Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian hilbert

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s P H Ạ M H À N Ộ I D O Ã N H O À N G V IỆ T P H Ổ C Ủ A T O Á N T Ử T U Y Ế N T Í N H K H Ô N G BỊ C H Ặ N T R O N G K H Ô N G G IA N H IL B E R T L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N HỌ C Hà Nội - 2015 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s P H Ạ M H À N Ộ I D o ã n H oàn g V iệt P H Ổ C Ủ A T O Á N T Ử T U Y Ế N T ÍN H K H Ô N G B Ị C H Ặ N T R O N G K H Ô N G G IA N H IL B E R T C huyên ngành: Toán giải tích M ã số: 60 46 01 02 L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N HỌ C N gười hướng dẫn khoa học: T S Tạ N g ọ c Trí Hà Nội - 2015 LỜI C Ả M ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí, người tận tình hướng dẫn bảo cho trình làm luận văn Thông qua luận văn này, muốn gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo tổ Giải tích- khoa Toán- trường Đại học Sư phạm Hà Nội gia đình, bạn bè thành viên lớp Toán giải tích Khóa 17 động viên, giúp đỡ hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Doãn Hoàng Việt LỜI CA M Đ O AN Tôi xin cam đoan luận văn tự làm hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Tôi cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Các thông tin trích dẫn, tài liệu tham khảo luận văn rõ nguồn gốc Luận văn chưa công bố tạp chí, phương tiện thông tin Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Doãn Hoàng Việt M Ụ C LỤC M ỏ đầu K iến th ứ c ch u ẩ n bị 1.1 1.2 Dại số Banach lý thuyết p h ố | 1.1.1 Dại số Banach 1.1.2 Lý thuyết p h ố Các toán tử compact trẽn khống gian Hilbert 13 P h ố c ủ a to n t tu y ế n tín h b ị ch ặn 17 2.1 18 Lý thuyết phố cho toán tử tự liên hợp 2.1.1 2.2 Phép toán đối vối phiếm hàm liên tục cho toán tử tự liên h ợ p 18 2.1.2 Độ đo p h ổ | 23 2.1.3 Lý thuyết phố cho toán tử tự liên hợp 25 Lý thuyết phố cho toán tử chuấn tắc 30 P h ố c ủ a to n t tu y ế n tín h k h ô n g b ị ch ặn tro n g k h ông g ian H ilb e rt 34 3.1 Các định nghĩa b ả n | 34 3.2 Các toán tử đóng 40 3.3 Các toán tử tự liên h ợ p 3.3.1 3.3.2 Toán tử liên hợp 45 45 Tiêu chuấn cho tự liên hợp tự liên hợp thiết yếu 52 3.4 Phố toán tử tuyến tính không bị chặn số ví dụ| 56 3.4.1 Một số vấn đề cho toán tử tuyến tính không bị chặn 56 3.4.2 Định lý phổ 61 3.4.3 Các ví dụ cụ thể toán tử không bị chặn phổ chúng 68 K ế t lu ậ n 80 T ài liệu th a m k h ảo 81 MỞ ĐẦU Lý ch ọ n đ ề tà i Giải tích hàm chuyên ngành giữ vai trò quan trọng Toán học, giúp ta tìm hiểu phát triển ngành khác giải tích Trong giải tích hàm, lý thuyết toán tử hình thành từ sớm, từ đầu kỷ 20 đóng vai trò chủ đạo ngành giải tích Lý thuyết toán tử nhánh giải tích hàm liên quan đến toán tử tính chất chúng Cuốn sách lý thuyết toán tử Stefan Banach giới thiệu lần năm 1932 Sau nhiều nhà Toán học phát triển ứng dụng nhiều Hilbert, Gelfand hay von N eum ann Họ phát triển nhiều khái niệm toán tử toán tử đóng, toán liên hợp, toán tử không biên Và có cách phát triển nghiên cứu toán tử, nghiên cứu Phổ chúng, tiêu biểu lý thuyết phổ toán tử tuyến tính T : Hi —»• H 2- Kết lý thuyết phổ mô tả việc cố gắng phân loại tấ t toán tử tuyến tính không gian Hilbert Một toán tử tuyến tính xác định không gian Hilbert thỏa mãn điều kiện bị chặn toán tử tuyến tính bị chặn Tuy nhiên nhiều toán tử tuyến tính lại không thỏa mãn điều kiện bị chặn dẫn đến khái niệm “toán tử tuyến tính không bị chặn” Khái niệm mẻ học viên cao học giải tích, việc tìm hiểu mở rộng khái niệm phổ lớp toán tử không bị chặn chắn có nhiều điều thú vị có nhiều ứng dụng cần quan tâm Vì vậy, việc tìm hiểu vấn đề phổ toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert cần thiết Với mong muốn làm phong phú thêm hiểu