B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ÷ñc Stampacchia v c¡c cëng sü ÷a ra nghi¶n cùu v o nhúng n«m ¦u cõa thªp k 60 trong khi nghi¶n cùu b i to¡n bi¶n cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. Tø â ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu rëng r¢i v trð th nh mët cæng cö húu hi»u trong vi»c x¥y düng c¡c kÿ thuªt º gi£i sè c¡c b i to¡n c¥n b¬ng trong kinh t¸ t i ch½nh, b i to¡n vªn t£i, lþ thuy¸t trá chìi v nhi·u b i to¡n thuëc l¾nh vüc vªt lþ v kÿ thuªt. Nhi·u b i to¡n trong to¡n håc ÷ñc ph¡t biºu d÷îi d¤ng b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n nh÷ b i to¡n bò phi tuy¸n, b i to¡n c¥n b¬ng, b i to¡n tèi ÷u, b i to¡n iºm b§t ëng : : : . Do vªy vi»c nghi¶n cùu b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n n y luæn l · t i thíi sü, ÷ñc nhi·u nh to¡n håc quan t¥m nghi¶n cùu. Mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n l düa tr¶n c¡ch ti¸p cªn thæng qua iºm b§t ëng. Nëi dung cõa ph÷ìng ph¡p n y l ÷a b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v· b i to¡n t¼m iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ nghi»m th½ch hñp. Ph÷ìng ph¡p chi¸u gradient l mët k¸t qu£ theo h÷îng ti¸p cªn n y b¬ng c¡ch sû döng ph²p chi¸u m¶tric PC º x¥y düng mët d¢y l°p hëi tö m¤nh ¸n nghi»m cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. Ph÷ìng ph¡p n y câ ÷u iºm l d¹ lªp tr¼nh v tèc ë hëi tö nhanh. Tuy nhi¶n vîi ph÷ìng ph¡p n y th¼ vi»c t½nh to¡n ¡nh x¤ chi¸u m¶tric PC khæng ìn gi£n v¼ sü phùc t¤p cõa tªp con lçi âng b§t ký C. º khc phöc khâ kh«n n y, Yamada 6 ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p lai ÷íng dèc nh§t v o n«m 2001 º gi£i b§t ¯ng
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HƯƠNG LÝ PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HƯƠNG LÝ PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HƯƠNG LÝ PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Cơng trình hồn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học:TS.Nguyễn Thị Thu Thủy Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Vào hồi ngày tháng năm 2014 Có thể tìm hiểu luận văn trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên Và thư viện Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu ii Bảng ký hiệu v Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi đều, trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.3 Ánh xạ J-đơn điệu Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 1.2.1 Ánh xạ chiếu 1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 1.2 1.3 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 1.3.1 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 1.3.2 1.4 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 11 Giới hạn Banach 11 Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn i Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 14 2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 2.2 15 Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 19 2.2.1 Mô tả phương pháp 19 2.2.2 Định lý hội tụ mạnh 20 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 i Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Bất đẳng thức biến phân Stampacchia cộng đưa nghiên cứu vào năm đầu thập kỷ 60 nghiên cứu toán biên