Một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m trong nửa không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II NGUYỄN THỊ TÍNH MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC CẤP 2m TRONG NỬA KHÔNG GIAN Ngành: Toán - Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS. Trần Văn Bằng Hà Nội - 2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, tiến sĩ Trần Văn Bằng, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Tác giả 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan : Khóa luận ”Một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m trong nửa không gian” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, có tham khảo ý kiến của những người đi trước, tham khảo tài liệu có liên quan, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Trần Văn Bằng. Khóa luận không sao chép từ một tài liệu, một công trình nào sẵn có. Kết quả khóa luận ít nhiều có đóng góp vào việc tìm hiểu, nghiên cứu về bài toán biên. Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Tác giả Nguyễn Thị Tính Mục lục Mở đầu 5 Chương 1. Bài toán biên đối với PTVP thường trên nửa trục 8 1.1 Bài toán biên và bài toán liên hợp hình thức . . . . . . . . 8 1.1.1 Thiết lập bài toán biên. . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Bài toán liên hợp hình thức (trường hợp µ k < 2m). 9 1.1.3 Bài toán liên hợp hình thức (trường hợp có µ k ≥ 2m). 12 1.2 Tính giải được của bài toán biên trên nửa trục . . . . . . . 13 1.2.1 Không gian Sobolev trên nửa trục . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Tính chính quy của bài toán biên trên nửa trục . . 15 1.2.3 Các phát biểu tương đương của tính chính quy . . . 16 1.2.4 Tính giải được của bài toán biên chính quy . . . . . 19 1.2.5 Tính giải được của bài toán liên hợp hình thức . . . 22 1.3 Bài toán biên chính quy trong không gian Sobolev với cấp âm 23 1.3.1 Không gian Sobolev với cấp âm . . . . . . . . . . . 24 1.3.2 Thác triển của toán tử A . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3 Tính song ánh của toán tử A . . . . . . . . . . . . 28 1.4 Tính chất của toán tử liên hợp A ∗ . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.1 Mối quan hệ giữa toán tử liên hợp và toán tử liên hợp hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.2 Tính song ánh của toán tử liên hợp . . . . . . . . . 34 1.4.3 Tính chính quy của nghiệm của bài toán liên hợp . 36 Chương 2. Bài toán biên elliptic trong nửa không gian 38 2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình đạo hàm riêng . . . . 38 4 2.1.1 Không gian Sobolev của các hàm tuần hoàn . . . . 38 2.1.2 Tính giải được của phương trình đạo hàm riêng el- liptic với hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.3 Tính chính qui của nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . 41 2.2 Tính giải được của bài toán biên elliptic trong nửa không gian 44 2.2.1 Không gian Sobolev các hàm tuần hoàn . . . . . . 44 2.2.2 Toán tử vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.3 Tính elliptic của bài toán biên . . . . . . . . . . . . 46 2.2.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . 50 2.3 Tính giải được của bài toán biên elliptic trong không gian Sobolev cấp nguyên tùy ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3.1 Không gian Sobolev cấp âm . . . . . . . . . . . . . 51 2.3.2 Công thức Green trong nửa không gian . . . . . . . 52 2.3.3 Thác triển của toán tử A trong bài toán biên . . . 56 2.3.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong trường hợp hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3.5 Tính chính qui của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3.6 Sự cần thiết của tính elliptic . . . . . . . . . . . . . 