biết cho muốn tìm hiểu giải tích hàm, đặc biệt toán tử, đồng thời tìm hiểu sâu vấn đề này, giúp đỡ tận tình thầy TS Tạ Ngọc Trí, chọn nghiên cứu đề tài: “P h ổ c ủ a to n t tu y ế n tín h k h ô n g bị c h ặ n tr o n g k h ô n g g ia n H ilb e rt” M ụ c đ ích n g h iê n u + Tìm hiểu toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert, phổ toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert + Các định lý, ví dụ kết liên quan đến toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert N h iệm v ụ n g h iê n u + Trình bày định nghĩa, định lý khái niệm có liên quan đến toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert + Nghiên cứu phổ toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert Đ ối tư ợ n g p h m vi n g h iê n u + Đối tượng nghiên cứu: Toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert, phổ toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert + Phạm vi nghiên cứu: Các báo, sách liệu có liên quan đến toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert phổ P h n g p h p n g h iê n u + Sử dụng kiến thức lý thuyết phổ: lý thuyết toán tử, toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert; kiến thức đại số Banach + Sử dụng phương pháp kiến thức giải tích hàm để tiếp cận vấn đề Đ ó n g góp m ới + Trình bày nhiều lý thuyết phổ toán tử bị chặn + Trình bày khái niệm toán tử tuyến tính không bị chặn, phổ toán tử tuyến tính không bị chặn ứng dụng toán tử tuyến tính không bị chặn số ví dụ cụ thể N ội d u n g Luận văn gồm có chương: Chương Luận văn trình bày kiến thức để làm cho chương để tiếp cận chương sau lý thuyết phổ, đại số Banach, toán tử com pact Chương Luận văn trình bày phổ toán tử bị chặn Qua phần này, tác giả muốn đóng góp thêm định lý ví dụ phổ toán tử tự liên hợp hay toán tử chuẩn tắc Chương Luận văn trình bày toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert đưa số kết liên quan đến phổ số toán tử không bị chặn Thông qua đó, tác giả nêu tầm quan trọng ứng dụng toán tử không bị chặn số trường hợp cụ thể C hương K IẾ N T H Ứ C C H U Ẩ N B Ị 1.1 1.1.1 Đ ại số B anach lý th u yết phổ Đ ại số B a n a c h Trước hết ta định nghĩa đại số: Không gian tuyến tính B gọi đại số đưa thêm đại số -phép nhân, thỏa mãn tiên đề: -(1) Ư ) h = ĩ { g h ) V f , g , h e B -(2) f ( g + h) = f g + f h v ầ ( / + g) h = f h + gh V/, g , h e B -(3 ) a ( f g ) = ( a f ) g V a e C , / ỡ € ổ -(4) Tồn phần tử đơn vị e G B cho: e f = f e = / -(5) Nếu thân phép nhân giao hoán, tức f g = g f V/, g € B -( ) \\fg\\ < 11/11 MI V/ , G B ||eỊỊ = Một đại số Banach (trên c, ta giả sử có đơn vị), không gian Banach A với phép nhân (a, 6) I—^ ab thỏa mãn quy tắc đại số thông thường (kết hợp, phân phối phép nhân) C-tuyến tính, với chuẩn A thỏa mãn hai điều kiện 67 đo bị chặn nằm tính độ đo Lebesgue, hàm đơn giản thế, trù mật L°° (R) với hội tụ theo điểm bị chặn □ M ệ n h đề 3.4.11 Cho H ỉà không gian Hỉlbert, (D (T) , T) ỉà toán tử tự liên hợp H G H Tồn độ đo Borel V ịiv T R ; gọi độ đo phổ V T cho ( f (T) v , v ) = j f (X) dịiVĩT (x) R với f bị chặn liên tục R Nói riêng, ịiv T độ đo hữu hạn với ịiv T (R) = IM|2Hơn nữa, V G D (T), ta có ỊxỊ dịiVtT (x) < + 0 , / R trường hợp ta có xd/iVjT (X) = (T v , v ) R Chứng minh Bằng phép toán cho phiếm hàm, ánh xạ / ^ ( / (T)v,v) ánh xạ tuyến tính dương định nghĩa rõ ràng không gian hàm liên tục bị chặn R cho tích phân / số độ đo Borel ịiv T, định lý Riesz-Markov (2.1.9) Để chứng minh tính chất cuối cùng, ta biểu diễn T toán tử nhân Mg Khi ta có ( / (M9) Ịpì + “ /2 fc^i ^ Cfc chứng tỏ (cfc) sinh L2 (£/) ý nghĩa Hilbert, tương tự với ( s k ) □ B ổ đ ề 3.4.16 Cho H không gian Hilbert tách (D (T ), T) toán tử không bị chặn đối xứng dương H Giả sử tồn hệ trực chuẩn (ej) H