Giả thiết cấp của Bk < 2m với k = 1, . . . , m + J. Vì không gian
˜
W2l,2m(R+)được đồng nhất vớiW2l(R+)khil ≥ 2m(nhờ song ánh(u,(Du)(0)) ↔
u) nên toán tử (1.2.10) có thể được xét như một ánh xạ tuyến tính liên tục
A : ˜W2l,2m(R+)×CJ →W2l−2m(R+)×Cm+J, l ≥2m. (1.3.4) Bây giờ chúng ta thác toán tử này lên không gian W˜2l,2m(R+)×Cm+J với l < 2m. Ta bắt đầu với toán tử L :
˜
W2l,2m(R+) 3 (u,(Du)(0)) →Lu ∈ W2l(R+), l ≥ 2m. (1.3.5) Bổ đề 1.3.3. Toán tử (1.3.5) có thể thác triển duy nhất thành một toán tử liên tục
L : ˜W2l,2m(R+) →W22m−l(R+)∗ (1.3.6) với mọi l ∈ Z, l < 2m. Cụ thể với (u, φ) ∈ W˜2l,2m(R+), phiếm hàm L(u, φ) =
f được xác định bởi: Nếu l ≤0 thì (f, v)R+ = (u, L+v)R+ + (φ,(P v)(0))C2m, v ∈ W22m−l(R+). (1.3.7) Nếu 0< l < 2m thì (f, v)R+ = ∞ Z 0 (Ll.v −iDtlu.Plv)dt+ 2m X j=l+1 φj(Pjv)(0) (1.3.8) với mọi v ∈ W22m−l(R+), trong đó Pl, Ll tương ứng là các toán tử vi phân được xác định bởi (1.1.7) và (1.1.8).
Chứng minh. Do (1.1.9) và (1.1.11) nên toán tử L xác định bởi (1.3.7) và (1.3.8) là thác triển liên tục của toán tử (1.3.5). Tính duy nhất được suy ra từ tính trù mật của không gian W˜22m,2m(R+) trong W˜2l,2m(R+) (xem Bổ đề 1.3.1).
Sử dụng đẳng thức (1.1.5) chúng ta có thể mở rộng điều kiện biên (1.1.3) cho các cặp (u, φ) ∈ W˜2l,2m(R+) khi l < 2m thành:
Như vậy ta có định lý sau:
Định lý 1.3.4. Nếu µk < 2m với k = 1, . . . , m+ J thì toán tử (1.3.4) có thác triển duy nhất thành một toán tử liên tục từ không gianW˜2l,2m(R+)×CJ với mọi số nguyên l < 2m vào W22m−l(R+)×Cm+J. Thác triển này có dạng
(u, φ, u) →(L(u, φ), Qφ+Cu), (1.3.9) trong đó phiếm hàm f = L(u, φ) được xác định bởi (1.3.7) khi l ≤0 và bởi (1.3.8) khi 0< l < 2m.
Theo Định lí 1.3.4, toán tử A của bài toán (1.1.2), (1.1.3) là một ánh xạ liên tục
A : ˜W2l,2m(R+)×CJ → W˜2l−2m,0(R+)×Cm+J (1.3.10) với mọi số nguyên l.
Nhận xét 1.3.5. Với (u, φ, u) ∈ W˜2l,2m(R+)×CJ, l ≤ 0thì phần tử(f, g) =
A(u, φ, u) xác định bởi đẳng thức
(f, v)R+ + (g, v)Cm+J = (u, L+v)R+ + (φ,(P v)(0) +Q∗v)C2m + (u, C∗v)CJ
(1.3.11) với mọi v ∈ W22m−l(R+), v ∈ Cm+J. Điều này có nghĩa là toán tử A : (u, φ, u) → (f, g) là toán tử liên hợp với toán tử
A+ :W22m−l(R+)×Cm+J → W2−l(R+)×C2m ×CJ (1.3.12) của bài toán liên hợp hình thức (1.1.15), (1.1.16) khi l ≤0.
