Các toán tử tuyến tính không gian bị chặn trong không gian Hilbert và phổ của chúng

Lài cám ơn Em xin chân thành cám ơn Phòng sau Đai hoc; Các thay giáo, cô giáo Khoa Tốn tồn the anh ch% em hoc viên khóa 13 chun ngành Tốn giái tích Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, đ®ng viên giúp đõ đe tác giá có đieu ki¾n tot nhat suot q trình thnc hi¾n đe tài nghiên cúu khoa hoc Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng cám ơn sâu sac tói PGS TS Nguyen Năng Tâm đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình chí báo giúp đõ em hồn thành Lu¾n văn Do thòi gian kien thúc có han nên Lu¾n văn khơng tránh khói nhung han che có thieu sót nhat đ%nh Em xin chân thành cám ơn nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, giáo ban hoc viên Hà N®i, tháng 12 năm 2011 Tác giá Nguyen Sơn Tùng Lài cam đoan Tác giá xin cam đoan, dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna PGS TS Nguyen Năng Tâm, Lu¾n văn Thac sy chun ngành Tốn giái tích vói đe tài "Các tốn tN tuyen tính khơng b% ch¾n khơng gian Hilbert cúa chúng" đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc cna bán thân tác giá, khơng trùng vói bat cú Lu¾n văn khác Trong q trình nghiên cúu thnc hi¾n Lu¾n văn, tác giá ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn! Hà N®i, tháng 12 năm 2011 Tác giá Nguyen Sơn Tùng Mnc lnc Báng ký hi¾u Lài nói đau Chương Các tốn tN tuyen tính khơng b% ch¾n khơng gian Hilbert .8 1.1 M®t so van đe bán ve tốn tỳ tuyen tớnh b% chắn 10 1.1.1 Mđt so khái ni¾m 10 1.1.2 Lý thuyet cna tốn tú tuyen tính b% ch¾n 14 1.2 Tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n tốn tú liên hop khơng gian Hilbert cna chúng 18 1.3 Tốn tú liên hop khơng gian Hilbert, tốn tú tuyen tính đoi xúng tốn tú tuyen tính tn liên hop 21 1.4 Tốn tú tuyen tính đóng bao đóng 22 Chương Pho cúa tốn tN tuyen tính khơng b% ch¾n khơng gian Hilbert 25 2.1 Tính chat cna tốn tú tn liên hop 25 2.2 Bieu dien cna toán tú unita .30 2.3 Bieu dien cna tốn tú tuyen tính tn liên hop 39 2.4 Toán tú nhân toán tú vi phân 45 Chương Tốn tN khơng b% ch¾n hoc lưang tN 53 3.1 Ý tưóng bán 53 3.2 Toán tú moment nguyên lý bat đ%nh Heisenberg .57 3.3 Phương trình Schroudinger 63 3.4 Toán tú Hamilton 65 Ket lu¾n 72 Tài li¾u tham kháo 73 BÁNG KÝ HIfiU AC phan bù cna t¾p hop A B(X, Y ) khơng gian tốn tú tuyen tính b% ch¾n B(x; r) hình cau mó B(x; r) hình cau đóng C m¾t phang phúc ho¾c trưòng so phúc Cn khơng gian đơn v% n chieu C[a, b] không gian hàm liên tuc C(X, Y ) khơng gian tốn tú tuyen tính compact D(T ) mien xác đ%nh cna toán tú T dim X chieu cna không gian X C = (Eλ) ho "f" G(T ) TI chuan cna phiem hàm tuyen tính b% ch¾n f đo th% cna tốn tú tốn tú đơn v% inf infimum (c¾n dưói lón nhat) Lp[a, b] không gian hàm lp không