Một phương pháp lặp xoay vòng giải một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ MINH ĐỨC MỘT PHƢƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ MINH ĐỨC MỘT PHƢƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2019 ii Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên, thầy tận tình hướng dẫn tác giả q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, thầy, giáo khoa Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo đồng nghiệp Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viện, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 10 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển 13 1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 16 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 19 Chương Phương pháp lặp xoay vòng giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 21 2.1 Phát biểu toán 21 2.2 Phương pháp lặp giải Bài toán (2.5) 25 2.3 Một số ứng dụng 35 2.3.1 Điểm bất động chung ánh xạ không giãn 35 2.3.2 Điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 37 2.3.3 Khơng điểm chung tốn tử đơn điệu 41 2.4 Ví dụ số minh họa 44 Kết luận Tài liệu tham khảo 49 50 iv Một số ký hiệu viết tắt H không gian Hilbert X khơng gian Banach , tích vơ hướng H chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực không âm G(A) đồ thị toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 F ix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T Mở đầu Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" nảy sinh q trình nghiên cứu giải tốn thực tế toán cân kinh tế, tài chính, tốn mạng giao thơng, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý tốn Bài tốn giới thiệu lần Hartman Stampacchia vào năm 1966 tài liệu [6] Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều, vô hạn chiều với ứng dụng giới thiệu chi tiết sách “An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications” D Kinderlehrer G Stampacchia xuất năm 1980 [8] Từ đó, tốn bất đẳng thức biên phân nghiên cứu phát triển mạnh mẽ, thu hút sự quan tâm nhiều người làm toán nước Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải đề xuất phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm bất động, phương pháp đường dốc Bài toán bất đẳng thức biến phân phát biểu sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C, cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C, (0.1) F ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào ta ký hiệu tốn VI(C, F ) Bài tốn có ý nghĩa quan trọng việc giải toán tối ưu lồi có ràng buộc trường hợp đặc biệt toán chấp nhận lồi tiếng Ta xem tập C tập điểm bất động phép chiếu mêtric PC từ H lên C, tốn xem tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Ngồi ra, nghiên cứu mở rộng thành toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn hay vô hạn đếm hay không đếm ánh xạ không giãn Năm 2001, Yamada [17] giới thiệu phương pháp đường dốc lai ghép giải tốn (0.1), F : H −→ H toán tử Lipschitz, đơn điệu mạnh C tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn T1 , T2 , , TN , tức là, C = ∩N i=1 F ix(Ti ) (Định lý 2.2) Hơn nữa, trường hợp ánh xạ không giãn biết dạng gần (có nhiễu), hay nói cách