Khoá luận tốt nghiệp toán phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

TR N G I H C s PH M H N I K H O A TON ớ: ON TH LINH PH CA TON T TUYN TNH T LIấN HP B CHN KHểA LUN T T N G H I P I H C C huyờn n g n h : G ii tớch Ngi hng dn khoa hc: ThS HONG NGC TUN LI CM N Trc trỡnh by ni dung chớnh ca bi khúa lun ny, em xin by t lũng bit n sõu sc ti Thc s Hong Ngc Tun ngi ó tn tỡnh hng dn em cú th hon thnh ti ny Em cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti ton th cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, Trng i hc S phm H Ni ó dy bo em tn tỡnh sut quỏ trỡnh hc ti khoa Nhõn dp ny em cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn bờn em, ng viờn, giỳp em sut quỏ trỡnh hc v thc hin ti khúa lun ny L I CAM OAN Em xin cam oan ti khúa lun "Ph ca to ỏn t tuyn tớn h t liờn hp b chn" c hon thnh di s hng dn ca Thc s Hong Ngc Tun khụng trựng vi bt kỡ ti no khỏc Trong quỏ trỡnh hon thnh ti, em ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, ngy thỏng 05 nm 2015 Sinh viờn on Th Linh Mc lc Li M u C hng M t s kin th c ch u n b 1 K hụng gian nh chun 1.2 K hụng gian H ilb e rt 1.2 nh ngha khụng gian H ilbert 2 Toỏn t liờn hp 1.2.3 Tớnh trc giao 1.3 Pho ca toỏn t tuyờn tớn h C hng p h ca toỏn t tuyn tớn h t liờn hp b chn C ỏc tớn h ch t p h ca to ỏn t tuyn tớn h t liờn hp b chn 1 nh lý giỏ tr riờng, vect riờng 1.2 nh lý gii thc 2.1.3 nh lớ ph 2.2 M t s tớn h ch t phụ khỏc ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn 10 2 nh lý ph 10 2 nh lý chun 11 2.2.3 nh lý (m v M l cỏc giỏ tr ph) 11 2.2.4 nh lý ph thng d 12 2.3 Toỏn t dng 13 2.3.1 nh lý tớch ca toỏn t dng 13 2.3.2 nh ngha dóy n iu 15 2.3.3 nh lý dóy n iu 16 2.4 C n bc h ca toỏn t dng 17 2.4.1 nh ngha cn bc hai dng 17 2.4.2 nh lý cn bc hai dng 18 2.5 P hộp chiu toỏn t 20 2.5.1 nh lý phộp chiu 21 2.5.2 nh lý tớnh dng, chun 22 2.5.3 nh lý tớch ca cỏc phộp chiu 22 2.5.4 nh lý tng ca cỏc phộp chiu 23 2.6 C ỏc tớn h ch t kh ỏc ca phộp chiu 24 2.6 nh lý quan h th t riờng 24 2.6.2 nh lý hiu ca cỏc phộp chiu 25 2.6.3 nh lý dóy n iu tne 26 2.7 H phụ ca m t toỏn t tuyn tớn h t liờn hp b chn 28 2.7.1 nh ngha h ph 28 2.7.2 H ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn 32 2.7.3 M nh toỏn t liờn hp vi T 33 2.7.4 B cỏc toỏn t liờn quan vi \ 35 2.7.5 nh lý h ph liờn kt vi m t toỏn t 36 2.8 Biu din phụ ca toỏn t tuyn tớn h t liờn hp b chn 39 nh lý ph cho toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn 39 2.8.2 nh lý cỏc tớnh cht ca p { T) 42 K t lu n 44 Ti liu th a m kho 45 L I M U L chn ti Lý thuyt toỏn t tuyn tớnh v lý thuyt ph úng vai trũ quan trng Gii tớch hm v nhiu ngnh