phương trình đạo hàm riêng Từ phương pháp bất đẳng thức biến phân quan tâm nghiên cứu rộng rãi trở thành công cụ hữu hiệu việc xây dựng kỹ thuật để giải số tốn cân kinh tế tài chính, tốn vận tải, lý thuyết trị chơi nhiều tốn thuộc lĩnh vực vật lý kỹ thuật Nhiều toán toán học phát biểu dạng bất đẳng thức biến phân toán bù phi tuyến, toán cân bằng, toán tối ưu, toán điểm bất động Do việc nghiên cứu bất đẳng thức biến phân phương pháp giải tốn ln đề tài thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Một phương pháp giải bất đẳng thức biến phân dựa cách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dung phương pháp đưa bất đẳng thức biến phân tốn tìm điểm bất động ánh xạ nghiệm thích hợp Phương pháp chiếu gradient kết theo hướng tiếp cận cách sử dụng phép chiếu mêtric PC để xây dựng dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm bất đẳng thức biến phân Phương pháp có ưu điểm dễ lập trình tốc độ hội tụ nhanh Tuy nhiên với phương pháp việc tính tốn ánh xạ chiếu mêtric PC khơng đơn giản phức tạp tập lồi đóng C Để khắc phục khó khăn này, Yamada [6] đề xuất phương pháp lai đường dốc vào năm 2001 để giải bất đẳng ii Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn khơng gian Hilbert Từ đến có nhiều cơng trình nhằm mở rộng hướng nghiên cứu Yamada để giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu kết [5] phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức tập điểm bất động nửa nhóm ánh xạ không giãn không gian Banach - mở rộng hướng nghiên cứu Yamada Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Trong chương đề cập tới khái niệm ánh xạ J-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn số bổ đề bổ trợ Chương hai trình bày ba phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn báo [5] Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ hướng dẫn tận tình Tiến Sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy Qua đây, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Cô, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian làm luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Thầy Cơ trường iii Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Cô Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Hải Phòng, tháng năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Hương Lý iv Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ BẢNG KÝ HIỆU Rn khơng gian Euclide n chiều D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị tốn tử A H khơng gian Hilbert thực C tập lồi đóng H I ánh xạ đơn vị PC Phép chiếu mêtrix lên tập C xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn dãy {xn } hội tụ yếu tới x x v Số hóa Trung tâm Học lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Cho {T (s) : s > 0} nửa nhóm khơng giãn C, với C tập lồi đóng khơng gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux Năm 2007, Chen Song đề xuất thuật toán tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.1) sau: xk = γk f (xk ) + (1 − γk ) tk tk T (s)xk ds, (2.2) với f ánh xạ co C γk , tk hai dãy số dương Họ chứng minh kết sau Định lý 2.1 Cho C tập lồi đóng khơng gian Banach lồi E với chuẩn khả vi Gâteaux cho {T (s) : s > 0} nửa nhóm khơng giãn C cho F := ∩s>0 Fix(T (s)) = ∅ Khi dãy {xk } định