Một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m trong nửa không gian

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI II NGUYN TH TNH MT LP BI TON BIấN ELLIPTIC CP 2m TRONG NA KHễNG GIAN Ngnh: Toỏn - Gii tớch Mó s: 60 46 01 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn: TS Trn Vn Bng H Ni - 2011 LI CM N Lun c hon thnh ti Trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS Trn Vn Bng Tỏc gi xin c gi li cm n chõn thnh ti thy giỏo, tin s Trn Vn Bng, cỏc thy cụ giỏo nh trng v cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch ó giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v lm lun Cui cựng, tỏc gi xin c cm n ti gia ỡnh, bn bố, ng nghip ó ng viờn v to mi iu kin thun li tỏc gi hon thnh bn lun ny H Ni, thỏng 11 nm 2011 Tỏc gi LI CAM OAN Tụi xin cam oan : Khúa lun Mt lp bi toỏn biờn elliptic cp 2m na khụng gian l kt qu nghiờn cu ca riờng tụi, cú tham kho ý kin ca nhng ngi i trc, tham kho ti liu cú liờn quan, di s hng dn khoa hc ca TS Trn Vn Bng Khúa lun khụng chộp t mt ti liu, mt cụng trỡnh no sn cú Kt qu khúa lun ớt nhiu cú úng gúp vo vic tỡm hiu, nghiờn cu v bi toỏn biờn H Ni, thỏng 11 nm 2011 Tỏc gi Nguyn Th Tớnh Mc lc M u Chng Bi toỏn biờn i vi PTVP thng trờn na trc 1.1 1.2 1.3 1.4 Bi toỏn biờn v bi toỏn liờn hp hỡnh thc 1.1.1 Thit lp bi toỏn biờn 1.1.2 Bi toỏn liờn hp hỡnh thc (trng hp àk < 2m) 1.1.3 Bi toỏn liờn hp hỡnh thc (trng hp cú àk 2m) 12 Tớnh gii c ca bi toỏn biờn trờn na trc 13 1.2.1 Khụng gian Sobolev trờn na trc 14 1.2.2 Tớnh chớnh quy ca bi toỏn biờn trờn na trc 15 1.2.3 Cỏc phỏt biu tng ng ca tớnh chớnh quy 16 1.2.4 Tớnh gii c ca bi toỏn biờn chớnh quy 19 1.2.5 Tớnh gii c ca bi toỏn liờn hp hỡnh thc 22 Bi toỏn biờn chớnh quy khụng gian Sobolev vi cp õm 23 1.3.1 Khụng gian Sobolev vi cp õm 24 1.3.2 Thỏc trin ca toỏn t A 26 1.3.3 Tớnh song ỏnh ca toỏn t A 28 Tớnh cht ca toỏn t liờn hp A 32 1.4.1 Mi quan h gia toỏn t liờn hp v toỏn t liờn hp hỡnh thc 32 1.4.2 Tớnh song ỏnh ca toỏn t liờn hp 34 1.4.3 Tớnh chớnh quy ca nghim ca bi toỏn liờn hp 36 Chng Bi toỏn biờn elliptic na khụng gian 2.1 Nghim tun hon ca phng trỡnh o hm riờng 38 38 2.1.1 Khụng gian Sobolev ca cỏc hm tun hon 2.1.2 Tớnh gii c ca phng trỡnh o hm riờng el- 2.1.3 2.2 2.3 38 liptic vi h s hng s 39 Tớnh chớnh qui ca nghim tun hon 41 Tớnh gii c ca bi toỏn biờn elliptic na khụng gian 44 2.2.1 Khụng gian Sobolev cỏc hm tun hon 44 2.2.2 Toỏn t vt 46 2.2.3 Tớnh elliptic ca bi toỏn biờn 46 2.2.4 S tn ti v nht nghim 50 Tớnh gii c ca bi toỏn biờn elliptic khụng gian Sobolev cp nguyờn tựy ý 51 2.3.1 Khụng gian Sobolev cp õm 51 2.3.2 Cụng thc Green na khụng gian 52 2.3.3 Thỏc trin ca toỏn t A bi toỏn biờn 56 2.3.4 S tn ti v nht nghim trng hp h s hng 58 2.3.5 Tớnh chớnh qui ca nghim 59 2.3.6 S cn thit ca tớnh elliptic 60 Ti liu tham kho 62 M U Lý chn ti Phng trỡnh o