Bây giờ ta xét bài toán biên
B(y, t, Dy, Dt)u(y, t)|t=0+ C(y, Dy)u(y) = g(y), y ∈ Rn−1 (2.3.5) ở đó, các hệ số của các toán tử L, B và C có thể biến thiên. Cụ thể hơn,
L(y, t, Dy, Dt) = X
|β|+j≤2m
aβ,j(y, t)DyβDtj (2.3.6)
là toán tử vi phân cấp 2m với các hệ số aβ,j khả vi vô hạn và 2π-tuần hoàn theo y và có đạo hàm mọi cấp theo t bị chặn. Hơn nữa, B là véctơ của các toán tử vi phân
Bk(y, t, Dy, Dt) = X
|β|+j≤µk
bk;β,j(y, t)DβyDtj, k = 1, . . . , m+J, (2.3.7)
và C là ma trận của các toán tử vi phân Ck,j(y, Dy) = X
|β|≤µk+τj
Ck,j;β(y)Dβy, k = 1, . . . , m+J;j = 1, . . . , J, (2.3.8) với các hệ số 2π-tuần hoàn, khả vi vô hạn.
Để nhận được công thức Green cho bài toán (2.3.4), (2.3.5), ta viết toán tử L như sau L(y, t, Dy, Dt) = 2m X j=0 Aj(y, t, Dy)Dtj ở đó Aj(y, t, Dt) = X |β|≤2m−j aβ,j(y, t)Dyβ. Tương tự toán tử Bk có dạng Bk(y, t, Dy, Dt) = µk X j=0 Bk,j(y, t, Dy)Djt,
ở đó Bk,j(y, t, Dy) là toán tử vi phân tuyến tính có cấp nhỏ hơn hoặc bằng µk − j. Do cấp của Bk < 2m, với k = 1, . . . , m+ J, nên toán tử B được biểu diễn thành
ở đó D là véctơ cột với các thành phần Dtj−1, j = 1, . . . ,2m và Q(y, t, Dy) = (Qk,j(y, t, Dy))1≤k≤m+J,1≤j≤2m là ma trận với các phần tử Qk,j(y, t, Dy) = bk,j−1(y, t, Dy) với j ≤µk + 1,, 0 với µk+ 1 < j ≤ 2m. Gọi L+ là toán tử liên hợp hình thức với toán tử vi phân (2.3.6),
L+(y, t, Dy, Dt)v = X
|β|+j≤2m
DβyDjt(aβ,j(y, t)v).
Tương tự, các toán tử liên hợp hình thức với Aj, Bk,j, Ck,j cũng được định nghĩa. Toán tử liên hợp hình thức với ma trận C(y, Dy) là ma trận cấp J ×(m +J) :
C+(y, Dy) = (Ck,j+ (y, Dy))1≤k≤m+J,1≤j≤J.
Sử dụng kí hiệu này, tương tự như công thức (1.1.6), ta có công thức Green như sau:
Định lý 2.3.2. Cho u = u(y, t), v = v(y, t) là các hàm trơn trên Rn+, 2π- tuần hoàn và bằng 0 với tlớn. Hơn nữa,u = (u1, . . . , uJ);v = (v1, . . . , vm+J)
là hàm véctơ trơn, 2π-tuần hoàn trên Rn−1. Khi đó, ta có công thức Green Z Qn−1×R+ Lu.vdy dt+ Z Qn−1 ((Bu)(y,0) +Cu(y), v(y))Cm+Jdy = Z Qn−1×R+ uL+vdy dt+ Z Qn−1 ((Du)(y,0),(P v)(y,0) +Q+v(y))C2mdy + Z Qn−1 (u(y), C+v)CJ dy, (2.3.10) ở đây P v = P(y, t, Dy, Dt)v là véctơ với các thành phần
Pj(y, t, Dy, Dt)v = −i
2m−j X
s=0
Nhận xét 2.3.3. Véctơ P đã cho trong Định lí 2.3.2 có thể viết dạng P = T(y, t, Dy)D,
ở đó
T(y, t, Dy) = (Tj,s(y, t, Dy))1≤j,s≤2m
là ma trận tam giác các toán tử vi phân Tj,s với các hệ số trơn, Tj,s = 0
nếu j+s > 2m+ 1, Tj,2m+1−j = −ia0,2m(y, t) với j = 1, . . . ,2m và cấp của Tj,s ≤2m+ 1−j−s với j+s ≤ 2m. Nếu a0,2m(y,0) 6= 0 với y ∈ Rn−1 thì ánh xạ w →T(y,0, Dy)w là đẳng cấu từ 2m Y j=1 Wl−j+ 1 2 2,per (Rn−1) → 2m Y j=1 Wl−2m+j− 1 2 2,per (Rn−1)
với l tùy ý. Nghịch đảo của T là ma trận
T−1(y, t, Dy) = (Sj,s(y, t, Dy))1≤j,s≤2m
các toán tử Sj,s với Sj,s = 0 nếu j +s < 2m+ 1, Sj,2m+1−j = ia0,2m(y, t)−1
với j = 1, . . . ,2m, cấp của Sj,s nhỏ hơn hoặc bằng j + s − 2m − 1 với j +s > 2m+ 1.
Tương tự như trong trường hợp một chiều ta định nghĩa bài toán liên hợp hình thức với bài toán (2.3.4), (2.3.5) như sau:
Định nghĩa 2.3.4. Gọi P là véctơ cho bởi (2.3.11). Khi đó bài toán biên L+v = f trong Rn+ (2.3.12) P v|t=0 +Q+v = g, C+v = h trong Rn−1 (2.3.13) được gọi là bài toán liên hợp hình thức của bài toán (2.3.4), (2.3.5).
Nhận xét 2.3.5. Nếu các toán tử L, B, C có các hệ số hằng thì các hệ số của các toán tử trong (2.3.12), (2.3.13) cũng là hằng số. Hơn nữa, theo Định lí 1.2.8, bài toán liên hợp hình thức là eliptic nếu và chỉ nếu bài toán gốc (2.3.4), (2.3.5) là elliptic.