60 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng là một bộ môn toán học cơ bản vừa mang tính chất lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng. Rất nhiều ngành khoa học (kể cả xã hội), công nghệ đều phải sử dụng nó. Nó có mặt và góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú, tính đầy đủ sâu sắc, tính hiệu quả giá trị của nhiều ngành như tối ưu, điều khiển tối ưu, trò chơi vi phân, giải tích số, tính toán khoa học, kể cả các lý thuyết như lý thuyết kỳ dị, tai biến, rẽ nhánh, hỗn loạn Lí thuyết phương trình vi phân và lí thuyết phương trình đạo hàm riêng được rất nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu. Đặc biệt, lớp bài toán biên elliptic có nhiều ứng dụng quan trọng. Trong chương trình học, chúng ta đã nghiên cứu các khái niệm cơ bản, một số kết quả điển hình về lớp phương trình elliptic đều (bài toán biên thứ nhất, thứ hai, thứ ba). Tuy nhiên, nghiên cứu mới tập trung chủ yếu ở các phương trình elliptic cấp 2. Qua tìm hiểu chúng tôi nhận thấy rằng, các phương trình elliptic cấp 2m, với những điều kiện biên tổng quát đòi hỏi rất nhiều vấn đề về kỹ thuật, cùng những các kiến thức cơ bản khác. Đặc biệt là các vấn đề liên quan tới việc lựa chọn các không gian nghiệm, thường là các không gian Sobolev, hoặc không gian H¨older. Với mong muốn hiểu sâu hơn về lớp phương trình này, tôi đã chọn đề tài: ”Một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m trong nửa không gian”. Nội dung của Luận văn bao gồm hai chương: Chương 1: Trình bày lớp bài toán biên trong không gian một chiều. Trong trường hợp này các vấn đề kỹ thuật đơn giản hơn trường hợp nhiều chiều nên các ý tưởng được mô tả rõ ràng, các kết quả được chứng minh chi tiết. 6 Chương 2: Khái quát hóa các khái niệm và các kết quả đã đạt được trong Chương 1 cho trường hợp nhiều chiều. Trong trình huống này các khái niệm, ý tưởng cơ bản được nêu rõ, tuy nhiên do khối lượng kiến thức khá nhiều nên một số kết quả không được chứng minh chi tiết. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu tính giải được và duy nhất nghiệm của bài toán biên elliptic trong nửa không gian và tính chất của nghiệm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: Nghiên cứu cách thiết lập bài toán với điều kiện biên tổng quát, khái niệm chính qui hóa. Nghiên cứu tính giải được và duy nhất nghiệm của bài toán trên nửa trục trong không gian Sobolev với cấp nguyên tùy ý, nghiên cứu sự liên hệ giữa bài toán biên liên hợp hình thức với bài toán liên hợp. Nghiên cứu bài toán trong nửa không gian, tính giải được và duy nhất nghiệm của bài toán trong không gian Sobolev của các hàm tuần hoàn. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1) Không gian Sobolev 2) Tính chất định tính của một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m trong nửa không gian. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp của Giải tích hàm, các phương pháp đã biết trong phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng cổ điển. 7 6. Những đóng góp của Luận văn Trình bày một cách có hệ thống, rõ ràng một số kết quả cơ bản về tính giải được và duy nhất nghiệm của một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m trên nửa trục, trên nửa không gian trong các không gian Sobolev thích hợp. Chương 1 Bài toán biên đối với phương trình vi phân thường trên nửa trục Chương này đề cập đến các bài toán biên cho phương trình vi phân thường, tuyến tính, cấp 2m, với hệ số hằng trên khoảng (0, +∞). Đặc biệt là khái niệm về tính chính quy của bài toán biên - đó là điều kiện cần và đủ để bài toán biên có duy nhất nghiệm trong không gian Sobolev cấp nguyên bất kỳ. Hơn nữa, chương này còn nghiên cứu mối liên hệ giữa bài toán liên hợp hình thức (theo công thức "kiểu" Green) và bài toán liên hợp (theo nghĩa của Giải tích hàm) của bài toán biên chính quy. 1.1 Bài toán biên và bài toán liên hợp hình thức Trong mục này chúng tôi mô tả một lớp các bài toán biên trên R + = (0, +∞). Theo nghĩa cổ điển, trong bài toán biên ta chỉ phải tìm một ẩn hàm trên nửa trục, còn ở đây ngoài ẩn hàm u ta phải tìm thêm một vectơ u ∈ C J , J ∈ N ∗ . Hơn nữa, chúng tôi còn trình bày một công thức kiểu Green cho những bài toán này, từ đó dẫn tới bài toán liên hợp hình thức cũng có cùng dạng với bài toán xuất phát. 1.1.1 Thiết lập bài toán biên. Trong luận văn này, cho m, J ∈ Z, m > 0, J ≥ 0, L(D t ) = 2m  j=0 a j D j t (1.1.1) là toán tử vi phân tuyến tính cấp 2m với hệ số không đổi a j , trong đó a 2m = 0 và D t = −i∂ t = −i.d/d t . Cho µ k là các số nguyên, B k (D t ) = µ k  j=0 b k,j D j t 9 (k = 1, 2 · · · , m + J) là các toán tử vi phân tuyến tính cấp µ k với quy ước là khi µ k âm thì toán tử B k được giả thiết là đồng nhất bằng 0, B(D t ) là vectơ các toán tử B 1 (D t ), . . . , B m+J (D t ). Hơn nữa, C = (c k,j ) 1km+J,1jJ là một ma trận hằng cấp (m + J) × J. Với hàm f đã cho trên R + và véc tơ g ∈ C m+J , xét bài toán L(D t )u(t) = f(t), t > 0, (1.1.2) B(D t )u(t)| t=0 + Cu = g. (1.1.3) Trong bài toán này chúng ta tìm một hàm u trên R + và một vectơ u = (u 1 , . . . , u J ) sao cho u là một nghiệm của phương trình vi phân (1.1.2), và cặp (u, u) thoả mãn điều kiện biên (1.1.3), tức là B k (D t )u(t)| t=0 + J  j=1 c k,j u j = g k , k = 1, . . . , m + J. Chú ý 1.1.1. Nói chung, các véc tơ phải được hiểu là cột hay hàng một cách thích hợp, chẳng hạn trong (1.1.3), u và g là các vectơ cột. 1.1.2 Bài toán liên hợp hình thức (trường hợp µ k < 2m). Giả sử µ k < 2m, ∀k = 1, 2, · · · , m + J. Để xác định bài toán liên hợp hình thức của bài toán (1.1.2), (1.1.3), ta cần một dạng điều chỉnh của công thức Green cổ điển. Gọi L + (D t ) = 2m  j=0 a j D j t là toán tử liên hợp hình thức của L. Hơn nữa, gọi D là vectơ D = (1, D t , . . . , D 2m−1 t ). (1.1.4) Khi đó, toán tử B(D t ) có thể được viết dưới dạng B(D t ) = Q.D (1.1.5) [...]... trong l 2m l W2 (R+ ) × Cm+J × Cγ 2m với mọi f ∈ W2 (R+ ), g ∈ Cγ , h ∈ CJ , l ≥ 2m và nghiệm (v, ω, v) thoả mãn các đánh giá: v l W2 (R+ ) + |ω|Cγ 2m + |v|Cm+J ≤ c f l 2m W2 (R+ ) + |g|Cγ + |h|CJ với một hằng số c độc lập với f, g và h 1.3 Bài toán biên chính quy trong không gian Sobolev với cấp âm Trong mục này, chúng ta hạn chế xét bài toán biên với cấp của toán tử trong điều kiện biên nhỏ hơn 2m. .. toán này trùng với bài toán (1.1.15),(1.1.16) Lưu ý rằng các điều kiện biên (1.1.22) của bài toán liên hợp hình thức chỉ chứa các đạo hàm đến cấp 2m − 1 1.2 Tính giải được của bài toán biên trên nửa trục Mục này chứng tỏ rằng: tính chính quy của bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là cần và đủ để bài toán đó có duy nhất nghiệm trong không gian tích 14 l W2 (R+ ) × C J Bên cạnh đó còn chỉ ra một số định nghĩa... các điều kiện biên (1.1.16) của bài toán liên hợp hình thức có dạng sau: m+J Pj (Dt )v(t)|t=0 + bk,j−1 vk = gj , j = 1, , 2m, k=1 µk ≥j−1 m+J ck,j vk = hj , j = 1, , J k=1 Vậy bài toán liên hợp hình thức có cùng cấu trúc như bài toán ban đầu.Tuy nhiên, nó có số các điều kiện biên và số ẩn lớn hơn bài toán ban đầu Bài toán liên hợp hình thức (trường hợp