Nhận xét 1.3.6. Các khẳng định của Bổ đề 1.3.3 và Định lí 1.3.4 có thể được mở rộng cho số thực l, l 6= 12, 32, . . . ,2m − 1
2. Lúc đó, W˜2l,k(R+) là bao đóng của của tập hợp (1.3.3) theo chuẩn (1.3.1) nếu l ≥ 0 và là bao đóng của tập hợp (1.3.3) theo chuẩn (1.3.2) nếu l < 0. Rõ ràng, ánh xạ
(u, φ) → Qφ là liên tục từ W˜2l,2m(R+) vào Cm+J với mọi l ∈ R, và trùng với ánh xạ (u, φ) → (Bu)(0) khi l ≥ 2m.
Vì các không gian W2l(R+) và o
W2l(R+) trùng nhau khi 0 ≤l ≤ 1/2, nên ta có W˜2l,0(R+) = W2l(R+) khi l ≥ −1/2.
Hơn nữa, mỗi hàm trong W2l(R+), l < 1/2 đều có thể thác triển thành một hàm thuộc W2l(R+). Từ đây suy ra các toán tử L, L+ ánh xạ liên tục từ W2l(R+) vào W˜2l−2m,0(R+) nếu l > 2m −1/2. Tương tự các toán tử Lj xác định bởi (1.1.8) ánh xạ liên tục từ W2l(R+) vào W˜2l−j+1,0(R+) nếu l > j − 3/2. Do đó, toán tử (u,(Du)(0)) → Lu là liên tục từ W˜2l,2m(R+)
vào W˜2l−2m,0(R+) khi l > 2m−1/2. Toán tử này có thể thác triển duy nhất thành một ánh xạ liên tục W˜2l,2m(R+) 3 (u, φ) → f ∈ W22m−l(R+)∗ với l < 2m−1/2,l 6= 12,32, . . . ,2m− 32. Ở đây hàm f được xác định bởi (1.3.7) nếu l < 12 và bởi đẳng thức (f, v)R+ = (Lju, v)R+ −i(Dtju, Pjv)R+ + 2m X s=j+1 φs(Psv)(0), v ∈ W22m−l(R+) nếu j −1/2 < l < j + 1/2, j = 1,2, . . . ,2m−1. 1.3.3 Tính song ánh của toán tử A
Để chứng minh tính song ánh của toán tử A : ˜W2l,2m(R+) × CJ →
˜
W2l−2m,0(R+)×Cm+J, l < 2m chúng ta cần khẳng định về tính chính quy sau:
Bổ đề 1.3.7. Giả sử L là toán tử vi phân (1.1.1) và l, q ∈ Z. Hơn nữa giả thiết rằng L(τ) không có không điểm thực. Nếu u ∈ W2l(R+) là một nghiệm yếu của phương trình Lu = f trong R+, trong đó f ∈ W2q−2m(R+), thì u ∈ W2q(R).
Chứng minh. Gọi f1 ∈ W2q−µ(R) là thác triển của f lên toàn trục số thực t. Nếuq − 2m > 0 thì thác triển này có thể nhận được tương tự như (1.2.1). Nếu q −2m ≤ 0 thì phân bố f có thể thác triển thành phân phối f1 ∈ W2q−µ(R) bởi: (f1, ϕ)R = f, φ|R+ −χ 2m−q−1 X j=0 1 j!(D j tϕ)(0)(it)j , ϕ ∈ W22m−q(R),
Trong đó χ là một hàm khả vi tuỳ ý trên R+, có giá compact, bằng một trong một lân cận của điểm 0.
Vì L(τ) 6= 0 với τ thực, nên hàm v = F−1
τ→t(L(τ)−1Ft→τf1)|t>0 là một nghiệm của phương trình Lu = f và v ∈ W2q(R+). Do đó u −v là một nghiệm của phương trình thuần nhất L(Dt)(u−v) = 0 trên R+ nên u−v là một tổ hợp tuyến tính của các hàm (1.2.3). Vậy u−v thuộc không gian Sobolev cấp tuỳ ý. Bổ đề được chứng minh. (Chú ý rằng các hàm có dạng (1.2.3) với Imτj < 0 không thuộc vào không gian Sobolev).
Áp dụng Bổ đề 1.3.7 cho toán tử (1.3.6), ta có kết quả sau:
Bổ đề 1.3.8. Giả sử các đa thức L(τ) không có không điểm thực. Nếu
(u, φ) ∈ W˜2l,2m(R+) là một nghiệm của phương trình L(u, φ) = f, trong đó f ∈ W˜2q−2m,0(R+) thì (u, φ) ∈ W˜2q,2m(R+).
