với hệ số hằng số
Với đa chỉ số α = (α1, . . . , αn), đặt |α| = α1 +· · ·+αn là độ dài của α. Hơn nữa, kí hiệu Dxα = Dx1α1 ·Dα2x2 . . . Dαn
xn với Dxj = −i∂x∂ j. Nếu L(Dx) = X |α|≤2m aαDxα (2.1.2)
là toán tử vi phân cấp 2m thì ta kí hiệu L0(Dx) = X
|α|=2m
và gọi là phần chính của L.
Toán tử L được gọi là elliptic nếu L0(ξ) = X
|α|=2m
aαξα 6= 0, ∀ξ ∈ Rn, ξ 6= 0. (2.1.4)
Từ tính elliptic ta có |L0(ξ)| ≥ c|ξ|2m với mọi ξ ∈ Rn, ở đó c là hằng số dương không phụ thuộc vào ξ.
Định lý 2.1.1. Toán tử (2.1.2)là một đẳng cấu từW2l,per(Rn) vào W2l−,per2m(Rn)
nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn (i) L là elliptic;
(ii) L(k) 6= 0 với mọi k ∈ Zn.
Chứng minh. 1) Giả sửL thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii). Từ tính elliptic ta có
|L0(ξ)| ≥ c|ξ|2m ≥ c((1 +|ξ|2)/2)m
với |ξ| ≥ 1. Từ |L(ξ)−L0(ξ)| ≤ c(1 +|ξ|2m−1) ta có
|L(ξ)| ≥ c(1 +|ξ|2)m
với hằng số c không phụ thuộc vào ξ nếu |ξ| đủ lớn. Theo (ii),
|L(k)| ≥ c(1 +|k|2)m (2.1.5) với mỗi k ∈ Zn, trong đó hệ số c không phụ thuộc vào k. Giả sử f ∈
W2l−,per2m(Rn) với hệ số Fourier f˙(k). Khi đó hàm u(x) = (2π)−2n
X k∈Zn
L(k)−1f˙(k)eik.x
là nghiệm duy nhất của phương trình L(Dx)u = f. Theo (2.1.5), nghiệm này thỏa mãn đánh giá
kukWl
2,per(Rn) ≤ckfkWl−2m
2,per (Rn). (2.1.6) với hằng số c không phụ thuộc vào f. Chứng tỏ L là một đẳng cấu.
2) Nếu toán tử L là một đẳng cấu từ W2l,per(Rn) vào W2l−,per2m(Rn) thì (2.1.6) thỏa mãn với mỗi u ∈ W2l,per(Rn), f = Lu. Đặt u = eikx, ta được đẳng thức
(1 +|k|)2l = kukWl
2,per(Rn)
≤ ckLukWl−2m
2,per (Rn) = c|L(k)|(1 +|k|2)l−22m.
Đẳng thức này cho ta (2.1.5) với hằng số c độc lập với k ∈ Zn. Suy ra, điều kiện (ii) thỏa mãn. Hơn nữa, (2.1.5) cho ta
|L0( k
|k|)| = |k|
−2m|L0(k)| ≥ c
2
nếu |k| ≥ ρ và ρ đủ lớn. Vì tập {ε = |k|k : k ∈ Zn, k 6= 0} trù mật trong hình cầu đơn vị và L0(ξ) liên tục nên ta có
|L0(ξ)| ≥ c
2
với mỗi ξ ∈ Rn,|ξ| = 1. Điều này kéo theo tính elliptic của L.
Nhận xét 2.1.2. Nếu toán tử L0(Dx) xác định bởi (2.1.3) là elliptic thì toán tử L0(Dx+ 1 2 − → 1 ) = X |α|=2m aα(Dx1 + 1 2) α1. . .(Dxn + 1 2) αn, với −→
1 = (1,1, . . . ,1) thỏa mãn điều kiện (ii) của Định lí 2.1.1. 2.1.3 Tính chính qui của nghiệm tuần hoàn
Xé toán tử
L(x, Dx) = X
|α|≤2m
aα(x)Dxα
với các hệ số aα trơn và 2π-tuần hoàn. Hơn nữa có các giả thiết: a) Đa thức L0(0, ξ) = P
|α|=2maα(0)ξα thỏa mãn điều kiện (2.1.4); b) Các hệ số aα của L thỏa mãn đánh giá
ở đây ε là số dương đủ nhỏ.