hm riờng l mt b mụn toỏn hc c bn va mang tớnh cht lý thuyt cao va mang tớnh ng dng rng Rt nhiu ngnh khoa hc (k c xó hi), cụng ngh u phi s dng nú Nú cú mt v gúp phn nõng cao tớnh hp dn lý thỳ, tớnh y sõu sc, tớnh hiu qu giỏ tr ca nhiu ngnh nh ti u, iu khin ti u, trũ chi vi phõn, gii tớch s, tớnh toỏn khoa hc, k c cỏc lý thuyt nh lý thuyt k d, tai bin, r nhỏnh, hn lon Lớ thuyt phng trỡnh vi phõn v lớ thuyt phng trỡnh o hm riờng c rt nhiu nh Toỏn hc quan tõm nghiờn cu c bit, lp bi toỏn biờn elliptic cú nhiu ng dng quan trng Trong chng trỡnh hc, chỳng ta ó nghiờn cu cỏc khỏi nim c bn, mt s kt qu in hỡnh v lp phng trỡnh elliptic u (bi toỏn biờn th nht, th hai, th ba) Tuy nhiờn, nghiờn cu mi trung ch yu cỏc phng trỡnh elliptic cp Qua tỡm hiu chỳng tụi nhn thy rng, cỏc phng trỡnh elliptic cp 2m, vi nhng iu kin biờn tng quỏt ũi hi rt nhiu v k thut, cựng nhng cỏc kin thc c bn khỏc c bit l cỏc liờn quan ti vic la chn cỏc khụng gian nghim, thng l cỏc khụng gian Sobolev, hoc khụng gian Hăolder Vi mong mun hiu sõu hn v lp phng trỡnh ny, tụi ó chn ti: Mt lp bi toỏn biờn elliptic cp 2m na khụng gian Ni dung ca Lun bao gm hai chng: Chng 1: Trỡnh by lp bi toỏn biờn khụng gian mt chiu Trong trng hp ny cỏc k thut n gin hn trng hp nhiu chiu nờn cỏc ý tng c mụ t rừ rng, cỏc kt qu c chng minh chi tit Chng 2: Khỏi quỏt húa cỏc khỏi nim v cỏc kt qu ó t c Chng cho trng hp nhiu chiu Trong trỡnh ny cỏc khỏi nim, ý tng c bn c nờu rừ, nhiờn lng kin thc khỏ nhiu nờn mt s kt qu khụng c chng minh chi tit Mc ớch nghiờn cu Lun trung nghiờn cu tớnh gii c v nht nghim ca bi toỏn biờn elliptic na khụng gian v tớnh cht ca nghim Nhim v nghiờn cu Vi mc ớch nghiờn cu ó nờu trờn nhim v nghiờn cu ca lun l: Nghiờn cu cỏch thit lp bi toỏn vi iu kin biờn tng quỏt, khỏi nim chớnh qui húa Nghiờn cu tớnh gii c v nht nghim ca bi toỏn trờn na trc khụng gian Sobolev vi cp nguyờn tựy ý, nghiờn cu s liờn h gia bi toỏn biờn liờn hp hỡnh thc vi bi toỏn liờn hp Nghiờn cu bi toỏn na khụng gian, tớnh gii c v nht nghim ca bi toỏn khụng gian Sobolev ca cỏc hm tun hon i tng v phm vi nghiờn cu 1) Khụng gian Sobolev 2) Tớnh cht nh tớnh ca mt lp bi toỏn biờn elliptic cp 2m na khụng gian Phng phỏp nghiờn cu S dng phng phỏp ca Gii tớch hm, cỏc phng phỏp ó bit phng trỡnh vi phõn v phng trỡnh o hm riờng c in Nhng úng gúp ca Lun Trỡnh by mt cỏch cú h thng, rừ rng mt s kt qu c bn v tớnh gii c v nht nghim ca mt lp bi toỏn biờn elliptic cp 2m trờn na trc, trờn na khụng gian cỏc khụng gian Sobolev thớch hp Chng Bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn thng trờn na trc Chng ny cp n cỏc bi toỏn biờn cho phng trỡnh vi phõn thng, tuyn tớnh, cp 2m, vi h s hng trờn khong (0, +) c bit l khỏi nim v tớnh chớnh quy ca bi toỏn biờn - ú l iu kin cn v bi toỏn biờn cú nht nghim khụng gian Sobolev cp nguyờn bt k Hn na, chng ny cũn nghiờn cu mi