Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

LèI CÁM ƠN Em xin chân thành cám ơn Thay giáo Nguyen Văn Tun t¾n tình hưóng dan, giúp đõ em suot thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n Em xin chân thành cám ơn thay, cô to giái tíchkhoa Tốn, trưòng Đai hoc sư pham H Nđi ó tao moi ieu kiắn giỳp em hồn thành khóa lu¾n Em xin chân thành cám ơn gia đình ban bè tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho em q trình thnc hi¾n khóa lu¾n Em xin chân thành cám ơn! Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Tran Th% Phưong i LèI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna Thay Nguyen Văn Tun khóa lu¾n tot nghi¾p “Bat thNc bien phân khơng gian Hilbert” đưoc hồn thành khơng trùng vói bat kỳ đe tài khác Trong q trình hồn thành khóa lu¾n, em thùa ke nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Tran Th% Phưong ii Mnc lnc Má đau 1 Bat thNc bien phân Rn 1.1 Các đ%nh lý điem bat đ®ng 1.2 ắc trng cna hỡnh chieu trờn mđt loi 1.3 Đ%nh lý thú nhat ve bat thúc bien phân 1.4 Bat thúc bien phân .11 1.5 M®t so tốn dan tói bat thúc bien phân 14 Bat thNc bien phân khơng gian Hilbert 18 2.1 Dang song tuyen tính 18 2.2 Sn ton tai nghi¾m 19 2.3 Sn ch¾t cut .23 2.4 Không gian Solobev toán biên 24 2.5 Nguyên lý cnc đai yeu 31 Ket lu¾n 37 Tài li¾u tham kháo 38 iii Mé ĐAU Lý chon đe tài Bài toán bat thúc bien phân (Variational Inequality Problem) đòi vào nhung năm 1960, gan lien vói cơng trình cna G Stampacchia, J L Lions G Fichera [24, 30] Hi¾n nay, tốn bat thúc bien phân đưoc phát trien thành nhieu dang khác nhau, ví du: bat thúc bien phân vector, tna bat thúc bien phân, giá bat thúc bien phân, bat thúc bien phân an, bat thúc bien phân suy r®ng Bài tốn thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà toán hoc mơ hình cna chúa nhieu tốn quan cna m®t so lĩnh vnc khác tốn hoc trưòng hop riêng, ví du: toi ưu hóa, lý thuyet trò chơi, cân bang Nash, cân bang mang giao thông Trong nhung năm gan đây, tốn mó r®ng cna tốn bat thúc bien phân toán cân bang thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu ngưòi, chang han: A N Iusem, W Sosa [14], P Q Khanh N X Hai [6], M Bianchi S Schaible [20] Trong khóa lu¾n này, chúng tơi h¾ thong lai m®t so ket q liên quan tói bat thúc bien phân khơng gian Hilbert Khóa lu¾n đưoc chia thành hai chương Chương h¾ thong lai ket ve bat thúc bien phân không gian Rn m®t so tốn dan tói bat thúc bien phân Chương trình bày ket liên quan đen bat thúc bien phân khơng gian Hilbert moi liên h¾ cna tốn vói m®t so tốn khác, ví du: toán biên, nguyên lý cnc đai yeu 2 Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu ve bat thúc bien phân