Một lớp bài toán biên elliptic cấp 2m trong nửa không gian

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I II NGUYEN TH± TÍNH M®T LéP BÀI TỐN BIÊN ELLIPTIC CAP 2m TRONG NÚA KHƠNG GIAN Ngành: Tốn - Giái tích Mã so: 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Ngưòi hưóng dan: TS Tran Vn Bang H Nđi - 2011 LốI CM N Luắn văn đưoc hồn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Tran Văn Bang Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói thay giáo, tien sĩ Tran Văn Bang, thay giáo nhà trưòng thay giáo giáng day chun ngành Tốn Giái tích giúp đõ tác giá suot q trình hoc t¾p làm lu¾n văn Cuoi cùng, tác giá xin đưoc cám ơn tói gia đình, ban bè, đong nghi¾p đng viờn v tao moi ieu kiắn thuắn loi e tỏc giỏ hon thnh bỏn luắn ny H Nđi, tháng 11 năm 2011 Tác giá LèI CAM ĐOAN Tụi xin cam oan : Khúa luắn Mđt lúp bi tốn biên elliptic cap 2m núa khơng gian” ket q nghiên cúu cna riêng tơi, có tham kháo ý kien cna nhung ngưòi trưóc, tham kháo tài li¾u có liên quan, dưói sn hưóng dan khoa hoc cna TS Tran Văn Bang Khóa lu¾n khơng chép tự mđt ti liắu, mđt cụng trỡnh no san cú Ket q khóa lu¾n nhieu có đóng góp vào vi¾c tìm hieu, nghiên cúu ve tốn biên Hà N®i, tháng 11 năm 2011 Tác giá Nguyen Th% Tính Mnc lnc Má đau Chương Bài toán biên đoi vái PTVP thưàng nNa trnc 1.1 1.2 1.3 1.4 Bài toán biên toán liên hop hình thúc 1.1.1 Thiet l¾p tốn biên 1.1.2 Bài tốn liên hop hình thúc (trưòng hop µk < 2m) 1.1.3 Bài tốn liên hop hình thúc (trưòng hop có µk ≥ 2m) 12 Tính giái đưoc cna tốn biên núa truc 13 1.2.1 Không gian Sobolev núa truc 14 1.2.2 Tính quy cna toán biên núa truc 15 1.2.3 Các phát bieu tương đương cna tính quy 16 1.2.4 Tính giái đưoc cna tốn biên quy 19 1.2.5 Tính giái đưoc cna tốn liên hop hình thúc 22 Bài tốn biên quy khơng gian Sobolev vói cap âm 23 1.3.1 Khơng gian Sobolev vói cap âm 24 1.3.2 Thác trien cna toán tú A 26 1.3.3 Tính song ánh cna tốn tú A 28 Tính chat cna tốn tú liên hop A∗ 32 1.4.1 Moi quan h¾ giua tốn tú liên hop tốn tú liên hop hình thúc 32 1.4.2 Tính song ánh cna tốn tú liên hop 34 1.4.3 Tính quy cna nghi¾m cna tốn liên hop 36 Chương Bài toán biên elliptic nNa khơng gian 2.1 Nghi¾m tuan hồn cna phương trình đao hàm riêng 38 38 2.1.1 Khơng gian Sobolev cna hàm tuan hồn 2.1.2 Tính giái đưoc cna phương trình đao hàm riêng el- 2.1.3 2.2 liptic vói h¾ so hang so 39 Tính qui cna nghi¾m tuan hồn 41 Tính giái đưoc cna tốn biên elliptic núa khơng gian 44 2.2.1 Khơng gian Sobolev hàm tuan hoàn 2.2.2 Toán tú vet 2.3 38 44 46 2.2.3 Tính elliptic cna tốn biên 46 2.2.4 Sn ton tai nhat nghi¾m 50 Tính giái đưoc cna tốn biên elliptic không gian Sobolev cap nguyên