Tiếp cận một số bài toán hình học sơ cấp bằng hình học xạ ảnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN SƠN TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP BẰNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà nội - 2017 Mục lục Một số kiến thức hình học xạ ảnh phẳng 1.1 Sơ lược nội dung phương pháp hình học xạ ảnh 1.1.1 Một số dạng hình học mặt phẳng 1.1.2 Phương pháp nghiên cứu hơnh học xạ ảnh 1.2 Ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc 1.2.1 Tỉ số kép bốn phần tử 1.2.2 Ánh xạ xạ ảnh hàng điểm chứm đường thẳng 1.2.3 Nghiên cứu ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc tọa độ Descartes 1.2.4 Phép biến đêi xạ ảnh dạng cấp một, bậc 1.3 Các đường cong bậc hai lớp bậc hai 1.3.1 Một số đành lờ liên quan đến đường cong bậc hai, lớp hai 1.3.2 Ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc hai, lớp hai 1.4 Ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp hai 1.4.1 Phép cộng tuyến hai trường điểm 1.4.2 Tọa độ xạ ảnh 1.4.3 Bổ sung phần tử ả o vào mặt phẳng xạ ả nh thực 1.4.4 Phép đối x ạ, nguyên tắc đối ngẫu 1.4.5 Cực đối cực Ứng dụng hình học xạ ảnh hình học sơ cấp 4 5 10 10 11 15 15 15 17 17 18 19 19 2.1 Một số toán chứng minh đồng quy song song, thẳng hàng 2.2 Một số toán chứng minhđại lượng không đổi chứng minh đẳng thức liên quan đến độ dài đoạn thẳng 30 2.3 Bài toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định 2.4 Bài toán quỹ tích hình bao 2.5 Một số toán dựng hình 42 45 51 2.6 Một số tính chất Euclide đặc trưng phép biến đổi xạ ảnh eliptic đường thẳng đường tròn 2.7 Một số cách tiếp cận mở rộng hình học xạ ảnh 2.7.1 Dùng hình học afin để nghiên cứu hình học Euclid 2.8 Dùng hình học afin hình học Euclide 2.8.1 Giải số toán hình học xạ ảnh 2.8.2 Phát kiện hình học xạ ảnh 2.9 Mở rộng định lý Steiner định lý Fre'gier Kết luận Tài liệu tham khảo 56 59 59 68 68 70 77 83 84 Mở đầu Hình học xạ ảnh môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính Nhiều định lý hình học tiếng nhiều toán hình học hay trở nên đơn giản góc nhìn hình học xạ ảnh Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh công cụ hữu hiệu việc nghiên cứu, giảng dạy bồi dưỡng học sinh khiếu hình học trường phổ thông Mục đích luận văn trình bày số khái niệm mặt phẳng xạ ảnh ảnh mặt phẳng afin, Euclide đặc biệt ứng dụng hình học xạ ảnh để định hướng cho lời giải sơ cấp toán hình học Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương Cơ sở lí thuyết hình học xạ ảnh phẳng Trong chương này, tác giả trình bày tóm lược kiến thức sở mặt phẳng xạ ảnh khái niệm xạ ảnh nghịch đảo, xạ ảnh hai dạng cấp bậc bậc hai, ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc hai Ngoài để khai thác nhiều ứng dụng hình học xạ ảnh, tác giả sử dụng mô hình xạ ảnh afin, Euclide có bổ sung phần tử vô tận Chương Ứng dụng hình học xạ ảnh hình học sơ cấp Đây chương luận văn trình bày ứng dụng mặt phẳng xạ ảnh mô hình mặt phẳng xạ ảnh afin, Euclide vào việc chứng minh số định lý giải toán hình học sơ cấp thông qua ví dụ chọn phân loại thành dạng toán khác nhau, mục đề xuất chứng minh tính chất đặc trưng phép biến đổi xạ ảnh eliptic đường thẳng đường tròn Phần cuối chương trình bày mở rộng định lí Steiner, Fre'gier Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình PGS.TS Vũ Đỗ Long Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giúp đỡ quý báu Nhân tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Nguyễn Vũ Lương, Đỗ Thanh Sơn giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả trình thực luận văn Mặc dù thân có cố gắng nhiều trình thực luận văn trách khỏi thiếu sót Rất mong bảo, góp ý quý thầy cô bạn đồng nghiệp Xin chân trọng cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Người viết luận văn: Nguyễn Văn Sơn Chương Một số kiến thức hình học xạ ảnh phẳng 1.1 Sơ lược nội dung phương pháp hình học xạ ảnh Hình học xạ ảnh chuyên nghiên cứu tính chất xạ ảnh hình, tức tính chất bất