khác ánh xạ không giãn thay dãy ánh xạ nhiễu, ánh xạ khơng giãn ban đầu thay dãy ánh xạ gần không giãn Do chủ đề bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung dãy ánh xạ gần không giãn thu hút nhiều người làm tốn ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích luận văn giới thiệu số kết tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert H Luận văn bao gồm chương: Chương nhắc lại số tính chất đặc trưng khơng gian Hilbert, tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn, tốn bất đẳng thức biến phân cổ điển, với số tốn liên quan Chương trình bày lại kết tác giả T.M Tuyen [16] cho toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ gần khơng giãn khơng gian Hilbert thực H Ngồi ra, Chương luận văn đề cập đến số ứng dụng Định lý (Định lý 2.4) cho tốn liên quan, với hai ví dụ số minh họa thêm cho tính đắn phương pháp Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm năm mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết tốn tìm điển bất động ánh xạ khơng giãn Mục 1.3 1.4 đề cập đến toán bất đẳng thức biến phân cổ điển toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Mục 1.5 giới thiệu số bổ đề bổ trợ cần sử dụng Chương luận văn Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1], [2] [8] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu , chuẩn kí hiệu Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau x−y + x−z = y−z + x − y, x − z , với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có y−z + x − y, x − z = y, y + z, z + x, x − x, z − x, y = [ x, x − x, y + y, y ] + [ x, x − x, z + z, z ] = x−y + x − z Vậy ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có λx + (1 − λ)y =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y (1.1) Chứng minh Ta có λx + (1 − λ)y = λ2 x + 2λ(1 − λ) x, y + (1 − λ)2 y 2 =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ)( x − x, y + y ) =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3 Trong không gian Hilbert thực H, ta ln có x+y ≤ x + y, x + y với x, y ∈ H Chứng minh Với x, y ∈ H, ta có x+y = x + x, y + y ≤ x + x, y + y = x + y, x + y 2 Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim xn , y = x, y , n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn x Tuy nhiên, điều ngược lại khơng Chẳng hạn xét không gian l2 = {xn } ⊂ R : ∞ n=1 |xn | < ∞ {en } ⊂ l2 , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ | en , y |2 < y < ∞ n=1 Tuy nhiên, {en } không hội tụ 0, Suy limn→∞ en , y = 0, tức en en = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy thỏa mãn điều kiện xn x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y = x, ta có lim inf xn − x < lim inf xn − y n→∞ Chứng minh Vì xn n→∞ (1.2) x, nên {xn } bị chặn Ta có xn − y = xn − x + x−y > xn − x + xn − x, x − y + xn − x, x − y Vì x = y, nên lim inf xn − y n→∞ > lim inf xn − x n→∞ + xn − x, x − y = lim inf xn − x n→∞ Do đó, ta nhận lim inf xn − x < lim inf xn − y n→∞ n→∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn xn → x , xn → x, n → ∞ x 37 giãn từ C vào cho S = ∩∞ n=0 F ix(Tn ) = ∅ Cho T ánh xạ từ C vào xác định T x = limn→∞ Tn x với x ∈ C F ix(T ) = ∩∞ n=0 F ix(Tn ) Cho {xn } dãy C xác