tùy ý 51 2.3.1 Không gian Sobolev cap âm 51 2.3.2 Công thúc Green núa không gian 52 2.3.3 Thác trien cna toán tú A toán biên 56 2.3.4 Sn ton tai nhat nghi¾m trưòng hop h¾ so hang 58 2.3.5 Tính qui cna nghi¾m 59 2.3.6 Sn can thiet cna tính elliptic 60 Tài li¾u tham kháo 62 Mé ĐAU Lý chon đe tài Phương trình đao hàm riêng m®t b® mơn tốn hoc bán vùa mang tính chat lý thuyet cao vùa mang tính úng dung r®ng Rat nhieu ngành khoa hoc (ke cá xó hđi), cụng nghắ eu phỏi sỳ dung nú Nú có m¾t góp phan nâng cao tính hap dan lý thú, tính đay đn sâu sac, tính hi¾u q giá tr% cna nhieu ngành toi ưu, đieu khien toi ưu, trò chơi vi phân, giái tích so, tính toán khoa hoc, ke cá lý thuyet lý thuyet kỳ d%, tai bien, re nhánh, hon loan Lí thuyet phương trình vi phân lí thuyet phương trình đao hàm riêng đưoc rat nhieu nhà Tốn hoc quan tâm nghiên cúu Đ¾c bi¾t, lóp tốn biên elliptic có nhieu úng dung quan Trong chương trình hoc, nghiên cúu khái ni¾m bán, m®t so ket q đien hình ve lóp phương trình elliptic đeu (bài tốn biên thú nhat, thú hai, thú ba) Tuy nhiên, nghiên cúu mói t¾p trung chn yeu ó phương trình elliptic cap Qua tìm hieu chúng tơi nh¾n thay rang, phương trình elliptic cap 2m, vói nhung đieu ki¾n biên tong qt đòi hói rat nhieu van đe ve ky thu¾t, nhung kien thúc bán khác Đ¾c bi¾t van đe liên quan tói vi¾c lna chon khơng gian nghi¾m, thưòng khơng gian Sobolev, ho¾c khụng gian Hăolder Vúi mong muon hieu sõu hn ve lóp phương trình này, tơi chon đe tài: ”M¼t lóp tốn biên elliptic cap 2m núa khơng gian Nđi dung cna Luắn bao gom hai chng: Chương 1: Trình bày lóp tốn biên khơng gian m®t chieu Trong trưòng hop van đe ky thu¾t đơn gián trưòng hop nhieu chieu nên ý tưóng đưoc mơ tá rõ ràng, ket đưoc chúng minh chi tiet Chương 2: Khái qt hóa khái ni¾m ket q đat đưoc Chương cho trưòng hop nhieu chieu Trong trình huong khái ni¾m, ý tưóng bán đưoc nêu rõ, nhiên khoi lưong kien thúc nhieu nên m®t so ket q khơng đưoc chúng minh chi tiet Mnc đích nghiên cNu Lu¾n văn t¾p trung nghiên cúu tính giái đưoc nhat nghi¾m cna tốn biên elliptic núa khơng gian tính chat cna nghi¾m Nhi¾m nghiên cNu Vói muc đích nghiên cúu nêu ó nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n văn là: Nghiên cúu cách thiet l¾p tốn vói đieu ki¾n biên tong qt, khái ni¾m qui hóa Nghiên cúu tính giái đưoc nhat nghi¾m cna tốn núa truc khơng gian Sobolev vói cap ngun tùy ý, nghiên cúu sn liên h¾ giua tốn biên liên hop hình thúc vói tốn liên hop Nghiên cúu tốn núa khơng gian, tính giái đưoc nhat nghi¾m cna tốn khơng gian Sobolev cna hàm tuan hoàn Đoi tưang pham vi nghiên cNu 1) Khơng gian Sobolev 2) Tính chat đ%nh tính cna m®t lóp tốn biên