Lþ thuy¸t b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ra íi v o nhúng n«m 60 v l mët cæng cö m¤nh v thèng nh§t º nghi¶n cùu mët lîp rëng c¡c b i to¡n c¥n b¬ng. Câ thº th§y ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu rëng r¢i v trð th nh mët cæng cö húu hi»u trong vi»c x¥y düng c¡c kÿ thuªt º gi£i mët sè b i to¡n, gçm câ: b i to¡n c¥n b¬ng m¤ng giao thæng, b i to¡n c¥n b¬ng gi¡, c¡c b i to¡n c¥n b¬ng t i ch½nh, c¥n b¬ng nhªp c÷, b i to¡n vªn t£i, lþ thuy¸t trá chìi v nhi·u b i to¡n trong l¾nh vüc vªt lþ v k¾ thuªt kh¡c. Nhi·u b i to¡n trong to¡n håc ÷ñc ph¡t biºu d÷îi d¤ng b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n nh÷ b i to¡n bò phi tuy¸n, b i to¡n c¥n b¬ng, b i to¡n tèi ÷u, b i to¡n iºm b§t ëng. Mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n l düa tr¶n c¡ch ti¸p cªn thæng qua iºm b§t ëng. Nëi dung cõa ph÷ìng ph¡p n y l ÷a b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v· b i to¡n t¼m iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ nghi»m th½ch hñp. Ph÷ìng ph¡p chi¸u gradient l mët k¸t qu£ theo h÷îng ti¸p cªn n y b¬ng c¡ch sû döng ph²p chi¸u metric PC º x¥y düng mët d¢y l°p hëi tö m¤nh ¸n nghi»m cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. Ph÷ìng ph¡p n y câ ÷u iºm l d¹ lªp tr¼nh v tèc ë hëi tö m¤nh. Tuy nhi¶n ph÷ìng ph¡p n y th¼ vi»c t½nh to¡n ¡nh x¤ chi¸u metric PC khæng ìn gi£n v¼ sü phùc t¤p cõa tªp con lçi âng b§t ký C. º khc phöc khâ kh«n n y, Yamada ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p lai ÷íng dèc nh§t v o n«m 2001 º gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng ii
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MINH CHÂU PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN TÌM NGHIỆM CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MINH CHÂU PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN TÌM NGHIỆM CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Chương Một số khái niệm Chương Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân Kết luận Tài liệu tham khảo [1] [2] [3] Mục lục Mở đầu ii Bảng ký hiệu v Một số khái niệm 1.1 Không gian Banach lồi đều, trơn Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Không gian Hilbert 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Ví dụ Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.3.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 1.3.2 Ví dụ tốn đặt khơng chỉnh Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.4.