Tương tự Bổ đề 2.1.5, đánh giá (2.3.25) sẽ kéo theo điều kiện a).
Bổ đề 2.3.13. ([5]). Giả sử U là một lân cận tùy ý của gốc và đánh giá (2.3.25) thỏa mãn với mọi (u, φ) ∈ W˜2l,+1per,2m(R+n), u ∈ Wl+τ+
1 2
2,per (Rn−1) sao cho suppu∩Qn ⊂ U,suppφ∩Qn−1 ⊂ U ∩Qn−1,suppu∩Qn−1 ⊂ U ∩Qn−1. Khi đó, bài toán (2.3.22), (2.3.23) là elliptic.
KẾT LUẬN
Trong luận văn này tôi đã nghiên cứu một số vấn đề cơ bản sau đây: tính chính quy và tính duy nhất nghiệm của bài toán biên trong không gian Sobolev cấp nguyên tùy ý, các mối liên hệ giữa bài toán biên liên hợp hình thức và bài toán liên hợp (theo nghĩa giải tích hàm).
Luận văn mang tính tổng quan nhưng tôi đã làm rõ và chi tiết hóa chứng minh của một số định lý, bổ đề ... trong Chương 1. Do hạn chế về số trang của một Luận văn nên trong Chương 2 tôi chỉ chủ yếu trình bày sự mở rộng và nêu sự khái quát hóa các kết quả trong Chương 1 cho trường hợp nhiều chiều mà không nêu chứng minh chi tiết.
Do thời gian có hạn và chưa có kinh nghiệm trong công tác làm nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn đọc.
Trước khi kết thúc khóa luận tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo trong khoa toán, đặc biệt là TS. Trần Văn Bằng người đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian qua để tác giả có thể hoàn thành khóa luận này.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội.
[2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội. [3] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng,
NXB ĐHQG Hà Nội. [B] Tài liệu tiếng Anh
[4] R. A. Adams (1975), Sobolev spaces, Academic Press.
[5] V.A. Kozlov, V.G. Maz’ya, J. Rosmann (1991),Elliptic boundary value problems in domains with point singularities, Mathematical surveys or monographs, Vol. 52, American Mathematical Society.
[6] N.V. Krylov (1996), Lectures on Elliptic and Parabolic equations in H¨older spaces, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 12, American Mathematical Society.