biến qua phép chiếu xuyên tâm (xem mục 1.2.2), chẳng hạn tương quan đồng quy, thẳng hàng, tính chất chia điều hòa, tính suy biến hay không suy biến đường bậc hai, Các khái niệm xét định lí hình học xạ ảnh khái niệm xạ ảnh, chẳng hạn điểm, đường thẳng, tam giác, tứ giác toàn phần, đường cong bậc hai, tỉ số kép, Trong hình học xạ ảnh, người ta thường nghiên cứu ánh xạ từ tập hợp đối tượng (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) sang tập hợp đối tượng khác Các tập hợp đối tượng gọi dạng 1.1.1 Một số dạng hình học mặt phẳng Các dạng cấp bậc Định nghĩa 1.1.1 Hàng điểm thẳng tập hợp tất điểm thuộc đường thẳng Đường thẳng gọi giá hàng điểm Mỗi giá chứa nhiều hàng điểm khác Định nghĩa 1.1.2 Chùm đường thẳng tập hợp tất đường thẳng mặt phẳng qua điểm Điểm gọi giá (hay tâm) chùm Mỗi giá chứa nhiều chùm đường thẳng khác Các dạng cấp hai Định nghĩa 1.1.3 Trường điểm tập hợp tất điểm thuộc mặt phăng cho Mặt phẳng gọi giá trường Một giá chứa nhiều trường điểm khác Định nghĩa 1.1.4 Trường đường thẳng tập hợp tất đường thẳng thuộc mặt phăng cho Mặt phẳng gọi giá trường Một giá chứa nhiều trường đường thẳng khác 1.1.2 Phương pháp nghiên cứu hình học xạ ảnh Để nghiên cứu hình học xạ ảnh, dùng khái niệm tính chất không xạ ảnh hình học khác (hình học afin, hình học Euclide, ) làm phương tiện nghiên cứu độc lập Theo cách thứ nhất, ta xem tính chất xạ ảnh phận lẫn vào tính chất khác hình học afin hình học Euclide, sau sử dụng kiến thức hình học để nghiên cứu, sau cùng, ta thể kết thu dạng xạ ảnh để kết hình học xạ ảnh Theo cách thứ hai, ta xây dựng hình học xạ ảnh thành môn độc lập, hoàn toàn không dùng đến tính chất không xạ ảnh làm phương tiện Mỗi cách nói có ưu điểm riêng, cách thứ tự nhiên (phù hợp với lịch sử phát triển hình học) gần gũi với toán phổ thông hơn, cách thứ hai lại khoa học tiện lợi Những kiến thức trình bày chương theo đường lối thứ 1.2 1.2.1 Ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc Tỉ số kép bốn phần tử Định nghĩa 1.2.1 Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng đường thẳng ∆ CA Trên ∆ ta chọn đơn vị dài hướng dương Tỉ số hai tỉ số CB DA gọi tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D ký hiệu DB (ABCD) Như (ABCD) = CA DA (ABC) : = (ABD) CB DB Nếu tỉ số kép (ABCD) = −1 ta nói cặp điểm C, D chia điều hòa cặp điểm A, B Khi ta nói bốn điểm A, B, C, D lập thành hàng điểm điều hòa, hay cặp điểm A, B cặp điểm C, D liên hợp điều hòa với Định nghĩa 1.2.2 Cho bốn đường thẳng a, b, c, d đồng quy điểm O Khi cát tuyến biến thiên, cắt chùm bốn đường thẳng bốn điểm A, B, C, D có tỉ số kép không đổi Tỉ số kép không đổi gọi tỉ số kép chùm bốn đường thẳng cho, ký hiệu (abcd) hay (OA, OB, OC, OD) Nếu tỉ số kép (abcd) = −1 ta nói cặp đường thẳng c, d chia điều hòa cặp đường thẳng a, b Khi ta nói bốn đường thẳng a, b, c, d lập thành chùm điều hòa, hay cặp đường thẳng a, b cặp đường thẳng c, d liên hợp điều hòa với Định lí 1.2.1 Trên đường chéo tứ giác toàn phần, hai đỉnh đối diện chia điều hòa hai giao điểm đường chéo với hai đường chéo lại Định lí 1.2.2 Tại điểm chéo hình bốn đỉnh toàn phần, hai cạnh chia điều hòa hai đường thẳng nối điểm chéo với hai điểm chéo lại 1.2.2 Ánh xạ xạ ảnh hàng điểm chùm đường thẳng Định nghĩa 1.2.3 Cho hai đường thẳng d, d cắt điểm I điểm S nằm hai đường thẳng Với điểm M thuộc d, ta cho ứng với điểm M thuộc d cho S, M, M thẳng hàng Tương ứng song ánh từ d lên d , gọi phép chiếu xuyên tâm, với tâm S, từ d lên d Định nghĩa 1.2.4 Cho hai chùm đường thẳng tâm O O đường thẳng s không qua O, O Với đường thẳng m thuộc chùm (O), ta cho tương ứng với đường thẳng m chùm (O ) cho s, m, m đồng quy Tương ứng song ánh từ chùm (O) lên chùm (O ), gọi phép chiếu xuyên trục, với trục s, từ chùm (O) lên chùm (O ) Định nghĩa 1.2.5 Một song ánh hai dạng cấp gọi ánh xạ xạ ảnh bảo toàn tỉ số kép Theo định nghĩa phép chiếu xuyên tâm phép chiếu xuyên trục ánh xạ xạ ảnh Phép chiếu xuyên tâm