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh với q = l + 1. Với q > l + 1 thì kết luận được suy ra nhờ quy nạp. Giả sử (u, φ) ∈ W˜2l,2m(R+) là một nghiệm của phương trình L(u, φ) =f. Theo (1.3.7), (1.3.8) và (1.1.9) ta có:
(f, v)R+ = (u, L+v)R+
với mọi hàm v ∈ C0∞(R+). Điều này có nghĩa u là một nghiệm yếu của phương trình Lu = f trên R+. Do đó, theo Bổ đề 1.3.7, u ∈ W2l+1,2m(R+). Nếu l < 0 hoặc l ≥ 2m thì (u, φ) ∈ W˜2l+1,2m(R+). Nếu l là số nguyên không âm, nhỏ hơn 2m. Thì, theo định nghĩa của không gian W˜2l,2m(R+)
ta có φj = (Dtj−1u)(0) với j = 1, . . . , l và ta chỉ còn phải chứng minh rằng φl+1 = (Dtl)u(0). Theo (1.1.10) ta có: (f, v)R+ − ∞ Z 0 (Ll+1(Dt)u.v −iDtl+1u.Pl+1(Dt)v)dt (1.3.13) = (φl+1 −(Dltu)(0)).(Pl+1v)(0)
với mỗi v ∈ W22m−l(R+). Theo giả thiết của bổ đề, vế trái của (1.3.13) xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên W22m−l−1(R+), vì cấp củaPl+1
bằng 2m−l−1 và cấp của các toán tử Pl+2, . . . , P2m nhỏ hơn 2m−l−1. Do đó vế trái của (1.3.13) cũng là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên W22m−l−1(R+). Tuy nhiên điều đó chỉ xảy ra nếu φl+1 = (Dltu)(0). Ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.3.9. Cho µk < 2m với k = 1, . . . , m+ J.
1, Nếu bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy thì toán tử (1.3.10) là một đẳng cấu với mọi số nguyên l. Hơn nữa, với mỗi bộ ba (u, φ, u) ∈
˜
W2l,2m(R+)×CJ, ta có đánh giá sau với hằng số c độc với (u, φ, u):
(u, φ)W˜l,2m
2 (R+) +|u|CJ ≤cA(u, φ, u)W˜l−2m,0
2 (R+)×Cm+J. (1.3.14) Nếu c là hằng số tối ưu trong (1.3.14), thì 1/c là một hàm liên tục Lipschitz của các hệ số của các toán tử L, B và C.
2, Giả sử đánh giá (1.3.14) thoả mãn với mọi (u, φ) ∈ W˜2l,2m(R+), u ∈ CJ trong đó l là một số nguyên đã cho. Khi đó đa thức L(τ) không có không điểm thực và điều kiện (ii) của Định nghĩa 1.2.1 được thoả mãn. Hơn nữa, nếu toán tử (1.3.10) là toàn ánh, thì bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy.
Chứng minh.
1, Khil ≤ 0 toán tử (1.3.10) là toán tử liên hợp với toán tử (1.3.12) của bài toán liên hợp hình thức (1.1.15), (1.1.16). Theo Định lí 1.2.6 và Định lí 1.2.8, toán tử (1.3.12) là đẳng cấu nếu bài toán (1.1.2), (1.1.3) là chính quy. Do đó phương trình A(u, φ, u) = (f, g) có nghiệm duy nhất trong
˜
W2l,2m(R+) × CJ với mọi f ∈ W22m−l(R+)∗, g ∈ Cm+J nếu l ≤ 0. Từ điều này và từ Bổ đề 1.3.8 ta suy ra phương trình đó có nghiệm duy nhất trong
˜
W2l,2m(R+) ×CJ nếu 0 ≤ l ≤ 2m. Do không gian W˜2l,k(R+) là không gian đủ nên ta có đánh giá (1.3.14). Khẳng định về hằng số c trong (1.3.14) có thể nhận được tương tự như trong Bổ đề 1.2.7.