nghĩa (2.2) với điều kiện tk → ∞ γk → k → ∞, hội tụ mạnh tới phần tử p∗ ∈ F nghiệm (2.1) với F = I − f Một trường hợp đặc biệt (2.2) Shijoi Takahashi nghiên cứu năm 1998 sau: xk = γk u + (1 − γk ) tk tk T (s)xk ds, u điểm cố định thuộc C, {γk } ⊂ (0, 1) {tk } dãy thực dương phân kỳ Sau đó, năm 2003 Suzuki cải tiến kết Shijoi Takahashi chứng minh định lý Định lý 2.2 Cho {T (s) : s > 0} nửa nhóm khơng giãn C, với C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H, 15 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ cho F := ∩s>0 Fix(T (s)) = ∅, giả sử {γk } {tk } hai dãy số thực thỏa mãn γk = k→∞ tk < γk < 1, tk > 0, lim tk = lim k→∞ (2.3) Cho u điểm cố định thuộc C định nghĩa dãy {xk } C xk = γk u + (1 − γk )T (tk )xk (2.4) Khi đó, dãy {xk } hội tụ mạnh tới p∗ , phần tử F với chuẩn nhỏ Năm 2007, He Chen cải tiến dãy lặp xk = γk f (xk ) + (1 − γk )T (tk )xk (2.5) chứng minh kết Định lý 2.3 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert H Cho f ánh xạ co C với hệ số α ∈ (0, 1) gọi {T (s) : s > 0} nửa nhóm khơng giãn C cho ∩s>0 Fix(T (s)) = ∅ Giả sử {γk } {tk } hai dãy số thực thỏa mãn (2.3) Khi dãy {xk } định nghĩa (2.5) hội tụ mạnh tới p∗ , nghiệm bất đẳng thức biến phân F (p∗ ), p∗ − p ≤ ∀p ∈ F (2.6) với F = I − f Năm 2005 Xu đưa cải tiến (2.4) không gian Banach Năm 2007 Chen He nghiên cứu hội tụ mạnh 16 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ thuật tốn (2.5) khơng gian Banach, năm 2009 Li nhóm nghiên cứu mở rộng kết từ không gian Hilbert sang không gian Banach lồi với điều kiện bổ sung sau lim sup T (s)x − x = 0, s→0 x∈K (2.7) với tập lồi đóng K ⊂ C ánh xạ η-đơn điệu mạnh γ-giả co chặt f Năm 2009 Ceng cộng nghiên cứu dãy lặp (2.5) trường hợp E không gian Banach lồi chặt phản xạ với chuẩn khả vi Gâteaux đều, {T (s) : s > 0} nửa nhóm khơng giãn tiệm cận tk → ∞ k → ∞ Khi F = A − γf , với A ánh xạ tuyến tính giới nội xác định dương không gian Hilbert H, Li cộng nghiên cứu phương pháp lặp sau đây: xk = γk γf (xk ) + (I − λk A) tk tk T (s)xk ds (2.8) kết chứng minh sau Định lý 2.4 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H Cho f ánh xạ co C với hệ số α ∈ (0, 1) gọi {T (s) : s > 0} nửa nhóm khơng giãn C cho ∩s>0 Fix(T (s)) = ∅, A ánh xạ tuyến tính giới nội dương mạnh với hệ số γ > Giả sử {γk } ⊂ [0, 1], {tk } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn điều ˜ kiện γk → tk → ∞, k → ∞ Khi với < γ < γ /α ˜ tồn phần tử xk ∈ C nghiệm (2.8), dãy {xk } hội tụ mạnh tới p∗ nghiệm (2.6) 17 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Gần đây, năm 2011 Yao Liou giới thiệu phương pháp lặp: xt = PC tγf (xt ) + βxt + ((1 − β)I − tA) λt λt T (s)xt ds , t ∈ (0, 1), (2.9) với PC định nghĩa phép chiếu từ H lên tập lồi đóng C H, chứng minh kết sau Định lý 2.5 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert H Giả sử f : C → H ánh xạ co với hệ số α ∈ (0, 1), cho {T (s) : s > 0} nửa nhóm khơng giãn C cho F := ∩s>0 Fix(T (s)) = ∅, A ánh xạ dương mạnh, tuyến tính giới nội với số γ > Cho {λt }00 Fix(T (s)) = ∅ Giả sử f ánh xạ co H với hệ số α ∈ (0, 1) A ánh xạ tuyến tính giới nội, dương mạnh với hệ số γ > Giả sử < γ < γ /α ˜ ˜ Gọi {γk } {tk } hai dãy số thực dương thỏa mãn (2.3) Khi dãy {xk } xác định bởi: xk = γk γf (xk ) + (1 − γk A)T (tk )xk ∀k ≥ (2.10) hội tụ mạnh tới p∗ nghiệm toán (2.6) với F = A − γf 18 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Các thuật toán giới thiệu số cải biên phương pháp lặp Halpern xk+1 = γk u + (1 − γk )T (xk ), để tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn T tập lồi đóng C khơng gian Hilbert H Gần đây, để giải (2.1) với F = Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ giả co liên tục T không gian Banach E, Ceng cộng đưa phương pháp lặp mới: xt = t(I − µt F )(xt ) + (1 − t)T (xt ) (2.11) Họ chứng minh kết sau: Định lý 2.7 Cho E không gian Banach thực lồi chặt phản xạ với chuẩn khả vi Gâteaux Cho T : E → E ánh xạ giả co liên tục F =Fix(T ) = ∅ Giả sử F : E → E γ-giả co chặt η-đơn điệu mạnh với η + λ > Với t ∈ (0, 1), chọn số µt ∈ (0, 1) tùy ý dãy {xt } định nghĩa (2.11) Khi đó, với t → 0+ , xt hội tụ mạnh tới nghiệm (2.1) 2.2 Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 2.2.1 Mô tả phương pháp Từ dãy lặp (2.5)-(2.11), Thủy Hiếu [5] nghiên cứu ba phương pháp lặp để giải bất đẳng thức biến phân (1.7) Phương 19 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ pháp cải biên (2.11) cho đây: xk = γk (I − λk F )(xk ) + (1 − γk ) tk tk T (s)xk ds, k ≥ 1, (2.12) với dãy số thực λk γk tương ứng (0, 1] (0, 1) Phương pháp thứ hai cải biên (2.5) (2.11) sau: xk = γk (I − λk F )(xk ) + (1 − γk )T (tk )xk , k ≥ (2.13) Phương pháp lặp thứ ba xác định sau: xk = tk tk T (s)(I − λk F )xk ds, k ≥ 1, (2.14) với λk → 0, k → ∞ Cả hai thuật toán (2.12) (2.14), giả sử < tk → ∞ k → ∞ Còn (2.13), giả thiết < tk → 2.2.2 Định lý hội tụ mạnh Ta chứng minh kết sau Định lý 2.8 Cho F ánh xạ γ-giả co chặt η-đơn điệu mạnh với η + γ > {T (s) : s > 0} nửa nhóm không giãn không gian Banach thực lồi E có chuẩn khả vi Gâteaux đều, cho F := ∩s>0 Fix(T (s)) = ∅ Khi dãy {xk } định nghĩa (2.12) với γk ∈ (0, 1), λk ∈ (0, 1] tk > cho γk → tk → ∞ k → ∞, hội tụ mạnh tới phần tử p∗ nghiệm (2.1) Chứng minh Xét ánh xạ Tk x = γk (I − λk F )(x) + (1 − γk ) tk tk T (s)xds, 20 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ với k ≥ x ∈ E Khi theo Bổ đề 1.3, ta có Tk x − Tk y = γk (I − λk F )x + (1 − γk ) tk tk − [γk (I − λk F )y + (1 − γk ) tk T (s)xds tk T (s)yds] = γk [(I − λk F )x − (I − λk F )y] tk + (1 − γk ) (T (s)x − T (s)y)ds tk ≤ γk (1 − λk τ ) x − y + (1 − γk ) x − y = (1 − γk λk τ ) x − y với γk λk τ ∈ (0, 1) Vì vậy, Tk ánh xạ co khơng gian Banach E Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn phần tử xk ∈ E cho xk = Tk xk với k ≥ Đặt zk = tk tk T (s)xk ds, ý zk − p ≤ xk − p Với điểm p ∈ F, ta có xk − p = γk (I − λk F )xk + (1 − γk )zk − p = γk λk (I − F )xk + (1 − λk )xk − p, j(xk − p) + (1 − γk ) zk − p, j(xk − p) ≤ γk λk (I − F )xk − p, j(xk − p) + γk (1 − λk ) xk − p + (1 − γk ) xk − p ≤ γk λk (I − F )xk − p, j(xk − p) + (1 − γk λk ) xk − p = γk λk (I − F )xk − (I − F )p − F (p), j(xk − p) + (1 − γk λk ) xk − p 21 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Từ Bổ đề 1.3, ta có xk − p ≤ (1 − τ ) xk − p − F (p), j(xk − p) sử dụng xk − p ≤ τ −1 F (p), j(p − xk ) (2.15) suy xk − p ≤ τ −1 F (p) Chứng tỏ dãy {xk } giới nội Do đó, có dãy {zk } {F (xk )} giới nội Hơn nữa, xk − zk = γk (xk − zk ) − γk λk F (xk ) ≤ γk