phép chiếu xuyên trục gọi chung ánh xạ phối cảnh Sau số tính chất ánh xạ xạ ảnh ánh xạ phối cảnh Định lí 1.2.3 Mọi ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆ hai đường thẳng ∆, ∆ với ∆ = ∆ tích hai phép chiếu xuyên tâm Định lí 1.2.3’ Mọi ánh xạ xạ ảnh f : O −→ O hai chùm đường thẳng tâm O, O với O = O tích hai phép chiếu xuyên trục Định lí 1.2.4 Điều kiện cần đủ để ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng phân biệt trở thành phép chiếu xuyên tâm giao điểm hai đường thẳng tự ứng Định lí 1.2.4’ Điều kiện cần đủ để ánh xạ xạ ảnh hai chùm đường thẳng phân biệt trở thành phép chiếu xuyên trục đường thẳng qua hai tâm chúng tự ứng Định lí 1.2.5 Cho ba điểm phân biệt A, B, C đường thẳng ∆ ba điểm phân biệt A , B , C ∆ Tồn ánh xạ xạ ảnh f biến A, B, C theo thứ tự thành A , B , C Định lí 1.2.5’ Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thuộc chùm (O) ba đường thẳng phân biệt a , b , c thuộc chùm (O ) Tồn ánh xạ xạ ảnh f biến a, b, c theo thứ tự thành a , b , c 1.2.3 Quan hệ ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc tọa độ Descartes Trong hình học xạ ảnh người ta thường dùng loại tọa độ riêng, tọa độ xạ ảnh Trong mục ta dùng tọa độ Descartes thông thường làm công cụ trung gian để nghiên cứu số tính chất ánh xạ xạ ảnh hai dạng cấp bậc Tuy nhiên đây, đường thẳng Euclide bổ sung điểm xa vô tận mà ta gán cho hoành độ ∞ (−∞ hay +∞ điểm xa vô tận đường thẳng đó) Định lí 1.2.6 Cho hai điểm M, M nằm hai trục ∆, ∆ có hoành độ tương ứng x, x Điều kiện cần đủ để có ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆ x x có liên hệ biến: x = ax + b , ad − bc = cx + d (1.1) Từ (1.1) ta thiết lập đặc trưng Euclide - đặc trưng hình học lượng theo nghĩa Euclide ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng, từ ta vận dụng vào lớp toán hình học sơ cấp Trước hết ta đưa định nghĩa sau điểm giới hạn Định nghĩa 1.2.6 Cho ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆ Gọi J điểm hàng ∆ , ứng với điểm xa vô tận hàng điểm ∆ gọi I điểm hàng ∆, ứng với điểm xa vô tận hàng điểm ∆ Hai điểm I, J gọi hai điểm giới hạn Hệ thức sau thể đặc trưng lượng ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng Định lí 1.2.7 Cho ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆ , M −→ M Nếu chọn điểm giới hạn I, J tương ứng ∆, ∆ làm gốc hoành độ ta có IM J M = const (1.2) Như mô hình afin hay mô hình Euclide mặt phẳng xạ ảnh, bất biến xạ ảnh (tỉ số kép) diễn tả bất biến lượng thông qua độ dài đoạn thẳng Từ ta áp dụng vào việc phát chứng minh hệ thức có dạng AM A M số (khi cặp điểm M, M chuyển động hai đường thẳng đó) Trường hợp đặc biệt hai điểm giới hạn I, J xa vô tận, hàm biến (1.1) trở thành hàm bậc b a x = x+ d d Do hai điểm M1 (x1 ), M2 (x2 ) có ảnh tương ứng M1 (x1 ), M2 (x2 ) ta có M1 M2 a (1.3) = = const d M1 M2 Định lí 1.2.8 Điều kiện cần đủ để ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng trở thành ánh xạ đồng dạng hai điểm giới hạn xa vô tận Dựa vào định lí ta đề xuất toán chứng minh hệ thức không đổi có dạng (1.3) Tuy nhiên muốn đặt toán chứng minh hệ thức không đổi có dạng (1.3) có dạng (1.2) ta cần có tiêu chuẩn nhận biết ánh xạ xạ ảnh hai hàng điểm Định lí 1.2.9 Nếu từ điểm M đường thẳng (hàng điểm) ∆, ta xác định điểm M đường thẳng (hàng điểm) ∆ phép dựng hình cho i) Giữa M M có liên hệ đối (kể phần tử ảo có), nói cách khác là, ánh xa f : ∆ −→ ∆ , M −→ M song ánh ii) Các đường mặt dùng phép dựng hình để xác định cặp điểm tương ứng M, M đường mặt đại số Khi ánh xạ f : ∆ −→ ∆ , M −→ M ánh xạ xạ ảnh hai đường thẳng Các định lí 1.2.6 1.2.9 hai chùm đường thẳng (đối ngẫu hai hàng điểm) Định lí 1.2.10 Cho hai đường thẳng m, m thuộc chùm tâm O, O có hệ số góc tương ứng k, k Điều kiện cần đủ để có ánh xạ xạ ảnh f : O −→ O k k có liên hệ biến: k = 1.2.4 ak + b , ad − bc = ck + d Phép biến đổi xạ ảnh dạng cấp một, bậc Phân loại phép biến đổi xạ ảnh dạng cấp một, bậc Định nghĩa 