gian dãy L(X, Y ) khơng gian tốn tú tuyen tính N(T ) khơng gian khơng cna tốn tú T tốn tú khơng Ø t¾p hop rong R đưòng thang thnc ho¾c trưòng so thnc Rn không gian Euclid n chieu R(T ) mien giá tr% cna toán tú T Rλ(T ) giái thúc cna tốn tú T rσ(T ) bán kính cna tốn tú T ρ(T ) t¾p hop giái cna toán tú T σ(T ) cna toán tú T σc(T ) liên tuc cna toán tú T σp(T )pho điem cna T σr(T ) th¾ng dư sup supremum (c¾n nhó nhat) "T " chuan cna tốn tú tuyen tính b% ch¾n T T∗ tốn tú liên hop khơng gian Hilbert Var(w) bien phân tồn phan cna w X∗ không gian đai so đoi ngau cna không gian vectơ X Xr không gian đoi ngau cna không gian đ%nh chuan X "X" chuan cna X (x, y) tích cna x y x ⊥ y x trnc giao vói y Y⊥ phan bù trnc giao cna khơng gian đóng Y Má đau Lý chon đe tài Giái tích hàm m®t mơn hoc rat lý thú cna Tốn hoc, có nhieu úng dung v¾t lý nhieu lĩnh vnc khác cna Toán hoc (xem [5], [6], [7], [8], [9]) Tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n xuat hi¾n nhieu úng dung, đáng ý sn liên quan đen phương trình vi phân hoc lưong tú Lý thuyet cna chúng phúc tap so vói tốn tú b% ch¾n Thnc te, lý thuyet cna tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n đưoc khơi nguon vào cuoi nhung năm 1920 nhò sn no lnc đ¾t hoc lưong tú m®t nen táng tốn hoc xác Sn phát trien có h¾ thong cna lý thuyet J Neumann (1929-30, 1936) M H Stone (1932) Úng dung cna lý thuyet vào phương trình vi phõn cho ta mđt cỏch tiep cắn thong nhat vói van đe đa dang đòi hói sn đơn gián hóa đáng ke Vói mong muon đưoc nghiên cúu tìm hieu sâu sac ve van đe bưóc đau tiep c¾n vói cơng vi¾c nghiên cúu khoa hoc, em chon đe tài “ Các tốn tN tuyen tính khơng b% ch¾n khơng gian Hilbert cúa chúng” Mnc đích nghiên cNu Bưóc đau giúp em làm quen vói cơng vi¾c nghiên cúu khoa hoc tìm hieu sâu ve Giái tích hàm, tù hình thành tư logic ắc thự cna bđ mụn Khac sõu cỏc kien thúc ve tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n khơng gian Hilbert cna chúng Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu ve tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n tốn tú liên hop khơng gian Hilbert cna chúng, tốn tú tuyen tính đoi xúng tốn tú tn liên hop, tốn tú tuyen tính đóng bao đóng, tính chat cna tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n khơng gian Hilbert úng dung cna chúng hoc lưong tú Đoi tưang pham vi nghiên cNu Các tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n khơng gian Hilbert cna chúng Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu lý lu¾n, phân tích, tong hop, đánh giá DN kien đóng góp mái Trình bày m®t cách có h¾ thong chúng minh chi tiet ve van đe liên quan đen toán tú tuyen tính khơng b% ch¾n khơng gian Hilbert cna chúng Chương Các tốn tN tuyen tính khơng b% ch¾n khơng gian Hilbert Phan đau cna