Tập bài giảng hình học xạ ảnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thị Trà (chủ biên) Phạm Thanh Tâm TẬP BÀI GIẢNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH (Lưu hành nội bộ) HÀ NỘI - NĂM 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thị Trà (chủ biên) Phạm Thanh Tâm TẬP BÀI GIẢNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH (Tài liệu dùng cho sinh viên hệ sư phạm Toán trường ĐHSP Hà Nội 2) HÀ NỘI - NĂM 2016 II MỤC LỤC Contents MỤC LỤC iii LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 1.1 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH VÀ CÁC PHẲNG 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Phẳng không gian xạ ảnh 1.1.3 Hệ điểm độc lập xạ ảnh 1.1.4 Định lý Desargue thứ 10 Bài tập áp dụng 12 1.2 CÁC MÔ HÌNH CỦA KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 14 1.2.1 Mô hình vectơ 14 1.2.2 Mô hình bó 14 1.2.3 Mô hình aphin 15 1.2.4 Mô hình xây dựng từ trường 16 Bài tập áp dụng 16 1.3 TỌA ĐỘ XẠ ẢNH 18 1.3.1 Mục tiêu xạ ảnh 18 1.3.2 Tọa độ điểm mục tiêu xạ ảnh 19 1.3.3 Đổi mục tiêu xạ ảnh 21 1.3.4 Cách xác định ma trận chuyển 22 Bài tập áp dụng 24 m  PHẲNG 25 1.4.1 Phương trình tham số m  phẳng 25 1.4.2 Phương trình tổng quát m  phẳng 26 1.4 PHƯƠNG TRÌNH CỦA 1.4.3 Tọa độ siêu phẳng 28 1.4.4 Hệ siêu phẳng độc lập 29 Bài tập áp dụng 30 1.5 TỈ SỐ KÉP CỦA BỐN ĐIỂM THẲNG HÀNG 33 1.5.1 Tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng 33 1.5.2 Tính chất tỉ số kép 34 1.5.3 Tỷ số kép tính theo tọa độ xạ ảnh 35 1.5.4 Hàng điểm điều hòa 37 1.5.5 Hình bốn đỉnh toàn phần 37 1.5.6 Bài tập áp dụng 40 1.6 TỶ SỐ KÉP CỦA CHÙM BỐN SIÊU PHẲNG 42 III 1.6.1 Chùm siêu phẳng 42 1.6.2 Tỉ số kép bốn siêu phẳng thuộc chùm 43 1.6.3 Chùm bốn siêu phẳng điều hòa 45 1.6.4 Hình bốn cạnh toàn phần 46 1.6.5 Bài tập áp dụng 47 1.7 NGUYÊN TẮC ĐỐI NGẪU 49 1.7.1 Phép đối xạ P n 49 1.7.2 Các tính chất phép đối xạ 49 1.7.3 Nguyên tắc đối ngẫu 50 1.7.4 Khái niệm định lý đối ngẫu 52 1.7.5 Bài tập áp dụng 53 1.8 MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFIN 54 1.8.1 Xây dựng mô hình 54 1.8.2 Mục tiêu afin mô hình 55 1.8.3 Các phẳng mô hình 56 1.8.4 Hai phẳng song song mô hình 57 1.8.5 Ý nghĩa afin tỉ số kép ý nghĩa xạ ảnh tỉ số đơn 59 1.8.6 Áp dụng 61 1.8.7 Bài tập áp dụng 63 2.1 ÁNH XẠ XẠ ẢNH 64 2.1.1 Các định nghĩa 64 2.1.2 Tính chất ánh xạ xạ ảnh 64 2.1.3 Định lí xác định phép ánh xạ xạ ảnh 66 2.1.4 Đẳng cấu xạ ảnh Hình học xạ ảnh 66 2.1.5 Biểu thức tọa độ phép biến đổi xạ ảnh 68 2.1.6 Liên hệ biến đổi xạ ảnh biến đổi afin 69 2.1.7 Câu hỏi tập áp dụng 71 n 2.2 CÁC PHÉP THẤU XẠ TRONG P 73 2.2.1 Các định nghĩa 73 2.2.2 Biểu thức tọa độ phép thấu xạ 73 2.2.3 Tính chất phép thấu xạ 74 2.2.4 Phép thấu xạ đơn 75 2.2.5 Các phép thấu xạ P P 77 2.2.6 Các phép biến đổi afin sinh phép thấu xạ 79 2.2.7 Bài tập áp dụng 