định x0 ∈ C xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn ], ∀n ≥ 0, < µ < 2η/k , ≤ γL < τ với τ = − (2.24) − µ(2η − µk ) {αn } dãy số (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau: i) limn→∞ αn = 0, ∞ n=0 |αn+1 ii) ∞ n=0 αn − αn | < ∞ limn→∞ αn+1 /αn = 1; ∞ n=0 DB (Tn , Tn+1 ) iii) = ∞; < ∞ limn→∞ DB (Tn , Tn+1 )/αn+1 = với B ∈ B(C) Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) Chứng minh Áp dụng Hệ 2.1 với N = βn = với n ≥ 1, ta nhận điều phải chứng minh 2.3.2 Điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert H Cải tiến điều kiện Nakajo K., Takahashi W tài liệu [12], Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R [15] đưa điều kiện sau: Cho {Tn } T hai họ ánh xạ khơng giãn từ C vào nó, cho F (T ) = ∞ n=1 F (Tn ) = ∅, F (Tn ) tập điểm bất động Tn F (T ) tập điểm bất động chung họ T Khi đó, họ {Tn } gọi thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với họ T , với dãy bị chặn {zn } ⊂ C, thỏa mãn lim zn − Tn zn = 0, n→∞ ta có limn→∞ zn − T zn = với T ∈ T 38 Định nghĩa 2.1 Một họ ánh xạ T = {T (s) : ≤ s < ∞} từ tập khác rỗng C không gian Hilbert H vào gọi nửa nhóm ánh xạ khơng giãn thỏa mãn điều kiện đây: i) T (0)x = x với x ∈ C; ii) T (s + t) = T (s)T (t) với s, t ≥ 0; iii) T (s)x − T (s)y ≤ x − y với s ≥ x, y ∈ C; iv) với x ∈ C, s → T (s)x ánh xạ liên tục theo biến s [0, ∞) Ta cần bổ đề Bổ đề 2.1 (xem [12, 11]) Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H Cho T = {T (s) : ≤ s < ∞} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C với F (T ) = ∅ Cho {tn } dãy số thực với < tn < ∞ thỏa mãn limn→∞ tn = ∞ Với n ∈ N, xác định ánh xạ Tn từ C vào Tn x = tn tn T (s)xds, với x ∈ C Khi đó, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST(I) ứng với T = {T (s) : ≤ s < ∞} Ta có định lý hội tụ mạnh cho toán tìm điểm bất động chung họ hữu hạn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Định lý 2.8 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho Ti = {Ti (s) : ≤ s < ∞}, i = 1, 2, , N, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C với S = ∩N i=1 F ix(Ti ) = ∅ Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh V : C −→ H ánh xạ L-Lipschitz Với x0 ∈ C, < µ < 2η/k ≤ γL < τ với τ = − − µ(2η − µk ), cho {xn } dãy C xác định yn0 = xn , yni = βi,n yni−1 + (1 − βi,n )Ti,n yni−1 , i = 1, 2, , N, xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )ynN ], n ≥ 0, (2.25) 39 tn Ti (s)xds, với i = 1, 2, , N x ∈ C, {αn } tn dãy số (0, 1), {βi,n }, i = 1, 2, , N dãy số [a, b], với với Ti,n x = a, b ∈ (0, 1) {tn } dãy số (0, ∞) thỏa mãn điều kiện sau: ∞ n=0 αn i) limn→∞ αn = 0, ii) ∞ n=0 |αn+1 iii) ∞ n=0 |βi,n+1 = ∞; − αn | < ∞ limn→∞ αn+1 /αn = 1; − βi,n | < ∞ với i = 1, 2, , N ; iv) limn→∞ tn = ∞ ∞ n=0 |tn+1 − tn | |tn+1 − tn | < ∞ limn→∞ = tn+1 tn+1 αn Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) Chứng minh Ta áp dụng chứng minh Định lý 2.4 để chứng minh định lý Trước hết, với B ∈ B(C), Ti,n (s) ánh xạ khơng giãn với s ≥ i = 1, 2, , N , nên ta có K= max { sup i=1,2, ,N s≥0,n≥1,x∈B { Ti,n (s)x }} < ∞ Do đó, với i = 1, 2, , N , ta nhận tn+1 1 tn ti,n (s)xds − ti,n+1 (s)xds Ti,n x − Ti,n+1 x = tn tn+1 tn