toỏn hc khỏc, vỡ th nú c nhiu nh toỏn hc quan tõm Trong hc phn Gii tớch hm, sinh viờn ch mi c cung cp mt s kin thc c bỏn ca toỏn t tuyn tớnh liờn tc Mc ớch ca khoỏ lun l tỡm hiu, nghiờn cu cỏc tớnh cht ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Vi mc ớch ú, da vo cỏc ti liu tham kho, em tỡm hiu cỏc khỏi nim v cỏc tớnh cht c bn, chng minh chi tit mt s mnh nh lý cú cỏc ti liu M c ớch nghiờn cu Nghiờn cu cỏc tớnh cht ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn P h ng p h ỏp nghiờn cu ti nghiờn cu da trờn s kt hp ca cỏc phng phỏp: nghiờn cu lý lun, phõn tớch, tng hp, ỏnh giỏ P h m vi nghiờn cu Do thi gian khụng nhiu nờn bi khúa lun ch tỡm hiu c mt s tớnh cht ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn B cc ti B cc ca ti bao gm : Chng 1: Mt s kin thc chun b Khụng gian nh chun Khụng gian Hilbert Chng 2: Ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Cỏc tớnh cht ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Mt s tớnh cht ph khỏc ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Toỏn t dng Cn bc hai ca toỏn t dng Phộp chiu toỏn t Cỏc tớnh cht ca phộp chiu H ph H ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Biu din ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Do thi gian thc hin ti khụng nhiu, kin thc cũn hn ch nờn bi khúa lun khụng trỏnh nhng sai sút Tỏc gi mong nhn c s gúp ý v nhng ý kin phn bin ca quý thy cụ v bn c Xin chõn thnh cm n! Chng Mụt s kin thc chun bi 1.1 Khụng gian nh chun nh ngha 1.1.1 Ta gi X l khụng gian nh chun (hay khụng gian tuyn tớnh nh chun) l khụng gian tuyn tớnh X trờn trng p (P = R hoc C) cựng vi ỏnh x 1111 :X > R tha cỏc tiờn sau: Vx Ê X, II Jt|| ^ 0,11*11 = X = Vx Ê X,Voc Ê p, II ccx\ \ |a | \ \x\\ e X, I\x + 11 ^ 11X11 + 11y 11 S 11X 11 c gi l chun ca vect X Cỏc tiờn 1, 2, gi l cỏc tiờn chun nh ngha 1.1.2 Dóy im (xn) khụng gian nh chun X gi l dóy c bn nu: lim ||x - x m II = n,m nh ngha 1.1.3 Khụng gian nh chun X gi l khụng gian Banach, nu mi dóy c bn X u hi t nh ngha 1.1.4 Cho hai khụng gian tuyn tớnh bt kỡ X, Y trờn trng p (P R hoc C) M t ỏnh x T :X >Y gi l ỏnh x tuyn tớnh hay toỏn t tuyn tớnh nu i) T (x + x 2) = r ( * i) + r ( * 2),V x i ,*2 e X ii) T (a x ) ocTx,\/oc,Vx G X iu kin tng ng T(dC\X\ vi mi + + C C k^k ) Oớ]Tx\ + + 0ÊT Xk, , Xk thuc X v vi mi , a k Nu X = Y thỡ ta núi T l mt toỏn t X inh ngha 1.1.5 Gi s X, Y l hai khụng gian nh chun Toỏn t T : X >Y gi liờn tc nu x > X() thỡ T xn > T xQ inh ngha 1.1.6 Toỏn t T :X >Y gi l b chn nu cú mt hng s c > vi mi X G X: (*) nh lý 1.1.1 Cho T l toỏn t tuyn tớnh t khụng gian nh chun X vo khụng gian nh chun Y Khi ú ba mnh sau tng ng T liờn