2, Giả sử (1.3.14) thoả mãn với mọi (u, φ) ∈ W˜2l,2m(R+) và u ∈ CJ. Khi đó tồn tại một hằng số c độc lập với u sao cho
kukW˜l,0
2 (R+) ≤ ckLukW˜l−2m,0
với mọi u ∈ C0∞(R+). Trong chứng minh của của Định lí 1.2.6 khi l ≥ 2m ta thấy đẳng thức cuối suy ra đa thức L(τ) không có không điểm thực. Ta sẽ chứng minh rằng điều này vẫn đúng trong trường hợp l < 2m. Giả sử τ0 là một không điểm thực của đa thức L(τ). Như trong chứng minh Định lí 1.2.6, đặt
u(t) =uε(t) def= eiτ0t ζε(t)
trong đó ζε(t) = ζ(εt), ζ là một hàm thuộc C0∞(R+), và ε là một số thực dương nhỏ hơn 1. Theo (1.2.12), tồn tại các hằng số dương c1, c2 độc lập với ε, sao cho
c1ε−1/2 ≤ kuεkW˜l,0
2 (R+) ≤c2ε−1/2 (1.3.16) với l ≥ 0. Sử dụng các bất đẳng thức này ta nhận được trong trường hợp l < 0 kuεkW˜l,0 2 (R+) = kuεkW−l 2 (R+)∗ = sup v∈W2−l(R+) |(uε, v)R+| kvkW−l 2 (R+) ≥ kuεk 2 L2(R+) kuεkW−l 2 (R+) ≥ cε−1/2,
trong đó c là một hằng số dương độc lập với ε. Hơn nữa, với l < 0 chúng ta có
kuεkW˜l,0
2 (R+) ≤ kuεkL2(R+) = kζεkL2(R+) = ε−1/2kζkL2(R+). Do đó (1.3.16) thoả mãn với số nguyên l tuỳ ý.
Theo (1.2.13), hàm Luε là tổng của các hàm có dạng cjεjζ(j)(t)eiτ0t, j = 1, . . . ,2m. Do đó, theo (1.3.16), chuẩn của hàm Luεtrong không gian
˜
W2l−2m,0(R+) bị chặn bởi một hằng số độc lập với ε. Điều này mâu thuẫn với (1.3.15),(1.3.16). Vậy, đa thức L(τ) không có không điểm thực.
Hơn nữa, từ (1.3.14) chúng ta suy ra hạch của toán tử (1.3.10) là tầm thường, và do đó, bài toán biên thuần nhất (1.1.2),(1.1.3) chỉ có nghiệm tầm thường trong M+ × CJ. Vì vậy điều kiện (ii) của Định nghĩa 1.2.1 được thoả mãn.
Giả sử rằng toán tử (1.3.10) là toàn ánh và đánh giá (1.3.14) đúng. Khi đó toán tử (1.3.10) là một đẳng cấu với số nguyên l = l0 cho trước, và theo Bổ đề 1.3.8, toán tử (1.3.10) là một đẳng cấu với mọi l ≥ l0. Đặc biệt, với l ≥ 2m bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) có nghiệm duy nhất trong W2l(R+)×CJ với mọi f ∈ W2l−2m(R+), g ∈ Cm+J. Theo Định lí 1.2.6, bài toán (1.1.2), (1.1.3) là chính quy. Định lí được chứng minh.
Nhận xét 1.3.10. Các khẳng định của các Định lí 1.3.4, (1.3.2) là đúng nếu µk < 2m với k = 1, . . . , m+J. Nếu điều kiện này không thoả mãn, thì
A có thể thác triển liên tục thành một toán tử
A : ˜W2l,γ(R+)×CJ →W˜2l−2m,γ−2m(R+)×Cm+J, (1.3.17) trong đó l, γ là những số nguyên, γ ≥2m, γ > maxµk. Tương tự với Định lí 1.3.9, ta có thể chứng minh rằng toán tử (1.3.17) là một đẳng cấu khi và chỉ khi bài toán (1.1.2), (1.1.3) là chính quy.