có µk ≥ 2m) 1.1.3 Xét bài toán biên (1.1.2),... toán tử liên hợp A∗ Trong mục này chúng ta xét toán tử liên hợp A∗ của toán tử A theo nghĩa của Giải tích hàm Cũng như trước, ta hạn chế chỉ xét bài toán biên với các toán tử biên có cấp nhỏ hơn 2m Khi đó toán tử A∗ và toán tử A+ của bài toán biên liên hợp hình thức (1.1.15), (1.1.16) có mối liên hệ chặt chẽ với nhau (xem Định lí 1.4.1) 1.4.1 Mối quan hệ giữa toán tử liên hợp và toán tử liên hợp hình... điều kiện biên Dirichlet k−1 Dt u(t)|t=0 = gk , k = 1, , m 1.2.4 Tính giải được của bài toán biên chính quy Cho l là số nguyên tuỳ ý, l ≥ 2m, l ≥ maxµk + 1 Rõ ràng toán tử (u, u) → (f, g) của bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) xác định một ánh xạ tuyến tính liên tục l l 2m A : W2 (R+ ) × CJ → W2 (R+ ) × Cm+J (1.2.10) Nếu bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy, thì toán tử (1.2.10) là một đơn ánh... theo Bổ đề 1.3.1, không ˜ ˜ gian W 2m, k (R+ ) trù mật trong W l,k (R+ ), nên tập (1.3.3) trù mật trong 2 l,k ˜ W2 (R+ ) 2 26 1.3.2 Thác triển của toán tử A Giả thiết cấp của Bk < 2m với k = 1, , m + J Vì không gian l ˜ l ,2m W2 (R+ ) được đồng nhất với W2 (R+ ) khi l ≥ 2m (nhờ song ánh (u, (Du)(0)) ↔ u) nên toán tử (1.2.10) có thể được xét như một ánh xạ tuyến tính liên tục l 2m ˜ l ,2m A : W2 (R+ )... (R+ ) × CJ → W2 (R+ ) × Cm+J , l ≥ 2m (1.3.4) ˜ l ,2m Bây giờ chúng ta thác toán tử này lên không gian W2 (R+ ) × Cm+J với l < 2m Ta bắt đầu với toán tử L : ˜ l ,2m W2 (R+ ) l (u, (Du)(0)) → Lu ∈ W2 (R+ ), l ≥ 2m (1.3.5) Bổ đề 1.3.3 Toán tử (1.3.5) có thể thác triển duy nhất thành một toán tử liên tục 2m l ˜ l ,2m L : W2 (R+ ) → W2 (R+ )∗ (1.3.6) ˜ l ,2m với mọi l ∈ Z, l < 2m Cụ thể với (u, φ) ∈ W2 (R+ ),... trù mật của không gian W 2m, 2m (R+ ) trong W l ,2m (R+ ) (xem Bổ 2 2 đề 1.3.1) Sử dụng đẳng thức (1.1.5) chúng ta có thể mở rộng điều kiện biên (1.1.3) ˜ cho các cặp (u, φ) ∈ W l ,2m (R+ ) khi l < 2m thành: 2 Qφ + Cu = g 27 Như vậy ta có định lý sau: Định lý 1.3.4 Nếu µk < 2m với k = 1, , m + J thì toán tử (1.3.4) có ˜ thác triển duy nhất thành một toán tử liên tục từ không gian W l ,2m (R+ )×CJ 2... lý sau đây cho thấy, toán tử A của bài toán biên chính quy là một đẳng cấu Định lý 1.2.6 Các khẳng định sau đây là tương đương: 1, Bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy l 2m 2, Cho mỗi f ∈ W2 (R+ ), g ∈ Cm+J , l ≥ max (2m, µ1 + 1, , µk+J + 1) l tồn tại duy nhất một nghiệm (u, u) ∈ W2 (R+ ) × CJ của bài toán (1.1.2), (1.1.3) Nói cách khác toán tử (1.2.10) là một đẳng cấu l 2m Chứng minh Ta chứng... 1.2.6 Bây giờ giả sử l là một số nguyên dương Chúng ta chứng minh rằng toán l 2m, 2m l (R+ )×CJ tử A∗ ánh xạ liên tục từ không gian W2 (R+ )×Cm+J vào D2 l Gọi (v, v) là một phần tử tuỳ ý của W2 (R+ ) × Cm+J và gọi ψ ∈ C2m là một vectơ với các thành phần ψj = j−1 (Dt v)(0) khi j = 1, 2, , min(l, 2m) 0 khi min(l, 2m) < j ≤ 2m ˜ l ,2m Khi đó v, ψ là một phần tử thuộc không gian W2 (R+ ) × Cm+J Hơn . nghiệm của một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m trên nửa trục, trên nửa không gian trong các không gian Sobolev thích hợp. Chương 1 Bài toán biên đối với phương trình vi phân thường trên nửa trục Chương. cứu sự liên hệ giữa bài toán biên liên hợp hình thức với bài toán liên hợp. Nghiên cứu bài toán trong nửa không gian, tính giải được và duy nhất nghiệm của bài toán trong không gian Sobolev của. Green) và bài toán liên hợp (theo nghĩa của Giải tích hàm) của bài toán biên chính quy. 1.1 Bài toán biên và bài toán liên hợp hình thức Trong mục này chúng tôi mô tả một lớp các bài toán biên trên