chương se trình bày m®t so van đe ve tốn tú tuyen tính b% ch¾n liên quan trnc tiep đen phan sau cna lu¾n văn Tiep theo trình bày ve tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n tốn tú liên hop khơng gian Hilbert cna chúng; tốn tú liên hop khơng gian Hilbert, tốn tú tuyen tính đoi xúng tốn tú tuyen tính tn liên hop; tốn tú tuyen tính đóng bao đóng Trưóc het, trình bày m®t so khái ni¾m bán can thiet sau: Đ%nh nghĩa 1.1 (xem [3]) Không gian đ%nh chuan (hay không gian tuyen tính đ%nh chuan) khơng gian tuyen tính X trưòng K (K có the R ho¾c C) cựng vúi mđt ỏnh xa tự X vo K, kí hi¾u "·" đoc chuan, thóa mãn tiên đe sau đây: 1) (∀x ∈ X) "x" ≥ 0, "x" = ⇔ x = θ (ký hi¾u phan tú khơng θ); 2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ K) "αx" = |α| "x"; 3) (∀x, y ∈ X) "x + y" ≤ "x" + "y" So "x" goi chuan cna vector x Ta ký hi¾u khơng gian đ%nh chuan (X, "·") Neu X chí trang b% mđt chuan ta cú the ký hiắu l X Các tiên đe 1), 2), 3) goi h¾ tiên đe chuan Phan tú cna K goi vô Bây giò ta có the viet (3.27) dưói dang h2 ψ = Eψ − ∆+ 8π m V (3.28) Bieu thúc dang làm náy sinh rang cú the cap đ nng long cna hắ se phu thu®c vào cna tốn tú đưoc xác đ%nh bói ve trái cna (3.28) 3.4 Toán tN Hamilton Trong hoc co đien, m®t nghiên cúu só cna mđt hắ bỏo ton cna hat l trờn hm Hamilton cna h¾, lưong tong H = Ekin + V (3.29) (Ekin đ®ng năng, V the năng) đưoc bieu dien nhung so hang cna toa đ® v% trí toa đ® đ®ng lưong Giá sú rang h¾ có n cap tn do, có n toa đ® v% trí q1, q2, , qn n toa đ đng long p1, p2, , pn Trong viắc xem xét hoc lưong tú cna h¾ ta xác đ%nh H (p1, p2, , pn; q1, q2, , qn) Đây bưóc đau tiên Trong bưóc thú hai, ta thay moi pj bói tốn tú moment Dj : D (Dj ) −→ L2 (Rn ) h ∂ψ , ψ −→ 2πi ∂qj (3.30) D (Dj ) ⊂ L2 (Rn) Hơn nua, ta thay moi qj bói tốn tú v% trí Qj : D (Qj ) −→ L2 (Rn ) ψ −→ qj ψ, (3.31) D (Qj ) ⊂ L2 (Rn) Tù hàm Hamilton H ó ta thu đưoc tốn tú Hamilton, ký hi¾u H, nghĩa H (D1, , D2; Q1, , Qn) H (p1, p2, , pn; q1, q2, , qn) vói pj đưoc thay bói Dj qj đưoc thay bói Qj Theo đ%nh nghĩa, H đưoc giá sú tn liên hop Quá trình thay the đưoc goi quy tac lưong tú hóa Chú ý rang q trình khơng phái nhat, phép nhân giao hốn vói so khơng nhat thiet vói tốn tú Đây m®t nhung tính yeu cna hoc lưong tú Phương trình (3.28) có the đưoc viet bang vi¾c sú dung tốn tú Hamilton H Thắt vắy, đng nng cna mđt hat cú khoi lưong m không gian m m 2 2 p1 + p2 + p3 = v1 + v2 + v3 |v| 2m = 2 Theo quy tac lưong ó ve phái ta thu đưoc tú hóa, tù.bieu thúc 1 h ∂ h2 D2 2m j=1 j = πi 2m ∂q = − j= j 8π m ∆ Do v¾y (3.28) có the đưoc viet Hψ = λψ, (3.32) λ = E long Neu thuđc hop giỏi cna H, thỡ t¾p hop giái cna H ton tai (3.32) chí có nghi¾m tam thưòng, đưoc xét L2 (Rn) Neu thuđc iem p(H), thỡ (3.32) cú nghiắm khụng tam thưòng ψ ∈ L2 (Rn) Pho th¾ng dư σr(H) rong H tn liên hop Neu λ ∈ σc(H), liên tuc cna H, (3.32) khơng có nghi¾m ψ ∈ L2 (Rn), ψ ƒ= Tuy nhiên trưòng hop này, (3.32) có the có nghiắm khỏc khụng thuđc L2 (Rn) v phu thuđc vào m®t tham so tương úng mà ta có the thnc hi¾n phép tính tích phân thu đưoc ψ ∈ L2 (Rn) Trong v¾t lý, ta nói rang q trình lay tích phân ta tao nhung túi sóng Lưu ý rang trưòng hop này, H (3.32) bieu th% m®t mó r®ng cna tốn tú ban đau thóa mãn hàm dưói đieu ki¾n xem xét mien xác đ%nh cna tốn tú đưoc mó r®ng Q trình có the đưoc giái thích nhung so hang cna hắ vắt lý sau Ta xột mđt hat tn có khoi lưong m (−∞, +∞) Hàm Hamilton p , 2m H(p, q) = nên ta thu đưoc toán tú Hamilton H(D, Q) = Do (3.32) tró thành h2 2m D =− h2 Hψ = − 8π m d2 8π 2m dq2 ψ rr = λψ, (3.33) λ = E lưong Nghi¾m đưoc cho bói η(q) = e−ikq, (3.34) tham so k liên h¾ vói lưong bói λ=E= h 2k 8π 2m Các hàm η bây giò có the sú dung đe bieu dien bat kỳ ψ ∈ L2 (−∞, +∞) m®t túi sóng có dang ψ(q) = π ¸ a √ lim aϕ(k)e ∞ − −ikq ¸ lim ϕ(k) = √ b→∞ π −b b ψ(q) e −ik q dk, dq (3.35) (3.36) Các giói han chuan cna L2 (−∞, +∞) [tương úng vói q (3.35) k (3.36)], mđt giúi han nh vắy cng oc goi giói han trung bình Cơng thúc (3.35), (3.36) vói giá thiet bán đưoc goi đ%nh lý Fourier-Plancherel, đưoc nói đen phan 3.2 Tham kháo N Dunford, J T Schwarz (1958-71), phan 2, trang 974, 976 Mú rđng viắc xem xột vúi mđt hat tn có lưong m khơng gian 3-chieu sau Thay cho (3.33) ta có h2 Hψ = − ∆ψ = λψ (3.37) 8π m vói ∆ phan trưóc Nghi¾m sóng phang bieu dien bói η(q) = e−ik−q, (3.38) q = (q1, q2, q3), k = (k1, k2, k3) k.q = k1q1 + k2q2 + k3q3, lưong h2 k.k λ=E = (3.39) 8π2 m Vói m®t ψ ∈ L2 R3 đ%nh lý Fourier-Plancherel cho ta ¸ ψ(q) ϕ(k)e−ik−qdk, = (2π) R3 (3.40) /2 ϕ(k) = ¸ (2π) /2 ψ(q)e−ik−qdq, R3 (3.41) tích phân lai đưoc hieu giói han trung bình cna tích phân tương úng mien huu han khơng gian 3-chieu *Ví dn (Dao đ®ng đieu hòa): Hàm Hamilton cna dao đ®ng đieu hòa H = p2 + mω02q2 2m Do tốn tú Hamilton ω0 H= 2 2 + Q α α2 α = mω0 (3.42) D Đe rút gon công thúc vi¾c xem xét sau, ta đ%nh nghĩa iD β = A = β αQ α h + (3.43) Toán tú liên hop không gian Hilbert A∗ = β i αQ − D α Theo (3.19), (a) A∗ A = (b) AA = ∗ π α Q2 + h α2 π α Q2 + − (3.44) h 2π I˜ h + I˜ 2π , (3.45) h α2 Do AA∗ − A∗ A = I˜ (3.46) Tù (3.45)(a) (3.42), H= ω0h A∗ A + 2π (3.47) I˜ Goi λ m®t giá tr% riêng cna H ψ m®t hàm riêng Khi ψ ƒ= Hψ = λψ Theo (3.47), 2πλ λ˜ = − A∗ Aψ = λ˜ψ, (3.48) ω 0h AA∗ (Aψ) = λ˜Aψ Áp dung cho A đưoc Bên ve trái, AA∗ = A∗ A + I˜ theo (3.46) Do A∗ A(Aψ) = λ˜ − Aψ Tương tn, theo sn áp dung khác cna A, A∗ A A2 ψ = λ˜ − A2 ψ sau j bưóc A∗ A Aj ψ = λ˜ − j Aj ψ (3.49) Ta phái có Ajψ = vói j đn lón; bói vì, trái lai neu lay tích theo Ajψ cá hai ve cna (3.49) ta có vói moi j j A ψ, A∗ A