tn+1 |tn+1 − tn | ≤ ti,n (s)xds + ti,n+1 (s)xds tn tn+1 tn+1 tn |tn+1 − tn | ≤ 2K tn+1 Vì vậy, dãy số {tn } thỏa mãn điều kiện ∞ n=0 |tn+1 − tn | < ∞ điều tn+1 |tn+1 − tn | ∞ = 0, ta thu n=0 DB (Tn , Tn+1 ) < ∞ tn+1 αn limn→∞ DB (Tn , Tn+1 )/αn = với B ∈ B(C), tương ứng kiện limn→∞ Bằng lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.4, ta có lim xn − Ti,n xn = 0, n→∞ (2.26) 40 với i = 1, 2, , N Do đó, từ Bổ đề 2.1, ta nhận lim xn − Ti (s)xn = 0, n→∞ với i = 1, 2, , N s ≥ Giả sử {xnk } dãy dãy {xn } cho lim sup (γV − µF )x∗ , xn − x∗ = lim (γV − µF )x∗ , xnk − x∗ , k→∞ n→∞ (2.27) x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) Khơng tổng quát, ta giả sử xnk z ∈ C Từ Bổ đề 2.1 (2.26), ta nhận z ∈ F ix(Ti (s)) với s ≥ i = 1, 2, , N Do đó, z ∈ S Vì vậy, từ (2.27), ta có lim sup (γV − µF )x∗ , xn − x∗ = (γV − µF )x∗ , z − x∗ ≤ (2.28) n→∞ Phần lại chứng minh thực chứng minh Định lý 2.4 Chú ý 2.3 Các dãy số αn = √ 1 , tn = n βi,n = thỏa mãn điều kiện n i)-iv) Định lý 2.8 Ta có hệ đây: Hệ 2.4 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho T = {T (s) : ≤ s < ∞} nửa nhóm ánh xạ không giãn C với S = F ix(T ) = ∅ Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh V : C −→ H ánh xạ L-Lipschitz Với x0 ∈ C, < µ < 2η/k ≤ γL < τ với τ = − − µ(2η − µk ), cho {xn } dãy C xác định yn = βn xn + (1 − βn )Tn xn , (2.29) xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )yn ], n ≥ 0, tn T (s)xds, với x ∈ C, {αn } dãy số tn (0, 1), {βn } dãy số [0, b), với b ∈ (0, 1) {tn } dãy số với Tn x = (0, ∞) thỏa mãn điều kiện sau: 41 ∞ n=0 αn i) limn→∞ αn = 0, = ∞; ii) ∞ n=0 |αn+1 − αn | < ∞ limn→∞ αn+1 /αn = 1; iii) ∞ n=0 |βn+1 − βn | < ∞; iv) limn→∞ tn = ∞ ∞ n=0 |tn+1 − tn | |tn+1 − tn | < ∞ limn→∞ = tn+1 tn+1 αn Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) 2.3.3 Khơng điểm chung tốn tử đơn điệu Trước hết, ta nhắc lại khái niệm tốn tử đa trị đơn điệu khơng gian Hilbert Định nghĩa 2.2 Một ánh xạ đa trị A : H −→ 2H gọi toán tử đơn điệu u − v, x − y ≥ (2.30) với x, y ∈ H u ∈ A(x), v ∈ A(y) Toán tử đơn điệu A gọi đơn điệu cực đại đồ thị G(A) = {(x, u) ∈ H × H : u ∈ A(x)} không chứa thực đồ thị tốn tử đơn điệu khác H Định nghĩa 2.3 Cho A : H −→ 2H tốn tử đơn điệu cực đại Khi đó, ánh xạ JrA = (I + rA)−1 , r > gọi giải A Ta có bổ đề đây: Bổ đề 2.2 (xem [14]) Cho A : D(A) −→ 2H toán tử đơn điệu Với λ, µ > x ∈ R(I + λA) ∩ R(I + µA), ta có đánh giá sau JλA x − JµA x ≤ |λ − µ| x − JλA x λ Ta biết toán tối ưu lồi không ràng buộc trường hợp đặc biệt tốn đây: Tìm phần tử x cho ∈ A(x) 42 Một phương pháp tiếng giải phương trình ∈ A(x), với A toán tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert H phương pháp điểm gần kề, với x0 = x ∈ H, người ta xác định dãy {xn } xn+1 = JrAn (xn ), với n ∈ N, (2.31) {rn } dãy số thực dương JrAn = (I + rn A)−1 toán tử giải A Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh V : C −→ H ánh xạ L-Lipschitz Cho Ai : D(Ai ) ⊂ C −→ 2H , i = 1, 2, , N −1 toán tử đơn điệu cho S = ∩N i=1 Ai (0) = ∅ D(Ai ) ⊂ C ⊂ ∩r>0 R(I + rAi ) với i = 1, 2, , N Bây giờ, để tìm phần tử x∗ ∈ S, tác giả T.M Tuyen [16] đưa phương pháp lặp đây: yn0 = xn , yni = βi,n yni−1 + (1 − βi,n )Ji,n yni−1 , Ji,n = (I + ri,n Ai )−1 , i = 1, 2, , N, (2.32) xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )ynN ], n ≥ 0, {αn } dãy số (0, 1) {βi,n }, i = 1, 2, , N dãy số [a, b], với a, b ∈ (0, 1) {ri,n } dãy số thực dương với i = 1, 2, , N Sự hội tụ mạnh dãy {xn } cho định lý đây: Định lý 2.9 Nếu dãy số {ri,n }, {βi,n }, i = 1, 2, , N {αn } thỏa mãn điều kiện: i) limn→∞ αn = 0, ii) ∞ n=0 |αn+1 iii) ∞ n=1 |βi,n+1 ∞ n=0 αn = ∞; − αn | < ∞ limn→∞ αn+1 /αn = 1; − βi,n | < ∞ với i = 1, 2, , N ; iv) mini=1,2, ,N {inf n {ri,n }} ≥ r > 0, 1, 2, , N , ∞ n=1 |ri,n+1 − ri,n | < ∞ với i = 43 dãy {xn } xác định (2.32) hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) Chứng minh Đặt Ti,n = Ji,n với i = 1, 2, , N n ∈ N Khi đó, Ti = {Ti,n } dãy ánh xạ không giãn với i = 1, 2, , N S = ∩N i=1 F ix(Ti ) = ∅ Trước hết, ta ∞ n=0 DB (Ti,n+1 , Ti,n ) < ∞ với i = 1, 2, , N B ∈ B(C) Với B ∈ B(C), đặt K = maxi=1,2, ,N {supn { z − Ji,n+1 z : z ∈ B}} < ∞ Từ Bổ đề 2.2, với i ∈ {1, 2, , N }, ta có DB (Ti,n+1 , Ti,n ) = sup{ Ji,n+1 z − Ji,n z : z ∈ B} |ri,n+1 − ri,n | z − Ji,n+1 z : z ∈ B} ri,n+1 |ri,n+1 − ri,n | ≤K r ≤ sup{ Do đó, Vì ∞ n=0 DB (Ti,n+1 , Ti,n ) < ∞ ∞ n=1 |ri,n+1 − ri,n | < ∞, với i = 1, 2, , N nên {ri,n } dãy Cauchy với i = 1, 2, , N Giả sử limn→∞ ri,n = ri ≥ r với i = 1, 2, , N Đặt Ti = JrAi i với i = 1, 2, , N Ta có Ti,n x − Ti x = Ji,n x − JrAi i x ≤ |ri,n − ri | x − Ti x , ∀x ∈ C, ri suy Ti x = limn→∞ Ti,n x với x ∈ C Vậy, từ Định lý 2.4, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) Cuối cùng, ta có hệ đây: Hệ 2.5 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh V : C −→ H ánh xạ L-Lipschitz Cho A : D(A) ⊂ C −→ 2H toán tử đơn điệu cho S = A−1 (0) = ∅ D(A) ⊂ C ⊂ ∩r>0 R(I + rA) Nếu dãy số {rn } {αn } thỏa mãn điều kiện: i) limn→∞ αn = 0, ∞ n=0 αn = ∞; 44 ii) ∞ n=0 |αn+1 − αn | < ∞ limn→∞ αn+1 /αn = 1; iii) inf n {rn } ≥ r > 0, ∞ n=1 |rn+1 − rn | < ∞, dãy {xn } xác định x0 ∈ C xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )JrAn xn ] (2.33) hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) 2.4 Ví dụ số minh họa Mục này, luận văn đưa số ví dụ số lập trình tính tốn MATLAB nhằm minh họa thêm cho tính đắn phương pháp lặp giới thiệu Định lý 2.5 Định lý 2.8 Ví dụ 2.1 Xét tốn: Tìm phần tử x∗ ∈ S, cho ϕ(x∗ ) = ϕ(x), x∈S (2.34) ϕ(x) = (x1 − 1)2 + (x2 + 1)2 + x23 với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , S = ∩100 i=1 Ci = ∅, Ci = {(x1 , x2 , x3 ) : (x1 − 1/i)2 + (x2 + 1/i)2 + x23 ≤ 4}, i = 1, 2, , 100 Dễ thấy ϕ hàm lồi, F = ϕ toán tử 2-Lipschitz 2-đơn điệu mạnh x∗ = (1, −1, 0) điểm cực tiểu hàm ϕ S Đặt Ti = PCi , i = 1, 2, , 100 PCi phép chiếu mêtric từ R3 lên Ci Giả sử PCi cho dãy toán tử nhiễu PCni xác định   PC x, x ∈ Ci , i n P Ci x =  PCi x + ai,n e, x ∈ / Ci , (2.35) {ai,n } dãy số thực không âm thỏa mãn limn→∞ ai,n = 0, ∞ n=0 |ai,n − ai,n+1 | < ∞ e ∈ R3 cho e ≤ với i = 1, 2, , 100 45 Đặt Ti,n = PCni với i = 1, 2, , N Khi đó, Ti = {Ti,n } dãy ánh xạ gần không giãn tương ứng với dãy số {ai,n } Thật vậy, với x, y ∈ R3 , ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu x, y ∈ Ci x, y ∈ R3 \ Ci , ta có Ti,n x − Ti,n y = PCi x − PCi y ≤ x − y (2.36) Trường hợp 2: Nếu x ∈ Ci y ∈ R3 \ Ci , ta có Ti,n x − Ti,n y = PCi x − PCi y − ai,n e ≤ x − y + ai,n (2.37) Từ (2.36) (2.37), ta thu {Ti } dãy ánh xạ gần không giãn tương ứng với dãy số {ai,n }, với i = 1, 2, , 100 Dễ thấy 100 S = ∩100 i=1 F (Ti ) = ∩i=1 Ci = ∅ Bây giờ, với x ∈ R3 , ta có Ti,n x − Ti x ≤ ai,n → 0, suy limn→∞ Ti,n x = Ti x, với i = 1, 2, , 100 Với B ∈ BR3 , x ∈ B với i = 1, 2, , N , ta có Ti,n x − Ti,n+1 x ≤ |ai,n − ai,n+1 | Do đó, ∞ n=0 DB (Ti,n , Ti,n+1 ) < ∞ với B ∈ B(C) i = 1, 2, , N Ta biết Bài toán (2.34) tương đương với bất đẳng thức biến phân sau: Tìm phần tử x∗ ∈ S cho F x∗ , x∗ − y ≤ 0, ∀y ∈ S (2.38) e = (1, 0, 0) với i = 1, 2, , 100 Áp dụng phương pháp lặp n (2.19) với µ = 9/10, βi,n = 1/2 αn = 1/n với n ≥ i = 1, 2, , 100, Giả sử ai,n = x0 = (1, 2, 3), ta thu bảng kết số đây: 46 xn − x∗ TOL 10−4 10−5 10−6 10−7 9.941 × 10−5 9.997 × 10−6 9.981 × 10−7 9.995 × 10−8 n xn 55 196 704 2527 (1.0000432, (1.0000043, (1.0000004, (1.0000000, −1.0000432, −1.0000043, −1.0000004, −1.0000000, −7.8405415 × 10−5 ) −7.8850839 × 10−6 ) −7.8719440 × 10−7 ) −7.8832023 × 10−8 ) Bảng 2.1: Bảng kết số cho Ví dụ 2.1 Dáng điệu hàm số xn − x∗ trường hợp TOL= 10−5 biểu diễn Hình 2.1 10 ||xn−x*|| 10 −1 TOL 10 −2 10 −3 10 −4 10 −5 10 20 40 60 80 100 120 Number of iterations 140 160 180 200 Hình 2.1: Dáng điệu hàm số xn − x∗ cho Ví dụ 2.1 Ví dụ 2.2 Cho Ti = {Ti (s) : ≤ s < ∞}, i = 1, 2, , 100, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn từ R3 R3 xác định    cos is − sin is x1      Ti (s)x =   sin is cos is 0 x2  , 0 x3 với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 s ≥ Dễ thấy S = ∩100 i=1 F ix(Ti ) = {(0, 0, a) : a ∈ R} 47 Xét tốn tìm phần tử x∗ ∈ S, cho ϕ(x∗ ) = ϕ(x), (2.39) x∈S ϕ(x) = (x1 + 1)2 + (x2 − 1)2 + (x3 − 2)2 với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Dễ thấy ϕ hàm lồi, F = ϕ toán tử 2-Lipschitz 2-đơn điệu mạnh x∗ = (0, 0, 2) điểm cực tiểu ϕ S Áp dụng phương pháp lặp (2.25) với V x = với x, µ = 9/10, βi,n = 1/2, √ αn = 1/n tn = n với n ≥ i = 1, 2, , 100, chọn x0 = (−1, −2, −3), ta nhận bảng kết sau: xn − x∗ TOL xn n 10−2 9.982 × 10−3 225 (−7.05882 × 10−3 , 7.05882 × 10−3 , 3.00004) 10−3 9.998 × 10−4 2546 (−7.06991 × 10−4 , 7.06991 × 10−4 , 3.00000) 10−4 9.999 × 10−5 25456 (−7.07102 × 10−5 , 7.07102 × 10−5 , 3.00000) Bảng 2.2: Bảng kết số cho Ví dụ 2.2 Dáng điệu hàm số xn − x∗ trường hợp TOL= 10−2 biểu diễn hình đây: 10 ||xn−x*|| TOL 10 −1 10 −2 10 50 100 150 Number of iterations 200 250 Hình 2.2: Dáng điệu hàm số xn − x∗ cho Ví dụ 2.2 300 48 Chú ý 2.4 Trong mục này, ta sử dụng ký hiệu TOL để sai số nghiệm xấp xỉ xn nghiệm xác x∗ , tức là, TOL= xn − x∗ 49 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất đặc trưng khơng gian Hilbert, ánh xạ khơng giãn tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert; • Bài tốn bất đẳng thức biến phân cổ điển (trên khơng gian hữu hạn chiều) toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert; • Các kết Tuyen T.M tài liệu [16] cho toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần khơng giãn; • Xây dựng ví dụ số đơn giản dựa phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho phương pháp 50 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer [3] Ceng L C., Ansari Q H., Yao J C (2011), “Some iterative methods for finding fixed points and for solving constrained convex minimization problems”, Nonlinear Anal., 74(16), pp 5286–5302 [4] Combettes P L (2001), “On the numerical robustness of the parallel projection method in signal synthesis”, IEEE Signal Process Lett., 8, pp 45–47 [5] Halpern B.