Chũng ta sẽ nghiên cứu tính chính qui của nghiệm của phương trình
L(x, Dx)u = f. (2.1.7)
Trước hết, từ định nghĩa của không gian W2l,per(Rn) ta có
Bổ đề 2.1.3. Với mỗi số thực ρ > 0, l ∈ Z, toán tử Sρ xác định bởi
(Sρu)(x) = (2π)−2n
X k∈Zn,|k|>ρ
˙
u(k)eikx, u ∈ W2l,per(Rn) (2.1.8)
là một ánh xạ liên tục từ W2l,per(Rn) vào chính nó. Hơn nữa ta có bất đẳng thức
kSρukWl−1
2,per(Rn) ≤ (1 +ρ2)−21kukWl
2,per(Rn)
với mọi u ∈ W2l,per(Rn).
Toán tử I − Sρ (với I là toán tử đồng nhất trong W2l,per(Rn)) là một ánh xạ liên tục từ W2l,per(Rn) vào W2l+1(Rn).
Định lý 2.1.4. Giả sử L là toán tử thỏa mãn các điều kiện a), b) và u ∈ W2l,per(Rn) là một nghiệm của phương trình (2.1.7) ứng với f ∈
W2l−,per2m+1(Rn). Khi đó u ∈ W2l+1,per(Rn) và
kukWl+1 2,per(Rn) ≤c kLukWl−2m+1 2,per (Rn)+kukWl 2,per(Rn) , (2.1.9) trong đó c là hằng số độc lập với u.
Chứng minh. Với L0(0, Dx) là phần chính của toán tử L cho trong điều kiện a), ta kí hiệu L(1)(x, Dx) là toán tử:
L(1)(x, Dx) = L(x, Dx)−L0(0, Dx+ 1 2 − → 1 ) Khi đó (2.1.7) trở thành (L0(0, Dx+ 1 2 − → 1 ) +L(1)(x, Dx)Sρ)u = f −L(1)(x, Dx)(I − Sρ)u. (2.1.10)
Theo Định lí 2.1.1, Nhận xét 2.1.2, toán tử L0(0, Dx+12−→
1 khả nghịch. Hơn nữa, theo điều kiện b) và Bổ đề 2.1.3, ta có
kL(1)(x, Dx)SρukWl−2m 2,per (Rn) ≤c εkSρukWl 2,per(Rn) +εkSρukWl−1 2,per(Rn) ≤ c(ε+ (1 +ρ2)−21)kukWl 2,per(Rn)
với mỗi u ∈ W2l,per(Rn), ở đóc là hằng số không phụ thuộc u, ρ và ε.Suy ra, toán tử ở vế trái của (2.1.10) là một đẳng cấu từ W2l,per(Rn) →W2l−,per2m(Rn)
với mỗi số nguyên l và ε đủ nhỏ, ρ đủ lớn. Do toán tử L(1)(x, Dx)(I −Sρ)
ở vế phải của (2.1.10) liên tục từ W2l,per(Rn) vào W2l−,per2m+1(Rn), với ρ tùy ý. Định lí được chứng minh.
Tiếp theo ta chỉ ra rằng (2.1.9) kéo theo tính elliptic của L(0, Dx). Bổ đề 2.1.5. ChoL là toán tử vi phân cấp 2m với các hệ số 2π-tuần hoàn, trơn và U là lân cận tùy ý của điểm x = 0. Nếu bất đẳng thức (2.1.9), với hằng số c không phụ thuộc vào u thỏa mãn với mọi u ∈ W2l,+1per(Rn),
suppu∩Qn ⊂ U, thì L(0, Dx) là elliptic.
Chứng minh. Trong lân cận đủ nhỏ của điểm 2πk, k ∈ Zn, các hệ số aα của L thỏa mãn bất đẳng thức |aα(x)−aα(0)| < ε, với mỗi hàm u bằng 0 ngoài lân cận đủ nhỏ của điểm 2πk, ta có bất đẳng thức
k(L(x, Dx)−L0(0, Dx))ukWl+1−2m 2,per (Rn) ≤c εkukWl+1 2,per(Rn)+kukWl 2,per(Rn) . Từ bất đẳng thức này và (2.1.9) ta có: kukWl+1 2,per(Rn) ≤ c kL0(0, Dx)ukWl+1−2m 2,per (Rn)+kukWl 2,per(Rn) (2.1.11) với mọi u ∈ W2l+1,per(Rn) bằng 0 ngoài lân cận đủ nhỏ của điểm 2πk. Vì toán tử L0(0, Dx) là bất biến đối với phép tịnh tiến nên bất đẳng thức (2.1.11) thỏa mãn với tất cả u ∈ W2l+1,per(Rn).