elliptic cap 2m núa không gian Phương pháp nghiên cNu Sú dung phương pháp cna Giái tích hàm, phương pháp biet phương trình vi phân phương trình đao hàm riêng co đien NhĐng đóng gúp cỳa Luắn Trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong, rõ ràng m®t so ket bán ve tớnh giỏi oc v nhat nghiắm cna mđt lúp toán biên elliptic cap 2m núa truc, núa khơng gian khơng gian Sobolev thích hop Chương Bài tốn biên đoi vái phương trình vi phân thưàng nNa trnc Chương đe c¾p đen tốn biên cho phương trình vi phân thưòng, tuyen tính, cap 2m, vói h¾ so hang khống (0, +∞) Đ¾c bi¾t khái ni¾m ve tính quy cna tốn biên - đieu ki¾n can đn đe tốn biên có nhat nghi¾m khơng gian Sobolev cap ngun bat kỳ Hơn nua, chương nghiên cúu moi liên h¾ giua tốn liên hop hình thúc (theo cơng thúc "kieu" Green) toán liên hop (theo nghĩa cna Giái tích hàm) cna tốn biên quy 1.1 Bài tốn biên tốn liên hap hình thNc Trong muc chúng tơi mơ tá m®t lóp toán biên R+ = (0, +∞) Theo nghĩa co đien, tốn biên ta chí phái tìm m®t an hàm núa truc, ó ngồi an hàm u ta phái tìm thêm m®t vectơ u ∈ CJ , J ∈ N∗ Hơn nua, trình bày m®t cơng thúc kieu Green cho nhung tốn này, tù dan tói tốn liên hop hình thúc có dang vói tốn xuat phát 1.1.1 Thiet l¾p tốn biên Trong lu¾n văn này, cho m, J ∈ Z, m > 0, J ≥ 0, 2m L(Dt) = t j aj D (1.1.1) j=0 tốn tú vi phân tuyen tính cap 2m vói h¾ so khơng đoi aj , a2m ƒ= Dt = −i∂t = −i.d/dt Cho µk so nguyên, Bk(Dt) = µk bk,jtD j=0 j 10 (k = 1, · · · , m + J ) toán tú vi phân tuyen tính cap µk vói quy ưóc µk âm tốn tú Bk đưoc giá thiet đong nhat bang 0, B(Dt) vectơ toán tú B1(Dt), , Bm+J (Dt) Hơn nua, C = (ck,j )1km+J,1jJ l mđt ma trắn hang cap (m + J ) × J Vói hàm f cho R+ véc tơ g ∈ Cm+J , xét toán L(Dt)u(t) = f (t), t > 0, B(Dt)u(t)|t=0 + Cu = g (1.1.2) (1.1.3) Trong tốn tìm m®t hàm u R+ m®t vectơ u = (u1, , uJ ) cho u l mđt nghiắm cna phng trình vi phân (1.1.2), c¾p (u, u) thố mãn đieu ki¾n biên (1.1.3), túc J Bk(Dt)u(t)|t=0 + ck,juj = gk, k = 1, , m + J j=1 Chú ý 1.1.1 Nói chung, véc tơ phái đưoc hieu c®t hay hàng m®t cách thích hop, chang han (1.1.3), u g vectơ c®t 1.1.2 Bài tốn liên hap hình thNc (trưàng hap µk < 2m) Giá sú µk < 2m, ∀k = 1, 2, · · · , m + J Đe xác đ%nh tốn liên hop hình thúc cna tốn (1.1.2), (1.1.3), ta can m®t dang đieu cna cơng thúc Green co đien Goi + L (Dt) = 2m ajtD j j=0 toán tú liên hop hình thúc cna L Hơn nua, goi D vectơ D = (1, Dt, , D2m−1) t (1.1.4) Khi đó, tốn tú B(Dt) có the đưoc viet dưói dang B(Dt) = Q.D (1.1.5) B(y, t, Dy, Dt)u(y, t)|t=0 + C(y, Dy)u(y) = g(y), y ∈ Rn−1 (2.3.5) ó đó, h¾ so cna tốn tú L, B C có the bien thiên Cu the hơn, (2.3.6) β L(y, t, Dy, Dt) = aβ,j (y, t)D j D y t |β|+j≤2m tốn tú vi phân cap 2m vói h¾ so aβ,j vi vơ han 2π-tuan hồn theo y có đao hàm moi cap theo t b% ch¾n Hơn nua, B véctơ cna toán tú vi phân Bk(y, t, Dy, Dt) = j bk;β,j (y, t)Dβ D , y t k = 1, , m + J, (2.3.7) |β|+j≤µk C ma tr¾n cna tốn tú vi phân Ck,j (y, Dy) = Ck,j;β (y)Dyβ, k = 1, , m + J ; j = 1, , J, ||àk +j (2.3.8) vúi cỏc hắ so 2π-tuan hồn, vi vơ han Đe nh¾n đưoc cơng thúc Green cho tốn (2.3.4), (2.3.5), ta viet toán tú L sau 2m L(y, t, Dy, Dt) = Aj (y, t,t Dy)D j j=0 ó Aj (y, t, Dt) = aβ,j (y, t)Dyβ |β|≤2m−j Tương tn tốn tú Bk có dang µk Bk(y, t, Dy, Dt) = j Bk,j (y, t, tDy)D , j=0 ó Bk,j (y, t, Dy) tốn tú vi phân tuyen tính có cap nhó ho¾c bang µk − j Do cap cna Bk < 2m, vói k = 1, , m + J , nên toán tú B đưoc bieu dien thành B(y, t, Dy, Dt) = Q(y, t, Dy).D, (2.3.9) j−1 ó D véctơ c®t vói thành phan Dt , j = 1, , 2m Q(y, t, Dy) = (Qk,j (y, t, Dy))1≤k≤m+J,1≤j≤2m ma tr¾n vói phan tú Qk,j (y, t, Dy) = bk,j−1(y, t, Dy) vói j ≤ µk + 1,, µk vói + < j ≤ 2m Goi L+ tốn tú liên hop hình thúc vói tốn tú vi phân (2.3.6), + j L (y, t, Dy, Dt)v = Dβ D (aβ,j (y, t)v) y t |β|+j≤2m Tương tn, tốn tú liên hop hình thúc vói Aj, Bk,j, Ck,j đưoc đ%nh nghĩa Tốn tú liên hop hình thúc vói ma tr¾n C(y, Dy) ma trắn cap J ì (m + J ) : C+(y, Dy) = (C+ (y, Dy))1 k k,j m+J,1 j J ≤ ≤ ≤≤ Sú dung kí hi¾u này, tương tn cơng thúc (1.1.6), ta có cơng thúc Green sau: n Đ%nh lý 2.3.2 Cho u = u(y, t), v = v(y, t) hàm trơn + R , 2π- tuan hoàn bang vói t lón Hơn nua, u = (u1, , uJ ); v = (v1, , vm+J ) hàm véctơ trơn, 2π-tuan hoàn Rn−1 Khi đó, ta có cơng thúc Green ¸ Lu.vdy dt + Qn1ìR + ((Bu)(y, 0) + Cu(y), v(y))Cm+J dy Qn1 á uL+vdy = dt + Qn1ìR+ + ((Du)(y, 0), (P v)(y, 0) + Q+v(y))C2m Qn−1 dy ¸ (u(y), C+v)CJ dy, Qn−1 ó Pv = P (y, t, Dy, Dt)v véctơ vói thành phan 2m−j (2.3.10) s Pj (y, t, Dy, Dt)v = −i D (A + t s=0 (y, t, Dy)v), j = 1, , 2m (2.3.11) j+s Nh¾n xét 2.3.3 Véctơ P cho Đ%nh lí 2.3.2 có the viet dang P = T (y, t, Dy)D, T (y, t, Dy) = (Tj,s(y, t, Dy))1≤j,s≤2m ó ma tr¾n tam giác tốn tú vi phân Tj,s vói h¾ so trơn, Tj,s = neu j + s > 2m + 1, Tj,2m+1−j = −ia0,2m(y, t) vói j = 1, , 2m cap cna Tj,s ≤ 2m + − j − s vói j + s ≤ 2m Neu a0,2m(y, 0) ƒ= vói y ∈ Rn−1 ánh xa w → T (y, 0, Dy)w cau tù 2m 2m Y 1 n−1 Y l−2m+j− (R ) l−j+ W2,per (Rn−1) W2,per j= → j=1 vói l tùy ý Ngh%ch đáo cna T ma tr¾n T −1 (y, t, Dy) = (Sj,s(y, t, Dy))1 ≤j,s≤2m tốn tú Sj,s vói Sj,s = neu j + s < 2m + 1, Sj,2m+1−j = ia0,2m(y, t)− vói j = 1, , 2m, cap cna Sj,s nhó ho¾c bang j + s − 2m − vói j + s > 2m + Tương tn trưòng hop m®t chieu ta đ%nh nghĩa tốn liên hop hình thúc vói toán (2.3.4), (2.3.5) sau: Đ%nh nghĩa 2.3.4 Goi