Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian hilbert (LV01744)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DỖN HỒNG VIỆT PHỔ CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH KHƠNG BỊ CHẶN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Dỗn Hồng Việt PHỔ CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH KHƠNG BỊ CHẶN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Tạ Ngọc Trí Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí, người tận tình hướng dẫn bảo cho tơi q trình làm luận văn Thơng qua luận văn này, tơi muốn gửi lời cảm ơn đến thầy giáo tổ Giải tích- khoa Tốn- trường Đại học Sư phạm Hà Nội gia đình, bạn bè thành viên lớp Tốn giải tích Khóa 17 động viên, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Dỗn Hồng Việt LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn tơi tự làm hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Tơi cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực khơng trùng lặp với đề tài khác Các thơng tin trích dẫn, tài liệu tham khảo luận văn rõ nguồn gốc Luận văn chưa cơng bố tạp chí, phương tiện thơng tin Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Dỗn Hồng Việt MỤC LỤC Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Đại số Banach lý thuyết phổ 1.1.1 Đại số Banach 1.1.2 Lý thuyết phổ Các tốn tử compact khơng gian Hilbert 13 Phổ tốn tử tuyến tính bị chặn 2.1 Lý thuyết phổ cho tốn tử tự liên hợp 2.1.1 2.2 17 18 Phép tốn phiếm hàm liên tục cho tốn tử tự liên hợp 18 2.1.2 Độ đo phổ 23 2.1.3 Lý thuyết phổ cho tốn tử tự liên hợp 25 Lý thuyết phổ cho tốn tử chuẩn tắc 30 Phổ tốn tử tuyến tính khơng bị chặn khơng gian Hilbert 34 3.1 Các định nghĩa 34 3.2 Các tốn tử đóng 40 3.3 Các tốn tử tự liên hợp 45 3.3.1 Tốn tử liên hợp 45 3.3.2 Tiêu chuẩn cho tự liên hợp tự liên hợp thiết yếu 3.4 52 Phổ tốn tử tuyến tính khơng bị chặn số ví dụ 56 3.4.1 Một số vấn đề cho tốn tử tuyến tính khơng bị chặn 56 3.4.2 Định lý phổ 61 3.4.3 Các ví dụ cụ thể tốn tử khơng bị chặn phổ chúng 68 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 81 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích hàm chun ngành giữ vai trò quan trọng Tốn học, giúp ta tìm hiểu phát triển ngành khác giải tích Trong giải tích hàm, lý thuyết tốn tử hình thành từ sớm, từ đầu kỷ 20 đóng vai trò chủ đạo ngành giải tích Lý thuyết tốn tử nhánh giải tích hàm liên quan đến tốn tử tính chất chúng Cuốn sách lý thuyết tốn tử Stefan Banach giới thiệu lần năm 1932 Sau nhiều nhà Tốn học phát triển ứng dụng nhiều Hilbert, Gelfand hay von Neumann Họ phát triển nhiều khái niệm tốn tử tốn tử đóng, tốn liên hợp, tốn tử khơng biên Và có cách phát triển nghiên cứu tốn tử, nghiên cứu Phổ chúng, tiêu biểu lý thuyết phổ tốn tử tuyến tính T : H1 → H2 Kết lý thuyết phổ mơ tả việc cố gắng phân loại tất tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert Một tốn tử tuyến tính xác định khơng gian Hilbert thỏa mãn điều kiện bị chặn tốn tử tuyến tính bị chặn Tuy nhiên nhiều tốn tử tuyến tính lại khơng thỏa mãn điều kiện bị chặn dẫn đến khái niệm “tốn tử tuyến tính khơng bị chặn” Khái niệm mẻ học viên cao học giải tích, việc tìm hiểu mở rộng khái niệm phổ lớp tốn tử khơng bị chặn chắn có nhiều điều thú vị có nhiều ứng dụng cần quan tâm Vì vậy, việc tìm hiểu vấn đề phổ tốn tử tuyến tính khơng bị chặn khơng gian Hilbert cần thiết Với mong muốn làm phong phú thêm hiểu biết cho muốn tìm hiểu giải tích hàm, đặc biệt tốn tử, đồng thời tìm hiểu sâu vấn đề này, giúp đỡ tận tình thầy TS Tạ Ngọc Trí, tơi chọn nghiên cứu đề tài: “Phổ tốn tử tuyến tính khơng bị chặn khơng gian Hilbert” Mục đích nghiên cứu + Tìm hiểu tốn tử tuyến tính khơng bị chặn khơng gian Hilbert, phổ tốn tử tuyến tính khơng bị chặn khơng gian Hilbert + Các định lý, ví dụ kết liên quan đến tốn tử tuyến tính khơng bị chặn khơng gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu + Trình bày định nghĩa, định lý khái niệm có liên quan đến tốn tử tuyến tính khơng bị chặn khơng gian Hilbert + Nghiên cứu phổ tốn tử tuyến tính khơng bị chặn khơng gian Hilbert Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Tốn tử tuyến tính khơng bị chặn khơng gian Hilbert, phổ tốn tử tuyến tính khơng bị chặn khơng gian Hilbert + Phạm vi nghiên cứu: Các báo, sách liệu có liên quan đến tốn tử tuyến tính khơng bị chặn khơng gian Hilbert phổ Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng kiến thức lý thuyết phổ: lý thuyết tốn tử, tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert; kiến thức đại số Banach + Sử dụng phương pháp kiến thức giải tích hàm để tiếp cận vấn đề Đóng góp + Trình bày nhiều lý thuyết phổ tốn tử bị chặn + Trình bày khái niệm tốn tử tuyến tính khơng bị chặn, phổ tốn tử tuyến tính khơng bị chặn ứng dụng tốn tử tuyến tính khơng bị chặn số ví dụ cụ thể Nội dung Luận văn gồm có chương: Chương Luận văn trình bày kiến thức để làm cho chương để tiếp cận chương sau lý thuyết phổ, đại số Banach, tốn tử compact Chương Luận văn trình bày phổ tốn tử bị chặn Qua phần này, tác giả muốn đóng góp thêm định lý ví dụ phổ tốn tử tự liên hợp hay tốn tử chuẩn tắc Chương Luận văn trình bày tốn tử tuyến tính khơng bị chặn khơng gian Hilbert đưa số kết liên quan đến phổ số tốn tử khơng bị chặn Thơng qua đó, tác giả nêu tầm quan trọng ứng dụng tốn tử khơng bị chặn số trường hợp cụ thể Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Đại số Banach lý thuyết phổ Đại số Banach Trước hết ta định nghĩa đại số: Khơng gian tuyến tính B gọi đại số đưa thêm đại số -phép nhân, thỏa mãn tiên đề: -(1) (f g) h = f (gh) ∀f, g, h ∈ B -(2) f (g + h) = f g + f h (f + g) h = f h + gh ∀f, g, h ∈ B -(3) α (f g) = (αf ) g ∀α ∈ C, f g ∈ B -(4) Tồn phần tử đơn vị e ∈ B cho: ef = f e = f -(5) Nếu thân phép nhân giao hốn, tức f g = gf ∀f, g ∈ B -(6) f g ≤ f g ∀f, g ∈ B e = Một đại số Banach (trên C, ta ln giả sử có đơn vị), khơng gian Banach A với phép nhân (a, b) → ab thỏa mãn quy tắc đại số thơng thường (kết hợp, phân phối phép nhân) C-tuyến tính, với chuẩn A thỏa mãn hai điều kiện ab a b , = a1 a2 ak a1 ak 68 Bây ϕ ∈ D (Mg ), ta có |g (x)|2 |ϕ (x)|2 dµ (x) < +∞ x2 dµϕ,Mg (x) = R R Bằng Cauchy-Schwarz, µϕ,Mg độ đo hữu hạn, ta suy |x| dµϕ,Mg < +∞ R Cơng thức cuối có định lý hội tụ trội tính chất (v) hệ 3.4.10 Chú ý rằng, quy nạp ta co thể kiểm tra: có υ để υ ∈ D (T ) , T υ ∈ D (T ) , , T n−1 υ ∈ D (T ) |x|n dµυ,T (x) < +∞, R T j υ, υ = xj dµυ,T (x) với j n R 3.4.3 Các ví dụ cụ thể tốn tử khơng bị chặn phổ chúng Ta đưa hai ví dụ tốn tử Laplace ta bàn tính chất phổ chúng việc tìm biểu diễn mở rộng tự liên hợp ∆ tốn tử nhân Hai ví dụ phân hai trường hợp: (1) Rn , ∆ tự liên hợp thiết yếu phổ rõ ràng liên tục rộng nó: σ (∆) = [0, +∞) với ∆; (2) (0, 1)n , ∆ có mở rộng tự liên hợp phân biệt, ta bàn số chúng: mở rộng Dirichlet Neumann phân biệt điều kiện bị chặn Trước hết, để vào ví dụ, ta có định nghĩa tốn tử Laplace (có thể tham khảo thêm [5]): Cho U ⊂ Rd tập mở, 69 giả sử khơng rỗng, cho H = L2 (U ), khơng gian hàm bình phương khả tích U , với độ đo Lebesgue Ta xét tốn tử Laplace (D (∆) , ∆) định nghĩa sau: -Miền D (∆) = Cc∞ (U ) khơng gian hàm trơn có giá compact U ; Nó biết trù mật H với chuẩn L2 -Với ϕ ∈ D (∆), ta đặt n ∆ϕ = − j=1 ∂ 2ϕ ∂x2j Đây lại hàm trơn, có giá compact, bị chặn nằm L2 (U ) Từ ví dụ trước tốn tử vi phân, khơng mong đợi rằng, miền nhỏ hơn, ∆ tự liên hợp Mặc dù vậy, ta đưa ví dụ có mở rộng tự liên hợp Ví dụ 3.4.12 Cho U = Rn Khi rõ ràng biểu diễn (∆, D (∆)) U cho mệnh đề sau: Mệnh đề 3.4.13 Bao đóng tốn tử Laplace Rn tương đương unita với tốn tử nhân D (T ) tác động L2 (Rn ), D = ϕ ∈ L2 (Rn ) x → x ϕ (x) ∈ L2 (Rn ) T ϕ (x) = (2π)2 x ϕ (x) , 1/2 Rn , phổ tốn tử mà x chuẩn Ơclit x21 + · · · + x2n [0, +∞) rõ ràng phổ liên tục Chứng minh Cơng cụ phần chứng minh biến đổi Fourier (trong ví dụ 3.1.9) Trong đặt Rn , tốn tử unita U : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) cho ϕ (t) e−2iπ x,t dt U ϕ (x) = Rn (3.10) 70 với f ∈ L2 (Rn ) ∩ L1 (Rn ), x, t tích vơ hướng thơng thường Rn Thực tế quan hệ U ∂xj ϕ (x) = 2iπxj U ϕ (x) phù hợp với j, j n, ϕ ∈ D (∆) Thật vậy, dễ dàng lấy tích phân phần, tương tự (3.1); từ ta nhận U (∆ϕ) (x) = (2π)2 x U (ϕ) (x) với ϕ ∈ D (∆) Trước tiên ta chứng tỏ ∆ tự liên hợp thiết yếu, sử dụng tiêu chuẩn cuối mệnh đề 3.3.14 Cho z = i −i, ta Im (∆ + z) trù mật L2 (Rn ) việc phần bụ trực giao ({0}) Theo đó, cho ϕ ∈ L2 (Rn ) cho ϕ, (∆ + z) ψ = với ψ ∈ D (∆) = Cc∞ (Rn ) Sử dụng tính chất unita biến đổi Fourier, ta = ϕ, (∆ + z) ψ = U ϕ, U (∆ + z) ψ = U ϕ, 4π x + z Uψ , với ψ ∈ D (∆) Điều có nghĩa 0= 4π x + z