Thay u = eikx vào (2.1.11) ta được (1 +|k|2)l+12 ≤ c (1 +|k|2)l−2m2+1|L0(0, k)|+ (1 +|k|2)2l . Suy ra, với ρ đủ lớn, |k| > ρ, ta có
|L0(0, k)| ≥ c0(1 +|k|2)m ≥c0|k|2m
và |L0(0, k/|k|)| ≥ c0. Vì tập {k/|k| : k ∈ Zn,|k| > ρ} trù mật trong hình cầu đơn vị của Rn, nên điều này kéo theo |L0(0, ξ)| ≥ c0 với mọi ξ ∈ Rn,|ξ| = 1. Vậy toán tử L(0, Dx) là elliptic.
2.2 Tính giải được của bài toán biên elliptic trongnửa không gian nửa không gian
Giống như trong Chương 1, mỗi bài toán biên cho tương ứng một toán tử A ánh xạ nghiệm thành dữ kiện. Chúng ta sẽ tìm điều kiện cần và đủ để A là song ánh. Trong mục này, ta chỉ xét các toán tử vi phân với hệ số hằng. Chúng ta cũng xét nghiệm trong không gian Sobolev các hàm tuần hoàn nhưng là tuần hoàn theo từng biến.
2.2.1 Không gian Sobolev các hàm tuần hoàn
Đặt Rn+ = {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn : xn > 0}. Kí hiệu t = xn, y = (x1, . . . , xn−1). Ta xét tập các hàm trơn trên Rn+, 2π-tuần hoàn theo biến y, nghĩa là
u(y, t) =u(y + 2π.q, t)
với mọi y ∈ Rn−1, t > 0 và với mọi q = (q1, . . . , qn−1) ∈ Zn−1.
Kí hiệu W2l,per(Rn+) là bao đóng của tập các hàm đó đối với chuẩn:
kukWl 2,per(Rn +) = Z Rn+ l X j=0 kDjtu(., t)k2 W2l−,perj (Rn−1)dt 12 . (2.2.1)
Đặc biệt, L2,per(Rn+) = W20,per(Rn+) là không gian Hilbert với tích Đề các
(u, v)Qn−1×R+ = Z Rn+ Z Qn−1 u(y, t)v(y, t)dy dt, (2.2.2)
ở đó Qn−1 là hộp đều [−π, π]n−1.
Theo (2.1.1) và chuẩn trong W2l−j,per(Rn+) ta có
kukWl 2,per(Rn +) = Z R+ l X j=0 X q∈Zn−1 (1 +|q|2)l−j|Dtju˙(q, t)|2dt 12 , ở đó u˙(q, t) = (2π)(n−1)/2 R Q(n−1)
e−iqyu(y, t)dt là hệ số Fourier của u(., t). Hơn nữa, đặt U(q, t) := ˙u(q, < q >−1 t), (2.2.3) với < q >= (1 +|q|2)12 thì ta có kukWl 2,per(Rn−1) = X q∈Zn−1 < q >2l−1 kU(q, .)k2Wl 2(R+) 12 . (2.2.4)
Gọi W2l,per(Rn−1 ×R) là bao đóng của tập các hàm 2π-tuần hoàn, trơn trên Rn với chuẩn
kukWl 2,per(Rn−1×R) = X q∈Zn−1 < q >2l−1 kU(q, .)k2Wl 2(R) 12 . (2.2.5) Sử dụng biến đổi Fourier (1.2.2) ta có một chuẩn tương đương với chuẩn (2.2.5) kuk = X q∈Zn−1 < q >2l−1 Z R (1 +τ2)l|(Ft→τU)(q, τ)|2dτ . (2.2.6) Rõ ràng, hạn chế của hàm bất kì u ∈ W2l,per(Rn−1 ×R) trên Rn+ thuộc W2l,per(Rn+). Hơn nữa, mọi hàm u ∈ W2l,per(Rn−+ 1) đều có thể thác triển thành hàm v ∈ W2l,per(Rn−1 ×R) như sau:
v(y, t) = X
q∈Zn−1
(e+U)(q, < q > t)eiqy,
trong đó e+ là một toán tử thác triển liên tục bất kì từ W2l(R+) → W2l(R). Ký hiệu
o
W2l,per(R+n) là bao đóng của tập các hàm trơn trên Rn+, 2π-tuần hoàn theo y và bằng 0 trong lân cận của mặt phẳng t = 0, đối với chuẩn (2.2.1).