1.2.7 Một ánh xạ xạ ảnh hai hàng giá d (tương ứng, hai chùm tâm (O)) gọi phép biến đổi xạ ảnh (hay biến hình xạ ảnh) đường thẳng d (tương ứng, chùm (O)) Vì hai hàng giá hay hai chùm tâm nên xảy trường hợp hai phần tử tương ứng trùng Những phần tử gọi phần tử kép (hay phần tử bất động) Định nghĩa 1.2.8 Ta gọi phép biến đổi xạ ảnh đường thẳng (hay chùm đường thẳng) thuộc loại hybebolic, parabolic hay eliptic tùy theo có hai, hay điểm (hay đường thẳng) bất động thực Trường hợp phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic, phần tử bất động thực, ta bảo có hai điểm (hay đường thẳng) ảo liên hợp Một số tính chất đặc trưng Định lí 1.2.11 Trong phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic đường thẳng, hai điểm bất động với cặp điểm tương ứng tạo thành bốn điểm có tỉ số kép không đổi Định lí 1.2.11’ Trong phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic chùm đường thẳng, hai đường thẳng bất động với hai đường thẳng tương ứng tạo thành bốn đường thẳng có tỉ số kép không đổi Định lí 1.2.12 Điều kiện cần đủ để phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic đường thẳng trở thành biến đổi đồng dạng hai điểm bất động vô tận Định lí 1.2.13 Trong phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic đường thẳng ∆ tồn hai điểm đối xứng qua ∆ cho từ điểm nhìn đoạn thẳng M M nối cặp điểm tương ứng M, M góc định hướng không đổi Vậy C, O, F thẳng hàng Ví dụ 2.8.34.Nếu hai tam giác ABC A B C ngoại tiếp ôvan C chúng nội tiếp ôvan C Đây định lí hình học xạ ảnh, để chứng minh định lí xem [3] [7, tr 244] [11] Tuy nhiên ta chứng minh hình học sơ cấp sau: Chọn hai điểm A, B làm hai điểm cyclic ôvan C trở thành parabol có tiêu điểm điểm C, ôvan C thành đường tròn Như tam giác mà ngoại tiếp parabol đường tròn ngoại tiếp tam giác qua tiêu điểm parabol Ta đưa toán hình học sơ cấp sau đây: Bài toán 2.8.17.(Bài toán Simson [5]) Quỹ tích tiêu điểm parabol tiếp xúc với ba cạnh tam giác đường tròn ngoại tiếp tam giác Lời giải Giả sử (P ) parabol tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC có tiêu điểm F Ta biết hình chiếu tiêu điểm F lên tiếp tuyến parabol (P ) nằm tiếp tuyến đỉnh (P ) (ví dụ 2.4.7) Gọi M, N, P hình chiếu F lên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Vì đường thẳng chứa cạnh tam giác tiếp tuyến (P ) nên ba điểm M, N, P nằm tiếp tuyến với (P ) đỉnh Điều có nghĩa hình chiếu F lên ba cạnh tam giác ABC thẳng hàng Theo định lí đường thẳng Simson ta có F nằm đường tròn (ABC) Đảo lại, F nằm đường tròn (ABC) Hình 2.45: theo định lí đường thẳng Simson, ta có hình chiếu F lên ba cạnh tam giác ABC nằm đường thẳng d Xét parabol (P ) nhận (d) làm tiếp tuyến đỉnh, theo tính chất tiếp tuyến parabol đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC tiếp xúc với (P ), tức F thuộc quỹ tích cần tìm Vậy quỹ tích tiêu điểm F đường tròn (ABC) Bài toán giải xong, định lí xạ ảnh ban đầu chứng minh xong 2.8.2 Phát kiện hình học xạ ảnh Xuất phát từ định lí toán hình hoc sơ cấp quen thuộc, cách thể tương quan lượng hình học Euclide 70 tương quan liên thuộc dạng xạ ảnh (đường tròn ôvan qua hai diểm cyclic, hai đường thẳng song song có điểm chung vô tận, trung điểm đoạn thẳng AB chia điều hòa điểm vô tận đường thẳng AB cặp điểm (A, B), ) Sau xem điểm cyclic điểm vô tận điểm thông thường khác mặt phẳng xạ ảnh để thu định lí toán hình học xạ ảnh Ví dụ 2.4.35.(Định lí Menelaus) Cho tam giác ABC, điểm M, N, P nằm đường thẳng BC, CA, AB không trùng với đỉnh A, B, C Khi M, N, P thẳng hàng (ABP ).(BCM ).(CAN ) = (2.23) Trong ví dụ 2.3.6 ta chứng minh định lí Menelaus hai cách, từ định lí này, bổ sung vào mặt phẳng afin đường thẳng vô tận ta mặt phẳng xạ ảnh thu định lí xạ ảnh tương ứng sau: Định lí xạ ảnh 2.8.1 Cho tam giác ABC ba điểm M, N, P BC, CA, AB mà không trùng với A, B, C Một đường thẳng d không qua A, B, C, cắt BC, CA, AB A , B , C Khi A , B , C thẳng hàng (ABP C ).(BCM A ).