liờn h gia bi toỏn liờn hp hỡnh thc (theo cụng thc "kiu" Green) v bi toỏn liờn hp (theo ngha ca Gii tớch hm) ca bi toỏn biờn chớnh quy 1.1 Bi toỏn biờn v bi toỏn liờn hp hỡnh thc Trong mc ny chỳng tụi mụ t mt lp cỏc bi toỏn biờn trờn R+ = (0, +) Theo ngha c in, bi toỏn biờn ta ch phi tỡm mt n hm trờn na trc, cũn õy ngoi n hm u ta phi tỡm thờm mt vect u CJ , J N Hn na, chỳng tụi cũn trỡnh by mt cụng thc kiu Green cho nhng bi toỏn ny, t ú dn ti bi toỏn liờn hp hỡnh thc cng cú cựng dng vi bi toỏn xut phỏt 1.1.1 Thit lp bi toỏn biờn Trong lun ny, cho m, J Z, m > 0, J 0, 2m aj Dtj L(Dt ) = (1.1.1) j=0 l toỏn t vi phõn tuyn tớnh cp 2m vi h s khụng i aj , ú a2m = v Dt = it = i.d/dt Cho àk l cỏc s nguyờn, àk bk,j Dtj Bk (Dt ) = j=0 (k = 1, ã ã ã , m + J) l cỏc toỏn t vi phõn tuyn tớnh cp àk vi quy c l àk õm thỡ toỏn t Bk c gi thit l ng nht bng 0, B(Dt ) l vect cỏc toỏn t B1 (Dt ), , Bm+J (Dt ) Hn na, C = (ck,j )1 k m+J,1 j J l mt ma trn hng cp (m + J) ì J Vi hm f ó cho trờn R+ v vộc t g Cm+J , xột bi toỏn L(Dt )u(t) = f (t), t > 0, (1.1.2) B(Dt )u(t)|t=0 + Cu = g (1.1.3) Trong bi toỏn ny chỳng ta tỡm mt hm u trờn R+ v mt vect u = (u1 , , uJ ) cho u l mt nghim ca phng trỡnh vi phõn (1.1.2), v cp (u, u) tho iu kin biờn (1.1.3), tc l J Bk (Dt )u(t)|t=0 + ck,j uj = gk , k = 1, , m + J j=1 Chỳ ý 1.1.1 Núi chung, cỏc vộc t phi c hiu l ct hay hng mt cỏch thớch hp, chng hn (1.1.3), u v g l cỏc vect ct 1.1.2 Bi toỏn liờn hp hỡnh thc (trng hp àk < 2m) Gi s àk < 2m, k = 1, 2, ã ã ã , m + J xỏc nh bi toỏn liờn hp hỡnh thc ca bi toỏn (1.1.2), (1.1.3), ta cn mt dng iu chnh ca cụng thc Green c in Gi 2m aj Dtj + L (Dt ) = j=0 l toỏn t liờn hp hỡnh thc ca L Hn na, gi D l vect D = (1, Dt , , Dt2m1 ) (1.1.4) Khi ú, toỏn t B(Dt ) cú th c vit di dng B(Dt ) = Q.D (1.1.5) 48 nh ngha 2.2.2 Toỏn t L c gi l elliptic thc s nu vi mi Rn1 , = 0, a thc a,j j L0 (, ) = ||+j=2m cú ỳng m nghim na mt phng trờn Im > v cú ỳng m nghim na mt phng di Im < Vớ d 2.2.3 a)Rừ rng mi toỏn t elliptic thc s u l toỏn t elliptic b) Trong trng hp n = 2, toỏn t L = Dx21 2iDx1 Dx2 Dx22 l toỏn t elliptic nhng khụng phi l toỏn t elliptic thc s Ta cú khng nh tng ng sau: B 2.2.4 ([5]) Cỏc khng nh sau l tng ng 1) Toỏn t L l elliptic thc s 2) Vi mi cp , cỏc vộct c lp tuyn tớnh Rn , a thc L0 ( + ) (2.2.10) cú ỳng m nghim na mt phng trờn Im > v cú ỳng m nghim na mt phng di Im < Nh chng 1, ta kớ hiu M+ () l tt c cỏc nghim n nh ca phng trỡnh a,j Dtj u(t) = 0, vi t > 0, L0 (, Dt )u(t) = (2.2.11) ||+j=2m ú Rn1 l tham s tựy ý B 2.2.5 ([5]) 1) Nu n thỡ mi toỏn t elliptic u l elliptic thc s 2) Khi n = 2, nu L l elliptic v h iu kin biờn thun nht J Bk0 (, Dt )u(t)|t=0 Ck,j ()uj = vi k = 1, , m + J + j=1 (2.2.12) 49 ch cú nghim tm thng (u, u) = (u, u1 , , uJ ) = M+ () ì CJ vi mi Rn1 \ {0}, thỡ L l elliptic thc s Bõy gi ta nghiờn cu bi toỏn biờn elliptic: nh ngha 2.2.6 Bi toỏn biờn (2.2.7), (2.2.8) c gi l elliptic nu bi toỏn biờn trờn na trc L0 (, Dt )u(t) = f (t), vi t > 0, (2.2.13) B (, Dt )u(t)|t=0 + C ()u = g (2.2.14) l chớnh qui theo nh ngha 1.2.1 vi mi Rn1 \ {0} Tc l (i) Toỏn t L l elliptic thc s (ii) H iu kin biờn thun nht (2.2.12) ch cú nghim tm thng M+ () ì CJ vi mi Rn1 \ {0} Nhn xột 2.2.7 Cỏc toỏn t B v C (2.2.14) cú tha iu kin (ii) nh ngha 2.2.6 hay khụng cũn ph thuc vo vic chn cỏc s àk v j Vớ d sau ch mt bi toỏn biờn cú th l elliptic vi nhng s chn la khỏc ca àk v j Vớ d 2.2.8 Ta xột bi toỏn biờn u = f vi t > 0, (2.2.15) u|t=0 + u1 = g1 , u1 = g2 , (2.2.16) Trc ht ly à1 = à2 = = Khi ú bi toỏn trờn na trc (2.2.13),(2.2.14) l: ( Dt2 )u(t) = f (t) vi t > 0, u(0) + u1 = g1 , u1 = g2 Nu ta ly à1 = 0, à2 = 1, = thỡ bi toỏn trờn na trc (2.2.13),(2.2.14) l: ( Dt2 )u(t) = f (t) vi t > 0, u(0) + u1 = g1 , u1 = g2 50 Trong c hai trng hp, iu kin (ii) ca nh ngha 2.2.6 u c tha Trong trng hp th nht toỏn t (u, u1 ) (f, g1 , g2 ) ca bi toỏn biờn (2.2.15), (2.2.16) l ỏnh x l l l l2 l 2 W2,per (Rn+ ) ì W2,per (Rn1 ) W2,per (Rn1 ) ì W2,per (Rn1 ), (Rn+ ) ì W2,per l 2, trng hp th hai toỏn t ny l ỏnh x l+ l l+ l l2 2 W2,per (Rn+ ) ì W2,per (Rn1 ) W2,per (Rn+ ) ì W2,per (Rn1 ) ì W2,per (Rn1 ) 2.2.4 S tn ti v nht nghim Ta xột bi toỏn (2.2.7), (2.2.8) nh lớ sau cho ta iu kin cn v ca s tn ti v nht nghim nh lý 2.2.9 ([5]) Cho l Z, l 2m, l > max àk Toỏn t (2.2.9) ca bi toỏn biờn (2.2.7), (2.2.8) l ng cu nu v ch nu cỏc iu kin sau tha món: (i) Bi toỏn biờn (2.2.7), (2.2.8) l elliptic; (ii) Bi toỏn biờn trờn na trc L(q, Dt )v(t) = (t), t > (2.2.17) B(q, Dt )v(t)|t=0 + C(q)v = (2.2.18) l chớnh qui theo nh ngha 1.2.1 vi mi q Zn1 Nhn xột 2.2.10 Nu bi toỏn (2.2.7), (2.2.8) l elliptic thỡ bi toỏn L0 (Dy + 1 , Dt + )u = f, 2 Rn+ (2.2.19) 1 , Dt + )u|t=0 + C (Dy + )u = g Rn1 (2.2.20) 2 tha cỏc iu kin (i), (ii) nh lớ 2.2.9 B (Dy + Tht vy, phn chớnh ca cỏc toỏn t vi phõn bi toỏn (2.2.7), (2.2.8) v bi toỏn (2.2.19), (2.2.20) trựng Do vy iu kin 51 (i) nh lớ 2.2.9 c tha bi bi toỏn (2.2.19), (2.2.20) Hn na, t tớnh elliptic ca bi toỏn (2.2.7), (2.2.8) ta suy bi toỏn L0 (q + , Dt )u = , R+ , 1 , Dt )u|t=0 + C (q + )u = 2 l J cú nghim nht W2 (R+ ) ì C vi mi q Zn1 , W2l2m (R+ ), B (q + Cm+J Bng cỏch t u = eit/2 v bi toỏn trờn tr thnh 1 , Dt + )v = eit/2 , R+ , 2 1 B (q + , Dt + )v|t=0 + C (q + )u = 2 Vy bi toỏn (2.2.19), (2.2.20) tha iu kin (ii) nh lớ 2.2.9 L0 (q + 2.3 Tớnh gii c ca bi toỏn biờn elliptic khụng gian Sobolev cp nguyờn tựy ý Trong mc va ri ta cú kt qu v tớnh gii c khụng gian Sobolev vi cp nguyờn l 2m, l max àk õy chỳng ta s nghiờn cu tớnh gii c khụng gian Sobolev cp nguyờn bt k lm iu ú chỳng ta cn ti cụng thc Green v bi toỏn liờn hp hỡnh thc õy, chỳng tụi hn ch xột trng hp cỏc toỏn t Bk cú cp nh hn 2m 2.3.1 Khụng gian Sobolev cp õm l Cho l = 1, 2, Kớ hiu W2,per (Rn+ ) l khụng gian i ngu ca khụng l gian W2,per (Rn+ ) vi chun u l W2,per (Rn+ ) l = sup{|(u, v)Qn1 ìR+ | : v W2,per (Rn+ ), v = 1}, (2.3.1) ú (., )Qn1 ìR+ s m rng ca tớch vụ hng (2.2.2) lờn tớch ca cỏc l l l (Rn+ ) v W2,per (Rn+ ) Nu u W2,per (Rn+ ) thỡ cỏc h s khụng gian W2,per Fourier u(q, ) l cỏc hm trờn W2l (R+ ) v xỏc nh bi: (u(q, ), (.))R+ = (2)(n2)/2 (u, eiq.y )Qn1 ìR+ , W2l (R+ ) (2.3.2) 52 B 2.3.1 ([5]) Chun (2.3.1) bng vi < q >2l1 U (q, ) u = W2l (R+ ) , (2.3.3) qZn1 vi U xỏc nh bi bi (2.2.3) Tng t nh trng hp mt chiu, vi s nguyờn k, l, k ta l,k (Rn+ ) nh sau: nh ngha khụng gian W Nu l thỡ 2,per l,k n W 2,per (R+ ) l tt c cỏc cp (u, ), ú u l W2,per (Rn+ ) v = (1 , , k ) l hm vộct vi cỏc thnh phn j lj+ W2,per (Rn1 ) tha iu kin j (y) = (Dtj1 u)(y, 0) vi j l Chun l,k (Rn+ ) c xỏc nh bi: W 2,per k (u, ) l,k (Rn ) W + 2,per = u l W2,per (Rn+ ) + j j=1 lj+ W2,per (Rn1 ) Vỡ ch cỏc thnh phn j vi j > l c chn khụng ph thuc vo u nờn l l,k (Rn+ ) cú th ng nht vi W2,per (Rn+ ) nu l k v vi khụng gian W 2,per l (Rn+ ) ì W2,per lj+ 21 k n1 W ) 2,per (R j=l+1 nu l < k Trong trng hp l 0, ta t k lj+ l,k (Rn+ ) = W l (Rn+ ) ì W 2,per 2,per W2,per (Rn1 ) j=l+1 v k (u, ) l,k (Rn ) W + 2,per = u l W2,per (Rn+ ) + j j=1 lj+ W2,per (Rn1 ) l,0 (Rn+ ) = W l (Rn+ ) nu l < v W l,0 (Rn+ ) = c bit, ta cú W 2,per 2,per 2,per l+1,k l W2,per (Rn+ ) nu l Rừ rng khụng gian W (Rn+ ) c nhỳng liờn tc 2,per l,k (Rn+ ) Hn na, ta cú vo W 2,per l,k n W 2,per (R+ ) (xem B 1.3.1) 2.3.2 l+1,k (Rn+ ) trự mt th ch rng W 2,per Cụng thc Green na khụng gian Bõy gi ta xột bi toỏn biờn L(y, t, Dy , Dt )u(y, t) = f (y, t) Rn+ , (2.3.4) 53 B(y, t, Dy , Dt )u(y, t)|t=0 + C(y, Dy )u(y) = g(y), y Rn1 (2.3.5) ú, cỏc h s ca cỏc toỏn t L, B v C cú th bin thiờn C th hn, a,j (y, t)Dy Dtj L(y, t, Dy , Dt ) = (2.3.6) ||+j2m l toỏn t vi phõn cp 2m vi cỏc h s a,j kh vi vụ hn v 2-tun hon theo y v cú o hm mi cp theo t b chn Hn na, B l vộct ca cỏc toỏn t vi phõn bk;,j (y, t)Dy Dtj , Bk (y, t, Dy , Dt ) = k = 1, , m + J, (2.3.7) ||+jàk v C l ma trn ca cỏc toỏn t vi phõn Ck,j; (y)Dy , Ck,j (y, Dy ) = k = 1, , m + J; j = 1, , J, ||àk +j (2.3.8) vi cỏc h s 2-tun hon, kh vi vụ hn nhn c cụng thc Green cho bi toỏn (2.3.4), (2.3.5), ta vit toỏn t L nh sau 2m Aj (y, t, Dy )Dtj L(y, t, Dy , Dt ) = j=0 ú a,j (y, t)Dy Aj (y, t, Dt ) = ||2mj Tng t toỏn t Bk cú dng àk Bk,j (y, t, Dy )Dtj , Bk (y, t, Dy , Dt ) = j=0 ú Bk,j (y, t, Dy ) l toỏn t vi phõn tuyn tớnh cú cp nh hn hoc bng àk j Do cp ca Bk < 2m, vi k = 1, , m + J, nờn toỏn t B c biu din thnh B(y, t, Dy , Dt ) = Q(y, t, Dy ).D, (2.3.9) 54 ú D l vộct ct vi cỏc thnh phn Dtj1 , j = 1, , 2m v Q(y, t, Dy ) = (Qk,j (y, t, Dy ))1km+J,1j2m l ma trn vi cỏc phn t Qk,j (y, t, Dy ) = bk,j1 (y, t, Dy ) vi j àk + 1,, vi àk + < j 2m Gi L+ l toỏn t liờn hp hỡnh thc vi toỏn t vi phõn (2.3.6), Dy Dtj (a,j (y, t)v) L+ (y, t, Dy , Dt )v = ||+j2m Tng t, cỏc toỏn t liờn hp hỡnh thc vi Aj , Bk,j , Ck,j cng c nh ngha Toỏn t liờn hp hỡnh thc vi ma trn C(y, Dy ) l ma trn cp J ì (m + J) : + C + (y, Dy ) = (Ck,j (y, Dy ))1km+J,1jJ S dng kớ hiu ny, tng t nh cụng thc (1.1.6), ta cú cụng thc Green nh sau: nh lý 2.3.2 Cho u = u(y, t), v = v(y, t) l cỏc hm trn trờn Rn+ , 2tun hon v bng vi t ln Hn na, u = (u1 , , uJ ); v = (v1 , , vm+J ) l hm vộct trn, 2-tun hon trờn Rn1 Khi ú, ta cú cụng thc Green Lu.vdy dt + Qn1 ìR+ ((Bu)(y, 0) + Cu(y), v(y))Cm+J dy Qn1 uL+ vdy dt + = ((Du)(y, 0), (P v)(y, 0) + Q+ v(y))C2m dy Qn1 Qn1 ìR+ + (u(y), C + v)CJ dy, Qn1 (2.3.10) õy P v = P (y, t, Dy , Dt )v l vộct vi cỏc thnh phn 2mj Dts (A+ j+s (y, t, Dy )v), j = 1, , 2m (2.3.11) Pj (y, t, Dy , Dt )v = i s=0 55 Nhn xột 2.3.3 Vộct P ó cho nh lớ 2.3.2 cú th vit dng P = T (y, t, Dy )D, ú T (y, t, Dy ) = (Tj,s (y, t, Dy ))1j,s2m l ma trn tam giỏc cỏc toỏn t vi phõn Tj,s vi cỏc h s trn, Tj,s = nu j + s > 2m + 1, Tj,2m+1j = ia0,2m (y, t) vi j = 1, , 2m v cp ca Tj,s 2m + j s vi j + s 2m Nu a0,2m (y, 0) = vi y Rn1 thỡ ỏnh x w T (y, 0, Dy )w l ng cu t 2m lj+ W2,per (Rn1 ) j=1 2m l2m+j 21 W2,per (Rn1 ) j=1 vi l tựy ý Nghch o ca T l ma trn T (y, t, Dy ) = (Sj,s (y, t, Dy ))1j,s2m cỏc toỏn t Sj,s vi Sj,s = nu j + s < 2m + 1, Sj,2m+1j = ia0,2m (y, t)1 vi j = 1, , 2m, cp ca Sj,s nh hn hoc bng j + s 2m vi j + s > 2m + Tng t nh trng hp mt chiu ta nh ngha bi toỏn liờn hp hỡnh thc vi bi toỏn (2.3.4), (2.3.5) nh sau: nh ngha 2.3.4 Gi P l vộct cho bi (2.3.11) Khi ú bi toỏn biờn L+ v = f Rn+ P v|t=0 + Q+ v = g, C + v = h Rn1 (2.3.12) (2.3.13) c gi l bi toỏn liờn hp hỡnh thc ca bi toỏn (2.3.4), (2.3.5) Nhn xột 2.3.5 Nu cỏc toỏn t L, B, C cú cỏc h s hng thỡ cỏc h s ca cỏc toỏn t (2.3.12), (2.3.13) cng l hng s Hn na, theo nh lớ 1.2.8, bi toỏn liờn hp hỡnh thc l eliptic nu v ch nu bi toỏn gc (2.3.4), (2.3.5) l elliptic 56 2.3.3 Thỏc trin ca toỏn t A bi toỏn biờn Ta xột bi toỏn biờn (2.3.4), (2.3.5) Nu ta ng nht mi hm u l l,2m (Rn+ ), thỡ ta cú (Rn+ ), l 2m, vi tng ng cp (u, Du|t=0 ) W W2,per 2,per th xột toỏn t A ca bi toỏn ny nh mt ỏnh x tuyn tớnh liờn tc t l,2m (Rn+ ) ì W l+ (Rn1 ) W 2,per 2,per (2.3.14) vo l2m,0 (Rn+ ) ì W (Rn1 ) W 2,per 2,per (2.3.15) S dng cụng thc Green (2.3.10) v cụng thc (Ll u.v iDtl u.Pl v)dy dt Lu.v dt = Qn1 ìR+ Qn1 ìR+ (2.3.16) 2m (Dtj1 u)(y, 0).(Pj v)(y, 0) dy + j=l+1Qn1 ta cú th thỏc trin toỏn t A lờn khụng gian (2.3.14) vi s nguyờn l < 2m bt k Tng t nh lớ 1.3.4, ta cú nh lý 2.3.6 Toỏn t 2m,2m (Rn+ ) ì W 2m+ (Rn1 ) W 2,per 2,per (Lu, Bu|t=0 + Cu) (u, Du|t=0 , u) L2,per (Rn+ ) ì 2mà W2,per (Rn1 ) (2.3.17) cú thỏc trin nht thnh toỏn t liờn tc t (2.3.14) vo (2.3.15) vi l < 2m Thỏc trin ny cú dng (u, , u) (L(u, ), Q + Cu), 2ml ú hm f = L(u, ) W2,per (Rn+ ) xỏc nh bi: a) Khi l : (f, v)Qn1 ìR+ = (u, L+ v)Qn1 ìR+ + (, P v|t=0 )Qn1 ; (2.3.18) 57 b) Khi < l < 2m : (Ll u.v iDtl u.Pl v)dy dt (f, v)Qn1 ìR+ = Qn1 ìR+ (2.3.19) 2m (j , Pj v|t=0 )Qn1 , + j=l+1 l+2m vi mi v W2,per (Rn+ ); ú (., )Qn1 ìR+ l tớch vụ hng (2.2.2), (., )Qn1 l tớch vụ hng L2,per (Rn1 ) v L2,per (Rn1 )2m Chỳ ý rng cỏc ỏnh x 2m lj+ W2,per (Rn1 ) W2,per (Rn1 ) Q(y, 0, Dy ) : j=1 v l+ C(y, Dy ) : W2,per (Rn1 ) W2,per (Rn1 ) liờn tc vi l tựy ý Ta kớ hiu c toỏn t (2.3.17) v thỏc trin ca nú lờn khụng gian (2.3.14) (khi l < 2m) l A l,2m (Rn+ ), l 2m, thỡ = (1 , , 2m ) = Du|t=0 v suy Nu (u, ) W 2,per 2m j j=1 lj+ W2,per (Rn1 ) c u l W2,per (Rn+ ) iu ny khụng ỳng nu l < 2m Tuy nhiờn ta cú khng nh sau: B 2.3.7 ([5]) t l hm 2-tun hon, trn trờn Rn1 v ly n = (y, t) l hm trn trờn R+ v 2- tun hon theo y cho (y, t) = vi t > 2, (y, t) = nu t < v y nm lõn cn ca supp Gi s cỏc h s a0,2m ca L khụng trit tiờu Khi ú tn ti hng s c > cho bt ng thc 2m j j=1 lj+ W2,per (Rn1 ) c u l,0 (Rn ) W + 2,per l,2m (Rn+ ) tha vi mi (u, ) W 2,per + L(u, ) l2m,0 (Rn ) W + 2,per (2.3.20) 58 c bit hm cú th ng nht bng ta nhn c bt ng thc (2.3.20) nhng khụng cú cỏc hm v 2.3.4 S tn ti v nht nghim trng hp h s hng Ta quay li bi toỏn (2.3.4), (2.3.5) vi cỏc h s hng v ta gi thit cp ca Bk < 2m vi k = 1, , m + J Khi ú, cụng thc Green (2.3.10) v cỏc h s ca cỏc toỏn t L+ , P, Q+ v C + u l hng s nh lý 2.3.8 Bi toỏn biờn (2.3.4), (2.3.5) l eliptic nu v ch nu bi toỏn liờn hp hỡnh thc (2.3.12), (2.3.13) l eliptic Hn na, bi toỏn (2.3.4), (2.3.5) tha iu kin (ii) nh lớ 2.2.9 nu v ch nu bi toỏn liờn hp hỡnh thc ca nú tha iu kin ú Khng nh ny cú c t nh lớ 1.2.8 H qu 2.3.9 Nu bi toỏn biờn (2.3.4), (2.3.5) tha cỏc iu kin (i) v (ii) nh lớ 2.2.9 thỡ toỏn t m+J + A l :W2,per (Rn+ ) ì l2m+àk + 12 W2,per (Rn1 ) k=1 2m l2m W2,per (Rn+ ) ì l2m+j 21 W2,per (Rn1 ) j=1 J ì l2mj + 21 W2,per (Rn1 ) j=1 (2.3.21) ca bi toỏn liờn hp hỡnh thc l mt ng cu vi mi l 2m S dng kt qu ny v quan h gia cỏc toỏn t A v A+ ta ta cú s tng quỏt húa sau ca nh lớ 2.2.9: nh lý 2.3.10 ([5]) Gi s cỏc iu kin (i), (ii) ca nh lớ 2.2.9 c tha Khi ú toỏn t A l ng cu t (2.3.14) vo (2.3.15) vi mi s nguyờn l 59 2.3.5 Tớnh chớnh qui ca nghim Xột bi toỏn (2.3.4), (2.3.5) vi cỏc h s bin thiờn na khụng gian v tha cỏc iu kin sau: a) Bi toỏn biờn L(0, Dy , Dt )u = f Rn+ (2.3.22) B(0, Dy , Dt )u|t=0 + C(0, Dy )u = g (2.3.23) vi cỏc h s c nh ti gc l elliptic b) Cỏc h s ca L, Bk v Ck,j tha cỏc bt ng thc |a,j (y, t) a,j (0)| < vi || + j = 2m, |bk;,j (y) bk;,j (0)| < vi || + j = àk , |ck,j; (y) ck,j; (0)| < vi || + j = àk + j , ú l s dng nh Ta kớ hiu A l toỏn t ca bi toỏn biờn (2.3.4), (2.3.5) v A(0) l toỏn t ca bi toỏn L0 (0, Dy + 1 , Dt + )u = f 2 Rn+ 1 , Dt + )u|t=0 + C (0, Dy + )u = g Rn1 2 (0) Khi ú iu kin a) kộo theo A l ng cu t khụng gian (2.3.14) vo B (0, Dy + khụng gian (2.3.15) T õy ta cú nh lớ sau: l,2m (Rn+ ) ì W l+ (Rn1 ) l nh lý 2.3.11 ([5]) Gi s (u, , u) W 2,per 2,per nghim ca phng trỡnh A(u, , u) = (f, g) l2m+1,0 (Rn+ ), g W là+ (Rn1 ) v A tha cỏc iu kin vi f W 2,per 2,per a), b) Khi ú, nghim ca bi toỏn thuc khụng gian l+1,2m (Rn+ ) ì W l+ + (Rn1 ) W 2,per 2,per (2.3.24) 60 v ta cú (u, , u) ú l l+1 c( f l2m+1,0 (Rn ) + W + 2,per g là+ W2,per (Rn1 ) l chun khụng gian (2.3.14) v + (u, , u) l ), (2.3.25) l+1 l chun khụng gian (2.3.24) l+ l H qu 2.3.12 Gi s (u, u) W2,per (Rn+ ) ì W2,per (Rn1 ), l 2m l là+ l2m+1 nghim ca bi toỏn (2.3.4), (2.3.5) Nu f W2,per (Rn+ ), g W2,per (Rn1 ) l+ + l+1 thỡ (u, u) thuc W2,per (Rn+ ) ì W2,per (Rn1 ) v ta cú (u, u) ú l+1 c( f W2l2m+1 (Qn+ ) + g là+ W2,per (Qn1 ) + (u, u) l ), (2.3.26) k+ k k (Rn+ ) ì W2,per (Rn1 ) l chun W2,per Chng minh Theo nh lớ 2.3.11, b ba (u, , u) = (u, Du|t=0 , u) thuc khụng gian (2.3.24) v tha ỏnh giỏ (2.3.25) Vỡ u l W2,per (Rn+ ) (u, Du|t=0 ) l,2m (Rn ) W + 2,per c u l W2,per (Rn+ ) vi l 2m, nờn ta cú (2.3.26) 2.3.6 S cn thit ca tớnh elliptic Tng t B 2.1.5, ỏnh giỏ (2.3.25) s kộo theo iu kin a) B 2.3.13 ([5]) Gi s U l mt lõn cn tựy ý ca gc v ỏnh giỏ l+1,2m (Rn+ ), u W l+ + (Rn1 ) (2.3.25) tha vi mi (u, ) W 2,per n n1 cho suppu Q U, supp Q n1 U Q Khi ú, bi toỏn (2.3.22), (2.3.23) l elliptic 2,per n1 , suppu Q U Qn1 61 KT LUN Trong lun ny tụi ó nghiờn cu mt s c bn sau õy: tớnh chớnh quy v tớnh nht nghim ca bi toỏn biờn khụng gian Sobolev cp nguyờn tựy ý, cỏc mi liờn h gia bi toỏn biờn liờn hp hỡnh thc v bi toỏn liờn hp (theo ngha gii tớch hm) Lun mang tớnh tng quan nhng tụi ó lm rừ v chi tit húa chng minh ca mt s nh lý, b Chng Do hn ch v s trang ca mt Lun nờn Chng tụi ch ch yu trỡnh by s m rng v nờu s khỏi quỏt húa cỏc kt qu Chng cho trng hp nhiu chiu m khụng nờu chng minh chi tit Do thi gian cú hn v cha cú kinh nghim cụng tỏc lm nghiờn cu khoa hc nờn khụng trỏnh nhng thiu sút Rt mong c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn c Trc kt thỳc khúa lun tỏc gi xin c gi li cm n chõn thnh nht ti cỏc thy cụ giỏo khoa toỏn, c bit l TS Trn Vn Bng ngi ó tn tỡnh ch bo v giỳp tỏc gi sut thi gian qua tỏc gi cú th hon thnh khúa lun ny Ti liu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] Nguyn Mnh Hựng (2008), Phng trỡnh o hm riờng tuyn tớnh, NXB i hc S Phm H Ni [2] Hong Ty (2005), Hm thc v gii tớch hm, NXB HQG H Ni [3] Trn c Võn (2005), Lý thuyt phng trỡnh vi phõn o hm riờng, NXB HQG H Ni [B] Ti liu ting Anh [4] R A Adams (1975), Sobolev spaces, Academic Press [5] V.A Kozlov, V.G Mazya, J Rosmann (1991), Elliptic boundary value problems in domains with point singularities, Mathematical surveys or monographs, Vol 52, American Mathematical Society [6] N.V Krylov (1996), Lectures on Elliptic and Parabolic equations in Hă older spaces, Graduate Studies in Mathematics, Vol 12, American Mathematical Society