Nếu bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy, l ∈ Z, l ≥ 2m. Khi đó toán tử (1.4.3) là một đẳng cấu. Do đó ta chỉ xét toán tử liên hợp A∗ trên không gian Sobolev với cấp âm.
Từ Định lí 1.4.1, ta có thể xây dựng không gian D2l,k(R+) như sau. Cho l, k ∈ Z, k ≥ 0, l ≥ −k. Khi đó không gian Dl,k2 (R+) là tập tất cả các hàm F ∈ W2k(R+)∗ có dạng:
(u, F)R+ = (u, f)R+ + ((D(k)u)(0), g)Cl, u ∈ W2k(R+), (1.4.9) trong đó f ∈ W˜2l,0(R+) (tức là f ∈ W2l(R+) khi l ≥ 0, và f ∈ W2−l(R+)∗
khi l < 0), g ∈ Ck, và D(k) là vectơ
D(k) = (1, Dt, . . . , Dk−t 1) nếu k = 1,2, . . . , D(0) = 0. (1.4.10) Chuẩn của phiếm hàm F trong Dl,k2 (R+) được định nghĩa một cách tự nhiên bằng cận dưới đúng của tổng
kfkW˜l,0
2 (R+) +|g|Ck, với f và g thoả mãn (1.4.9).
Nhận xét 1.4.2. Nếu l là một số nguyên âm, thì các phiếm hàm u →
l X
j=1
thuộc không gian W2−l(R+)∗ và không gian D2l,k(R+)có thể được định nghĩa là tập tất cả các phiếm hàm F ∈ W2k(R+)∗ có dạng (u, F)R+ = (u, f)R+ + k X j=−l+1 (Dtj−1u)(0)gj, trong đó f ∈ W2−l(R+)∗, gj ∈ C. Trong trường hợp l ≤ −k, k ≥ 0 chúng ta đặt D2l,k(R+) = W2−l(R+)∗. Nói riêng, với kí hiệu này chúng ta có
D2l,0(R+) = ˜W2l,0(R+) =
W2l(R+) khi l ≥0
W2−l(R+)∗ khi l<0. Dễ thấy không gian Dl1,k
2 (R+) được nhúng liên tục và trù mật trong Dl,k2 (R+) nếu l1 > l.
Định lý 1.4.3. Giả sử µk < 2m với k = 1, . . . , m+ J và bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy. Khi đó, toán tử liên hợp A∗ của A là một đẳng cấu từ Dl,20(R+)×Cm+J lên D2l−2m,2m(R+)×CJ với số nguyên tuỳ ý. Chứng minh.Nếul ≤0thìDl,20(R+) = W2−l(R+)∗, D2l−2m,2m(R+) = W22m−l(R+)∗, nên kết luận của định lí được suy ra từ Định lí 1.2.6.
Bây giờ giả sửl là một số nguyên dương. Chúng ta chứng minh rằng toán tửA∗ ánh xạ liên tục từ không gianW2l(R+)×Cm+J vàoD2l−2m,2m(R+)×CJ. Gọi (v, v) là một phần tử tuỳ ý của W2l(R+) ×Cm+J và gọi ψ ∈ C2m là một vectơ với các thành phần
ψj =
(Dtj−1v)(0) khi j = 1,2, . . . , min(l,2m) 0 khi min(l,2m) < j ≤2m.
Khi đó v, ψ là một phần tử thuộc không gian W˜2l,2m(R+)×Cm+J. Hơn nữa, theo Định lí 1.3.4, (f, g, h) = A+(vψ, v) ∈ W˜2l−2m,0(R+)×C2m ×CJ và
kfkW˜l−2m,0
2 (R+)+kgkC2m+ khkCJ ≤ c(kvkWl
2(R+)+kvkCm+J) (1.4.11) với c là một hằng số độc lập với v và v. Hơn nữa, theo Định lí 1.4.1, chúng ta có A∗(v, v) = (F, h), với phiếm hàm F ∈ W2l(R+)∗ có dạng
tức là F ∈ Dl−2 2m,2m(R+). Do (1.4.11), chuẩn của F trong D2l−2m,2m(R+) có thể được đánh giá theo các chuẩn của v và v. Chứng tỏ toán tử A∗ ánh xạ liên tục từ không gian W2l(R+)×Cm+J vào Dl−2 2m,2m(R+)×CJ.
Bây giờ chúng ta chứng minh rằng A∗ ánh xạ W2l(R+) × Cm+J lên Dl−2 2m,2m(R+) ×CJ khi l > 0. Giả sử (F, h) là một phần tử tuỳ ý thuộc không gianD2l−2m,2m(R+)×CJ. Theo định nghĩa của không gianDl−2 2m,2m(R+), phiếm hàm F có dạng (1.4.12), trong đó f ∈ W˜2l−2m,0(R+). Theo Định lí 1.3.9, tồn tại một nghiệm (v, ψ, v) ∈ W˜2l,2m(R+)×Cm+J của phương trình
A+(v, ψ, v) = (f, g, h).
Sử dụng Định lí 1.4.1, chúng ta kết luận rằng (v, v) là một nghiệm của phương trình A∗(v, v) = (F, h). Do đó A∗ là một ánh xạ liên tục từ W2l(R+)×Cm+J lên D2l−2m,2m(R+)×CJ khi l > 0. Rõ ràng A∗ là đơn ánh, do đó là song ánh.