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.4.2 1.5 1.1.3 1.4 Không gian Banach 1.1.2 1.3 1.1.1 1.2 Không gian Banach Sự tồn nghiệm tính chất tập nghiệm 14 Bài tốn điểm bất động 15 1.5.1 15 Ánh xạ đơn điệu Ánh xạ không giãn i xN +1 = βN +1 xN + (1 − βN +1 )[T1 xN +1 − λN +1 µF (T1 xN +1 )], ·················································· Hay dạng tổng quát xk = βk xk−1 + (1 − βk )[T[k] xk − λk µF (T[k] xk )], T[n] = Tn mod N , k ≥ 1, (2.5) với n ≥ Ta có kết sau: Định lý 2.1 Cho H không gian Hilbert thực, F : H → H ánh xạ L-liên tục Lipschitz η-đơn điệu mạnh với L η số dương Cho {Ti }N N ánh xạ không giãn H cho i=1 F := ∩N F ix(Ti ) = ∅ Cho µ ∈ (0, 2η/L2 ), x0 ∈ H, {λk }∞ ⊂ (0, 1) k=1 i=1 {βk }∞ ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện: k=1 ∞ k=1 λk < ∞, cho α ≤ βk ≤ β, k ≥ 1, với α, β ∈ (0, 1) Khi đó, dãy {xk }∞ , xác k=0 định (2.5) hội tụ yếu p∗ nghiệm (2.4) Ta biết ∞ k=1 λk < ∞, λk → 0, k → ∞, điều ngược lại khơng 2.2 Phương pháp lặp ẩn giải lớp bất đẳng thức biến phân không gian Banach 2.2.1 Mô tả phương pháp Để chứng minh hội tụ mạnh giảm điều kiện đặt lên dãy λk , [5], GS.TS Nguyễn Bường học trò đưa phương pháp lặp ẩn sau: 22 xt = T t xt , t t t T t := T0 TN T1 , t ∈ (0, 1), (2.6) Tit xác định Tt x := (1 − βti )x + βti Ti x, i t T0 y i = 1, · · ·, N, (2.7) := (I − λt µF )y, x, y ∈ H, chứng minh dãy {xt } xác định (2.6)-(2.7), hội tụ mạnh phần tử p∗ nghiệm (2.4) với điều kiện µ, βti , tương tự Định lý 2.1, λt → t → Khi N = 1, E không gian Banach lồi chặt, phản xạ thực có chuẩn khả vi Gâteaux T ánh xạ giả co, liên tục, [6], Ceng đồng nghiệp chứng minh kết sau: Mệnh đề 2.1 Cho F ánh xạ η-đơn điệu mạnh γ-giả co chặt với η + γ > T ánh xạ liên tục giả co E, với E không gian Banach lồi chặt phản xạ thực có chuẩn khả vi Gâteaux cho F := F ix(T ) = ∅ Với t ∈ (0, 1), chọn số µt ∈ (0, 1) tùy ý dãy {zt } xác định zt = t(I − µt F )zt + (1 − t)T zt Khi đó, với t (2.8) 0, {zt } hội tụ mạnh p∗ nghiệm (2.3) Để tìm điểm bất động họ vô hạn ánh xạ khơng giãn Ti tập lồi đóng C không gian Hilbert H, [11], Takahashi sử dụng ánh xạ W , xác định từ Tk , Tk−1 , · · ·, T1 số thực αk , αk−1 , · · ·, α1 sau: 23 Uk,k+1 = I, Uk,k = αk Tk Uk,k+1 + (1 − αk )I, Uk,k−1 = αk−1 Tk−1 Uk,k + (1 − αk−1 )I, (2.9) Uk,2 = α2 T2 Uk,3 + (1 − α2 )I, Wk = Uk,1 = α1 T1 Uk,2 + (1 − α1 )I, và, [10], dựa ánh xạ co f C, Kikkawa Takahashi chứng minh hội tụ mạnh dãy {xk }∞ , xác định k=1 sơ đồ lặp ẩn sau xk = γk f (xk ) + (1 − γk )Wk xk với < α1 ≤ < αi ≤ b < 1, cho i = 2, 3, Tiếp đó, [10], C tập lồi đóng khơng gian Banach lồi E với chuẩn khả vi Gâteaux đều, họ đưa phương pháp lặp ẩn hội tụ mạnh sau: 1 U x + f (x), U x = lim Wk x = lim Uk,1 x (2.10) Sk x = − k→∞ k→∞ k k Trong [4], sở phương pháp (2.6), (2.8), cách sử dụng ánh xạ Vk xác định bởi: Vk = Vk1 , Vki = T i T i+1 · · · T k , T i = (1 − αi )I + αi Ti , i = 1, 2, · · ·, k, (2.11) ∞ αi ∈ (0, 1) αi < ∞, (2.12) i=1 Giáo sư Nguyễn Bường học trò đưa hai phương pháp lặp ẩn mới: xk = Vk (I − λk