2.2.2 Toán tử vếtĐặt γµ là toán tử Đặt γµ là toán tử
γµ :u(y, t) →(u(y,0),(Dtu)(y,0), . . . ,(Dµ−t 1u)(y,0))
trên tập các hàm trơn và 2π-tuần hoàn trên Rn+. Toán tử γ1 được gọi là toán tử vết và hàm (γ1u)(y) =u(y,0)được gọi là vết của utrên mặt phẳng xn = 0.
Bổ đề 2.2.1. ([5]) 1) Toán tử γµ có thể thác triển liên tục thành ánh xạ bị chặn từ W2l,per(Rn+) → µ Y j=1 Wl−j+ 1 2 2,per (Rn−1) nếu l ≥µ.
2) Với số nguyên tùy ý l ≥ µ tồn tại một nghịch đảo phải tuyến tính liên tục eµ : µ Y j=1 Wl−j+ 1 2 2,per (Rn−1) → W2l,per(Rn+) của toán tử γµ.
2.2.3 Tính elliptic của bài toán biênKí hiệu Kí hiệu
L(Dx) =L(Dy, Dt) = X
|β|+j≤2m
aβ,jDyβDtj
là toán tử elliptic cấp 2m với hệ số hằng. Ta xét bài toán biên
L(Dy, Dt)u(y, t) =f(y, t),(y, t) ∈ Rn+, (2.2.7) B(Dy, Dt)u(y, t)|t=0 +C(Dy)u(y) = g(y), y ∈ Rn−1, (2.2.8) trong đó B(Dx, Dt) là véctơ của các toán tử tuyến tính Bk với hệ số không đổi Bk(Dy, Dt) = X |β|+j≤µk bk,β,jDβyDjt, k = 1, . . . , m+J, có cấp của Bk ≤ µk và C(Dy) = (Ck,j(Dy))1≤k≤m+J,1≤j≤J
là ma trận của các toán tử vi phân tuyến tính Ck,j(Dy) = X
|β|≤µk+τj
ck,j,βDβy.
với hệ số hằng. Ở đây µk và τj là các số nguyên đã cho. Nếu µk < 0 hoặc µk +τj < 0 thì các toán tử tương ứng Bk và Ck,j được giả thiết là đồng nhất bằng 0. Ta giả sử maxµk+τj ≥0 với j = 1, . . . , J. Nếu không thì các thành phần uj của véctơ usẽ không xuất hiện trong điều kiện biên (2.2.8). Dưới các giả thiết nêu trên về L, B, C, toán tử A : (u, u) 7→ (f, g) của bài toán biên (2.2.7), (2.2.8) là một ánh xạ tuyến tính liên tục
A : W2l,per(Rn+)×Wl+τ− 1 2 2,per (Rn−1) → W2l−,per2m(Rn+)×Wl−µ− 1 2 2,per (Rn−1) (2.2.9) với mọi số nguyên l ≥ 2m, l > maxµk. Ở đây
Wl+τ− 1 2 2,per (Rn−1) := J Y j=1 Wl+τj−1 2 2,per (Rn−1) và Wl−µ− 1 2 2,per (Rn−1) := m+J Y k=1 Wl−µk− 1 2 2,per (Rn−1) Ta kí hiệu Bk0(Dy, Dt) = X |β|+j=µk bk,β,jDβyDjt và Ck,j0 (Dy) = X |β|=µk+τj ck,j,βDyβ, k = 1, . . . , m+J;j = 1, . . . , J
tương ứng là phần chính của Bk và Ck,j. Các toán tử Bk0 và Ck,j0 phụ thuộc vào việc chọn các số µk và τj. Đặc biệt, ta có Bk,j0 ≡ 0 nếu cấp của Bk < µk hoặc µk < 0, tương tự,Ck,j0 ≡0nếu cấp của Ck,j < µk+τj hoặcµk+τj < 0. Khác với bài toán trên toàn Rn, ở đây, tính elliptic của toán tử L không đủ để có tính song ánh của toán tử (2.2.9).
Định nghĩa 2.2.2. Toán tử L được gọi là elliptic thực sự nếu với mỗi η ∈ Rn−1, η 6= 0, đa thức
τ → L0(η, τ) = X
|β|+j=2m
aβ,jηβτj
có đúng m nghiệm trong nửa mặt phẳng trên Imτ > 0 và có đúng m nghiệm trong nửa mặt phẳng dưới Imτ < 0.