(CAN B ) = Hình 2.46 Để chứng minh định lí ta cần bổ đề sau: Bổ đề 2.8.1 Cho tam giác ABC ba điểm M, N, P BC, CA, AB mà không trùng với A, B, C Gọi E điểm cho không thuộc AB, BC, CA Đặt A1 = AE ∩ BC, B1 = BE ∩ AC, C1 = CE ∩ AB 71 Khi M, N, P thẳng hàng (ABP C1 ).(BCM A1 ).(CAN B1 ) = −1 Bổ đề chứng minh phương pháp tọa độ xạ ảnh (chọn mục tiêu (A, B, C; E)), xem tập 4.11 [3, tr 29] Bây ta áp dụng bổ đề để chứng minh định lí 2.4.1 Chứng minh Đặt E = BB ∩ CC , A” = AE ∩ BC Xét hình bốn đỉnh toàn phần ABCE ta (BCA A”) = −1 Từ áp dụng bổ đề ta có M, N, P thẳng hàng (ABP C ).(BCM A”).(CAN B ) = −1 ⇔ (ABP C ).(BCM A ).(BCA A”).(CAN B ) = −1 ⇔ (ABP C ).(BCM A ).(CAN B ) = −1 Định lí chứng minh xong Bây xuất phát từ toán đơn giản hình học sơ cấp ta đưa giải toán xạ ảnh tương ứng, từ chứng minh định lí Droz-Farny phương pháp xạ ảnh Ví dụ 2.8.36.Cho tam giác ABC điểm S Các đường thẳng vuông góc với SA, SB, SC A, B, C đồng quy S nằm đường tròn (ABC) Khi điểm đồng quy T đối xứng với S qua tâm đường tròn (ABC) Hình 2.47 Hình 2.48 Trên phương diện xạ ảnh, đường tròn ôvan qua hai điểm cyclic I, J, từ ta có toán xạ ảnh sau: 72 Bài toán xạ ảnh 2.8.1 Cho năm điểm A, B, C, I, J nằm đường ôvan C S điểm Gọi Ax đường thẳng chia điều hòa AS cặp đường thẳng (AI, AJ), tương tự với By, Cz Khi Ax, By, Cz đồng quy điểm T C S nằm C Trong trường hợp điểm T giao điểm C đường thẳng nối S với cực đường thẳng IJ (hình 2.48) Lời giải Gọi T, U, V giao điểm Ax, By, Cz với C Giả sử S thuộc C, theo giả thiết ta có (AI, AJ, AS, AT ) = (BI, BJ, BS, BU ) = −1 Suy (IJST ) = (IJSU ) = −1 Vì điểm I, J, S, T, U nằm C nên từ đẳng thức suy T trùng U Tương tự ta có T trùng V Vậy đường thẳng Ax, By, Cz đồng quy T nằm C Ngược lại, giả sử đường thẳng Ax, By, Cz đồng quy T nằm C Ta chứng minh S thuộc C Gọi S1 , S2 , S3 giao điểm AS, BS, CS với C, điểm I, J, A, B, S1 , T nằm C nên từ giả thiết ta có (BI, BJ, BS1 , BT ) = (AI, AJ, AS1 , AT ) = −1 Tương tự (AI, AJ, AS2 , AT ) = (BI, BJ, BS2 , BT ) = −1 Từ suy S1 trùng S2 Tương tự, S1 S3 trùng Như đường thẳng AS, BS, CS đồng quy S1 , tức S trùng S1 Vậy S thuộc C Theo nguyên tắc đối ngẫu, từ kết toán ta thu kết sau: Mệnh đề 2.8.1 Cho tam giác ABC hai đường thẳng l, l cắt P tiếp xúc với đường ôvan C Gọi X, Y, Z (tương ứng X , Y , Z ; Xd , Yd , Zd ) giao điểm l (tương ứng l , d) với đường thẳng BC, CA, AB Gọi Xd điểm chia điều hòa Xd cặp (X, X ), tương tự với Yd , Zd Khi ba điểm Xd , Yd , Zd nằm tiếp tuyến d C d tiếp xúc với C Trong trường hợp giao điểm d d nằm đường đối cực P C Bây xem đường thẳng d đường thẳng vô tận ta có hệ sau: 73 Hệ 2.8.1 Các trung điểm XX , Y Y , ZZ nằm đường thẳng d l, l tiếp xúc với parabol (P ) M, M Trong trường hợp d tiếp tuyến với parabol (P ) song song với M M Hình 2.49 Định lí Droz-Farny Từ hệ trên, l vuông góc với l P trùng với trực tâm tam giác ABC ta có định lí sau: Định lí 2.8.2 (Định lí Droz-Farny) Nếu hai đường thẳng vuông góc vẽ từ trực tâm tam giác, chắn cạnh tam giác đoạn thẳng trung điểm đoạn thẳng thẳng hàng Chứng minh sơ cấp định lí xem "A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem", Jean-Louis Ayme, Forum Geometricorum, Volume (2004) 219–224 Ví dụ 2.4.37.Chứng minh hình bình hành ABCD nội tiếp ngoại tiếp elip hypebol tâm trùng với tâm elíp hypebol Đây toán quen thuộc toán phổ thông, giải dễ dàng phương pháp tọa độ Trong mô hình afin, Euclide mặt phẳng xạ ảnh đường elíp hypebol có tâm O thể ôvan xạ ảnh C không cắt cắt đường thẳng vô tận ∆ hai điểm phân biệt O cực ∆ Như toán phát biểu lại dạng xạ ảnh là: 74 Bài toán xạ ảnh 2.8.2 Cho trước đường thẳng ∆ đường ôvan C không tiếp xúc với ∆ Chứng minh hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp ngoại tiếp C có P = AB ∩ CD, Q = AD ∩ BC thuộc ∆ O = AC ∩ BD cực đường thẳng ∆ Hình 2.50 Lời giải Trước hết ta xét trường hợp hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp C, gọi E = BD ∩ P Q, F = AC ∩ P Q, theo tính chất hình bốn đỉnh toàn