mà Ej £ D (T) với j ỉà hàm riêng T, hay nói cách khác, Tej — Xjßj với số Aj ^ với j > Khi T tự liên hợp thiết yếu bao đóng tương đương unita với toán tử nhẫn (D , M ) i (N) cho D = ị { Xj ) €f (N ) I ^ X) \ x i \ < + °° ú>1 Nói riêng, phổ (D ( T ) , T) ỉà bao đóng tập giá trị riêng {À,} 79 Chứng minh Ta biết toán tử nhân tự liên hợp có phổ mà mô tả Vì đủ để bao đóng (D ( T ) , T ) tương đương unita với dĩ nhiên phép đẳng cấu unita cần thiết đưa hệ Hilbert (ej): u (xj ) = x j ej e H - Để thấy T = U M U ~l : ta bắt đầu với (v,co) G r (T) Khi với j, đối xứng toán tử (nói riêng D (T) c D (T*)) cho ta (uj,ej) = (T v , e j } = (v, Te ị) = Xj (v,ej ), (ej) hệ trực chuẩn, ta có w eì ) ej = j xi e.j) ei j nói riêng = IMI2 < +°°> VÌ U~l D (T) c D (M), U M U ~1V = ÍV = T v với V € D (T), nói cách khác T c U M U ~X Để kết thúc ta phải r (T) trù mật r (u M U -1) Cho (v , oj) G r hệ (ej) ta có v= j ej)ej’ “ =^j2Ằi(v’ ej ta định nghĩa Vn = ^2 {v,ej)ej, u)n = T v n = ^ (v i ej ) ej (được phép 6j G D (T), tổng hữu hạn T tuyến tính) Bây giờ, tron g chuẩn H X H, ta có ||(v,cư) - (vn,ujn) II2 = \\v - vn\\2 + ỊỊw - ujn\\2, tấ t giới hạn đến n —> +oo (dĩ nhiên điều thứ định nghĩa D (M)) □ 80 K ẾT LUẬN Những kết đạt trình nghiên cứu là: • Nhắc lại số kiến thức Đại số Banach, lý thuyết phổ, toán tử compact • Trình bày toán tử tuyến tính bị chặn phổ chúng • Trình bày vấn đề toán tử tuyến tính không bị chặn không gian Hilbert kết có liên quan đến phổ chúng thông qua số định lý ví dụ cụ thể Do thời gian có hạn nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn ! 81 TÀI LIỆU TH AM KHẢO Tài liệu tiến g V iệt [1] Nguyễn Phụ Hy(2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật [2] Hoàng Tụy(2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tài liệu tiến g A nh [3] w Averson(2001), Ả Short Course on Spectrum Theory, Springer, New York [4] J Conway and S.Kochen(2009), The strong free will theorem, 226232, Notices of the A.M.S, New York [5] E Kowalski(2009), Spectral theory in Hilbert spaces, ETH Zürich, Switzerland [6] M Reed and B Simon(1980), Methods of modern mathematical physics, I: Functional analysis, Academic Press, New York [7] M Reed and B Simon(1980), Methods of modern mathematical physics, II: Self-adjointness and Fourier theoretic techiques, Aca­ demic Press, New York [8] Tạ Ngọc Tri(2009), Results on the number of the zero modes of the Weyl- Dirac operator, PhD Thesis, Lancaster Universiry [...]... ỡ) cho mt khụng gian o Hv / Vi if G H m nh theo cỏc phn trc rng l khụng gian con ca cỏc hm thuc dng c ( (T)), X I f (g (X)) if (X) vi ph l giỏ ca = sup ||T(ô)|| = SUPÊ M ||u||^l V^ ll^ll v phộp nhõn l tớch ca hai ỏnh x Núi riờng, nú bao gm trng hp A = L(H), õy H l mt khụng gian Hilbert Trong trng hp ny cựng vi cu trỳc tuyn tớnh trờn A, toỏn t liờn hp T ằ T* c... to ỏ n t com pact trn khụng gian H ilbert Ta cú nh ngha tng ng ca cỏc toỏn t compact: (1) T L ( H ) l compact, ký hiu l T E K( H) , nu cú mt dóy cỏc toỏn t Tn L( H) vi dimIm(Tn) < +oo vi mi 71, v lim Tn = T n >+00 trong tụpụ sinh bi chun trờn L ( H ); (2) Vi tp con bt k b chn B c H, nh T ( B ) c H l compact a phng, ngha l bao úng ca nú l compact Trong bt k mt khụng gian Hilbert vụ hn chiu no, cú hỡnh... toỏn t ng nht khụng nm trong K( H) Núi cỏch khỏc, nh ngha th nht ch ra rng T G K ( H ) l compact v (S' L ( H ) l tựy ý, ta cú ST, T S K{ H) , hoc theo ngụn ng i s, K ( H ) l iờan-2 ngụi trong i s Banach L(H) nh ngha th nht cng ch ra rng K ( H ) l úng trong L(H) Thc t thỡ nu H l tỏch c, K ( H ) ch l iờan-2 ngụi úng trong L(H), ngoi tr 0 v L(H) Di õy l kt qu c bn cho toỏn t compact trong L ( H ): n h... trự mt trong khụng gian Hilbert L 2 ( ( T ) , iv), v vỡ vy cú mt s m rng (ng c) u : L2 (