khơng gian Hilbert moi liên h¾ vúi mđt so bi toỏn khỏc Nhiắm nghiờn cNu Nghiên cúu ket bán ve bat thúc bien phân toán dan đen bat thúc bien phân Nghiên cúu ve bat thúc bien phân không gian Hilbert moi liên hắ vúi mđt so bi toỏn khỏc Phng phỏp nghiên cNu Tra cúu tài li¾u, tong hop theo sn chí đao cna ngưòi hưóng dan đe hồn thành muc tiêu đe Cau trúc khố lu¾n Ngồi phan mó đau, ket lu¾n, danh muc tài li¾u tham kháo khố lu¾n bao gom chương: Chương 1: Bat thúc bien phân Rn Chương 2: Bat thúc bien phân không gian Hn Chương Bat thNc bien phân Rn 1.1 Các đ%nh lý điem bat đ®ng Lý thuyet điem bat đ®ng m®t nhánh cna tốn hoc, nhieu van đe cna giái tích có the đưoc giái quyet bang đ%nh lý ve điem bat đ®ng M®t so ket ve ton tai iem bat đng noi tieng ó xuat hiắn tù đau the ký XX, phái ke đen nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer(1912) nguyên lý ánh xa co Banach(1922) Các ket kinh đien đưoc mó r®ng lóp ánh xa khơng gian khác Đ%nh nghĩa 1.1 Cho F m®t ánh xa tù t¾p A vào nó, F : A → A Điem x ∈ A đưoc goi điem bat đ®ng cna F neu F (x) = x Nói cách khác, điem bat đ®ng cna F nghi¾m cna phương trình F (x) = x Đ%nh nghĩa 1.2 Cho (S, d) không gian metric Ánh xa F : S → S đưoc goi m®t ánh xa co neu ton tai hang so a ∈ [0, 1) cho d(F (x), F (y)) ≤ ad(x, y), ∈ S xa F đưoc goi ánh xa không giãn x, y (1.1) Khi a = 1, ánh Đ%nh lý 1.1 Cho S không gian metric đay F : S → S m®t ánh xa co Khi đó, ánh xa F có nhat m®t điem bat đ®ng Chúng minh Lay x0 ∈ S bat kỳ l¾p dãy xn = F (xn−1) ∀n = 1, 2, Ta có: d(x2, x1) = d(F (x1), F (x0)) ≤ ad(x1, x0) = ad(F (x0, x0)) d(x3, x2) = d(F (x2), F (x1)) ≤ ad(x2, x2) ≤ a2d(F (x0, x0)) n d(xn+1, xn) = d(F (xn), F (xn−1)) ≤ ad(xn, xn−1) d(F (x0, x0)), ≤a vói n = 1, 2, Vói bat kỳ n, p = 1, 2, sú dung bat thúc tam giác liên tiep p lan ta đưoc p p d(xn+p, xn) ≤ (x0, x0)) a k=1 n k=1 n+p =a −a 1−a Vì n+k−1 d(xn+k, xn+k−1) ≤ d(F a < nên lim ≤ n→∞ d(F (x0), x0) an d(F (x0), ≤ 1− x0) a an = Suy d(xn+p, lim x n→∞ n ) = ∀p ∈ N∗ , xn = x¯ ∈ S Ta có nghĩa dãy {xn} dãy bán Vì S không gian đay nên ton tai lim n→∞ d(F (x¯), x¯) ≤ d(F (x¯), xn ) + d(xn , x¯) = d(F (x¯), F (xn−1 )) + d(xn , x¯) ≤ ad(xn−1 , x¯) + d(xn , x¯), ∀n = 1, 2, cho n → ∞ ta đưoc d(F (x¯), x¯) = hay F x¯, nghĩa là điem x¯ (x¯) = bat đ®ng cna ánh xa F *ChNng minh nhat Giá sú ton tai điem x¯r ∈ S điem bat đ®ng cna ánh xa F Ta có d(x¯, x¯r ) = d(F x¯, F x¯r ) ≤ ad(x¯, x¯r ) ⇒ (1 − a)d(x¯, x¯r ) ≤ ≤ a < ⇒ d(x¯, x¯r ) = Suy ra: x¯ = x¯r Vì v¾y x¯ điem bat đ®ng nhat cna F Chú ý rang đ%nh lý khơng F ánh xa khơng giãn Chang han, m®t phép t%nh tien tù khơng gian tuyen tính vào m®t ánh xa khơng giãn khơng có điem bat đ®ng Đ%nh lý.1.2 (Đ%nh lý Brouwer) Cho F ánh xa liên tnc tù hình cau ⊂ Rn vào Khi đó, ánh xa F có điem bat đng úng nhat 1.2 ắc trng cỳa hỡnh chieu trờn mđt loi Trong phan ny, chỳng ta xột phộp chieu lờn mđt loi khụng gian Hilbert H trưòng so thnc Chú ý rang, chúng minh tương tn trưòng hop H khơng gian huu han chieu Bo đe 1.1 Giá sú K l mđt loi úng cỳa khụng gian Hilbert H Khi đó, vói moi x ∈ H se ton tai nhat y ∈ K cho: "x − y" = inf "x − η" (1.2) η∈K Chúng minh Kí hi¾u d := inf "η − x" Theo tính chat cna infimum ton η∈K tai dãy {ηk} ∈ K cho lim "ηk − x" = d = inf "η − x" k→∞ η∈K (1.3) "x + y"2 + "x − y" Ta có , x, y ∈ H = 2"x + 2 2"y" " Do đó, ta có "x − ηk" + "x − ηh "ηk − ηh"2 = 2 − 4"x − 1/2(ηk + ηh)" (1.4) " Vì K t¾p loi nên 1/2(ηk + ηh) ∈ K d2 ≤ "x − 1/2(ηk + η"h) Do "ηk − ηh" ≤ 2"x − + "x − ηh − 4d2 ηk" " Tù (1.3) ta có: lim "ηk − ηh" = Vì H đay nên có y ∈ K mà lim ηk = y k,h→∞ k→∞ Hơn nua "x − y" = lim "x − ηk" = d k→∞ De thay y nhat Th¾t v¾y, giá sú có phan tú y, yr ∈ K thóa mãn (1.2) Trong (1.4) ta thay ηk bói y, ηh bói yr đưoc: r r 2 "y − y " = 2"x − y" + 2"x − y" r − 4"x − 1/2(y + y )" ≤ 4d2 − 4d2 = Hay y = yr Nh¾n xét 1.1 Các điem thóa mãn (1.2) đưoc goi chân hình chieu cna x lên K kí hi¾u P rKx Ta viet: y = P rK x Chú ý: P rK x = x, ∀x ∈ K Đ%nh lý 1.3 Giá sú K l mđt loi, úng cỳa khụng gian Hilbert M®t tốn Dirichlet tong qt −∆u + λu = f Ω, u = g ∂Ω M®t lan nua nhân cá ve cna phương trình vói ζ ∈ H1(Ω) lay tích phân tùng phan dan tói tốn Bài tốn 2.4 Tìm u ∈ M = {v ∈ H1(Ω) : v − g ∈ H1(Ω)} cho a(u, ζ) = (f, ζ) vói ζ ∈ H1(Ω) Trong ¸ ¸ vζdx vói a(v, ζ) = vxj ζxj dx + λ H1 Ω v, ζ ∈ (Ω) Ω Chúng ta thay rang, a(v, ζ) thóa đieu ki¾n búc H (Ω) vói đieu ki¾n λ > −1/β, β hang so cna bat thúc cna Poincare Thnc v¾y, vói t ∈ (0, 1), ¸ ¸ ¸ 2 a(v, v) = vx dx + (1 − vx dx + λ v2dx t Ω t) ¸ Ω ¸ Ω ≥ t vx2dx + [(1/β) − (t/β) v2dx + λ] Ω Ω Chon t, < t < 1, cho < t < β[( β ) + λ] = + βλ Khi đó, a(v, v) ≥ t"v"H0(Ω ) Tù sau này, ví du trưóc đó: Bài tốn Dirichlet có nghi¾m nhat Bài toán 2.5 (Bài toán Neumann) Khi ∂Ω, f, g trơn tốn co đien đưoc phát bieu sau: tìm m®t hàm u cho −∆u + λu = f Ω, ∂u/∂n = g ∂Ω, vói ∂/∂n đao hàm theo hưóng pháp tuyen cúa ∂Ω Nhân cá hai ve cna phương trình vói ζ ∈ C1(Ω) lay tích phân tùng phan ta đưoc ¸ ¸ gζdx, (2.13) a(u, ζ) = fζdx + Ω Ω ¸ ¸ a(u, ζ) = uxiζxidx + λ Ω uζdx Ω Bang cách chon λ > α = min(1, λ), ta có a(v, v) ≥ α"v" H (Ω) Tuy nhiên, neu α = dang a(u, v) khơng thóa đieu ki¾n búc trưòng hop Bài tốn Neumann khơng phái lúc có nghi¾m có nghi¾m nghi¾m khơng phái nhat Bài toán 2.6 (bài toán hon hap) Giá sú ∂Ω = ∂1Ω ∪ ∂2Ω vói ∂1Ω ∩ ∂2Ω = ∅ Bài toán hon hop đưoc phát bieu sau −∆u + λu = f u = ∂1Ω, Ω, (2.14) ∂u/∂n = ∂2Ω Vói λ > 0, tốn tú −∆ + λ cho ta m®t dang song tuyen tính thóa đieu ki¾n búc H1(Ω), thay ó Neu λ = dang van thóa đieu ki¾n búc mien ∂1(Ω) đn lón cu the, neu ∂1(Ω) đn lón đám báo sn ton tai cna β > cho ¸ ¸ ∞ ζ2dx ≤ β ζ dx vói ζ ∈ C (Ω), x Ω Ω thóa mãn = trờn Mđt ieu kiắn n cho đieu Ω trơn liên thông là: ∂1(Ω) có phan khác rong ∂Ω Đ%nh lý 2.3 Cho Ω m®t mien cúa Rn có biên trơn, giá sú rang u ∈ H1(Ω) : −∆u = f Ω Neu f ∈ H m,s (Ω) u ∈ Hm+2,s(Ω), < s < ∞ Tat nhiên, bieu thúc “−∆u = f Ω” có nghĩa ¸ ¸ fζdx, uxj ζxj dx = Ω vói ζ ∈ C∞(Ω) Ω Chúng minh cna đ%nh lý tham kháo cna Morrey 2.5 Nguyên lý cNc yeu Giỏ sỳ l mđt mien b% chắn, liên thơng cna Rn vói biên ∂Ω Đ%nh nghĩa 2.7 Cho u ∈ H1(Ω) E ⊂ Ω Hàm u khơng âm E theo nghĩa cna H1(Ω), ho¾c ngan gon u ≥ E H1(Ω), neu ton tai m®t dãy {un} ∈ H1,∞(Ω) cho un(x) ≥ vói x ∈ E,un → u H1(Ω) (2.15) Neu −u ≥ E H1(Ω) u không dương E H1(Ω) hay u ≤ E H1(Ω) Neu u ≥ E H1(Ω) u ≤ E H1(Ω) nói rang u = E H1(Ω) Tương tn v¾y, nói rang u ≤ v E H1(Ω) neu v − u ≥ E H1(Ω) vói phan tú u, v ∈ H1(Ω) Đ¾c bi¾t, v có the hang so, đieu dan tói đ%nh nghĩa sup u = inf{M ∈ R : u ≤ M E H1(Ω)} E Chúng ta so sánh khái ni¾m “≥” H1(Ω) “≥” H1(Ω) M¾nh đe 2.1 Cho Ω ⊂ Rn b% ch¾n, E ⊂ ∂Ω u ∈ H1(Ω) (i) Neu u ≥ E H1(Ω) u ≥ E h.k.n (ii)Neu u ≥ E Ω h.k.n u ≥ Ω H1(Ω) (iii) Neu u ∈ H1(Ω) u ≥ Ω h.k.n ton tai m®t dãy {un} ∈ 1, H0 ∞ (Ω), cho un ≥ Ω un → u H (Ω) (iv) Neu E mó Ω u ≥ h.k.n E, u ≥ K theo nghĩa cúa H1(Ω) vói bat kỳ t¾p compact K ⊂ E Chỳng minh (i) õy l mđt hắ quỏ cna sn h®i tu h.k.n tói u cna m®t dãy cna m®t dãy tùy ý u h®i tu tói u L2(Ω) (ii) Cho ∈ H1,∞(Ω) thóa mãn → u H1(Ω) Ω h.k.n theo tùng điem, max(vn, 0) ≥ u = max(u, 0) Ω h.k.n, "max(vn, 0) − u"L2(Ω) = "max(vn, 0) − max(u, 0)"L2(Ω) ≤"vn − u"L2(Ω) → n → ∞ Tù ¸ ¸ Ω Ω 2 max (vn, 0)x dx ≤ dx ≤ C, x dãy max(vn, 0) chúa m®t dãy h®i tu yeu H1(Ω) tói phan tú u nói ó Theo nh¾n xét cna m¾nh đe trưóc, u ≥ Ω H1(Ω) 1,∞ (iii) Chúng minh tương tn (ii) Bat đau vói ∈ H (Ω) (iv) Cho K compact E, lay ζ ∈ C∞(Rn) thóa mãn 0 ζ = {x : dist(x, K) dist(R − E, K)}, ≤ 1n n ζ = R − E, ≤ ζ ≤ Cho, ϕε(x) m®t ho vói cách làm giám vói giá ϕε ⊂ ε(0) n(x) = u n (x) = u(y)n (x − y)dy, εn (0) εn → đơn đi¾u ε0 < 21 dist(K, Rn − E) Do ωn ≤ K Cho ∈ H1,∞(Ω) thóa mãn → u H1(Ω), un = ζω n + (1 − ζ)vn dãy can tìm M¾nh đe 2.2 Cho u ∈ H1(Ω) giá sú rang sup u = M = inf{m ∈ R : u ≤ m ∂Ω H1(Ω)} < +∞ ∂Ω Khi đó, vói bat kỳ k ≥ M, max(u − k, 0) ∈ H1(Ω) max(u − k, 0) ≥ Ω H1(Ω) Chúng minh Đe chúng minh max(u − k, 0) ∈ H1(Ω) ta chúng minh đieu ki¾n tương đương Có nghĩa là, ta chúng minh ton tai m®t dãy ∈ H0 (Ω) mà 1,∞ yeu −−→ max(u − k, 0) H (Ω) Theo giá thuyet, vói bat kỳ ε ≥ 