tc T liờn tc ti im X) no ú thuc X T b chn nh ngha 1.1.7 Cho T l toỏn t tuyn tớnh b chn t khụng gian nh chun X vo khụng gian nh chun Y Hng s c > nh nht tha h thc (*) gi l chun ca toỏn t T v k hiu l nh lý 1.1.2 Cho toỏn t tuyn tớnh T t khụng gian nh chun X vo khụng gian nh chun Y Nu toỏn t T b chn thỡ T 11 = sup 11T x^l hay, T sup 11T inh ngha 1.1.8 Toỏn t tuyn tớnh T : X > Y (X, Y l hai khụng gian nh chun) gi l oỏn t compac nu T bin mt p b chn b kỡ X thnh compact tng i Y Toỏn t compact cũn gi l toỏn t hon ton liờn tc 1.2 Khụng gian Hilbert 1.2.1 nh ngha khụng gian Hilbert nh ngha 1.2.1 Cho khụng gian tuyn tớnh X trờn trng p (P R hoc C) ta gi l tớch vụ hng trờn khụng gian X mi ỏnh x t tớch Descartes X X X vo trng p, kớ hiu tha tiờn : v*,y e X , (,x) = (,x) Vx,j, z e X : {x + y,z) = (x,z) + (y,z) Vx,y G X, V a E p : (otx,y) = a (x,y) Vx G X , (x,x) ^ 0, (x, x) o - X 6, X, , z gi l cỏc nhõn t ca tớch vụ hng, s (x,) gi l tớch vụ hng ca hai nhõn t X , Cỏc tiờn 1, 2, 3, gi l h tiờn tớch v hng nh ngha 1.2.2 Tp H g()m nhng phn t X, , z, no ú l khụng gian Hilbert nu H tha cỏc iu kin sau H l khụng gian tuyn tớnh trờn trng P; H c trang b mt tớch vụ hng; H l khụng gian Banach vi chun 11X 11 = y / (x,x),Vx E H Ta gi mi khụng gian úng ca khụng gian H ilbert H l khụng gian Hilbert ca khụng gian H 1.2.2 Toỏn t liờn hp nh ngha 1.2.3 Cho T : H\ > Hi l mt toỏn t tuyn tớnh b chn, ú H I v l khụng gian Hilbert Khi ú toỏn t liờn hp T* ca T l toỏn t T * : H H cho vi mi X E H\ v y E Hi, (T x,y ) = ( x , r y ) nh lý 1.2.1 Cho T l toỏn t tuyn tớnh b chn ỏnh x khụng gian H ilbert X vo khụng gian Hilberl Y Khi tn ti toỏn l T* liờn hp vi loỳri t T ỏnh x khụng gian Y vo khụng gian X nh lý 1.2.2 Cho T l toỏn t tuyn tớnh b chn ỏnh x khụng gian Hilbert X vo khụng gian Hilbert Y Khi ú toỏn t liờn hp T* vi toỏn t T cng l toỏn t tuyn tớnh b chn v nh ngha 1.2.4 Toỏn t tuyn tớnh b chn T ỏnh x khụng gian Hilbert H vo chớnh nú gi l t liờn hp nu (Tx,y) = {x,Ty) Toỏn t t liờn hp cũn c gi l toỏn t i xng nh lý 1.2.3 Cho toỏn t tuyn tớnh b chn T ỏnh x khụng gian Hilbert H vo chớnh nú Kh ú T l t liờn hp v ch tớch vụ hng (Tx,x) l s thc vi mi X G H nh lý 1.2.4 Tớch ca hai toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn s v T trờn khụng gian H ilbert H l t liờn hp v ch hai toỏn t ú giao hoỏn ST = TS 1.2.3 Tớnh trc giao nh ngha 1.2.5 Cho H l khụng gian Hilbert Ta núi hai phn t x , G H l trc giao vi nu (x ,y ) = 0, v c k hiu l X _L y Cho A l khỏc rng ca H, X G H Khi ú, ta núi X trc giao vi A nu X trc giao vi mi phn t A, v c k hiu l X L A nh ngha 1.2.6 Cho H l khụng gian Hilbert, E l khụng gian vect ca H Tp hp