1.4 Tính chất của toán tử liên hợp A∗
Trong mục này chúng ta xét toán tử liên hợp A∗ của toán tử A theo nghĩa của Giải tích hàm. Cũng như trước, ta hạn chế chỉ xét bài toán biên với các toán tử biên có cấp nhỏ hơn 2m. Khi đó toán tử A∗ và toán tử A+
của bài toán biên liên hợp hình thức (1.1.15), (1.1.16) có mối liên hệ chặt chẽ với nhau (xem Định lí 1.4.1).
1.4.1 Mối quan hệ giữa toán tử liên hợp và toán tử liên hợphình thức hình thức
Áp dụng Định lí 1.3.4 cho bài toán liên hợp hình thức, ta có thể thác triển toán tử (1.3.12) khi l ≤ 0 thành một toán tử liên tục
A+ : ˜W22m−l,2m(R+)×Cm+J →W2l(R+)∗ ×C2m ×CJ. (1.4.1) Thác triển này xác định bởi
trong đó T là ma trận (1.1.14). Trong trường hợp l ≥ 2m phiếm hàm L+(v, ψ) = f ∈ W2l(R+)∗ được định nghĩa bởi.
(f, u)R+ = (v, Lu)R+ −(ψ, T∗(Du)(0))C2m, u ∈ W2l(R+) (1.4.2) (xem Bổ đề 1.3.3).
Bây giờ chúng ta xét toán tử liên hợp
A∗ : W2l−2m(R+)∗ ×Cm+J 3 (v, v) →(F, h) ∈ W2l(R+)∗ ×CJ, (1.4.3) khi l ≥ 2m, của toán tử (1.2.10) của bài toán biên (1.1.2), (1.1.3). Ánh xạ (1.4.3) được xác định bởi đẳng thức
(u, F)R+ + (u, h)CJ = (Lu, v)R+ + ((Bu|t=0 +Cu), v)Cm+J, (1.4.4) với mọi u ∈ W2l(R+) và u ∈ CJ. Định lí sau mô tả mối liên hệ giữa toán tử A∗ và A+.
Định lý 1.4.1. Cho µk < 2m với k = 1, . . . , m + J, f ∈ W2l(R+)∗, l ≥
2m, g ∈ C2m, và h ∈ CJ. Hơn nữa, cho phiếm hàm F ∈ W2l(R+)∗ xác định bởi đẳng thức
(u, F)R+ = (u, f)R+ + ((Du)(0), g)C2m, u ∈ W2l(R+). (1.4.5) Khi đó (v, ψ, v) ∈ W˜22m−l,2m(R+)×Cm+J là một nghiệm của phương trình
A+(v, ψ, v) = (f, g, h) nếu và chỉ nếu (v, v) là một nghiệm của phương trình
A∗(v, v) = (F, h)
và ψ = T−1(g −Q∗v).
Chứng minh. 1, Giả sử (v, ψ, v) ∈ W˜22m−l,2m(R+) ×Cm+J là một nghiệm của phương trình A+(v, ψ, v) = (f, g, h), tức là
(u, f)R+ = (Lu, v)R+ −((Du)(0), T ψ)C2m, u ∈ W2l(R+) (1.4.6) T ψ+Q∗v = g, C∗v = h. (1.4.7)
Khi đó, theo (1.4.5) và (1.4.6) ta có
(u, F)R+ = (Lu, v)R+ + ((Du)(0), g−T ψ)C2m,với u ∈ W2l(R+). (1.4.8) Kết hợp điều này với (1.4.7) và đẳng thức B = Q.D ta suy ra (1.4.4). Do đó (v, v) là một nghiệm của phương trình A∗(v, v) = (F, h).
2, Tương tự, nếu(v, v) ∈ W2l−2m(R+)∗×Cm+J là một nghiệm của phương trình A∗(v, v) = (F, h) và ψ = T−1(g −Q∗v), thì ta có (1.4.7), (1.4.8). Sử dụng biểu diễn (1.4.5) của phiếm hàm F, ta có (1.4.6). Vậy (v, ψ, v) là một nghiệm của phương trình A+(v, ψ, v) = (f, g, h). Định lí được chứng minh.
1.4.2 Tính song ánh của toán tử liên hợp
Nếu bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy, l ∈ Z, l ≥ 2m. Khi đó toán tử (1.4.3) là một đẳng cấu. Do đó ta chỉ xét toán tử liên hợp A∗ trên không gian Sobolev với cấp âm.