80 2.3 CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH 82 2.3.1 Định lí thứ 82 2.3.2 Định lí thứ 83 IV 2.3.3 Định lí thứ 84 Chương SIÊU MẶT BẬC HAI XẠ ẢNH 85 3.1 SIÊU MẶT BẬC HAI VÀ PHÂN LOẠI XẠ ẢNH CỦA CHÚNG 85 3.1.1 Định nghĩa kí hiệu 85 3.1.2 Giao siêu mặt bậc hai m  phẳng 87 3.1.3 Dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh thực 87 3.1.4 Phân loại siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh thực 88 3.1.5 Phân loại xạ ảnh siêu mặt bậc hai P  R  P  R  89 2 3.1.6 Liên hệ siêu mặt bậc hai xạ ảnh siêu mặt bậc hai afin 90 3.1.7 Đường ôvan mô hình xạ ảnh mặt phẳng afin thực 91 3.1.8 Bài tập áp dụng 93 3.2 ĐIỂM LIÊN HỢP, PHẲNG TIẾP XÚC VÀ SIÊU DIỆN LỚP HAI 95 3.2.1 Điểm liên hợp 95 3.2.2 Tính chất 95 3.2.3 Siêu phẳng đối cực điểm kì dị 98 3.2.4 Siêu phẳng tiếp xúc siêu mặt bậc hai 99 3.2.5 Siêu phẳng liên hợp siêu mặt bậc hai không suy biến 99 3.2.6 Siêu diện lớp hai 101 3.2.7 Đối ngẫu 102 3.2.8 Định lí Mác – Lôranh 103 3.2.9 Một số khái niệm aphin 104 3.2.9 Bài tập áp dụng 104 3.3 ÁNH XẠ XẠ ẢNH GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC CHÙM ĐƯỜNG THẲNG TRONG P 108 3.3.1 Ánh xạ xạ ảnh hai hàng điểm 108 3.3.2 Ánh xạ xạ ảnh hai chùm đường thẳng 109 3.3.3 Áp dụng 111 3.3.4 Định lí Steniner 112 3.3.5 Cách xác định đường ôvan P  ¡  115 3.3.6 Bài tập áp dụng 116 3.4 ĐỊNH LÍ PASCAL VÀ ĐỊNH LÍ BRIĂNGSÔNG 118 3.4.1 Hình sáu đỉnh định lí Pascal 118 3.4.2 Các trường hợp đặc biệt định lí Pascal 119 3.4.3 Định lí Briăngsông 121 3.4.4 Phép biến đổi xạ ảnh đường ôvan 123 3.4.5 Định lí Frêgiê 125 3.4.6 Đối ngẫu định lí Frêgiê 125 V 3.4.7 Bài tập áp dụng 126 3.5 BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH ĐỐI HỢP CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ 129 ĐỊNH LÍ DESARGUE THỨ HAI 129 3.5.1 Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp đường thẳng 129 3.5.2 Điểm bất động phép đối hợp 129 3.5.3 Xác định phép đối hợp 130 3.5.4 Chùm đường bậc hai định lí Desargue thứ hai 131 3.5.5 Đối ngẫu định lí Desargue thứ hai 132 3.5.6 Bài tập áp dụng 132 3.6 MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN ƠCLIT 135 3.6.1 Xây dựng mô hình 135 3.6.2 Cái tuyệt đối không gian Ơclit 135 3.6.3 Một số kết hình học Ơclit mô hình 137 3.6.4 Phương siêu mặt bậc hai E 141 3.6.5 Tiêu điểm đường cônic E 142 3.6.6 Công thức Laghe (Laguerre) 144 3.6.7 Bài tập áp dụng 145 Tài liệu tham khảo 147 VI LỜI NÓI ĐẦU Tập giảng Hình học xạ ảnh biên soạn lần này, nằm khuôn khổ đổi chương trình đào tạo theo hình thức tiếp cận lực đầu người học Nó không nằm mục đích nhằm làm giảng tiêu chuẩn chung cho cán trường ĐHSP Hà Nội theo chương trình vừa qua Bộ GD ĐT, đòi hỏi phải đổi nội dung kiến thức (nếu cần) phương pháp giảng dạy giảng viên phương pháp học tập sinh viên Mặt khác, qua thời gian dài thực chương trình, sử dụng sách