Ví dụ 2.2.3. a)Rõ ràng mỗi toán tử elliptic thực sự đều là toán tử elliptic. b) Trong trường hợp n = 2, toán tử L = D2x1 −2iDx1Dx2 − Dx22 là toán tử elliptic nhưng không phải là toán tử elliptic thực sự.
Ta có khẳng định tương đương sau:
Bổ đề 2.2.4. ([5]). Các khẳng định sau là tương đương 1) Toán tử L là elliptic thực sự.
2) Với mỗi cặp ξ, ζ các véctơ độc lập tuyến tính trong Rn, đa thức τ →L0(ξ +τ ζ) (2.2.10) có đúng m nghiệm trong nửa mặt phẳng trên Imτ > 0và có đúng m nghiệm trong nửa mặt phẳng dưới Imτ < 0.
Như trong chương 1, ta kí hiệuM+(η) là tập tất cả các nghiệm ổn định của phương trình
L0(η, Dt)u(t) = X
|β|+j=2m
aβ,jηβDtju(t) = 0, với t > 0, (2.2.11) ở đó η ∈ Rn−1 là tham số tùy ý.
Bổ đề 2.2.5. ([5]). 1) Nếu n ≥ 3 thì mọi toán tử elliptic đều là elliptic thực sự.
2) Khi n = 2, nếu L là elliptic và hệ điều kiện biên thuần nhất Bk0(η, Dt)u(t)|t=0 +
J X
j=1
chỉ có nghiệm tầm thường (u, u) = (u, u1, . . . , uJ) = 0 trong M+(η) ×CJ với mỗi η ∈ Rn−1 \ {0}, thì L là elliptic thực sự.
Bây giờ ta nghiên cứu bài toán biên elliptic:
Định nghĩa 2.2.6. Bài toán biên (2.2.7), (2.2.8) được gọi là elliptic nếu bài toán biên trên nửa trục
L0(η, Dt)u(t) = f(t), với t > 0, (2.2.13) B0(η, Dt)u(t)|t=0 +C0(η)u = g (2.2.14) là chính qui theo Định nghĩa 1.2.1 với mỗi η ∈ Rn−1 \ {0}. Tức là
(i) Toán tử L là elliptic thực sự.
(ii) Hệ điều kiện biên thuần nhất (2.2.12) chỉ có nghiệm tầm thường trong M+(η)×CJ với mỗi η ∈ Rn−1 \ {0}.
Nhận xét 2.2.7. Các toán tử B0 và C0 trong (2.2.14) có thỏa mãn điều kiện (ii) trong Định nghĩa 2.2.6 hay không còn phụ thuộc vào việc chọn các số µk và τj. Ví dụ sau chỉ ra một bài toán biên có thể là elliptic với những sự chọn lựa khác nhau của µk và τj.
Ví dụ 2.2.8. Ta xét bài toán biên
∆u = f với t > 0, (2.2.15) u|t=0+ u1 = g1, u1 = g2, (2.2.16) Trước hết lấyµ1 = µ2 = τ1 = 0. Khi đó bài toán trên nửa trục (2.2.13),(2.2.14) là:
(−η2 −Dt2)u(t) = f(t) với t > 0, u(0) +u1 = g1, u1 = g2.
Nếu ta lấy µ1 = 0, µ2 = −1, τ1 = 1thì bài toán trên nửa trục (2.2.13),(2.2.14) là:
(−η2 −Dt2)u(t) = f(t) với t > 0, u(0) +u1 = g1, u1 = g2.
Trong cả hai trường hợp, điều kiện (ii) của Định nghĩa 2.2.6 đều được thỏa mãn. Trong trường hợp thứ nhất toán tử (u, u1) → (f, g1, g2) của bài toán biên (2.2.15), (2.2.16) là ánh xạ W2l,per(Rn+)×Wl− 1 2 2,per(Rn−1) →W2l−,per2 (Rn+)×Wl− 1 2 2,per(Rn−1)×Wl− 1 2 2,per(Rn−1), l ≥ 2, trong khi trường hợp thứ hai toán tử này là ánh xạ
W2l,per(Rn+)×Wl+ 1 2 2,per(Rn−1) →W2l−,per2 (Rn+)×Wl− 1 2 2,per(Rn−1)×Wl+ 1 2 2,per(Rn−1). 2.2.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Ta xét bài toán (2.2.7), (2.2.8). Định lí sau cho ta điều kiện cần và đủ của sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
Định lý 2.2.9. ([5]). Cho l ∈ Z, l ≥2m, l > maxµk. Toán tử (2.2.9) của bài toán biên (2.2.7), (2.2.8) là đẳng cấu nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Bài toán biên (2.2.7), (2.2.8) là elliptic; (ii) Bài toán biên trên nửa trục
L(q, Dt)v(t) = φ(t), t > 0 (2.2.17) B(q, Dt)v(t)|t=0+C(q)v = ψ (2.2.18) là chính qui theo Định nghĩa 1.2.1 với mỗi q ∈ Zn−1.