phần ABCD ta có (BDOE = −1 (CAOF ) = −1 Do O liên hợp với E F C Vậy O cực EF hay O tâm (C) Trường hợp hình bốn đỉnh ABCD ngoại tiếp (C), gọi M, N, K, L tiếp điểm AB, BC, CD, DA với (C) Áp dụng định lý Brianchon cho tứ giác ABCD ta có AC, BD, N L, M K đồng quy O Mặt khác dễ thấy P, Q cực M K N L Do O = M K ∩ N L cực P Q Tiếp theo ta xét ví dụ quen thuộc liên quan đến tính chất parabol Ví dụ 2.8.38.Cho parabol (P ) có tiêu điểm F , đường chuẩn ∆ tiếp tuyến đỉnh d, điểm M thay đổi (P ) a) Chứng minh chân đường vuông góc hạ từ F xuống tiếp tuyến với (P ) M nằm d b) Giả sử M F cắt (P ) N Chứng minh tiếp tuyến với (P ) M, N vuông góc c) Gọi P giao điểm tiếp tuyến M, N nói Chứng minh P F ⊥ MN 75 Lời giải a) Chọn hệ trục tọa độ cho phương trình parabol y = 2px Phương trình tiếp tuyến với (P ) M (x0 , y0 ) yy0 = p(x + x0 ) Phương trình đường thẳng qua F vuông góc với tiếp tuyến y0 p = Suy hoành độ giao điểm H y0 x + py − py02 p x0 − đường thẳng tiếp tuyến nói xH = 2 p + y0 Từ y0 = 2px0 nên suy xH = 0, tức H thuộc Oy, tiếp tuyến đỉnh (P ) b) Theo câu hình chiếu H, G F lên Hình 2.51: tiếp tuyến M, N với (P ) thuộc d nên dễ thấy K, L đối xứng với F qua tiếp tuyến M N K, L thuộc ∆ Dễ thấy tứ giác M KP F , HP GF nội tiếp, từ ta có N P F + F P H = P KF + F KM = 900 Suy P M ⊥ P N c) Do tứ giác M KP F nội tiếp nên P F ⊥ M N Bây từ toán sơ cấp ta thu toán xạ ảnh tương ứng sau Bài toán xạ ảnh 2.8.2 Trong mặt phẳng xạ ảnh (có bổ sung phần tử ảo) cho trước đường thẳng w ôvan C tiếp xúc với w điểm T Trên w lấy hai điểm ảo liên hợp, hai tiếp tuyến ảo liên hợp kẻ từ I, J cắt F Gọi O giao điểm thứ hai F T với C d tiếp tuyến với C O Giả sử M điểm thay đổi C, H điểm tiếp tuyến t với C M cho (HF, HM, HI, HJ) chùm đường thẳng điều hòa a) Chứng minh H thuộc d b) Giả sử M F cắt (S) N , gọi P giao điểm tiếp tuyến với C M, N Chứng minh hai chùm đường thẳng (P M, P N, P I, P J) (F P, F M, F I, F J) = −1 hai chùm đường thẳng điều hòa Lời giải a) Giả sử t cắt d G, gọi S, M , G giao điểm d, t F G với w Ta chứng minh G ≡ H Trước tiên ta chứng minh (M G IJ) = −1 Theo định lí Steiner đối ngẫu, ta có ánh xạ xạ ảnh f : d −→ w, G −→ M Vì f song ánh nên dễ thấy ánh xạ sau ánh xạ xạ ảnh g : w −→ w, M −→ G = F G ∩ w 76 Hình 2.52 Ánh xạ có hai điểm kép I, J có g(S) = T Mặt khác xét tứ giác toàn phần IJU V SF (hình vẽ), ta có (ST IJ) = −1, ta có (M G IJ) = −1 Bây giả sử F H cắt d, w G1 , H Theo chứng minh ta có (G M IJ) = −1 Mặt khác theo giả thiết (HF, HM, HI, HJ) = −1 suy (H M IJ) = −1, từ suy G ≡ H , H ≡ G1 ≡ G b) Vì cực ∆ điểm F nằm M N nên cực M N điểm P phải nằm ∆, đường thẳng cố định Khi P thay đổi ∆, xét ánh xạ f tuyến lớp hai C, với f (P M ) = P N , theo định lí đảo định lí Frégier đối ngẫu, dễ thấy f phép biến hình đối hợp C có hai tia kép P I, P J Do (P M, P N, P I, P J) = −1 Theo chứng minh ta có P thuộc ∆, từ P liên hợp với F M C nên cực F M Hai đường thẳng F P, F M theo thứ tự có cực Q, P (hình vẽ), hai điểm liên hợp C nên F P, F M liên hợp C Từ suy (F P, F M, F I, F J) = −1 2.9 Mở rộng định lí Steiner vị định lí Frégier Trong mục 1.2.4, ta đề cập đến định lí Steiner định lí đối ngẫu Theo định lí Steiner, m, m cặp đường thẳng tương ứng ánh xạ xạ ảnh hai chùm đường thẳng (A) (B) quỹ tích giao điểm chúng đường cong bậc hai Vấn đề đặt ta thay cặp điểm A, B định lí đường cong lớp hai không suy biến (cặp điểm A, B xem đường cong lớp hai suy biến) quỹ tích giao điểm m, m gì? Tương tự, ta thay cặp cặp đường thẳng a, b định lí 1.3.1’ đường cong bậc hai không suy biến (cặp đường thẳng a, b xem 77 đường cong bậc hai suy biến) hình bao đường thẳng M M gì? Trước tiên ta xét toán hình học sơ cấp sau đây: Bài toán 2.9.1 Một góc định hướng có độ lớn không đổi quay quanh điểm O cố định đường tròn (C, R) cố định Giả sử cạnh góc cắt (C) hai điểm M, M Chứng minh hình bao đường thẳng M M đường tròn cố định (C ), đồng tâm với đường tròn cho Đây toán đơn giản hình học sơ cấp, ta