xk − zk + γk λk F (xk ) , Do xk − zk ≤ γk λk F (xk ) − γk Vì γk → 0, λk ∈ (0, 1] {F (xk )} giới nội nên lim xk − zk = (2.16) lim xk − T (h)xk = ∀h > (2.17) k→∞ Tiếp theo ta thấy k→∞ Xét D = {z ∈ E : z − p ≤ τ −1 F (p) } Rõ ràng D tập khác rỗng, lồi, đóng T (h) tập cố định E Do vậy, theo Bổ đề 1.5, zk − T (h)zk → 0, với k → ∞ Với cách làm giống (2.16) suy (2.17) 22 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.18) Bây giờ, với giới hạn Banach µ, ta định nghĩa ánh xạ ϕ : E → R xác định ϕ(u) = µk xk − u ∀u ∈ E Ta thấy ϕ(u) → ∞ u → ∞, ϕ liên tục lồi Do E không gian phản xạ nên tồn p ∈ E cho ϕ(˜) = minu∈E ϕ(u) Hơn nữa, ˜ p phần tử p xác định Từ (2.17) ta có ˜ ϕ(T (h)˜) = µk xk − T (h)˜ p p ≤ µk xk − p ˜ 2 = µk T (h)xk − T (h)˜ p = ϕ(˜) p điều có nghĩa T (h)˜ = p hay p ∈ F Từ Bổ đề 1.6, ta thấy p ˜ ˜ p cực tiểu ϕ(u) E ˜ µk u − p, j(xk − p) ≤ ∀u ∈ E ˜ ˜ (2.19) Đặt u = (I − F )(˜) (2.19), ta p µk F (˜), j(˜ − xk ) ≤ p p Kết hợp (2.15) (2.20), suy µk xk − p ˜ (2.20) = Do vậy, tồn dãy {xki } dãy {xk }, hội tụ mạnh tới p i → ∞ Tương tự, từ ˜ (2.15) tính chất liên tục ∗ yếu theo chuẩn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j tập đóng E, ta suy F (p), j(˜ − p) ≤ ∀p ∈ F p (2.21) Vì p p thuộc F, tập lồi đóng, cách thay p ˜ (2.21) sp + (1 − s)˜ với s ∈ (0, 1), sử dụng tính chất p j(s(˜ − p)) = sj(˜ − p) với s > 0, chia vế cho s cho s → 0, ta p p F (˜), j(˜ − p) ≤ ∀p ∈ F p p 23 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tính p∗ (2.1) kéo theo p = p∗ Vì vậy, dãy {xk } ˜ hội tụ mạnh tới p∗ k → ∞ Ta điều phải chứng minh Định lý 2.9 Cho F ánh xạ γ-giả co chặt η-đơn điệu mạnh với η + γ > {T (s) : s > 0} nửa nhóm khơng giãn khơng gian Banach phản xạ E có chuẩn khả vi Gâteaux đều, cho F := ∩s>0 Fix(T (s)) = ∅ điều kiện (2.7) thỏa mãn với tập giới nội K E Khi đó, dãy {xk } định nghĩa (2.13) với λk ∈ (0, 1], γk ∈ (0, 1) tk > thỏa mãn (2.3), hội tụ mạnh tới phần tử p∗ nghiệm (2.1) Chứng minh Xét ánh xạ Tk x = γk (I − λk F )x + (1 − γk )T (tk )x, với k ≥ x ∈ E Khi đó, chứng minh tương tự Định lý 2.8, tồn xk thỏa mãn (2.13) dãy {xk } giới nội, thỏa mãn (2.15) Vì E phản xạ {xk } giới nội nên tồn dãy {xkj } ⊂ {xk }, hội tụ yếu tới số phần tử p ∈ E ˜ Bây ta chứng minh p = T (t)˜ với điểm cố định t > ˜ p Dễ thấy [t/tkj ]−1 xkj − T (t)xkj ≤ T (ltkj )xkj − T ((l + 1)tkj )xkj l=0 + T (t)xkj − T ([t/tkj ]tkj )xkj ≤ [t/tkj ] xkj − T (tkj )xkj + T (t − [t/tkj ]tkj )xkj − xkj γk ≤ j t (I − λkj F )xkj − T (tkj )xkj tkj + sup{ T (s)xkj − xkj : ≤ s ≤ tkj } 24 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Từ điều với giới nội dãy {xk } {F (xk )}, tkj , γkj /tkj → (2.7) kéo theo lim sup xkj − T (t)xkj = j→∞ Ngoài ra, kết chứng minh Định lý 2.8, ta điều phải chứng minh Định lý 2.10 Cho F ánh xạ γ-giả co chặt η-đơn điệu mạnh với η + γ > {T (s) : s > 0} nửa nhóm khơng giãn khơng gian Banach thực lồi E có chuẩn khả vi Gâteaux đều, cho F := ∩s>0 Fix(T (s)) = ∅ Khi đó, dãy {xk } định nghĩa (2.14) với λk ∈ (0, 1] tk > cho λk → tk → ∞ k → ∞, hội tụ mạnh tới phần tử p∗ nghiệm (2.1) Chứng minh Xét ánh xạ ˜ Tk x = tk tk T (s)(I − λk F )xds ∀x ∈ E Từ Bổ đề 1.3, ta có ˜ ˜ Tk x − Tk y = tk tk T (s)[(I − λk F )x − (I − λk F )y]ds ≤ (I − λk F )x − (I − λk F )y ≤ (1 − λk τ ) x − y ∀x, y ∈ E ˜ Do đó, Tk ánh xạ co E Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn phần tử xk ∈ E thỏa mãn (2.14) Ngoài ra, ta thấy dãy {xk } giới nội Thật vậy, với điểm 25 Số hóa Trung tâm Học lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ p ∈ F, theo Bổ đề 1.3 ta có xk − p = tk tk T (s)(I − λk F )xk ds − tk tk T (s)pds ≤ (I − λk F )xk − p = (I − λk F )xk − (I − λk F )p − λk F (p) ≤ (1 − λk τ ) xk − p + λk F (p) Do vậy, xk − p ≤ F (p) /τ , suy tính giới nội dãy {xk } dãy {F (xk )} giới nội Xét tập hợp C = {z ∈ E : z − p ≤ F (p) /τ } Chứng minh tương tự Định lý 2.8, ta (2.18) Mặt khác, tk = tk ≤ tk tk xk − zk = tk tk T (s)(I − λk F )xk ds − tk tk T (s)xk ds [T (s)(I − λk F )xk − T (s)xk ]ds (I − λk F )xk − xk ds = λk F (xk ) → 0, λk → k → ∞, nên thỏa mãn (2.17) Tiếp theo, từ tính lồi · theo Bổ đề 1.1 1.3, với p ∈ F ta có xk − p ≤ (I − λk F )xk − p = (I − λk F )xk − (I − λk F )p − λk F (p) ≤ (1 − λk τ ) xk − p 2 − 2λk F (p), j(xk − p − λk F (xk ) Do vậy, xk − p ≤ F (p), j(p − xk ) τ + F (p), j(p − xk + λk F (xk )) − j(p − xk ) τ 26 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.22) Bằng cách sử dụng (2.17), (2.22) với tính chất liên tục ∗ yếu theo chuẩn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tập đóng E chứng minh tương tự Định lý 2.8, ta điều phải chứng minh 27 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ KẾT LUẬN Đề tài giới thiệu bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn, nửa nhóm khơng giãn số phương pháp lặp giải toán Đề tài trình bày ba định lý hội tụ mạnh ba phương pháp lặp ẩn Nguyễn Thị Thu Thủy Phạm Thanh Hiếu [5] giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm khơng giãn Đóng góp tác giả thực đề tài tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức làm chi tiết số chứng minh [5] 28 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [2] Y Alber and I Ryazantseva, Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer, 2006 [3] F Deutsch and I Yamada (1998), Minimizing certain convex functions over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings, Numer Funct Anal Optim., 19(1-2), 33–56 [4] G Stampacchia (1964), Formes bilineares coercitives sur les ensembles convexes, Comptes Rendus de lÁcadémie des Sciences, Paris, 258, 4413–4416 [5] Ng.T.T Thuy and Ph.T Hieu (2013), Implicit iteration methods for variational inequalities in Banach spaces, Bull of the Malaysian Math Sci Society, 36(4), 917-926 [6] I Yamada (2001), The hybrid steepest-descent method for variational inequalities problems over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings, Inhently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and their Applications, 8, 473–504 29 Soá hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... 14 2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 2.2 15 Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 19 2.2.1 Mô tả phương pháp ... 1.2 1.3 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 1.3.1 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 1.3.2 1.4 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 11... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Chương nghiên cứu số phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa