S S S E 2, 0, ;1 

b) Từ mục tiêu S S S E sang mục tiêu0, ,1 2;  S S S E0, ,1 2;  biết tọa độ điểm

E đối với mục tiêu thứ nhất là E (a0:a a1: 2)

c) Từ mục tiêu S S S E sang mục tiêu0, ,1 2;  E S S S, 0, ,1 2

Bài 1.3.5

Trong P3 cho mục tiêu xạ ảnh S S S S E và các điểm 0, ,1 2, 3; 

0 (1: 1: 0 : 0),S1 (0 :1:1:1),

S     S2 (0 : 0 :1: 1),S 3 (1: 0 : 0 : 1).Chứng minh rằng:S S S S E0   , ,1 2, 3; là một mục tiêu xạ ảnh

Tìm ma trận chuyển từ mục tiêu thứ nhất sang mục tiêu thứ hai

1.4 PHƯƠNG TRÌNH CỦA mPHẲNG

Ta biết rằng m-phẳng trong n

P được xác định bởi m1 điểm độc lập nghĩa

là trong không gian V n1 liên kết với P n đó m1 vectơ đại diện của m 1 điểm

đã cho, tạo nên một hệ m 1 vectơ độc lập tuyến tính Từ đây ta đi xây dựng các dạng phương trình của các phẳng xạ ảnh

1.4.1 Phương trình tham số của mphẳng

Xây dựng 1.4.1.1 Trong không gian xạ ảnh n

P cho mục tiêu xạ ảnh

i n

S E  , mphẳng U xác định bởi m1 điểm A A0, 1, ,A m độc lập Gọi ari

là vector đại diện của điểm A i a i0:a i1: :a in thì ari a a i0, i1, ,a in

Do m1 điểm A A0, 1, ,A m độc lập nên m1 vector a ar0, , ,r1 arm độc lập tuyến tính

Định nghĩa 1.4.1.2 Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số

của mphẳng U , với m1 tham số t t0, , ,1 t m không đồng thời bằng 0

Nếu kí hiệu

 

0 1

n

x x X

1.4.2 Phương trình tổng quát của mphẳng

Xây dựng 1.4.2.1 Do rankA m 1 Từ hệ (1) ta rút ra m1 phương trình độc lập tuyến tính theo các biến t t0, , ,1 t m

Giải hệ phương trình Cramer tìm được các tham số t i là các biểu thức dạng bậc nhất đối với x x0, , ,1 x m

Thay các giá trị này vào n m phương trình còn lại của hệ (1) ta được một

hệ gồm n m phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng sau:

rankA n m 

và

0 1

n

x x x x

1.4.3 Tọa độ của siêu phẳng

Trong P n với mục tiêu đã chọn, siêu phẳng U có phương trình tổng quát:

0 0 1 1 n n 0

Trong đó, các u i không đồng thời bằng 0

Định nghĩa 1.4.3.1 Bộ số u u0, , ,1 u được gọi là tọa độ của siêu phẳng n

Định lí 1.4.4.2 Giao của hệ gồm r siêu phẳng độc lập là một n rphẳng Ngược lại, mỗi mphẳng đều là giao của n m siêu phẳng độc lập

Chứng minh

Dễ dàng suy ra từ định nghĩa phương trình tổng quát của cái phẳng

Hệ quả 1.4.4.3 Giao của n siêu phẳng độc lập là một điểm

Định lí 1.4.4.4 Giao của một siêu phẳng U và mphẳng   không nằm trong siêu phẳng đó là một m 1 phẳng

u x





 và mphẳng   có phương trình:

0

0, 1, 2, ,

n

ij j j

Thật vậy, nếu hệ đó có hạng bằng n m thì các điểm của   đều thuộc U

điều này trái với giả thiết

Vì hệ phương trình trên có hạng bằng n m 1 nên nó xác định một

m 1 phẳng

2 1

a a u

b b

 ; 1 2 0

2 0

a a u

b b

 ; 2 0 1

0 1

a a u

Bài 1.4.4

Chứng minh định lí Papuyt (Pappus) trong 2

P : Cho 6 điểm phân biệt và không thẳng hàng A B C A B C0, 0, 0, 1, 1, 1,trong đó A B C0, 0, 0thẳng hàng và A B C1, 1, 1

thẳng hàng Gọi:

1.5 TỈ SỐ KÉP CỦA BỐN ĐIỂM THẲNG HÀNG

Trong tiết này chúng ta đưa ra khái niệm tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng Đây là một trong những công cụ hết sức hữu ích giúp việc chứng minh các bài toán thẳng hàng, đồng quy…sau này trờ nên dễ dàng hơn

1.5.1 Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng

Trong không gian xạ ảnh n

P , cho 4 điểm thẳng hàng A B C D, , , trong đó 3 điểm A B C, , đôi một không trùng nhau

Giả sử với mục tiêu đã cho của n

P ta có phương trình tham số của đường thẳng AB là:

 X k(A)l(B)Khi đó ta có các biễu diễn sau:

+ DC, A B C D, , ,   A B C C, , , 1

+ D  B, A B C D, , ,   A B C B, , , 0

+ D  A, ta quy ước A B C D, , ,   A B C A, , ,  

Nhận xét 1.5.1.2 Từ tính chất của các toạ độ thuần nhất trên ta thấy tỉ số

kép của bốn điểm thẳng hàng không phụ thuộc vào việc chọn các vector đại diện tương ứng cho các điểm

A B

l l



Từ đây có điều cần chứng minh

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có các tính chất sau:

Tính chất 1.5.2.2 Nếu 4 điểm A B C D, , , phân biệt và thẳng hàng thì:

b) Tính A B C D , , , 

Hướng dẫn

a) Ta dễ thấy :

(C) (A) (B),(D) (A) 2(B)