U ϕ, U ψ với ψ ∈ D (∆) Tuy nhiên, D (∆) trù mật L2 (Rn ), ta có tính trù mật U D (∆), ta kết luận 4π x + z U ϕ = 0, U ϕ = 0, kéo theo ϕ = Điều cung cấp cho chứng minh tự liên hợp thiết yếu Tiếp theo cơng thức sau (D (∆) , ∆) tương đương unita với tốn tử nhân M4π2 · : ϕ → 4π x ϕ, 71 định nghĩa U D (∆) Sau thành tự liên hợp thiết yếu Nhưng tốn tử nhân định nghĩa D = ϕ ∈ L2 (Rn ) x ϕ ∈ L2 (Rn ) D, M4π2 U D (∆) , M4π2 x x tự liên hợp, bao đóng Sử dụng biến đổi Fourier ngược lại, bao đóng ∆ tương đương unita với D, M4π2 x Cuối cùng, khoảng (hoặc khoảng thực sự) phép nhân x → 4π x [0, +∞[, kéo theo σ (∆) = [0, +∞) Qua trực quan, "hàm riêng tổng qt" hàm lũy thừa phức et (x) = e2iπ x,t với t ∈ Rn , (∆ xem tốn tử vi phân ví dụ sau) ta có ∆et = 4π t et Mặc dù et ∈ / L2 (Rn ), khơng có hàm riêng ∆ Tuy nhiên, ý cơng thức Fourier đảo f (x) = U f (t) et (x) dx (3.11) Rn trơng gần giống với dạng tích phân khai triển "hệ trực chuẩn" mà có tham số t, với "các hệ số" U f (t) = f (x) et (x)dx = f, et Rn (nhưng thực có hình thức mở rộng, dạng chặt chẽ chúng cho khai triển phổ ∆ mà tìm biến đổi Fourier) 72 Ví dụ 3.4.14 Bây ta xét U = (0, 1)n Ở biến đổi Fourier thay mở rộng Fourier, mà (trái với cơng thức (3.11)) tương ứng với khai triển hàm ϕ ∈ L2 (Rn ) phạm vi trực chuẩn L2 (U ), phân dạng hàm lũy thừa phức ek : x → e2iπ x,k với k = (k1 , , kn ) ∈ Zn Thật chúng thuộc L2 (U ) khơng khó để chúng thiết lập hệ trực chuẩn khơng gian (chẳng hạn trường hợp n = 1, ta bao đóng khơng gian mà chúng phủ lên chứa tất hàm dạng x → ϕ1 (x1 ) · · · ϕn (xn ) dạng hàm trù mật L2 (U ), định lý StoneWeierstrass làm ví dụ, hàm liên tục trù mật C U mà trù mật L2 U = L2 (U )) Chú ý em ∈ C ∞ (U ); ta xem ∆ đơn giản tốn tử vi phân, sử dụng tích "tách biến" ek (x1 , , xn ) = e2iπk1 x1 · e2iπk2 x2 · e2iπkn xn , quan hệ y = α2 y với y (x) = eαx ta thấy ∆ek = (2π)2 k ek Mặc dù vậy, ý ek khơng có giá compact U , hàm riêng L2 khơng thuộc miền tốn tử Laplace ta định nghĩa chúng Thực tế, có nhiều dạng hàm riêng tốn tử Laplace: với α = (α1 , , αn ) ∈ Cn , ta có ∆fα = α12 + · · · + αn2 fα với fα (x) = eα1 x1 +···αn xn 73 Sử dụng điều này, ta xác định nhanh (D (∆) , ∆) khơng tự liên hợp thiết yếu, sử dụng mệnh đề 3.3.14,(2) Với véctơ phức α với α12 + · · · + αn2 = ±i (ví dụ α = eiπ/4 , 0, , ), hàm fα hàm riêng ∆ với giá trị riêng ±i Bây ta kiểm tra xem hàm miền D (∆∗ ) liên hợp (D (∆) , ∆), thỏa mãn ∆∗ fα = ±ifα Thật vậy, ta có ∆ϕ (x) e α,x dx ∆ϕ, fα = U với ϕ ∈ D (∆), tích phân phần ∆ đối xứng D (∆) cho thấy ϕ, ∆fα thực tế ϕ có giá compact (dù thực khơng phải với fα ) đủ để chắn điều kiện biên bị triệt tiêu Bằng định nghĩa, cơng thức tính chất ta muốn fα , chứng tỏ (D (∆) , ∆) khơng tự liên hợp Phép tốn tự khơng cung cấp cho ta ví dụ mở rộng tự liên hợp (D (∆) , ∆) Mặc dù vậy, gợi ý có nhiều điều để làm với dáng điệu điều