P véctơ cho bói (2.3.11) Khi tốn biên L+v = f Rn (2.3.12) + P v|t=0 + Q+v = g, C+ v = h Rn−1 (2.3.13) đưoc goi tốn liên hop hình thúc cna tốn (2.3.4), (2.3.5) Nh¾n xét 2.3.5 Neu tốn tú L, B, C có h¾ so hang h¾ so cna tốn tú (2.3.12), (2.3.13) hang so Hơn nua, theo Đ%nh lí 1.2.8, tốn liên hop hình thúc eliptic neu chí neu tốn goc (2.3.4), (2.3.5) elliptic 2.3.3 Thác trien cúa toán tN A toán biên Ta xét toán biên (2.3.4), (2.3.5) Neu ta đong nhat˜ moi hàm n u ∈ (R ), l ≤ 2m, vói tương úng c¾p (u, Du| ) ∈ W (R ), t=0 2,per 2,per ta có + l,2m + Wl n the xét toán tú A cna tốn m®t ánh xa tuyen tính liên tuc tù W˜ l,2m n l+τ− 2,per(R+) W˜ vào ì W2,per2 (Rn1) l2m,0 (2.3.14) n1 n 2,per (R+) × W2,per (R ) (2.3.15) Sú dung cơng thúc Green (2.3.10) cơng thúc ¸ ¸ Lu.v dt (Llu.v − iDtlu.Plv)dy dt = Qn−1×R+ (2.3.16) Qn−1×R+ 2m + j=l+1 ¸ j−1 u)(y, (D t 0).(Pjv)(y, 0) dy Qn−1 ta có the thác trien tốn tú A lên khơng gian (2.3.14) vói so ngun l < 2m bat kỳ Tương tn Đ%nh lí 1.3.4, ta có Đ%nh lý 2.3.6 Toán tú 2m,2m 2m+τ− W˜ n 2,per u) (R+) × W2,per (Rn−1) s (u, Du|t=0, → ( L u , B u |t=0 + Cu) ∈ L2,per(Rn ) ì W + 2mà 2,per n−1 (R (2.3.17) ) có thác trien nhat thành tốn tú liên tnc tù (2.3.14) vào (2.3.15) vói l < 2m Thác trien có dang (u, φ, u) → (L(u, φ), Qφ + Cu), ó hàm f = L(u, φ) ∈ W 2m−l(Rn )∗ xác đ%nh bói: a) Khi l ≤ : 2,per (f, v)Qn−1 = (u, ×R L+ + + v)Qn−1×R+ + (φ, P v|t=0 )Qn−1 ; (2.3.18) b) Khi < l < 2m : (f, v)Qn1ìR+ = l Qn1ìR+ (Llu.v iDtu.Plv)dy dt (2.3.19) 2m + (φj, Pjv|t=0)Qn−1 , j=l+1 vói moi v ∈ W −l+2m (Rn ); (., )Qn−1 2,per tích vơ hưóng (2.2.2), ×R+ + (., )Qn−1 tích vơ hưóng L2,per(Rn−1) L2,per(Rn−1)2m Chú ý rang ánh xa 2m Q(y, 0, Dy) : W2,per l−j+ Y l−µ− W2,per (Rn−1) → (Rn−1) j=1 l+τ− (Rn−1) → W2,per C(y, Dy) : W2,per l−µ− 2 (Rn−1) liên tuc vói l tùy ý Ta kí hi¾u cá tốn tú (2.3.17) thác trien cna lên khơng gian (2.3.14) (khi l < 2m) A l,2m Neu (u, φ) ∈ W˜ (Rn ), l ≥ 2m, φ = (φ1 , , φ2m ) = Du|t=0 suy 2,per + " φj " W j=1 ≤ c"u"W l 2m l −j+ 2,per (Rn−1) n 2,per (R+) Đieu không neu l < 2m Tuy nhiên ta có khang đ%nh sau: Bo đe 2.3.7 ([5]) Đ¾t ζ hàm 2π-tuan hồn, trơn Rn−1 lay n η = η(y, t) hàm trơn R+ 2π- tuan hoàn theo y cho η(y, t) = vói t > 2, η(y, t) = neu t < y nam lân c¾n cúa suppζ Giá sú h¾ so a0,2m cúa L khơng tri¾t tiêu Khi ton tai hang so c > cho bat thúc 2m "ζφj"W l−j+ j= n ≤ c W˜ "ηu " 2,per (R − n 2,per (R l,0 2,per + "ηL(u, φ)"W ) ) thóa mãn vói moi (u, φ) ∈ W˜ ˜ + l,2m 2,per (Rn ) + l−2m, + (Rn ) (2.3.20) 94 Đ¾c bi¾t hàm ζ có the đong nhat bang ta nh¾n đưoc bat thúc (2.3.20) khơng có hàm ζ η 2.3.4 SN ton tai nhat nghi¾m trưàng hap h¾ so hang Ta quay lai tốn (2.3.4), (2.3.5) vói