giáo trình cũ giảng dạy trường ĐHSP Hà Nội 2, đến đánh giá ưu, khuyết điểm hệ thống tài liệu học tập sinh viên, phù hợp với trình độ đầu vào sinh viên trường đại học sư phạm đặc biệt có cảm nhận khó khan sinh viên học tập môn Hình học xạ ảnh Do tập giảng biên soạn lần thừa hưởng ưu điểm khắc phục thiếu sót sách cũ, phù hợp cho sinh viên sử dụng Đối tượng sử dụng sách sinh viên giảng viên trường ĐHSP Hà Nội Tập giảng dùng cho trường Đại học Cao đẳng khác cho tất muốn tự học môn học (nếu có đồng ý trường ĐHSP Hà Nội 2) Cơ sở để nhóm tác giả lựa chọn nội dung tập giảng dựa thay đổi hình thức đào tạo trường ĐHSP Hà Nội 2, yêu cầu đầu trình độ đầu vào sinh viên trường ĐHSP Hà Nội năm gần Ngoài ra, nhóm tác giả ý đến tính đến vai trò môn học môn khoa học khác Giải tích, Hình học, Vật lý, Hoá học,v.v đáp ứng nhu cầu học tập liên ngành, tạo điều kiện cho người học tự học học lên cao Cụ thể, tập giảng phải trang bị cho người giáo viên toán tương lai trường THPT kiến thức cần thiết, đầy đủ vững vàng Đại số tuyến tính để giảng dạy tốt phần liên quan chương trình toán THPT Tuy nhiên, nội dung phương pháp trình bày nội dung lại phải phù hợp với trình độ nhận thức khả tiếp nhận sinh viên Mặt khác, tập giảng phải cung cấp đầy đủ kiến thức giúp người đọc tự học học môn khoa học khác nói trên; đồng thời đáp ứng mong muốn sinh viên có hoài bão nâng cao trình độ Vì thế, nội dung tập giảng chứa đựng điều mà sinh viên cần nắm vững, có phần không đòi hỏi sinh viên phải hiểu Chúng ta cộng đồng giới, sống với hình học Euclid với thực tế hình học Euclid mô tả giới xung quanh tốt Trong hình học Euclid, kích thước vật có độ dài, hai đường thẳng cắt xác định góc chúng, hai đường thẳng song song chúng nằm mặt phẳng không cắt Hơn tính chất không thay đổi thực phép biến đổi Euclid (chẳng hạn phép tịnh tiến, phép đối xứng, phép quay, …) Tuy nhiên, xem xét trình xử lý máy ảnh camera, chúng trở nên đơn giản để thấy hình học Euclid thực không phù hợp nữa: độ dài góc không bảo toàn, hai đường thẳng song song cắt Trên thực tế hình học Euclid phần nhỏ hình học xạ ảnh, chúng có hai loại hình học khác hình học aphin hình học đồng dạng Các loại hình học có mối quan hệ với nhau, để xem xét mối quan hệ loại hình học người ta xem xét đến mô hình: mô hình aphin không gian xạ ảnh, mô hình xạ ảnh không gian aphin, mô hình xạ ảnh không gian Euclid, … Tập giảng Hình học xạ ảnh gồm ba chương: Chương I Không gian xạ ảnh Trong chương này, trình bày nội dung: Không gian xạ ảnh, phẳng không gian xạ ảnh, mô hình không gian xạ ảnh, tọa độ xạ ảnh, phương trình phẳng không gian xạ ảnh, tỉ số kép bón điểm thẳng hang chum bốn đường thẳng đồng qui, nguyên tắc đối ngẫu mô hình xạ ảnh không gian aphin Chương II Ánh xạ xạ ảnh Trog chương này, trình bày nội dung: Ánh xạ xạ ảnh tính chất, phép thấu xạ không gian xạ ảnh