kiện biên ta viết tích phân phần cho nhiều hàm tổng qt với giá compact Và điều thật trường hợp: ý tưởng cho phép nhiều hàm tổng qt chúng với giá compact, cách mà dáng điệu biên ∂U khơng nhờ tích phân phần để "đi đúng" (để nhận tốn tử đối xứng), cách thỏa mãn hàm với điều kiện biên (để thấy liên hợp) Đơn giản để mơ tả mở rộng (D (∆) , ∆) mà liên hợp thực - thực tế mở rộng tự liên hợp bao đóng chúng, miền mở rộng mà phải mơ ta tinh tế 74 Trong trường hợp n = 1, ta đốn khơng gian nghiệm phường trình vi phân −y = ±iy (0, 1) hai chiều, vơ hạn chiều với n Khi ta mở rộng mơ tả với n Với n = 1, ta định nghĩa khơng gian L2 ([0, 1]) chứa D (∆) = Cc∞ ((0, 1)) sau: đầu tiên, định nghĩa D khơng gian hàm ϕ ∈ C ∞ ((0, 1)) đạo hàm ϕ(j) , j mà kéo dài đến hàm liên tục [0, 1], ta ký hiệu ϕ(j) (0) ϕ(j) (1) giá trị tương ứng với điểm biên Khi cho D1 = ϕ ∈ D |ϕ (0) = ϕ (1) , ϕ (0) = ϕ (1) , , D2 = ϕ ∈ D |ϕ (0) = ϕ (1) = , D3 = ϕ ∈ D |ϕ (0) = ϕ (1) = Một biểu diễn khác khơng gian thực khơng gian hàm trơn R/Z, xem hàm trơn 1-chu kỳ R: ϕ ∈ D1 nghĩa hàm định nghĩa với x thực ϕ (x) = ϕ (x − n) n ≤ x < n + 1, với n ∈ Z C ∞ (R) Bởi giá trị đạo hàm khơng trùng nhau, D2 khơng phải khơng gian D1 , khơng gian khác biệt ta có tương ứng với tốn tử Laplace (Di , ∆), hàm kéo dài đến (D (∆) , ∆) (Hàm sở ek (x) = e2iπkx , với k ∈ Z, tất D1 , khơng D2 D3 , dù ek − ∈ D2 với k) Phép lấy tích phân phần sử dụng để chứng minh tính đối xứng ∆ D (∆) áp dụng để mở 75 rộng (D (∆) , ∆) đối xứng: ta có 1 ϕ ψ dt ∆ϕ, ψ = [−ϕ ψ]0 + = ϕ (0) ψ (0) − ϕ (1) ψ (1) + ϕ ψ dt, giới hạn biên triệt tiêu trường hợp ϕ, ψ ∈ Dj Đây biểu diễn đối xứng ϕ ψ, ∆j đối xứng Thuật ngữ phổ biến D1 tốn tử Laplace với điều kiện biên tuần hồn, D2 tốn tử Laplace với điều kiện biên Dirichclet, D3 tốn tử Laplace với điều kiện biên Neumann Mệnh đề 3.4.15 Ba tốn tử (Dj , ∆) , j mở rộng tự liên hợp thiết yếu tốn tử Laplace xác định D (∆) Hơn nữa, ba σ (∆j ) = σp (∆j ) -hồn tồn phổ điểm- giá trị riêng cho bởi: σ (D1 ) = 0, 4π , 16π , , 4π k , , σ (D2 ) = π , 4π , , k π , , σ (D3 ) = 0, π , 4π , , k π , Tập hợp phổ tương đối đơn giản, cụ thể, khơng gian riêng có chiều 1, với D2 D3 Với D1 , ta có dimKer (D1 ) = 1, dimKer D1 − (2πk)2 = 2, với k Chứng minh Có thể trực quan thấy kết định lý này, ta kiểm tra điều kiện biên, lần chúng bị áp đặt, kéo theo khơng hàm riêng (khác khơng) với ±i thuộc Dj Thật vậy, với giá trị riêng i, hàm ϕ (x) = aeαx + be−αx , với ϕ (x) = α aeαx − be−αx , 76 α2 = i Nếu ta xét D3 , ta có điều kiện   aα − bα =  aαeα − bαe−α = với ϕ nằm D3 Điều rõ ràng a = b = khẳng định, hai trường hợp lại tương tự Việc xét hàm riêng giá trị riêng trực quan vậy: ngược lại, với α ∈ C, hàm viết hàm riêng chuẩn tắc tốn tử vi phân Laplace với giá trị riêng α2 ∈ C, phép tốn dễ dàng xác định với α, a b, điều kiện biên tốn tử Dj thỏa mãn Bây ta xét ví dụ D2 : hệ tuyến tính trở thành   a+b=0  aeα + be−α = 0, mà có nghiệm khác khơng e2α = 1, α = ikπ với k ∈ Z Nghiệm cho ϕ (x) = 2ia sin (kπx) dẫn đến khơng gian riêng chiều với giá trị riêng π k với k (chú ý giá trị k = cho ta hàm khơng, k −k cho nghiệm nhau) Khi hàm riêng nằm miền D2 , chúng cho ta phần tử điểm phổ (Và tương tự với D1 D3 với hàm riêng ϕ (x) = ae2iπkx + be−2iπkx , ϕ (x) = a cos (kπx) với k ∈ Z k 0, tương ứng với giá trị riêng 4π k π k ) Để kết thúc, ta áp dụng Bổ đề 3.4.16 phần dưới, ta thấy rằng, hàm riêng D1 ta vừa tìm, ta tìm thấy hệ trực chuẩn L2 (U ) (là x → e2iπkx với k ∈ Z), phát biểu tương ứng khơng khó để kiểm tra với khác 77 Thật vậy, với D2 D3 , ta lấy hàm √ √ sk : x → sin (kπx) , k 1, c0 = 1, ck : x → cos (kπx) , k 1, tương ứng Đầu tiên hàm rõ ràng trực giao L2 (U ), ta kiểm tra chúng sở trực chuẩn Khi đó, ý hàm   (−1, 1) → C fk :  x → eiπkx với k ∈ Z thiết lập hệ trực chuẩn H1 = L2 (]−1, 1[) với tích ϕ, ψ 1 = ϕ (t) ψ (t)dt −1 Phân tích ϕ ∈ H1 phần chẵn lẻ, ta có tổng trực giao trực tiếp H1 = H1+ ⊕⊥ H1−1 , với H1± = ϕ ∈ H1 |ϕ (−x) = ±ϕ (x) với hầu hết x , với phép chiếu trực giao   H1 → H ±  ϕ → (ϕ (x) ± ϕ (−x)) Bởi thu hẹp, ta có phép đẳng cấu unita   H ± → L2 ([0, 1])  ϕ → ϕ giới hạn đến [0, 1] , với nghịch đảo cho việc mở rộng hàm đến chẵn lẻ, cần 78 Bây ta bắt đầu với ϕ ∈ L2 ([0, 1]) kéo dài đến hàm ϕ [−1, 1] mà chẵn, theo ta viết ϕ, fk fk , ϕ= (3.12) k∈Z với ϕ, fk 1 1 1 = ϕ (t) e−ikπt dt = ϕ (t) e−ikπt dt + 2 −1   ϕ, √1 ck , k = 0, =  ϕ, c , k = ϕ (t) eikπt 0 Từ đó, thu hẹp (3.12) đến [0, 1] cho ta ϕ (x) = ϕ, fk fk = ϕ, c0 + k∈Z k 1 √ ϕ, ck ck chứng tỏ (ck ) sinh L2 (U ) ý nghĩa Hilbert, tương tự với (sk ) Bổ đề 3.4.16 Cho H khơng gian Hilbert tách (D (T ) , T ) tốn tử khơng bị chặn đối xứng dương H Giả sử tồn hệ trực chuẩn (ej ) H mà ej ∈ D (T ) với j hàm riêng T , hay nói cách khác, T ej = λj ej với số λj với j Khi T tự liên hợp thiết yếu bao đóng tương đương unita với tốn tử nhân (D, M ) (N ) cho D= (xj ) ∈ λ2j |xj |2 < +∞ , (N ) | M ((xj )) = (λj xj ) j Nói riêng, phổ (D (T ) , T ) bao đóng tập giá trị riêng {λj } 79 Chứng minh Ta biết tốn tử nhân tự liên hợp có phổ mà mơ tả Vì đủ để bao đóng (D (T ) , T ) tương đương unita với (D, M ), dĩ nhiên phép đẳng cấu unita cần thiết đưa hệ Hilbert (ej ): xj ej ∈ H U (xj ) = j Để thấy T = U M U −1 , ta bắt đầu với (υ, ω) ∈ Γ (T ) Khi với j, đối xứng tốn tử (nói riêng D (T ) ⊂ D (T ∗ )) cho ta ω, ej = T υ, ej = υ, T ej = λj υ, ej , (ej ) hệ trực chuẩn, ta có ω= ω, ej ej = j λj υ, ej ej j nói riêng λ2j | υ, ej |2 = ω < +∞, j U −1 D (T ) ⊂ D (M ), U M U −1 υ = ω = T υ với υ ∈ D (T ), nói cách khác T ⊂ U M U −1 Để kết thúc ta phải Γ (T ) trù mật Γ U M U −1 Cho (υ, ω) ∈ Γ U M U −1 ; hệ (ej ) ta có υ= υ, ej ej , j ω= λj υ, ej ej j ta định nghĩa υn = υ, ej ej , ωn = T υn = j n υ, ej ej j n (được phép ej ∈ D (T ), tổng hữu hạn T tuyến tính) Bây giờ, chuẩn H × H, ta có (υ, ω) − (υn , ωn ) = υ − υn + ω − ωn , tất giới hạn đến n → +∞ (dĩ nhiên điều thứ định nghĩa D (M )) 80 KẾT LUẬN Những kết đạt q trình nghiên cứu là: • Nhắc lại số kiến thức Đại số Banach, lý thuyết phổ, tốn tử compact • Trình bày tốn tử tuyến tính bị chặn phổ chúng • Trình bày vấn đề tốn tử tuyến tính khơng bị chặn khơng gian Hilbert kết có liên quan đến phổ chúng thơng qua số định lý ví dụ cụ thể Do thời gian có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để luận văn hồn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn ! 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy(2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật [2] Hồng Tụy(2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [3] W Averson(2001), A Short Course on Spectrum Theory, Springer, New York [4] J Conway and S.Kochen(2009), The strong free will theorem, 226232, Notices of the A.M.S, New York [5] E Kowalski(2009), Spectral theory in Hilbert spaces, ETH Z¨ urich, Switzerland [6] M Reed and B Simon(1980), Methods of modern mathematical physics, I: Functional analysis, Academic Press, New York [7] M Reed and B Simon(1980), Methods of modern mathematical physics, II: Self-adjointness and Fourier theoretic techiques, Academic Press, New York [8] Tạ Ngọc Trí(2009), Results on the number of the zero modes of the Weyl- Dirac operator, PhD Thesis, Lancaster Universiry 82 [9] D.Werner(2007), Funktional analysis, Auflage, Springer, New York [...]... rất nhiều tính chất quan trọng đối với phổ của các toán tử bị chặn nhưng ta chỉ bổ sung một tính chất rất quan trọng để mô tả về các toán tử bị chặn trên không gian Hilbert Để tìm hiểu về tính chất này, ta có định nghĩa về toán tử nhân qua ví dụ sau: Ví dụ 2.1.6 (Toán tử nhân) Cho (X, µ) là một không gian độ đo hữu hạn và cho g ∈ L∞ (X, µ) là một hàm bị chặn Khi đó ta có một ánh xạ tuyến tính liên... độ đo phổ Điều này lại cho thấy rằng khi T có một véctơ tuần hoàn υ, ánh xạ unita L2 (σ (T ) , µυ ) → H biểu diễn T như là một toán tử nhân Mz trên L2 (σ (T ) , µυ ) Và khi đó bổ đề Zorn cho ta được trường hợp tổng quát 34 Chương 3 PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH KHÔNG BỊ CHẶN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chương này mô tả về hình thức cơ bản của các toán tử không bị chặn được định nghĩa trên một không gian. .. (T ) ⊂ H là một không gian con trù mật của H, được gọi là miền của toán tử, và T : D (T ) → H là một ánh xạ tuyến tính Ta ký hiệu DD(H) là tập của các toán tử xác định trù mật trên H Nhận xét 3.1.2 Nếu T liên tục thì có thể mở rộng duy nhất thành một toán tử tuyến tính liên tục trên toàn bộ H, và do đó ta đã nghiên cứu ở phần toán tử tuyến tính bị chặn Do tính chất trù mật của D(T ) trong H cho nên... thành từng lớp các toán tử bị chặn T ∈ L(H) với nội dung chủ yếu từ [6] Ta sẽ sử dụng phổ đầy đủ để hy vọng phân loại được các toán tử bị chặn Và kết quả của chương sẽ làm sáng tỏ được định lý sau: Định lý 2.0.6 Cho H là không gian Hilbert tách được và T ∈ L(H) là một toán tử chuẩn tắc liên tục Khi đó tồn tại một không gian độ đo (X, µ), một toán tử unita U : H → L2 (X, µ) và một hàm bị chặn g ∈ L∞ (X,... được định nghĩa trên một không gian con trù mật của một không gian Hilbert, và sử dụng cùng với định lý phổ cho các toán tử bị chặn để chứng minh sự tương tự đó cho các toán tử không bị chặn tự liên hợp Nội dung chương này được trích dẫn từ các tài liệu [6], [7] và [5] 3.1 Các định nghĩa cơ bản Định nghĩa 3.1.1 Cho H là một không gian Hilbert Một toán tử được xác định trù mật (densely defined operator)... giá trị riêng λ của T ; phổ thặng dư của T , ký hiệu là σr (T ) là tập các λ nằm trong phổ của T sao cho λ − T là đơn ánh nhưng ảnh của λ − T chỉ là tập con thực sự của H chứ không phải toàn bộ H Phổ liên tục của T , ký hiệu là σr (T ) là tập các λ thuộc phổ của T sao cho λ − T là đơn ánh nhưng không phải là toàn ánh, có ảnh không trù mật, là phần còn lại ngoài phổ điểm và phổ thặng dư Phổ liên tục trước... là không gian con của các hàm thuộc dạng x → f (g (x)) ϕ (x) với f ∈ C (σ (T )), phổ là giá của g∗ (µ) Nếu ta chọn một véctơ đặc biệt ϕ = 1, đây là không gian của các hàm f (g (x)) Nó có thể hoặc không trù mật; Hay nếu X ⊂ R và g (x) = x, không gian này dĩ nhiên trù mật trong H; Nếu cho X = [−1, 1], µ là độ đo Lesbesgue và g (x) = x2 , đây là không gian các hàm trong L2 , mà không trù mật, vì vậy ϕ không. .. compact trên không gian Hilbert Ta có định nghĩa tương đương của các toán tử compact: (1) T ∈ L(H) là compact, ký hiệu là T ∈ K(H), nếu có một dãy các toán tử Tn ∈ L(H) với dimIm(Tn ) < +∞ với mọi n, và lim Tn = T n→+∞ trong tôpô sinh bởi chuẩn trên L(H); (2) Với tập con bất kỳ bị chặn B ⊂ H, ảnh T (B) ⊂ H là compact địa phương, nghĩa là bao đóng của nó là compact Trong bất kỳ một không gian Hilbert vô... L(H) Dưới đây là kết quả cơ bản cho toán tử compact trong L(H): Định lý 1.2.1 (Phổ cho các toán tử compact) Cho H là một không gian Hilbert vô hạn chiều và cho T ∈ K(H) là một toán tử compact (1) Trừ giá trị 0, phổ của T giữ nguyên điểm phổ; nói cách khác ta có σ (T ) − {0} = σp (T ) − {0} 14 (2) Ta có 0 ∈ σ (T ) và 0 ∈ σp (T ) nếu và chỉ nếu T không đơn ánh (3) Điểm phổ ngoài 0 là đếm được và có hữu... cho một toán tử chuẩn tắc trong L(H) Ta dễ dàng thấy rằng λ ∈ σp (T ) nếu và chỉ nếu λ ∈ σr (T ∗ ) (1.6) (vì nếu e0 là véctơ khác 0 của λ − T , ta có λ − T ∗ (υ) e0 = υ, (λ − T ) e0 = 0, ta thấy rằng ảnh của λ − T ∗ là chứa trong hạt nhân đóng của phiếm hàm tuyến tính khác không υ → υ, e0 ), và nó kéo theo rằng phổ thặng dư của một toán tử tự liên hợp là rỗng Ta nhắc lại rằng, phổ điểm σp (T ) của T