F )xk , 24 k ≥ 1, (2.13) xk = γk (I − λk F )xk + (1 − γk )Vk xk , k ≥ 1, (2.14) λk γk thơng số dương, thỏa mãn số điều kiện Ta cần kết sau: Mệnh đề 2.2 Giả sử F, T E Mệnh đề 2.1 Nếu tồn đãy bị chặn {xk }∞ phần tử p∗ E mà k=1 lim xk − T xk = p∗ = lim zt , k→∞ t {zt } xác định (2.8), ta có lim sup F (p∗ ), j(p∗ − xk ) ≤ k→∞ 2.2.2 Sự hội tụ Bổ đề 2.1 Giả sử C tập lồi đóng không gian Banach thực lồi ngặt E cho {Ti }k , k ≥ 1, k ánh xạ không giãn i=1 C cho F := ∩k F ix(Ti ) = ∅ Cho a, b αi , i = 1, 2, , k, i=1 số thực mà < a ≤ αi ≤ b < 1, đặt Vk ánh xạ xác định (2.11) với k ≥ Khi đó, F ix(Vk ) = F Chứng minh Chú ý k = ta có F ix(V1 ) = F ix(T ) = F ix(T1 ) Nên chứng minh với trường hợp k > Trước hết, ta chứng minh F ⊂ F ix(Vk ) Thật vậy, với p ∈ F, ta có T i p = [(1 − αi )I + αi Ti ]p = p, ∀i = 1, 2, , k (2.15) Kết là, Vk p = T T T k p = p Bây giờ, chứng minh 25 F ix(Vk ) ⊂ F Lấy z ∈ F ix(Vk ) p ∈ F Từ (2.15) suy z − p = T 1T · · · T k z − p = T 1T · · · T k z − T 1p ≤ T · · · T k z − p = T · · · T k z − T 2p (2.16) ≤ T k−1 T k z − p = T k−1 T k z − T k−1 p ≤ T kz − T kp ≤ z − p Do đó, z − p = [(1 − αk )I + αk Tk ]z − p = (1 − αk )(z − p) + αk (Tk z − p) Vì E lồi chặt αk ∈ (a, b) với a, b ∈ (0, 1), ta thu Tk z−p = z−p, Tk z = z Nên, z ∈ F ix(Tk ) với z ∈ F ix(Vk ) Hơn nữa, điều đưa đến [(1 − αk−1 )I + αk−1 Tk−1 ]T k z − p = [(1 − αk−1 )I + αk−1 Tk−1 ]z − p Từ (2.16) ta có z − p = [(1 − αk−1 )I + αk−1 Tk−1 ]z − p = (1 − αk−1 )(z − p) + αk−1 (Tk−1 z − p) Một lần nữa, E lồi chặt αk−1 ∈ (a, b) với a, b ∈ (0, 1), ta có Tk−1 z − p = z − p, nên Tk−1 z = z Do đó, z ∈ F ix(Tk−1 ) Tương tự, ta thu z ∈ F ix(Ti ) cho i = 1, , k Có nghĩa F ix(Vk ) ⊂ F Việc chứng minh hoàn tất Bổ đề 2.2 Cho C tập lồi đóng không gian Banach thực E cho {Ti }∞ dãy vô hạn ánh xạ không giãn i=1 C cho F := ∩∞ F ix(Ti ) = ∅ Cho Vk ánh xạ xác định i=1 26 (2.11) cho αi thỏa mãn (2.12) Khi đó, với x ∈ C i ∈ N, limk→∞ Vki x tồn Cho p ∈ F x ∈ C mà p = x Khi đó, cho k ∈ N với k ≥ i, ta có i Vk+1 x − Vki x = T i T i+1 · · · T k T k+1 x − T i T i+1 · · · T k x ≤ T k+1 x − x = (1 − αk+1 )x + αk+1 Tk+1 x − x = αk+1 Tk+1 x − Tk+1 p + p − x ≤ 2αk+1 x − p Sử dụng (2.12), ta có limn,m→∞ m j=n αj = Nên, với ε > 0, tồn k0 ∈ N với k0 ≥ i mà cho giá trị n, m với m > n > k0 , ta có m−1 αj+1 < j=n ε x−p Do đó, i Vm x − Vni x m−1 ≤ i Vj+1 x − j=n Vji x m−1 ≤ (2αj+1 x − p ) j=n m−1 =2 x−p αj+1 < ε j=n Điều có nghĩa {Vki x}, với i bất động, dãy Cauchy không gian Banach E limk→∞ Vki x tồn Ta định nghĩa ánh xạ i V∞ x := lim Vki x and V x := lim Vk x k→∞ k→∞ Bổ đề 2.3 Cho C tập lồi đóng khơng gian Banach thực lồi ngặt E cho {Ti }∞ dãy vô hạn ánh xạ không i=1 giãn C cho F := ∩∞ F ix(Ti ) = ∅ Cho αi thỏa mãn điều i=1 kiện (1.12) Khi