định lý ánh xạ xạ ảnh Chương III Siêu mặt bậc hai xạ ảnh Trong chương này, trình bày nội dung: siêu mặt bậc hai xạ ảnh, tính liên hợp đối cực không gian xạ ảnh, ánh xạ xạ ảnh đường thẳng chùm đường thẳng mặt phẳng xạ ảnh, định lý Pascal định lý Briachon, biến đổi xạ ảnh đối hợp định lý Desargues thứ hai, mô hình xạ ảnh không gian Euclid Mỗi chương có phần mở đầu nêu lên yêu cầu cách học tập chương Cuối chương có phần tóm tắt đôi nét nội dung chương để bạn đọc có dịp ôn tập lại Phần tập có số lượng vượt yêu cầu chung đôi chút tác giả sách mong muốn giúp cho bạn đọc ham thích môn học có thêm hội rèn luyện kĩ Vì vậy, số đông sinh viên giảng viên cần dẫn cho họ cụ thể Tuy nhiên bạn đọc cố gắng giải nhiều tập tốt Để sử dụng tập giảng này, người học cần bổ sung kiến thức số phức, nghiệm phức đa thức mà chương trình Toán THPT chưa đề cập tới; cần có khái niệm cấu trúc đại số nhóm, vành, trường để tiện diễn đạt bắt nhịp với cách trình bày giáo trình; cần củng cố vững vàng kiến thức toán học bậc THPT Giáo trình học sau học phần Đại số tuyến tính 1, Đại số tuyến tính Hình học tuyến tính mà người học trang bị kiến thức Đại số tuyến tính hình học trực quan Khi giảng viên sử dựng tập giảng để giảng dạy giá, kết hợp nhiều hình thức thuyết trình giảng viên, hướng dẫn sinh viên tự đọc sách, tổ chức, semina, v.v Một điều mà tác giả muốn lưu ý thêm giảng viên là: tập giảng sử dụng để sinh viên tự học nên có nhiều chỗ phải đặt vấn đề dẫn dắt người học, có nhiều ví dụ Do giảng lớp, giảng viên nên lựa chọn điều cần thiết để có đủ thời gian truyền đạt kiến thức bản, phần lại dành cho sinh viên tự học Cũng nói trên, Hình học nói chung Hình học xạ ảnh nói riêng có nhiều ứng dụng toán thực tế THPT, sinh viên cần có kĩ vận dụng kiến thức kỹ tính toán áp dụng vào giải tập THPT Muốn việc thực hành sinh viên cần coi trọng cần lựa chọn hình thức giảng dạy thích hợp để đảm bảo việc học lý thuyết lớp thời gian cho việc giải tập sinh viên Đối với người học, học theo tập giảng này luôn có giấy bút tay để tự mô tả khái niệm dựa theo định nghĩa; tự chứng minh định lí sau tìm hiểu kĩ giả thiết kết luận; vận dụng khái niệm, định lí để tự trình bày ví dụ cho sách Cuối chương có phần tóm tắt, bạn đọc nên tận dụng để củng cố hệ thống lại kiến thức học chương Cũng cần nói thêm Đại số tuyến tính ngành khoa học cổ đại hình học xạ ảnh xây dựng dựa Đại số tuyến tính Những điều trình bày điều nhất, mở đầu Đại số tuyến tính trường số (mà chủ yếu trường số thực) Còn nhiều vấn đề nội dung chưa thể đề cập tới Cuối cùng, tác giả hi vọng tạp giảng đáp ứng đòi hỏi chương trình, mong muốn người dạy bạn đọc Tuy nhiên, tập giảng khó tránh khỏi hết khiếm khuyết Vì thế, tác giả mong nhận nhiều ý kiến bạn đọc để sửa chữa sai sót làm cho tập giảng ngày hoàn thiện ngày hữu ích Xin chân thành cảm ơn! NHÓM TÁC GIẢ1 