F c H cỏc phn t trc giao vi E c gi l phn bự trc giao ca E H v c k hiu l: E ~ T ớnh ch t c b n X _L , Vy E H o X ^ H Nu X _L A, A = {yi ,y 2? n } c H thỡ X trc giao vi mi t hp tuyn tớnh cỏc phn t A Gi s X J_ x n, V/7 ^ v ly dóy x n hi t n y l > oo thỡ X J_ y Thay th phộp chiu P\, , pn bng tng ca cỏc phộp chiu ú Chớnh xỏc hn, vi s thc bt kỡ ta xỏc nh Ek = Ph (6) (eR) ú l mt h tham s ca phộp chiu, l tham s T ( ), vi bt kỡ, ta cú toỏn t E l phộp chiu ca H lờn khụng gian Vx c m rng bi cỏc X j vi j < T ú ta cú ( ) V c v Vỡ chy trờn R theo chiu dng, Ex phỏt trin t n I, s phỏt trin xy cỏc giỏ tr riờng ca T v phn cũn li E khụng thay i vi trờn on bt kỡ, ngha l cỏc giỏ tr riờng t Do ú Ex cú cỏc tớnh cht EE ^ = EI1E + ngha l ta cho tin ti t phớa phi T ú ta cú nh ngha inh ngha 2.7.1 M t h phụ thc l mt h tham s o fờ [Ex )xzR ca phộp chiu E xỏc nh trờn khụng gian Hilbert H (cú chiu bt kỡ) nú ph thuc vo mt tham s thc cho ú (7) ( 8a) lim Ex ằ lim E^ x >+oo (8 b ) (9) EEX= E ^ E x = E x EM = \\m Elx = Ex x i->+o ( < jU) X (xeH) T nh ngha ny ta thy rng mt h ph cú th c xem nh mt ỏnh x R ằ I ằ E; 30 vi mi G R cú tng ng mt phộp chiu E e ú B ( H , H ) l khụng gian ca cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn t H vo H Chỳ ý rng hai iu kin ca (7) l tng ng, bi 2.6.1 ^ c gi l h ph trờn mt on [a,b] nu ( *) E EA I < a, vi vi ^ b Cỏc h nh th c bit thỳ v vỡ ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn nm trờn mt on hu hn trờn ng thng thc T ( 8*) suy ( 8) Trong (9), * + chng t rng, gii hn ta xột giỏ tr , > v I VE l toỏn t mnh liờn tc phi Trong hai phn tip theo, ta s xem xột toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn bt kỡ cho trc trờn khụng gian Hilbert tựy ý cú th liờn kt vi mt h ph, nú c s dng cho vic biu din T bng mt tớch phõn Riemann-Stieltjes Nú c hiu nh mt phộp biu din ph c núi n t trc Khi ú ta cng thy rng, trng hp chiu hu hn c xột phn u ca mc ny, s biu din tớch phõn rỳt gn ti mt tng hu hn, ngha l, (5) c vit bng cỏc s hng ca h ph (6 ) n gin, chỳng ta ó gi s cỏc giỏ tr riờng | , , Xn c a T l phõn bit, v < < < ,? Khi ú ta cú E]= Ê P\ ^1+^2 1"Pn Do ú, Ngc li, j = 2, - " Vỡ Ex cũn li ging vi na on [Xj- 1, ý), nú c vit Pj ~ (4) tr thnh n V on x = , pjx = (Ê a7- - EX._)x 7=1 7=1 31 v (5) tr thnh T x = , h pJx 7=1 E EXj - Ej-o)x7=1 Nu ta gim thp X v vit ừEx E Ex_ T ú dn ti T = t Xj EXj (10) 7=1 ể l s biu din ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp T vi cỏc giỏ tr riờng | < < < n trờn khụng gian Hilbert n-chiu H Biu din ú cho thy, vi X, y e H bt kỡ ta cú ( 11 ) (:T x , y > = Ê Xj ( ụ E jx , y \ 7=1 Ta chỳ ý rng, cụng thc (11) cú th c vit nh mt tớch