không trình bày lời giải mà tìm cách thể nội dung toán mô hình Euclide mặt phẳng xạ ảnh để thu kết hình học xạ ảnh Trong mô Euclide mặt phẳng xạ ảnh, đường tròn ôvan C qua hai điểm cyclic I, J, theo công thức Laguerre (xem [7, tr 133]), giả thiết góc (OM, OM ) không đổi tương đương với tỉ số kép (OM, OM , OI, OJ) không đổi, hay tỉ số kép (I, J, M, M ) không đổi Để có điều ta giả sử M, M cặp điểm tương ứng phép biến đổi xạ ảnh ôvan C, có I, J hai điểm bất động Như từ kết toán sơ cấp ta suy mệnh đề sau Hình 2.53 Mệnh đề 2.9.1 Nếu M, M cặp điểm tương ứng phép biến đổi xạ ảnh f đường cong bậc hai C không suy biến hình bao đường thẳng M M đường cong lớp hai C đó, đường cong lưỡng tiếp đường cong C A B, A B hai điểm bất động (thực hay ảo liên hợp) f Vậy ta thay cặp đường thẳng a, b đường cong bậc hai C không suy biến ta thu kết tương tự định lí 1.3.1’ Trong trường hợp góc không đổi toán sơ cấp góc vuông hình bao đường thẳng M M tâm C đường tròn Về phương diện xạ 78 ảnh, phép biến đổi xạ ảnh nói mệnh đề môt phép biến hình đối hợp hình bao đường thẳng M M điểm F (đường cong lớp hai suy biến đặc biệt) Ta tìm lại định lí Frégier Như mệnh đề 2.5.1 kết mở rộng định lí Frégier Dựa vào mệnh đề 2.5.1 ta thiết lập phép biến đổi xạ ảnh (điểm) đường cong bậc hai không suy biến C cách sau: Trên C ta chọn trước hướng ký hiệu p, hướng ngược lại ký hiệu n Xét đường cong bậc hai C lưỡng tiếp với C hai điểm A, B Với điểm M C, từ M ta kẻ hai tiếp tuyến M M , M M ” với C (M , M ” ∈ C) Ta quy ước đặt tên M , M ” cho từ M đến M theo hướng p chọn không qua M ” Khi tương ứng F : C −→ C, M −→ M phép biến đổi xạ ảnh (điểm) ôvan C có hai điểm kép A, B Đến câu hỏi đặt hai đường cong C C không lưỡng tiếp mà hai đường cong tương ứng F nói có phép biến đổi xạ ảnh C không? Câu trả lời khẳng định, thể qua bổ đề sau Bổ đề 2.9.1 Cho hai ôvan C C Trên C, ta chọn trước hướng đi, ký hiệu p, hướng lại ký hiệu n Với điểm M C, từ M ta kẻ hai tiếp tuyến M M , M M ” với C (M , M ” ∈ C) Ta quy ước đặt tên M , M ” cho từ M đến M theo hướng p chọn không qua M ” Khi tương ứng F : C −→ C, M −→ M phép biến đổi xạ ảnh (điểm) C Chứng minh Gọi d đường thẳng cố định đó, xét tương ứng Hình 2.54: f : d −→ d, X1 −→ X2 xác định sau: với điểm X1 d, ta vẽ SX1 , cắt C X Từ X ta vẽ tiếp tuyến XX với C , (X ∈ C) cho X = F (X) Đặt X2 = X S ∩ d Theo định lí 1.2.9, ta có f phép biến đổi xạ ảnh d Xét ánh xạ nghịch đảo xạ ảnh g : C −→ d, Y −→ Y = SY ∩ d, ta có g song ánh bảo toàn tỉ số kép Gọi M1 , M2 giao điểm d với M S, M S Khi ta có g(M ) = M1 , f (M1 ) = M2 , g −1 (M2 ) = M Vì g, g −1 , f song ánh bảo toàn tỉ số kép nên F = g −1 ◦ f ◦ g song ánh bảo toàn tỉ số kép Vậy F phép biến đổi xạ ảnh đường ôvan C 79 Như theo bổ đề 2.5.1, với hai ôvan C, C bất kì, ta thiết lập phép biến đổi xạ ảnh (điểm) C Trong trường hợp C suy biến thành cặp điểm trùng theo định lí Frégier đảo, phép biến đổi xạ ảnh F nói phép biến hình đối hợp Theo nguyên tắc đối ngẫu ta suy mệnh đề sau: Mệnh đề 2.9.2 Cho hai đường ôvan C C Trên C, ta chọn trước hướng đi, với tiếp tuyến m C, từ hai giao điểm m với C kẻ hai tiếp tuyến với C quy ước đặt tên m , m” cho từ M đến M theo hướng chọn không qua M ” (với M, M , M ” tiếp điểm m, m , m” với C) Khi tương ứng F : C −→ C, m −→ m phép biến đổi xạ ảnh (tuyến) C (Hình 2.55) Hình 2.55 Theo mệnh đề 2.5.2, với hai ôvan C, C bất kì, ta thiết lập phép biến đổi xạ ảnh (tuyến) C Trong trường hợp C suy biến thành cặp đường thẳng trùng theo định lí Frégier đảo, phép biến hình xạ ảnh F nói phép biến hình đối hợp Bây ta giả sử m, m (M, M ) cặp đường thẳng (cặp điểm) tương ứng phép biến đổi xạ ảnh tuyến (điểm) ôvan C, quỹ tích giao điểm m, m (hình bao M M ) có đường cong bậc (lớp) hai hay không? Đây câu hỏi mà ta đặt việc mở rộng định lí Steiner định lí đối ngẫu Câu trả lời khẳng định, cụ thể ta có định lí sau đây: Định lí 2.9.1 (Định lí Steiner mở rộng) Nếu m, m cặp đường thẳng tương ứng phép biến