Từ Định lí 1.4.1, ta có thể xây dựng không gian D2l,k(R+) như sau. Cho l, k ∈ Z, k ≥ 0, l ≥ −k. Khi đó không gian Dl,k2 (R+) là tập tất cả các hàm F ∈ W2k(R+)∗ có dạng:
(u, F)R+ = (u, f)R+ + ((D(k)u)(0), g)Cl, u ∈ W2k(R+), (1.4.9) trong đó f ∈ W˜2l,0(R+) (tức là f ∈ W2l(R+) khi l ≥ 0, và f ∈ W2−l(R+)∗
khi l < 0), g ∈ Ck, và D(k) là vectơ
D(k) = (1, Dt, . . . , Dk−t 1) nếu k = 1,2, . . . , D(0) = 0. (1.4.10) Chuẩn của phiếm hàm F trong Dl,k2 (R+) được định nghĩa một cách tự nhiên bằng cận dưới đúng của tổng
kfkW˜l,0
2 (R+) +|g|Ck, với f và g thoả mãn (1.4.9).
Nhận xét 1.4.2. Nếu l là một số nguyên âm, thì các phiếm hàm u →
l X
j=1
thuộc không gian W2−l(R+)∗ và không gian D2l,k(R+)có thể được định nghĩa là tập tất cả các phiếm hàm F ∈ W2k(R+)∗ có dạng (u, F)R+ = (u, f)R+ + k X j=−l+1 (Dtj−1u)(0)gj, trong đó f ∈ W2−l(R+)∗, gj ∈ C. Trong trường hợp l ≤ −k, k ≥ 0 chúng ta đặt D2l,k(R+) = W2−l(R+)∗. Nói riêng, với kí hiệu này chúng ta có
D2l,0(R+) = ˜W2l,0(R+) =
W2l(R+) khi l ≥0
W2−l(R+)∗ khi l<0. Dễ thấy không gian Dl1,k
2 (R+) được nhúng liên tục và trù mật trong Dl,k2 (R+) nếu l1 > l.
Định lý 1.4.3. Giả sử µk < 2m với k = 1, . . . , m+ J và bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy. Khi đó, toán tử liên hợp A∗ của A là một đẳng cấu từ Dl,20(R+)×Cm+J lên D2l−2m,2m(R+)×CJ với số nguyên tuỳ ý. Chứng minh.Nếul ≤0thìDl,20(R+) = W2−l(R+)∗, D2l−2m,2m(R+) = W22m−l(R+)∗, nên kết luận của định lí được suy ra từ Định lí 1.2.6.
Bây giờ giả sửl là một số nguyên dương. Chúng ta chứng minh rằng toán tửA∗ ánh xạ liên tục từ không gianW2l(R+)×Cm+J vàoD2l−2m,2m(R+)×CJ. Gọi (v, v) là một phần tử tuỳ ý của W2l(R+) ×Cm+J và gọi ψ ∈ C2m là một vectơ với các thành phần
ψj =
(Dtj−1v)(0) khi j = 1,2, . . . , min(l,2m) 0 khi min(l,2m) < j ≤2m.
Khi đó v, ψ là một phần tử thuộc không gian W˜2l,2m(R+)×Cm+J. Hơn nữa, theo Định lí 1.3.4, (f, g, h) = A+(vψ, v) ∈ W˜2l−2m,0(R+)×C2m ×CJ và
kfkW˜l−2m,0
2 (R+)+kgkC2m+ khkCJ ≤ c(kvkWl
2(R+)+kvkCm+J) (1.4.11) với c là một hằng số độc lập với v và v. Hơn nữa, theo Định lí 1.4.1, chúng ta có A∗(v, v) = (F, h), với phiếm hàm F ∈ W2l(R+)∗ có dạng
tức là F ∈ Dl−2 2m,2m(R+). Do (1.4.11), chuẩn của F trong D2l−2m,2m(R+) có thể được đánh giá theo các chuẩn của v và v. Chứng tỏ toán tử A∗ ánh xạ liên tục từ không gian W2l(R+)×Cm+J vào Dl−2 2m,2m(R+)×CJ.