đóF ix(V ) = F 27 Chứng minh Cho p ∈ F Khi đó, rõ ràng Vki p = p cho i i, k ∈ N với k ≥ i Nên, ta có V∞ p = p với i ∈ N Cụ thể là, ta có V p = V∞ p F ⊂ F ix(V ) Tiếp theo, chứng minh F ix(V ) ⊂ F Cho x ∈ F ix(V ) y ∈ F Khi đó, Vk x − Vk y = Vk1 x − Vk1 y = (1 − α1 )(Vk2 x − Vk2 y) + α1 (T1 Vk2 x − T1 Vk2 y) ≤ (1 − α1 ) Vk2 x − Vk2 y + α1 Vk2 x − Vk2 y = Vk2 x − Vk2 y ≤ Vki+1 x − Vki+1 y ≤ Vkk x − Vkk y ≤ x − y , với V x − V y = x − y kéo theo i i i+1 i+1 V ∞ x − V∞ y = V∞ x − V∞ y = x − y Do đó, i+1 i+1 i+1 i+1 (1 − αi )(V∞ x − V∞ y) + αi (Ti V∞ x − Ti V∞ y) i+1 i+1 = V∞ x − V∞ y = x−y , cho i ∈ N Vì E lồi ngặt, < αi < 1, y ∈ F, ta có i+1 i+1 i+1 x − y = Ti V∞ x − Ti V∞ y = Ti V∞ x − y i+1 i+1 i+1 x − y = V∞ x − V∞ y = V∞ x − y , 28 i+1 i+1 Do đó, x = Ti V∞ x x = V∞ x với i ∈ N Như vậy, với i ∈ N, ta có x = Ti x Nghĩa x ∈ F Chúng ta chứng minh kết sau: Định lý 2.2 Cho E không gian lồi ngặt phản xạ thực có chuẩn khả vi Gâteaux đều, cho F ánh xạ η-đơn điệu mạnh γgiả co chặt với η + γ > cho {Ti }∞ dãy vô hạn ánh i=1 xạ không giãn E cho F := ∩∞ F ix(Ti ) = ∅ Khi đó, dãy i=1 {xk }∞ , xác định (2.11)-(2.13) với λk ∈]0, 1] λk → 0, k=1 k → ∞, hội tụ mạnh p∗ (2.3) Chứng minh Xét ánh xạ Uk x = Vk (I − λk F )x ∀x ∈ E Từ bổ đề 2.2, ta có Uk x − Uk y = Vk (I − λk F )x − Vk (I − λk F )y ≤ (I − λk F )x − (I − λk F )y ≤ (1 − λk τ ) x − y ∀x, y ∈ E Nên, Uk tập giới nội E Khi đó, tồn phần tử xk ∈ E, thỏa mãn (2.13) Tiếp theo, chứng minh {xk }∞ bị chặn Thật vậy, k=1 cho phần tử p ∈ F, Theo bổ đề (3.1) ta có Vk p = p, từ bổ đề (2.2), xk − p = Vk (I − λk F )xk − p ≤ (I − λk F )xk − p = (I − λk F )xk − (I − λk F )p − λk F (p) (2.17) ≤ (1 − λk τ ) xk − p + λk F (p) Do đó, xk − p ≤ F (p) /τ , mà {xk }∞ hàm bị chặn Nên, k=1 dãy {F (xk )}∞ {Vk yk }∞ , yk = (I − λk F )xk , bị k=1 k=1 29 chặn Chú ý yk − xk = λk F (xk ) → xk − Vk xk = Vk yk − Vk xk ≤ yk − xk , ta thu xk − Vk xk → k → ∞ Chúng ta chứng minh xk − V xk → k → ∞ Thật vậy, thấy từ Bổ đề 3.2 D tập bị chặn không rỗng E, thì, với ε > 0, tồn k0 > i cho k > k0 i sup Vki x − V∞ x ≤ ε x∈D Lấy D = {xk : k ≥ 1} i = 1, ta có Vk xk − V xk ≤ sup Vk x − V x ≤ ε x∈D Có nghĩa Vk xk − V xk → 0, k → ∞ Áp dụng bất đẳng thức xk − V xk ≤ xk − Vk xk + Vk xk − V xk , ta thu xk − V xk → k → ∞ Vì Vk khơng giãn, V khơng giãn ánh xạ giả-co chặt liên tục E Theo Mệnh đề 2.1 2.2 với T thay V , ta có lim sup F (p∗ ), j(p∗ − xk ) ≤ (2.18) k→∞ Tiếp đó, theo (2.17), độ lồi · bổ đề 2.1, 2.2 3.3, cho p∗ ∈ F = F ix(V ), ta có xk − p∗ ≤ (I − λk F )xk − p∗ = (I − λk F )xk − (I − λk F )p∗ − λk F (p∗ ) ≤ (1 − λk τ ) xk − p∗ 2 − 2λk F (p), j(xk − p∗ − λk F (xk ) Do đó, xk − p∗ ≤ F (p∗ ), j(p∗ − xk ) τ (2.19) ∗ ∗ ∗ + F (p ), j(p − xk + λk F (xk )) − j(p − xk ) τ 30 Dùng (2.18), (2.19), thu xk − p∗ → k → ∞ Việc chứng minh hoàn thành Định lý 2.3 Giả sử E, F , {Ti }∞ {αi }∞ Định lý i=1 i=1 3.1 Khi đó, dãy {xk }∞ , xác định (2.11), (2.12) (2.14) với k=1 γk ∈ (0, 1) λk ∈ (0, 1) mà γk → 0, k → ∞, hội tụ mạnh đến phần tử p∗ nghiệm (2.3) Chứng minh Xét ánh xạ Uk x = γk (I − λk F )x + (1 − γk )Vk x, với k ≥ x ∈ E Khi đó, từ Bổ đề 2.2, ta có Uk x − Uk y = γk (I − λk F )x + (1 − γk )Vk x − [γk (I − λk F )y + (1 − γk )Vk y] = γk [(I − λk F )x − (I − µk F )y] + (1 − γk )[Vk x − Vk y] ≤ γk (1 − λk τ ) x − y + (1 − γk ) x − y = (1 − γk λk τ ) x − y với γk λk τ ∈]0, 1[ Nên, Uk ánh xạ co E Khi đó, tồn xk ∈ E mà xk = Uk xk với k ≥ Bằng Bổ đề 3.1, ta có Vk xk − p ≤ xk − p với p ∈ F, xk − p2 = γk (I − λk F )xk + (1 − γk )Vk xk − p2 = γk λk (I − F )xk + (1 − λk )xk − p, j(xk − p) +(1 − γk ) Vk xk − p, j(xk − p) ≤ γk λk (I − F )xk − p, j(xk − p) + γk (1 − λk )xk − p2 + (1 − γk )xk − p2 ≤ γk λk (I − F )xk − p, j(xk − p) + (1 − γk λk )xk − p2 = γk λk (I − F )xk − (I − F )p − F (p), j(xk − p) + (1 − γk λk )xk − p2 31 Do đó, xk − p ≤ (1 − τ ) xk − p − F (p), j(xk − p) Từ xk − p ≤ τ −1 F (p), j(p − xk ) (2.20) Suy ra, xk − p ≤ τ −1 F (p) Có nghĩa {xk }∞ bị chặn Nên dãy k=1 {Vk xk }∞ {F (xk )}∞ bị chặn Hơn nữa, k=1 k=1 xk − Vk xk = γk (xk − Vk xk ) − γk λk F (xk ) (2.21) ≤ γk xk − Vk xk + γk F (xk ) , (2.22) có nghĩa xk − Vk xk ≤ γk F (xk ) /(1 − γk ) Vì γk → {F (xk )} bị chặn, xk − Vk xk → k → ∞ Tương tự vậy, ta chứng minh bổ đề 3.1 với (2.19) thay (2.20) với p∗ thay p, ta thu kết luận 32 KẾT LUẬN Bản luận văn giới thiệu đến thầy bạn phương pháp lặp ẩn tìm nghiệm cho lớp bất đẳng thức biến phân không gian Banach Cụ thể là, chương một, tìm hiểu nội dung khơng gian Banach, khơng gian Hilbert, tốn đặt khơng chỉnh, bất đẳng thức biến phân điểm bất động Trong chương hai, tìm hiểu phương pháp lặp ẩn giải lớp bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert khơng gian Banach Trong đó, để giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach lồi ngặt phản xạ thực có chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng tơi trình bày hai phương pháp lặp ẩn [4] Tính hội tụ mạnh chúng chứng minh cách dùng ánh xạ-V thay W Bản luận văn chắn cịn nhiều thiếu sót, nên tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! 33 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh Nguyễn Bường, Bài tốn khơng chỉnh,NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2005) [2] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Viện tốn học, Hà Nội, (2003) [3] A B Bakushinskii and A G Goncharskii, Ill-Posed Problems: Theory and Applications, Kluwer Academic Publishers Dordrecht, Boston, London, (1994) [4] Nguyen Buong and Nguyen Thi Hong Phuong,Strong