Nhận xét 2.2.10. Nếu bài toán (2.2.7), (2.2.8) là elliptic thì bài toán L0(Dy + 1 2 − → 1, Dt + 1 2)u = f, trong R n + (2.2.19) B0(Dy + 1 2 − → 1, Dt + 1 2)u|t=0 +C0(Dy + 1 2 − → 1 )u = g trong Rn−1 (2.2.20) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii) trong Định lí 2.2.9.
Thật vậy, phần chính của các toán tử vi phân trong bài toán (2.2.7), (2.2.8) và trong bài toán (2.2.19), (2.2.20) trùng nhau. Do vậy điều kiện
(i) trong Định lí 2.2.9 được thỏa mãn bởi bài toán (2.2.19), (2.2.20). Hơn nữa, từ tính elliptic của bài toán (2.2.7), (2.2.8) ta suy ra bài toán
L0(q + 1 2 − → 1, Dt)u = φ, trong R+, B0(q + 1 2 − → 1, Dt)u|t=0+C0(q + 1 2 − → 1 )u = ψ
có nghiệm duy nhất trong W2l(R+)×CJ với mỗi q ∈ Zn−1, φ ∈ W2l−2m(R+), ψ ∈ Cm+J. Bằng cách đặt u = eit/2v bài toán trên trở thành
L0(q + 1 2 − → 1, Dt + 1 2)v = e it/2φ, trong R+, B0(q + 1 2 − → 1, Dt + 1 2)v|t=0 +C0(q + 1 2 − → 1 )u = ψ
Vậy bài toán (2.2.19), (2.2.20) thỏa mãn điều kiện (ii) trong Định lí 2.2.9.
2.3 Tính giải được của bài toán biên elliptic trongkhông gian Sobolev cấp nguyên tùy ý không gian Sobolev cấp nguyên tùy ý
Trong mục vừa rồi ta có kết quả về tính giải được trong không gian Sobolev với cấp nguyên l ≥2m, l ≥maxµk. Ở đây chúng ta sẽ nghiên cứu tính giải được trong không gian Sobolev cấp nguyên bất kỳ. Để làm điều đó chúng ta cần tới công thức Green và bài toán liên hợp hình thức. Ở đây, chúng tôi hạn chế xét trường hợp các toán tử Bk có cấp nhỏ hơn 2m. 2.3.1 Không gian Sobolev cấp âm
Cho l = 1,2, . . . . Kí hiệu W2l,per(Rn+)∗ là không gian đối ngẫu của không gian W2l,per(Rn+) với chuẩn
kukWl
2,per(Rn
+)∗ = sup{|(u, v)Qn−1×R+| : v ∈ W2l,per(Rn+),kvk= 1}, (2.3.1) trong đó (., .)Qn−1×R+ sự mở rộng của tích vô hướng (2.2.2) lên tích của các không gian W2l,per(R+n)∗ và W2l,per(Rn+). Nếu u ∈ W2l,per(Rn+)∗ thì các hệ số Fourier u˙(q, .) là các hàm trên W2l(R+) và xác định bởi:
Bổ đề 2.3.1. ([5]) Chuẩn (2.3.1) bằng với kuk= X q∈Zn−1 < q >−2l−1 kU(q, .)k2Wl 2(R+)∗ 12 , (2.3.3)
với U xác định bởi bởi (2.2.3).
Tương tự như trong trường hợp một chiều, với số nguyên k, l, k ≥ 0 ta định nghĩa không gian W˜2l,k,per(Rn+) như sau:
Nếu l ≥ 0 thì W˜2l,k,per(Rn+) là tập tất cả các cặp (u, φ), trong đó u ∈
W2l,per(Rn+) và φ = (φ1, . . . , φk) là hàm véctơ với các thành phần φj ∈