Bây giờ chúng ta chứng minh rằng A∗ ánh xạ W2l(R+) × Cm+J lên Dl−2 2m,2m(R+) ×CJ khi l > 0. Giả sử (F, h) là một phần tử tuỳ ý thuộc không gianD2l−2m,2m(R+)×CJ. Theo định nghĩa của không gianDl−2 2m,2m(R+), phiếm hàm F có dạng (1.4.12), trong đó f ∈ W˜2l−2m,0(R+). Theo Định lí 1.3.9, tồn tại một nghiệm (v, ψ, v) ∈ W˜2l,2m(R+)×Cm+J của phương trình
A+(v, ψ, v) = (f, g, h).
Sử dụng Định lí 1.4.1, chúng ta kết luận rằng (v, v) là một nghiệm của phương trình A∗(v, v) = (F, h). Do đó A∗ là một ánh xạ liên tục từ W2l(R+)×Cm+J lên D2l−2m,2m(R+)×CJ khi l > 0. Rõ ràng A∗ là đơn ánh, do đó là song ánh.
1.4.3 Tính chính quy của nghiệm của bài toán liên hợp
Vì không gian Dl−2 2m,2m(R+) được nhúng liên tục vào D2q−2m,2m(R+) với l ≥ q, nên Định lí 1.4.3 cho ta khẳng định về tính chính quy sau đây của nghiệm (v, v) của bài toán liên hợp
A∗(v, v) = (F, h). (1.4.13)
Định lý 1.4.4. Giả sử ta có các giả thiết của Định lí 1.4.3, (v, v) ∈
W2k(R+)∗ × Cm+J, k ≥ 0 là một nghiệm của bài toán liên hợp (1.4.13), trong đó F ∈ D2l−2m,2m(R+). Khi đó (v, v) ∈ D2l,0(R+)×CJ.
Hơn nữa, nếul ≥ 2m và F có dạng (1.4.9) với một hàm f ∈ W2l−2m(R+)
và g ∈ C2m, thì (v, v) là một nghiệm của bài toán liên hợp hình thức (1.1.15), (1.1.16).
Chứng minh. Khẳng định đầu tiên được suy ra từ Định lí 1.4.3. Ta chỉ còn phải chứng minh rằng(v, v) là một nghiệm của bài toán liên hợp tương ứng khi l ≥ 2m. Giả sử (v, v) ∈ W2l(R+) ×Cm+J là một nghiệm của phương trình (1.4.13) với một phiếm hàm F ∈ D2l−2m,2m(R+), l ≥ 2m. Khi đó
(v,(Dv)(0)) thuộc không gian W˜2l,2m(R+) và Định lí 1.4.1 cho ta
A+(v,(Dv)(0), v) = (f, g, h). Vậy (v, v) thoả mãn phương trình (1.1.15), (1.1.16).
Nhận xét 1.4.5. Theo Định lí 1.4.3, toán tử liên hợp là một đẳng cấu từ D2l,γ−2m(R+)×Cm+J →Dl−2 2m,γ(R+)×CJ
nếu bài toán (1.1.2), (1.1.3) là chính quy vàγ ≥max(2m, µ1+1, . . . , µm+J+ 1). Hơn nữa, ta cũng có khẳng định về tính chính quy như trong Định lí 1.4.4.
Chương 2
Bài toán biên elliptic trong nửa không gian
Chương này trình bày một số kết quả về phương trình đạo hàm riêng elliptic trong không gian Ơclit Rn và bài toán biên elliptic trong nửa không gian Rn+. Đặc biệt là tính giải được trong không gian Sobolev các hàm tuần hoàn và các đánh giá tiên nghiệm cho nghiệm. Như trong Chương 1, chúng tôi xét các nghiệm trong cả không gian Sobolev cấp dương và cấp âm.
2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình đạo hàm
riêng
Mục này trình bày về điều kiện cần và đủ cho tính giải được duy nhất của phương trình đạo hàm riêng elliptic với hệ số hằng số trong không gian Sobolev các hàm tuần hoàn. Song hành với tính giải được còn có các khẳng định về tính chính qui của bài toán và các đánh giá tiên nghiệm cho nghiệm của phương trình đạo hàm riêng với hệ số biến thiên. Mục này cũng chỉ ra rằng tính elliptic là điều kiện cần để có các đánh giá tiên nghiệm đó.