0, có the tìm đưoc m®t dãy uεn ∈ C1(Ω) cho k− uε + ε > ∂Ω n k− n + ε → k − u + εtrong H1(Ω) n → ∞ uε Tù đó, ta chon ε = 1/n, uε n = un, ta có k + (1/n) − un > ∂Ω un → u H1(Ω) Do đó, hàm Lipschitz = max(un − (1/n) − k, 0) có giá compact Ω Hơn nua yeu −−→ max(u − k, 0) H1 (Ω) Do đó, max(u − k, 0) ∈ H1(Ω) Chú ý rang max(u−k, 0) ≥ h.k.n Ω, max(u−k, 0) ≥ Ω H1(Ω) (theo M¾nh đe 2.1(ii)) Nguyên lý cnc đai cna nói ve dang phương trình vói h¾ so đo đưoc, b% ch¾n Cho aij (x) ∈ L∞(Ω) thóa mãn (1/Λ)ξ2 ≤ aij (x)ξiξj ≤ Λξ2 vói ξ ∈ Rn h.k.n x ∈ Ω, vói Λ ≥ đ%nh nghĩa ¸ aij (x)uxj (x)vxi (x)dx, u, v ∈ a(u, v) = (Ω) H Ω Đieu xác đ%nh toán tú L : H1(Ω) → H−1(Ω) (2.16) cho bói (Lu, v) = a(u, v), u, v ∈ H01(Ω) Ta có the viet lai Lu = −(∂/∂xi)(aijuxj ) ∈ (Ω), H− vói aij khơng nhat thiet đoi xúng Đ%nh lý 2.4 Cho Lu = −(∂/∂(xi))(aijuxj ) vói aij thóa mãn 2.16, vói moi H1() cú nhat mđt nghiắm cỳa bi toán u ∈ H1(Ω) : Lu = f Ω, u = ϕ ∂Ω Chúng ta quay trá lai vái nguyên lý cNc đai Đ %nh lý 2.5 Cho u H1() l mđt nghiắm cỳa bi toỏn Lu = Ω, u = ϕ ∂Ω đó, Lu = −(∂/∂xi)(aijuxj ) vói aij thóa mãn 2.16 ϕ ∈1(Ω) H Khi đó, ta có "u"L∞(Ω) ≤ sup |ϕ| ∂Ω Chúng minh Chúng ta se chúng minh rang u ≤ sup ϕ H1(Ω) ∂Ω Vì −u l mđt nghiắm cna phng trỡnh vúi cỏc giỏ tr% biên −ϕ, tù suy −u ≤ sup(−ϕ) H1(Ω) ∂Ω Các ket lu¾n cna đ%nh lý đưoc suy tù M¾nh đe 2.1(i) Theo M¾nh đe 2.2, ζ = max(u M, 0) H1(), vỡ vắy aijuxj ζxidx.0 (2.17) = a(u, ζ) = Ω Chúng ta chia Ω thành t¾p, t¾p đưoc xỏc %nh mđt cú đ o khụng: {x : ζ(x) > 0} {x : ζ(x) = 0} Ta có ζxi = h.k.n {x : ζ(x)} = 0, ζxi = uxi h.k.n {x : ζ(x)} > Suy uxj (x)ζxi (x) = ζxj (x)ζxi (x) h.k.n Ω Thay vào (2.17), có ¸ a u ζ ζ dx = a(ζ, ζ) ij xj xj xj = a(u, ζ) ¸ = Ω ζ dx = (1/Λ)"ζ" ≥ (1/Λ) xi H0(Ω) Ω Do ζ = H01(Ω), v¾y u − M ≤ H1(Ω) KET LUắN Trờn õy l ton bđ nđi dung khúa lu¾n “Bat thÚc bien phân khơng gian Hilbert ” Khóa lu¾n h¾ thong lai ket q ve bat thúc bien phân không gian Rn m®t so tốn dan tói bat thúc bien phân trình bày ket liên quan đen bat thúc bien phân không gian Hilbert moi liờn hắ cna bi toỏn ny vúi mđt so tốn khác, ví du: tốn biên, ngun lý cnc đai yeu Do thòi gian nghiên cúu lnc han che nên khóa lu¾n mói chí đat đưoc m®t so ket nhat đ%nh Em rat mong thay cơ, ban góp ý nh¾n xét đe khóa lu¾n đưoc đay đn hồn thiắn hn Trúc ket thỳc khúa luắn ny, mđt lan nua em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac đoi vói thay giáo trưòng, đ¾c bi¾t Thay giáo Nguyen Văn Tun t¾n tình giỳp em hon thnh khúa luắn ny H Nđi, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Tran Th% Phưong Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] K Chi, D.H Chương N.H Linh, Bat thúc bien phân úng dnng vào tốn