phõn Riemann-Stieltjes ( 12) (Tx,y) = I Xdw( X) J oo ú, w() = (Ex x,y) Chỳng ta quan tõm n toỏn t tuyn tớnh t liờn hp trờn khụng gian hu hn chiu, chun b cho trng hp khụng gian Hilbert tựy ý c xột phn sau 2.7.2 H phụ ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Vi mt toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn cho trc T : H ằ H trờn khụng gian Hilbert phc H, ta cú th kt hp vi mt h ph ^ cho ^ c s dng biu din ph ca T (tỡm hiu phn sau) xỏc nh ^ ta xột toỏn t (1) t = t - i, cn bc hai dng ca T , kớ hiu l B ; ú (2 ) Bx = i T v toỏn t (3) = ( B x + T l ), 32 c gi l phn dng ca T H ph ^ ca T c xỏc nh bi ^ = (Ex )agr> ú E l phộp chiu ca H lờn khụng gian khụng ) ca Trong phn cũn li ca mc ny, ta s i chng minh c thc s l mt h ph, tc l ta phi chng minh nú cú tt c cỏc tớnh cht ca mt h ph ó c núi phn 2.7.1 Vic chng minh ú s dn n mt cụng c c s (bt ng thc (18), di õy) cho ngun gc ca phộp biu din ph mc sau Chỳng ta tin hnh theo tng bc v u tiờn ta xột cỏc toỏn t B 2ý T+ (B + T) (phn dng ca T) T~ = (B T ) (phn õm ca T) (cn bc hai dng caT 2) v phộp chiu ca H lờn khụng gian khụng ca T +, c kớ hiu bi E, tc l, E: H = oY+) T ú ta cú: (4) T = T+-T ~ (5) B = r + +r~ Hn na ta cú mnh sau 2.7.3 Mnh toỏn t liờn hp vi T Cỏc toỏn t xỏc nh cỏc tớnh cht di õy (a) B , T + v T ~ l b chn v t liờn hp (b) B , T + v T~ giao hoỏn vi toỏn t tuyn tớnh b chn T; trng hp c bit, (6 ) BT TB T +T = T T + T ~ T = TT~ t +t ~ = t ~ t (c) E giao hoỏn vi mi toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn T, trng hp c bit, (7) ET = TE EB = BE 33 (d) Hn na ta cú: (8 ) T -T + = T +T~ = T +E = E T + = (9) ( 10) T~ E E T ~ = T~ TE = - T T E) = T + (11) T~ ^ Chng minh, (a) l hin nhiờn vỡ T v B l b chn v t liờn hp (b) Gi s T S = ST Khi ú r 2S = T S T = S T 2, v BS = SB bi nh lý 2.4.1 ỏp dng cho T Do ú T +S = - { B S + T S ) = ~( S B + ST) = S T + Chng minh T s S T l tng t (c) Vi mi X E H ta cú E x Ê Y j V +) Do ú, T + v S T + SO = T T S = S T v (b) ta cú ST+ = T +S, v T +S E x = T +Sy = S T +y = Do ú SEx G Y Vỡ E chiu H lờn Y, ta cú ES Ex = SEx vi X G H, ngha l E S E = SE Mt phộp chiu l t liờn hp bi 2.5.1 v s cng t liờn hp bi giỏ thit Do ú ta cú E S = E*s* = (SE)* = (E S E = E*S*E* = E SE = SE (d) Ta chng minh ( 8)-( 11) Chng minh ( 8): T B ( T 2) ta cú B2 T Theo (6 ) ta cng cú BT TB Do ú, theo (6 ) ta cú T +T~ = T ~ T + = ~ ( B - T ) - ( B + T) = - { B + BT - TB - T 2) = Chng minh (9): Theo nh ngha, Ex G ^ ( T +), T +Ex vi mi X G H Vỡ T + l t liờn hp, n n ta c ú E T +X = T Ex = b i (6 ) v (c ), n g h a l E T + = T +E = Hn na, T +T ~ x bi ( 8), T ~ x G t/ớ/ ( r + ) Do ú E T ~ X T~x Vỡ T~ l t liờn hp, nờn