Tính song ánh của toán tử liên hợp

Một phần của tài liệu Một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m trong nửa không gian (Trang 35)

Nếu bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy, l ∈ Z, l ≥ 2m. Khi đó toán tử (1.4.3) là một đẳng cấu. Do đó ta chỉ xét toán tử liên hợp A∗ trên không gian Sobolev với cấp âm.

Từ Định lí 1.4.1, ta có thể xây dựng không gian D2l,k(R+) như sau. Cho l, k ∈ Z, k ≥ 0, l ≥ −k. Khi đó không gian Dl,k2 (R+) là tập tất cả các hàm F ∈ W2k(R+)∗ có dạng:

(u, F)R+ = (u, f)R+ + ((D(k)u)(0), g)Cl, u ∈ W2k(R+), (1.4.9) trong đó f ∈ W˜2l,0(R+) (tức là f ∈ W2l(R+) khi l ≥ 0, và f ∈ W2−l(R+)∗

khi l < 0), g ∈ Ck, và D(k) là vectơ

D(k) = (1, Dt, . . . , Dk−t 1) nếu k = 1,2, . . . , D(0) = 0. (1.4.10) Chuẩn của phiếm hàm F trong Dl,k2 (R+) được định nghĩa một cách tự nhiên bằng cận dưới đúng của tổng

kfkW˜l,0

2 (R+) +|g|Ck, với f và g thoả mãn (1.4.9).

Nhận xét 1.4.2. Nếu l là một số nguyên âm, thì các phiếm hàm u →

l X

j=1

thuộc không gian W2−l(R+)∗ và không gian D2l,k(R+)có thể được định nghĩa là tập tất cả các phiếm hàm F ∈ W2k(R+)∗ có dạng (u, F)R+ = (u, f)R+ + k X j=−l+1 (Dtj−1u)(0)gj, trong đó f ∈ W2−l(R+)∗, gj ∈ C. Trong trường hợp l ≤ −k, k ≥ 0 chúng ta đặt D2l,k(R+) = W2−l(R+)∗. Nói riêng, với kí hiệu này chúng ta có

D2l,0(R+) = ˜W2l,0(R+) =

W2l(R+) khi l ≥0

W2−l(R+)∗ khi l<0. Dễ thấy không gian Dl1,k

2 (R+) được nhúng liên tục và trù mật trong Dl,k2 (R+) nếu l1 > l.

Định lý 1.4.3. Giả sử µk < 2m với k = 1, . . . , m+ J và bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy. Khi đó, toán tử liên hợp A∗ của A là một đẳng cấu từ Dl,20(R+)×Cm+J lên D2l−2m,2m(R+)×CJ với số nguyên tuỳ ý. Chứng minh.Nếul ≤0thìDl,20(R+) = W2−l(R+)∗, D2l−2m,2m(R+) = W22m−l(R+)∗, nên kết luận của định lí được suy ra từ Định lí 1.2.6.

Bây giờ giả sửl là một số nguyên dương. Chúng ta chứng minh rằng toán tửA∗ ánh xạ liên tục từ không gianW2l(R+)×Cm+J vàoD2l−2m,2m(R+)×CJ. Gọi (v, v) là một phần tử tuỳ ý của W2l(R+) ×Cm+J và gọi ψ ∈ C2m là một vectơ với các thành phần

ψj =

(Dtj−1v)(0) khi j = 1,2, . . . , min(l,2m) 0 khi min(l,2m) < j ≤2m.

Khi đó v, ψ là một phần tử thuộc không gian W˜2l,2m(R+)×Cm+J. Hơn nữa, theo Định lí 1.3.4, (f, g, h) = A+(vψ, v) ∈ W˜2l−2m,0(R+)×C2m ×CJ và

kfkW˜l−2m,0

2 (R+)+kgkC2m+ khkCJ ≤ c(kvkWl

2(R+)+kvkCm+J) (1.4.11) với c là một hằng số độc lập với v và v. Hơn nữa, theo Định lí 1.4.1, chúng ta có A∗(v, v) = (F, h), với phiếm hàm F ∈ W2l(R+)∗ có dạng

tức là F ∈ Dl−2 2m,2m(R+). Do (1.4.11), chuẩn của F trong D2l−2m,2m(R+) có thể được đánh giá theo các chuẩn của v và v. Chứng tỏ toán tử A∗ ánh xạ liên tục từ không gian W2l(R+)×Cm+J vào Dl−2 2m,2m(R+)×CJ.

Bây giờ chúng ta chứng minh rằng A∗ ánh xạ W2l(R+) × Cm+J lên Dl−2 2m,2m(R+) ×CJ khi l > 0. Giả sử (F, h) là một phần tử tuỳ ý thuộc không gianD2l−2m,2m(R+)×CJ. Theo định nghĩa của không gianDl−2 2m,2m(R+), phiếm hàm F có dạng (1.4.12), trong đó f ∈ W˜2l−2m,0(R+). Theo Định lí 1.3.9, tồn tại một nghiệm (v, ψ, v) ∈ W˜2l,2m(R+)×Cm+J của phương trình

A+(v, ψ, v) = (f, g, h).

Sử dụng Định lí 1.4.1, chúng ta kết luận rằng (v, v) là một nghiệm của phương trình A∗(v, v) = (F, h). Do đó A∗ là một ánh xạ liên tục từ W2l(R+)×Cm+J lên D2l−2m,2m(R+)×CJ khi l > 0. Rõ ràng A∗ là đơn ánh, do đó là song ánh.

Một phần của tài liệu Một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m trong nửa không gian (Trang 35)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(63 trang)