Phạm Thanh Tâm – Nguyễn Thị Trà Trên đường thẳng s chọn mục tiêu xạ ảnh { S0 ,S1 ;S3} phép biến đổi xạ ảnh f : s  s có biểu thức tọa độ: '  x0  ax0  bx1  '  x1  cx0  dx1 Trong đó, ad  bc  Tìm điều kiện hệ số a, b, c, d cho: +) f phép đồng +) f phép đối hợp +) f phép đối hợp eliptic +) f phép đối hợp hypebolic Bài 3.5.3 Trên đường thẳng s với mục tiêu xạ ảnh chọn cho điểm A=(1:2), A'=(1:3), B=(1:4), B'=(1:5) a Viết biểu thức tọa độ phép đối hợp biến A thành A’, biến B thành B’ b Tìm tọa độ điểm P, Q s cho [P, Q, A, A’]=[P, Q, B, B’] Bài 3.5.4 Cho bốn điểm A, B, C, D đường thẳng d cho [A, B, C, D]=-1 Gọi f : d  d phép biến đổi xạ ảnh cho f(A)=C, f(C)=B, f(B)=D Chứng minh f phép đối hợp Bài 3.5.5 Cho bốn điểm A, A’, B, B’ đường thẳng s f : s  s phép đối hợp mà f(A)=A’, f(B)=B’.Chứng minh f phép eliptic [A, A’, B, B’] < 0, phép hypebolic [A, A’, B, B’] >0 Bài 3.5.6 Cho hai đường ô van cắt bốn điểm phân biệt A, B, C, D Một đường thẳng d tiếp với hai ô van điểm P Q Chứng minh rằng, M M’ giao điểm AB CD với d [P, Q, M, M’]= -1 Phát biểu toán đối ngẫu 133 Bài 3.5.7 Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D nằm đường ô van Gọi P=AB  CD Đường thẳng d qua P tiếp với ô van Q, cắt AD, BC M M’ Tìm tỉ số kép [P, Q, M, M’] Bài 3.5.8 Cho bốn đường ô van khác chùm đường bậc hai Giả sử điểm M có bốn đường thẳng đối cực phân biệt bốn ô van Chứng minh bốn đường thẳng đồng quy tỉ số kép chúng không phụ thuộc vào điểm M Bài 3.5.9 Giải toán Aphin: Cho I trung điểm dây cung PQ đường Elip (E) Qua I vẽ hai dây cung AB CD Gọi M, N giao điểm AD BC với PQ Chứng minh IM=IN Bài 3.5.10 Xét họ đường bậc hai tiếp với hai đường thẳng a b hai điểm cố định A B Chứng minh chúng cắt đường thẳng c không qua A B cacs cắp điểm tương ứng với phép đối hợp c 134 3.6 MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN ƠCLIT Trong tiết nghiên cứu mô hình xạ ảnh không gian Ơclit Thông qua ta thấy mối quan hệ chặt chẽ hình học xạ ảnh hình học Ơclit Ta dựa vào hình học xạ ảnh để chứng minh số định lí toán hình học Ơclit cách dễ dàng ngược lại Hơn từ toán xạ ảnh với cách chọn khéo léo ta sáng tạo nhiều toán hình học Ơclit 3.6.1 Xây dựng mô hình Trong không gian xạ ảnh P n  ¡  lấy siêu phẳng W xây dựng tập hợp An  Pn  ¡  \ W thành mô hình không gian afin thực n chiều liên kết với không gian vector ¡ n Đưa vào không gian vector ¡ n tích vô hướng không gian afin An trở thành không gian Ơclit E n Khi không gian afin nói trở thành mô hình không gian Ơclit n chiều Ta làm sau: Trong không gian xạ ảnh P n  ¡  cho mục tiêu xạ ảnh Si ;Ei0,n r Gọi S0 ; ei  mục tiêu trực chuẩn E n sinh mục tiêu xạ ảnh trên, r r tức ei e j  ij ( ij  i  j  ij  i  j ) Cho điểm X tọa độ không điểm X   X1, X , , X n  tọa độ Ơclit r S0 ; ei  Giả sử M , N hai điểm thuộc An với tọa độ không r hệ mục tiêu trực chuẩn lượt là: S0 ; ei  lần M (M1 : M : : M n ), N (N1 : N : : N n ) Khi tích vô hướng trang bị uuuur uuuur n S0 M S0 N   M i Ni i 1 3.6.2 Cái tuyệt đối không gian Ơclit Xét mô hình E n  P n \ W Trong siêu phẳng vô tận W xét siêu mặt trái xoan ảo T  , có phương trình mục tiêu xạ ảnh Si ; E P n là: 135 x0    2  x1  x2   xn  Định nghĩa 3.6.2.1 Siêu mặt T  gọi tuyệt đối không gian Ơclit En Ví dụ 3.6.2.2 Trường hợp n  :  x0  T   2  x1  x2  gồm hai điểm ảo liên hợp I  0:1: i  , J  0:1: i  nằm đường thẳng W Định lí 3.6.2.3 Cái tuyệt đối T  bất biến phép biến đổi đồng dạng E n Chứng minh Giả sử f : E n  E n phép đồng dạng, sinh phép biến đổi xạ ảnh F : P n  P n có ma trận mục tiêu xạ ảnh Si ; E là:  a A   10 K   an 0 a11 K an1 K K K K  a1n  K   ann  Ma trận A   aij  i, j  1,2, , n Ma trận A ma trận phép đồng r dạng f mục tiêu trực chuẩn S0 ; ei  nên At A  kI với k  Như biểu thức tọa độ F là:  x0  x0    n aij x j , i  1,2, , n  xi   j 0   x1    Đặt x   K  x   n Ta có: 136 n  xi2   Ax   Ax  t i 1  xt  At A  x  x t  kI  x  kx t x  Suy f T   T Nhận xét 3.6.2.4 - At A  kI điều kiện để có phép biến đổi đồng dạng - Định nghĩa tuyệt đối T  không phụ thuộc vào việc chọn mục r tiêu trực chuẩn S0 ; ei  - Trường hợp n  , E  P \ W , W đường thẳng vô tận Cái tuyệt đối T  :  x0   2 x  x   Như T  không chứa điểm P  ¡  Xét P  £  tuyệt đối T  gồm hai điểm ảo: I   0:1: i  J   0:1: i  Từ có định nghĩa : Định nghĩa 3.6.2.5 Hai điểm I   0:1: i  J   0:1: i  gọi hai điểm xiclic mặt phẳng Ơclit 3.6.3 Một số kết hình học Ơclit mô hình 3.6.3.1 Ý nghĩa xạ ảnh tính vuông góc E n Định lí 3.6.3.1 Hai đường thẳng vuông góc với hai điểm vô tận chúng liên hợp với tuyệt đối T  Chứng minh Trong E n cho hai đường thẳng a b có vectơ phương r r a   a1, a2 ,K , an  b   b1 , b2 ,K , bn  Gọi a  W   A, b  W  B Tọa độ 137 A   0: a1 : a2 :K : an  , B   0: b1 : b2 :K : bn  r r a  b  a.b  t n   aibi    A  B   i 1 A lh B T  Khi n  , a  b   A, B, I , J   1 a b W I B J Ví dụ 3.6.3.2 Trong ABC có AH  BC  H  BC  Trong mô hình P có đường vô tận W : W  BC  P , W  AH  Q Do AH  BC  H  BC  suy  P, Q, I , J   1 A W B H Q P J I 3.6.3.2 Ý nghĩa xạ ảnh siêu cầu E n 138 C A Định lí 3.6.3.3 Một siêu cầu bậc hai không gian E n siêu cầu tổng quát cắt siêu phẳng vô tận theo tuyệt đối T  Chứng minh Trong không gian E n  P n \ W , siêu cầu n n i 1 i 1 C  :  X i2  2 X i  a0  (1) Tọa độ xạ ảnh X   x0 : x1 :K : xn  với X i  1 xi : x0 n n i 0 i 0  a0 x02   xi2  2 x0 xi  C   W  T  tập hợp:  x0   2 x  x  K  x  n  Như vậy, siêu cầu tổng quát E n siêu mặt bậc hai qua tuyệt đối T  Ngược lại, cho  S  siêu mặt bậc hai E n : n n i , j 1 i 1  aij X i X j  2 X i  a00  Xi  n xi   aij xi x j  x0 i , j 0 C   W tập hợp:  x0   n  aij xi x j  i  , j 1 Nếu  C   W  T  aij  kij , k  Vậy  S  siêu cầu tổng quát Ví dụ 3.6.3.4 Xét E 139 + Đường tròn đường ôvan qua hai