h¾ so hang ta van giá thiet cap cna Bk < 2m vói k = 1, , m + J Khi đó, cơng thúc Green (2.3.10) h¾ so cna tốn tú L+, P, Q+ C + đeu hang so Đ%nh lý 2.3.8 Bài toán biên (2.3.4), (2.3.5) eliptic neu chs neu tốn liên hop hình thúc (2.3.12), (2.3.13) eliptic Hơn nua, toán (2.3.4), (2.3.5) thóa mãn đieu ki¾n (ii) Đ%nh lí 2.2.9 neu chs neu tốn liên hop hình thúc cúa thóa mãn đieu ki¾n Khang đ%nh có đưoc tù Đ%nh lí 1.2.8 H¾ q 2.3.9 Neu tốn biên (2.3.4), (2.3.5) thóa mãn đieu ki¾n (i) (ii) Đ%nh lí 2.2.9 tốn tú + m+ J ln l2m+àk + Y A :W2,per(R+) ì W2,pe k= r Y 2m → W l−2m n 2,per (R+) × j= (Rn−1) J Y l−2m−τj + l−2m+j− W2,per × W2,per (Rn−1) (Rn−1) j= (2.3.21) cúa toán liên hop hình thúc m®t cau vói moi l ≥ 2m Sú dung ket quan h¾ giua tốn tú A A+ ta ta có sn tong qt hóa sau cna Đ%nh lí 2.2.9: Đ%nh lý 2.3.10 ([5]) Giá sú đieu ki¾n (i), (ii) cúa Đ%nh lí 2.2.9 đưoc thóa mãn Khi tốn tú A cau tù (2.3.14) vào (2.3.15) vói moi so ngun l 2.3.5 Tính qui cúa nghi¾m Xét tốn (2.3.4), (2.3.5) vói h¾ so bien thiên núa khơng gian thóa mãn đieu ki¾n sau: a) Bài tốn biên L(0, Dy, Dt)u = f Rn (2.3.22) + B(0, Dy, Dt)u|t=0 + C(0, Dy)u = g (2.3.23) vói h¾ so co đ%nh tai goc elliptic b) Các h¾ so cna L, Bk Ck,j thóa mãn bat thúc |aβ,j (y, t) − aβ,j (0)| < ε vói |β| + j = 2m, |bk;β,j (y) − bk;β,j (0)| < ε vói |β| + j = µk, |ck,j;β (y) − ck,j;β (0)| < ε vói |β| + j = µk + τj, ó ε so dương đn nhó Ta kí hi¾u A tốn tú cna tốn biên (2.3.4), (2.3.5) A(0) toán tú cna toán L0(0, Dy + B0(0, Dy + →− 1, D + →− 1, )u = f Rn + D + 2t →− )u = g )u|t=0 + C0(0, Dy + Rn−1 t 2 (0) Khi đieu ki¾n a) kéo theo A cau tù không gian (2.3.14) vào khơng gian (2.3.15) Tù ta có đ%nh lí sau: Đ%nh lý 2.3.11 ([5]) Giá sú (u, φ, u) ∈ W˜ l,2m 2,per nghi¾m cúa phương trình + A(u, φ, u) = (f, g) vói f ∈ (Rn ) × W l+τ− 2,per (Rn−1 ) W˜ (Rn1) v A thúa cỏc ieu kiắn là+ l−2m+1,0 g ∈ 2,per a), b) Khi đó, nghi¾mWcúa tốn thu®c khơng gian 2,per +), W˜ l+1,2m n 2,per l+τ + (R+) × W2,per2 (R n−1 ) (2.3.24) 97 ta có "(u, φ, u)"l+1 ≤ c("f"W˜ l−2m+1,0 +) 2,per +"g" +"(u, φ, u)"l), (2.3.25) ) l−µ+ 2,per W (Rn−1 ó "."l chuan không gian (2.3.14) "."l+1 chuan không gian (2.3.24) l+τ− l H¾ 2.3.12 Giá sú (u, u) ∈ W2,pe (Rn ) × 1( r ), l n−1 W+ 2,per R nghi¾m cúa tốn (2.3.4), (2.3.5) Neu f ∈ W l−2m+1 (Rn ), g ∈ W (u, u) thu®c W l+1 2,per n (R ) × W + "(u, u)"l+1 ≤ c("f"W l−2m+1 l+τ 1+ n−1 (R 2,per + n 2m + "g" (Q ) W ) ta có 1 (Rn−1) (2.3.26) (Qn−1) k+τ − 2,pe r + + "(u, u)"l), l−µ+ 2,per k n ó "."k chuan W2,pe (R+ )× r W 2,per l−µ + 2,per (Rn−1) Chúng minh Theo Đ%nh lí 2.3.11, b® ba (u, φ, u) = (u, Du|t=0, u) thu®c khơng gian (2.3.24) thóa mãn đánh giá (2.3.25) Vì "u"W l n ≤ "(u, Du|t=0 )"W˜ l,2m 2,per(R+) ) + n 2,per(R ≤ c"u"W l n 2,per (R+) vói l ≥ 2m, nên ta có (2.3.26) 2.3.6 SN can thiet cúa tính elliptic Tương tn Bo đe 2.1.5, đánh giá (2.3.25) se kéo theo đieu ki¾n a) Bo đe 2.3.13 ([5]) Giá sú U m®t lân c¾n tùy ý cúa goc đánh giá l+τ1+ l+1,2m n ˜ (2.3.25) thóa mãn vói moi (u, φ) W (R ), u ∈ W (Rn−1 ) ∈ 2,per + n−1 cho suppu ∩ Qn ⊂ U, suppφ ∩ Qn−1 ⊂ U ∩ Q Qn−1 Khi đó, toán (2.3.22), (2.3.23) elliptic 2,per n−1 , suppu ∩ Q ⊂U∩ KET LU¾N Trong lu¾n văn tơi nghiên cúu m®t so van đe bán sau đây: tính quy tính nhat nghi¾m cna tốn biên khơng gian Sobolev cap ngun tùy ý, moi liên h¾ giua tốn biên liên hop hình thúc tốn liên hop (theo nghĩa giái tích hàm) Lu¾n văn mang tính tong quan tơi làm rõ chi tiet hóa chúng minh cna m®t so đ%nh lý, bo đe Chương Do han che ve so trang cna mđt Luắn nên Chương tơi chí chn yeu trình bày sn mó r®ng nêu sn khái qt hóa ket Chương cho trưòng hop nhieu chieu mà khơng nêu chúng minh chi tiet Do thòi gian có han chưa có kinh nghi¾m cơng tác làm nghiên cúu khoa hoc nên khơng tránh khói nhung thieu sót Rat mong đưoc sn đóng góp ý kien cna thay giáo ban đoc Trưóc ket thúc khóa lu¾n tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành nhat tói thay giáo khoa tốn, đ¾c bi¾t TS Tran Văn Bang ngưòi t¾n tình chí báo giúp đõ tác giá suot thòi gian qua đe tác giá có the hồn thành khóa lu¾n Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Manh Hùng (2008), Phương trình đao hàm riêng tuyen tính, NXB Đai hoc Sư Pham Hà N®i [2] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giái tích hàm, NXB ĐHQG Hà N®i [3] Tran Đúc Vân (2005), Lý thuyet phương trình vi phân đao hàm riêng, NXB ĐHQG Hà N®i [B] Tài li¾u tieng Anh [4] R A Adams (1975), Sobolev spaces, Academic Press [5] V.A Kozlov, V.G Maz’ya, J Rosmann (1991), Elliptic boundary value problems in domains with point singularities, Mathematical surveys or monographs, Vol 52, American Mathematical Society [6] N.V Krylov (1996), Lectures on Elliptic and Parabolic equations in Hăolder spaces, Graduate Studies in Mathematics, Vol 12, American Mathematical Society ... cna m®t lóp tốn biên elliptic cap 2m núa truc, núa không gian không gian Sobolev thích hop Chương Bài tốn biên đoi vái phương trình vi phân thưàng nNa trnc Chương đe c¾p đen tốn biên cho phương... giái đưoc cna tốn biên elliptic núa khơng gian 44 2.2.1 Khơng gian Sobolev hàm tuan hồn 2.2.2 Toán tú vet 2.3 38 44 46 2.2.3 Tính elliptic cna toán biên ... tốn biên elliptic khơng gian Sobolev cap nguyên tùy ý 51 2.3.1 Không gian Sobolev cap âm 51 2.3.2 Công thúc Green núa không gian 52 2.3.3 Thác trien cna toán