Convergence to Solutions for a Class of Variational Inequalities in Banach Spaces by Implicit Iteration Methods, JOTA(2013) [5] Buong, Ng., Anh, Ng.Th Q.:An implicit iteration method for variational inequalities over the set of common fixed points of a finite family of nonexpansive mappings in Hilbert spaces, Fixed Point Theory and Applications, v 2011, Article ID 276859, 10 pages [6] Ceng, L.C., Ansari, Q.H., Yao, J.Ch.: Mean-type steepest-descent and modified steepest descent methods for variational inequalities 34 in Banach spaces, Numer Funct Anal and Optim 29(9-10), 987-1033 (2008) [7] Cioranescu, I.: Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Kluwer Acad Publ., Dordrecht, (1990) [8] F Deutsch and I Yamada, Minimizing certain convex functions over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings, Numer Funct Anal Optim., 19(1-2), 33–56, (1998) [9] I Ekeland and R Temam, Convex analysis and Variational problems,Amstedam: North Holland, (1976) [10] Kikkawa, M., Takahashi, W.:Viscosity approximation methods for countable families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces, RIMS Kokyuroku, Kyoto University, 1484(4), 105-113, (2006) [11] Takahashi, W.: Weak and strong convergence theorems for families of nonexpansive mappings and their applications Ann Univ Mariae Curie-Sklodowska Sect A 51, 277-292 (1997) [12] I Yamada, The hybrid steepest-descent method for variational inequalities problems over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings, Inhently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and their Applications, , 473–504, (2001) [13] Zeng, L.C., Yao, J.Ch,Implicit iteration scheme with perturbed mapping for common fixed points of a finite family of nonexpansive mappings, Nonl Anal 64, 2507-2515, (2006) 35 Luân văn với đề tài "Phương pháp lặp ẩn tìm nghiệm cho lớp bất đẳng thức biến phân không gian Banach" học viên Nguyễn Thị Minh Châu chỉnh sửa theo ý kiến đóng góp hội đồng chấm luận văn họp Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên ngày 21 tháng năm 2014 Người hướng dẫn khoa học GS.TS Nguyễn Bường 36 ... toán bất đẳng thức biến phân 2.1 21 Phương pháp lặp ẩn giải lớp bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 2.2 21 Phương pháp lặp ẩn giải lớp bất đẳng thức biến phân không gian Banach. .. thức biến phân điểm bất động Trong chương hai, tìm hiểu phương pháp lặp ẩn giải lớp bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert khơng gian Banach Trong đó, để giải toán bất đẳng thức biến phân. .. phương pháp lặp ẩn tìm nghiệm cho lớp bất đẳng thức biến phân không gian Banach Cụ thể là, chương một, tìm hiểu nội dung khơng gian Banach, khơng gian Hilbert, tốn đặt khơng chỉnh, bất đẳng thức