Aj ψ = Aj+1 ψ, Aj+1 ψ = λ˜ − j Aj ψ, Aj ψ , nghĩa 99 A λ˜ − j = ≥ (3.50 ) "Ajψ" vói moi j, khơng the λ˜ m®t so bat đ%nh Do ton tai m®t so n ∈ N thóa mãn Anψ ƒ= Ajψ = vói j > n, đ¾c bi¾t An+1ψ = Do đó, vói j = n ta thu đưoc tù thúc (3.50) λ˜ − n = 10 Tù (3.48), ω = 2πv, nên ω0h = hv n + 1 λ = + 2πn 2 Trong chương giái thích m®t so van đe hoc lưong tú liên quan đen tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n Đ¾c bi¾t nguyờn lý bat %nh Heisenberg v phng trỡnh Schrăoudinger Chỳng ta trình bày hai tốn tú noi b¾t tốn tú moment tốn tú Hamilton Ket lu¾n Luắn ó trỡnh by mđt so van e sau đây: Chương 1: Trình bày ngan gon m®t so van đe khái ni¾m, tính chat bán cna tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n khơng gian Hilbert vói ví du minh hoa Chương 2: Trình bày nhung van đe bán ve cna tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n khơng gian Hilbert tính chat, sn bieu dien, đong thòi giúi thiắu Chng 3: Trỡnh by mđt cỏch ngan gon nhung lý thuyet bán ve tốn tú khơng b% ch¾n hoc lưong tú Cu the là: Tốn tỳ moment v nguyờn lý, Phng trỡnh Schrăoudinger v toỏn tú Hamilton Hưóng nghiên cúu tiep theo nhung van đe mó lý thuyet khung Vói pham vi thòi gian có han chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu xót Mong q thay ban đong nghi¾p góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Đ¾u The Cap (2003), Giái tích hàm, NXB Giáo duc, HN [2] Dương Minh Đúc (2000), Giái tích hàm, NXB Đai Hoc Quoc Gia TP HCM [3] Nguyen Phu Hy (2006), Giái tích hàm, NXB Khoa hoc ky thu¾t, HN [4] Hồng Tuj (2005), Hàm thnc giái tích hàm, NXB ĐHQG, HN [B] Tài li¾u tieng Anh [5] W Arverson (2002), A short course on Spectral Theory Graduate Texts in Mathematics 209, Springer-Verlag, New York [6] Lokenath Debnath and Piotr Mikusinski (1990), Hilberts spaces with applications, Acadimic Press, USA [7] R G Douglas (1972), Banach Algebra echniques in Operator Theory, Academic Press, New York [8] Erwin Kreyszig (1989), Introductory functional analysis with applications, John Wiley and Sons, Inc [9] P.D Lax (2002), Functional Analysis, John Wiley and Sons, Inc ... tốn tú tuyen tính b% ch¾n 14 1.2 Tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n tốn tú liên hop không gian Hilbert cna chúng 18 1.3 Toán tú liên hop khơng gian Hilbert, tốn tú tuyen tính đoi xúng... tốn tú tuyen tính b% ch¾n T T∗ tốn tú liên hop khơng gian Hilbert Var(w) bien phân tồn phan cna w X∗ khơng gian đai so đoi ngau cna không gian vectơ X Xr không gian đoi ngau cna không gian đ%nh... ve toán tú tuyen tính khơng b% ch¾n khơng gian Hilbert cna chúng Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu ve tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n tốn tú liên hop khơng gian Hilbert cna chúng, tốn tú tuyen tính