(1967), “Fixed points of nonexpanding maps”, Bull Math Soc., 73, pp 957–961 [6] Hartman P., Stampacchia G (1966), “On some nonlinear elliptic differential functional equations” Acta Math., 115, pp 271–310 [7] Kim T H., Xu H K (2007), “Robustness of Mann’s algorithm for nonexpansive mappings”, J Math Anal Appl., 327, pp 1105–1115 [8] Kinderlehrer D., Stampacchia G (1980), An introduction to variational inequalities and their applications, Academic Press, New York [9] Mann W R (1953), “Mean value methods in iteration”, Proc Amer Math Soc., 4, pp 506-510 [10] Moudafi A (2000), “Vicosity approximation methods for fixed point problems”, J Math Anal Appl., 241, pp 45-55 51 [11] Nakajo K., Shimoji K., Takahashi W (2007), “Strong convergence to common fixed points of families of nonexpansive mappings in Banach spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 8, pp 11-34 [12] Nakajo K., Takahashi W (2003), “Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups”, J Math Anal Appl., 279, pp 372-379 [13] Sahu D R., Kang S.M., Sagar V (2012), “Approximation of common fixed points of a sequence of nearly nonexpansive mappings and solutions of variational inequality problems”, J Appl Math., 2012 , Article ID 902437, 12 pages [14] Takahashi W (2000), Nonlinear Functional Analysis, Fixed Point Theory and Its Applications, Yokohama Publishers, Yokohama, Japan [15] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R (2008), “Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl., 341, pp 276-286 [16] Tuyen T.M (2018), “A cyclic iterative method for solving a class of variational inequalities in Hilbert spaces”, Optimization, 67(10), pp 1769-1796 [17] Yamada I (2001), “The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings”, Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and their Applications, 8, pp 473-504 [18] Wong N C., Sahu D R., Yao J C (2011), “Generalized hybrid steepestdescent method for variational inequalities in Banach spaces”, Fixed Point Theory and Appl., 2011, Article ID 754702, 28 pages ... 1.8 1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Trong mục vừa trình bày tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân cổ điển không gian Rn Các kết nghiên cứu mở rộng không gian Hilbert Dưới đây,... bất đẳng thức biến phân cổ điển 13 1.4 Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert 16 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 19 Chương Phương pháp lặp xoay vòng. .. u với x ∈ C, phương pháp xấp xỉ mềm Moudafi trở phương pháp lặp Halpern 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển Trong mục này, đề cập đến tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian hữu hạn chiều