mang giao thơng, Đe tài NCKH cap trưòng Đai hoc KHTN, Đai hoc Quoc Gia Tp.HCM, 2004 [B] Tài li¾u tieng Anh [2] X Hái and P.Q Khánh, Existence of Solutions to General QuasiEquilibrium Problems and Applications, (In Press), 2004 [3] Q Khánh and L.M Lưu, On The Existence of Solution to Vector Quasi Variational Inequalities and Quasi Complementtarity Problems with Application to Traffic Network Equilibria, Journal of Optimization and Its Applications, Vol 123, 533-548, 2004 [4] Q Khánh and L.M Lưu, Some Existence Results for Vector Quasi- variational Inequalities Involving Multifunction and Application to Traffic Equilibrium Problems, Journal of Global Optimization, Vol 32, 551-568, 2005 [5] Q Khánh and L.M Lưu, UpperSemi continuos of The Solution Set to Parametric Vector Quasivariational Inequalities Journal of Global Optimization, Vol 32, 569-580, 2005 52 [6] Daniele, A Maugeri and W Oettli, Timedependent Traffic Equilibria, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 103, 543-555, 1999 [7] J Smith, The Existence, Uniqueness and Stability of Traffic Equilibrium, Transportation, Vol 13B, 295-304, 1979 [8] Q Yang and C.J Goh, On Vector Variational Inequalities Application to Vector Equilibria, Euro Journal of Operational Research, Vol 116, 615-628, 1999 [9] S Kum and G.M Lee, Remarks on Implicit Vector Variational In- equalities, Taiwanese Journal of Mathematics, Vol 6, 369-382, 2002 [10] S Kum and G.M Lee, On Implicit Vector Variational Inequaliries, Journal of Optimization Theory and Application, Vol 104, 409-425, 2000 [11] D Yen, Lipschitz Continuity of Solution of Variational Inequalities with a Parametric Polyhedral Constraint, Mathematics of Operations Research, Vol.20, 695-708, 1995 [12] M Lee, D.S Kum, B.S Lee va N.D Yen, Vector variational In- equality as a tool for studying vector optimization problems, Nonlin- ear Analysis, Vol 34, 745-765, 1998 [13] Wardrop, Some theoretical aspects of Road Traffic Reseach, Proceedings of the Institute of Civil Engineers, Vol 1, 325-378, 1952 [14] N Iusem and W Sosa, New Existence Results for Equilibrium Problems, Nonlinear Analisys, Vol 52, 621-635, 2003 [15] J Li, G.L Chen and K.L Teo, On the Stability of Generalized Vector Quasi Variational Inequalities Problems, Journal of Mathematical Analysis and Application, Vol 113, 283-295, 2002 [16] V Konov, On Quasimonotone Variational Inequalities Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 99, 165-181, 1998 [17] Tarafdar, A Fixed point theorem Equivalent to the Fan-Knaster Kuratowski-Mazurkiewicz theorem, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 128, 475-479, 1987 [18] Asseul and N