đổi xạ ảnh (tuyến) đường cong lớp hai không suy biến C quỹ tích giao điểm chúng đường cong bậc hai C Định lí 2.9.1’ (Định lí Frégier mở rộng) Nếu M, M cặp điểm tương ứng phép biến đổi xạ ảnh (điểm) đường cong bậc hai không suy biến C hình bao đường thẳng M M đường cong lớp hai C 80 Hình 2.56 Theo nguyên tắc đối ngẫu ta cần chứng minh hai định lí trên, từ suy định lí lại Dưới chứng minh định lí 2.5.1’ Chứng minh Giả sử f phép biến đổi xạ ảnh đường cong bậc hai C, điểm A, B, C, D, E có ảnh A , B , C , D , E Khi năm đường thẳng AA , BB , CC , DD , EE xác định môt đường cong lớp hai C nhận chúng làm tiếp tuyến Trên đường cong C, ta chọn trước hướng Với điểm M C, ta kẻ hai tiếp tuyến M M , M M ” với C , M , M ” ∈ C Ta quy ước đặt tên M , M ” cho từ M đến M theo hướng chọn không qua M ” Khi ta gọi đoạn tiếp tuyến M M hướng với hướng chọn Xét năm đoạn tiếp tuyến AA , BB , CC , DD , EE , theo nguyên lí Dirichlet phải có ba đoạn tiếp tuyến hướng (hoặc ngược hướng) với hướng chọn Không tổng quát, giả sử ba đoạn tiếp tuyến AA , BB , CC hướng với hướng chọn Xét ánh xạ F : C −→ C, M −→ M , xác định bổ đề 2.5.1 Khi theo bổ đề F phép biến đổi xạ ảnh (điểm) C Qua phép biến đổi A, B, C biến thành A , B , C Như F f có ba cặp phần tử tương ứng Hình 2.57: chung, F = f Bây với điểm M thuộc C, giả sử f (M ) = M , F (M ) = f (M ) = M , M M tiếp xúc với C (theo cách xác định F ) Vậy hình bao đường thẳng M M đường cong lớp hai C Phần đảo lại định lí suy từ bổ đề 2.5.1 Nhận xét 2.9.1 Nếu f phép biến hình xạ ảnh đối hợp F = f phép biến hình đối hợp Do theo cách xác định F hình bao đường thẳng nối cặp điểm tương ứng M, M đường cong lớp hai suy biến 81 đặc biệt (một cặp điểm trùng nhau) Ta tìm lại định lí Frégier Vậy định lí 2.5.1’ định lí mở rộng định lí Frégier 82 Kết luận Luận văn minh họa số nét mối quan hệ qua lại hình học xạ ảnh, afin Euclide ứng dụng việc tiếp cận giải toán hình học sơ cấp thông qua ví dụ cụ thể Qua ta hướng tới lời giải gắn gọn nhìn toán cách tổng quát Những vấn đề đề cập luận văn giới hạn mặt phẳng Vì việc khai thác tiếp vấn đề không gian hướng phát triển luận văn Một hướng nghiên cứu khác dùng hình học xạ ảnh để nghiên cứu hình học giả Euclide, phi Euclide ngược lại 83 Tài liệu tham khảo [1] Văn Như Cương, Kiều Huy Luân, Hoàng Trọng Thái (1999), Hình học 2, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Dũng (2007), Một số lớp đa giác phẳng đặc biệt (Các đa giác lưỡng tâm (lưỡng tiếp), nửa gần đều), Luận văn thạc sĩ khoa học, ĐHKHTN, Đại học quốc gia Hà Nội [3] Phạm Bình Đô (2002), Bài tập hình học xạ ảnh, NXB Đại học sư phạm [4] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn (2007), Hình học số vấn đề liên quan, NXB Giáo Dục [5] Nguyễn Đạo Phương, Phan Huy Khải (1994) Tuyển chọn toán ba đường cônic, NXB Giáo Dục [6] V.V Praxolov (2002), Các toán hình học phẳng, Tập II, NXB Hải Phòng [7] Nguyễn Cảnh Toàn (1963), Hình học xạ ảnh, NXB Giáo Dục [8] Tuyển tập 30 năm Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục, 2004 [9] Tạp chí toán học tuổi trẻ (2008), Tuyển chọn theo chuyên đề THTT, 3, NXB Giáo Dục [10] H.S.M Coxeter and S.L Greitzer (1967), Geometry Revisited, The Mathematical Association of America, Washington [11] Luigi Cremona (1885), Elements of Projective Geometry, Oxford Press [12] Tài liệu từ Internet 84 ... Một số cách tiếp cận mở rộng hình học xạ ảnh 2.7.1 Dùng hình học afin để nghiên cứu hình học Euclid 2.8 Dùng hình học afin hình học Euclide 2.8.1 Giải số toán hình học xạ. .. đầu Hình học xạ ảnh môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính Nhiều định lý hình học tiếng nhiều toán hình học hay trở nên đơn giản góc nhìn hình học xạ ảnh Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh. .. dụng hình học xạ ảnh hình học sơ cấp Đây chương luận văn trình bày ứng dụng mặt phẳng xạ ảnh mô hình mặt phẳng xạ ảnh afin, Euclide vào việc chứng minh số định lý giải toán hình học sơ cấp thông