điểm xiclic I , J thuộc W + Tâm siêu cầu điểm đối cực siêu phẳng vô tận siêu cầu (S) b a W J I O Ví dụ 3.6.3.5 Giải toán sau mô hình xạ ảnh: Chứng minh bán kính đường tròn qua trung điểm dây vuông góc với dây cung Hướng dẫn Chọn mô hình E  P \ W với điểm xiclic I , J + Đường tròn đường ô van  S  qua I , J + Bán kính đường thẳng qua tâm O + Tâm O giao hai tiếp tuyến I , J + Dây cung AB có trung điểm M , AB W  K :  A, B, M , K   1 + OM  AB   H , K , I , J   1 với H  OM W Phát biểu toán: Cho ô van  S  cắt đường vô tận W I , J Gọi O cực IJ ô van S  Hai điểm A, B thuộc AB W  K , điểm M W :  A, B, M , K   1 Chứng minh rằng: OM  AB Giải toán xạ ảnh: 140 S  , (S) A M a B b W K H J I O Do  A, B, M , K   1 lh M K  S A , B  S      Do O cực W K W  K lh O S  Suy OM đường đối cực K Vì H OM nên H lh K S  Suy  H , K , I , J   1 hay OM  AB 3.6.4 Phương siêu mặt bậc hai E Trong E n cho siêu mặt bậc hai  S   sinh siêu mặt bậc hai xạ ảnh  S  P n r r Giả sử  siêu phẳng kính liên hợp với phương c Khi c phương  S   vuông góc với siêu phẳng kính  Điều xảy r điểm C ứng với phương c liên hợp với điểm thuộc   W Hay nói cách khác C đối cực   W tuyệt đối (T) Nhận xét 3.6.4.1 - Nếu  S   siêu cầu phương phương 141 - Trong E đường cônic khác đường tròn có hai phương 3.6.5 Tiêu điểm đường cônic E Điểm F E gọi tiêu điểm cônic  S   không gian P  £  hai đường thẳng FI FJ hai tiếp tuyến ôvan  S  Như tiêu điểm F giao hai tiếp tuyến vẽ từ I , J tới  S  Khi đường thẳng P đường đối cực F ôvan  S  đường chuẩn đường cônic  S   ứng với tiêu điểm F Xét trường hợp: a Nếu  S   đường tròn: W I J (S) d F +  S  qua hai điểm xiclic I, J + Tiêu điểm F tâm đường tròn  S   : (S) W d I J O 142 + Các tiếp tuyến I , J cắt tâm O đường tròn ( với O cực W ) + đường chuẩn (đường chuẩn đường thẳng vô tận W ) b Nếu  S   không đường tròn : + Qua I J có hai tiếp tuyến với  S  - Nếu  S   parabol W tiếp xúc với  S  nên hai tiếp tuyến I , J W Cặp tiếp tuyến lại cắt điểm F Đó tiêu điểm parabol có đường chuẩn d ứng với I J (S) W d F - Nếu  S  hypebol elip tiếp tuyến chia thành cặp ảo liên hợp với Chúng cắt điểm thực F1 , F2 Đó tiêu điểm  S   Mỗi Fi có đường chuẩn di ứng với 143 J I W F2 d2 (S) d1 F1 3.6.6 Công thức Laghe (Laguerre) Trong E n cho hai đường thẳng a b với vector phương số đo góc a b số thực  xác định bởi: cos    A t a  a22  K  an2  b12  b22  K  bn2  B  A   A   B   B  t t a1b1  a2b2  K  anbn với     Nếu a // b   Nếu a không song song với b hai điểm vô tận chúng A   0: a1 : a2 :K : an  B   0: b1 : b2 :K : bn  không trùng Ta tìm tọa độ giao điểm X đường thẳng AB với tuyệt đối T  Vì X nằm AB nên  X    A  k  B  , X nằm T  nên  X   X   hay ta t đến phương trình:  B   B  k   A  B  k   A  A  t t t Phương trình có hai nghiệm phức liên hợp k1 k2 ta có hai giao điểm ảo liên hợp P Q , đó,  P    A  k1  B   Q    A  k2  B  Từ ta suy ra: 144  A  A , k1k2  t  B  B t 2  A   B  t k1  k2   B  B t Đặt k1  reit  r  cos t  i sin t  , k2  reit  r  cos t  i sin t   A  A  k1k2  t  B  B t r  B  B t  A  A 2  A   B  k k cos t   t 2r 2 B  B t t   A  B  t =  A  A B   B  t t Như cos  cost Mặt khác, ta có:  P, Q, A, B   k1  e2it nên ln  P, Q, A, B  2it Bởi ta k2 đến công thức gọi công thức Laghe 1  cos   cos  ln  P, Q, A, B    2i  3.6.7 Bài tập áp dụng Bài 3.6.1 Dùng mô hình xạ ảnh để chứng minh định lí hình học Euclid: Ba đường cao phân giác đồng quy Bài 3.6.2 Trong mặt phẳng Euclid cho hai đường thẳng phân biệt a, b điểm A thuộc a không thuộc b Một điểm C không thuộc a, b Một đường thẳng thay đổi qua C cắt a M, cắt b N Tìm họ đường thẳng qua M vuông góc với AN Bài 3.6.3 Dùng mô hình xạ ảnh mặt phẳng Euclid để giải toán sau mặt phẳng Euclid: 145 a Cho điểm D không nằm cạnh tam giác ABC Các đường thẳng a, b, c qua D vuông góc với DA, DB, DC cắt BC, CA, AB A’, B’, C’ Chứng minh ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng b Cho điểm O không nằm cạnh tam giác ABC đường thẳng d qua O Các đường thẳng a, b, c qua O đối xứng với đường thẳng OA, OB, OC d cắt BC, CA, AB A’, B’, C’ Chứng minh rằng, ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng c Tìm quỹ tích điểm nhìn đoạn AB cố định góc vuông d Cho ba dây cung AB, CD, EF đường tròn (O) cho CD EF qua trung điểm H AB Gọi M, N giao điểm AB với CE DF Chứng minh rằng, H trung điểm MN Nếu thay đường tròn (O) đường conic toán không? e Cho tiếp tuyến d điểm A đường tròn điểm C đường kính AB, C nằm A B Một đường thẳng thay đổi qua C cắt đường tròn N N’.Các đường thẳng BN BN’ cắt d M M’ Gọi T T’ tiếp điểm tiếp tuyến khác d đường tròn qua M M’ Chứng minh rằng, đường thẳng TT’ qua điểm cố định giao điểm MT MT’ nằm đường thẳng cố định f Tìm quỹ tích điểm từ kẻ hai tiếp tuyến vuông góc tới đường conic cho 146 Tài liệu tham khảo [1] Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh, Nhà xuất giáo dục 1999 [2] Nguyễn Mộng Hy, Hình học cao cấp, Nhà xuất giáo dục 2002 [3] Văn Như Cương, Kiều Huy Luân, Hoàng Trọng Thái, Hình học 2, Nhà xuất giáo dục 1999 [4] Phạm Bình Đô, Bài tập hình học xạ ảnh, Nhà xuất đại học sư phạm 2005 [5] Nguyễn Mộng Hy, Bài tập hình học cao cấp, Nhà xuất giáo dục 2000 147 ... mô hình xạ ảnh không gian aphin, mô hình xạ ảnh không gian Euclid, … Tập giảng Hình học xạ ảnh gồm ba chương: Chương I Không gian xạ ảnh Trong chương này, trình bày nội dung: Không gian xạ ảnh, ... loại hình học khác hình học aphin hình học đồng dạng Các loại hình học có mối quan hệ với nhau, để xem xét mối quan hệ loại hình học người ta xem xét đến mô hình: mô hình aphin không gian xạ ảnh, ... Tính chất ánh xạ xạ ảnh 64 2.1.3 Định lí xác định phép ánh xạ xạ ảnh 66 2.1.4 Đẳng cấu xạ ảnh Hình học xạ ảnh 66 2.1.5 Biểu thức tọa độ phép biến đổi xạ ảnh