Hadjisavvas, On Quasimonotone Variational Inequalities, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 125, 445-450, 2004 [19] H Ansari, Y.C Lin and J.C.Yao, General KKM theorem with Applications to Minimax and Variational Inequalities, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 184, 41-57, 2000 [20] Bianchi and S Schaible, Equilibrium Problems under generalized convexity and generalized monotonicity, Journal of Global Optimization, Vol 30, 121 - 134, 2004 [21] Ricceri, Basic Existence Theorems for Generalized Variational and Quasivariational Inequalities, Variational Inequalities and Network Equilibrium Problems, Edited by F Giannessi and A Maugeri, Plenum Press, NewYork, 251-255, 1995 [22] De Luca, Generalizd Quasi-variational Inequalities and Traffic Equilibrium Problem, Variational Inequalities and Network Equilibrium Problems, Edited by F Giannessi and A Maugeri, Plenum Press, NewYork, 45-54, 1995 [23] Jahn, Introduction to The Theory of Nonlinear Optimization, Springer-Verlag, 1994 [24] Kinderlehrer and G Stampacchia, An Induction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, NewYork, 1980 [25] Aubin and H Franowska, Set- Valued Analysis, Birkhauser, Berlin, 1990 [26] Giannessi, On the Theory of Vecotr Optimization and Variational Inequalities Image Space Analysis and Separation, Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, Edited by F Giannessi, Kluwer Academic, Dordrecht, 153-216, 2000 [27] Giannessi, Separation of nets and gap Function for Quasivariational Inequalities, Variational Inequalities and Network Equilibrium Problems, Edited by F Giannessi and A Maugeri, Plenum Press, NewYork, 101-122, 1995 [28] H Ansari, Vector Equilibrium Problems and Vector Variational Inequalities, Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, Edited by F Giannessi, Kluwer Academic, Netherlands, 2000 [29] Berge, Topological Spaces, MacMillan, NewYork, 1968 [30] Bensoussan and J.1.1ions, Impulse Control and Qusivariational Inequalities, Gautheiers Villars, Bordar, Paris, France, 1984 ... thNc bien phân Trong nghiên cúu ve bat thúc bien phân thưòng quan tâm tói m®t ánh xa F tù khơng gian tuyen tính X ho¾c t¾p loi K ⊂ X vào không gian đoi ngau X r Nhac lai rang, không gian đoi... bien phân khơng gian Hilbert moi liên h¾ vói mđt so bi toỏn khỏc Nhiắm nghiờn cNu Nghiên cúu ket bán ve bat thúc bien phân toán dan đen bat thúc bien phân Nghiên cúu ve bat thúc bien phân khơng gian. .. h¾ thong lai ket ve bat thúc bien phân không gian Rn m®t so tốn dan tói bat thúc bien phân Chương trình bày ket liên quan đen bat thúc bien phân không gian Hilbert moi liên h¾ cna tốn vói m®t so