t (c) suy T ~ E x E T ~ X T ~ x vi mi T E = E T ~ = T~ 34 X e H, ngha l Chng m inh (10): T (4) v (9) ta cú T E = (T + T ~ ) E = T~ v li theo (4) ta cú T - E ) = T - T E = T + T~ = T + Chng m inh (11): Theo (9) v (5) v nh lý 2.3.1 ta cú T~ = E T ~ + E T + = E - + T +) = E B ^ vỡ E v B l t liờn hp v giao hoỏn, nờn E ^ bi 2.5.2 v B ^ bi nh ngha Tng t bi nh lý 2.3.1 ta cú T+ = B - T ~ = B - E B = ( I - E ) B ^ O v ỡ / - Ê ^ bi 2.5.2 Trong bc hai, thay vỡ xột T ta xột Tx T X Thay B T + , T ~ , v Ê ta ly Bx = ( ^ ) 2, phn dng v phn õm ca Tx c xỏc nh bi T = \(Bx + W T- = (B - T x) v phộp chiu EX -.H - ^ Y = ^ + ) ca H lờn khụng gian khụng Y ) ca Bõy gi ta cú b sau 2.7.4 Bụ cỏc toỏn t liờn quan vúi Ti B 2.7.1 Phn cũn li ca b trc ỳng nu ta thay th T , B J +J - , E tng ng bi T, B,T+ J - , Ê , vi l s thc Hn na, vi cỏc s thc bt kỡ K.. V T, cỏc toỏn t di õy u giao hoỏn Tk B Ty 35 Ez Chng minh Mnh u l hin nhiờn cú c mnh th hai, ta chỳ rng IS = S v ( 12) Tx = T - = T - f i + ( i - X ) = Ti + ( i - X ) I Do ú S T = T S ==* ST = T s = > ST* = r S = > S Ê = S, = Z?MS Chng minh tng t Vi = Tp ta cú Tic#* = B TK, Vi s chun b trờn ta cú th chng minh rng mt toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn cho trc T, mt h ph ^ = {Ex ) c gi l h ph liờn kt vi toỏn t T s c núi n phn tip theo sau õy V h ph ú s giỳp ta biu din ph ca T 2.7.5 nh lý h phụ liờn kt vi mt toỏn t nh lý 2.7.1 Cho T : H > H l toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn trờn khụng gian Hilbert phc H Hn na cho E (X l s thc) l phộp chiu ca H lờn khụng gian khụng Y j V (T ) ca phn dng T ca T T I Khi ú c(o {Ex )iỗ_R l h phụ trờn on [m.M] c R, ú m, M c cho bi ( ) phn 2.2 Chng minh Ta s chng minh (13) < l => (14) E = (15) (16) Ek = )> + => ExX > E ^x Ta s dng b 2.8.1 ỏp dng cụng thc cho T, Tu, Ti , , thay th cho T, T + , , tc l T - = (8 * ) 7\ E X = - T - \ - E x )= T+TpEp = - (10*) (1 * ) r + = T - ^ = Chng minh (13): 36 t; ^ = T - ^ = Cho < i Ta cú Tx = r + - T~ 7\+ vỡ - r ~ bi (11*) Do ú T + - T ò ^ T x - T ò = ( i i - X ) I ^ T+ Tu l t liờn hp v giao hoỏn vi T+ bi 2.8.2, v T+ ^ bi (11*) Theo nh lý 2.3.1 ta cú (Tx - ) = (r+ - + ) õy T+ T~ bi (8*) Do ú T+ ^ T+2, ngha l, vi mi X e H cú (r+ T + x.oc) < v > = \ \ T ; x \\2 iu ú cho thy = suy T+2X Do ú j V ( T Ê ) c ), ^ En bi 1, ú < l Chng minh (14): Cho < m, gi s E 0- Khi ú E^ z t X = E^z Khi ú E^ x E z E^ z = X Khụng mt tớnh tng quỏt ta gi s 11X 11= T ú ta cú (TE x,x) = (Tx,x) (Tx, x) inf ( T x :x) ^ m X > iu ú mõu thun vi gi thit TEx = T~ ^ 0, nú c suy t ( 10*) v ( 11 *) Chng minh (15): Gi s rng > M nhng E l A I Ex / Khi ú, (/ - )x X cho 11X11 = Do ú ( T x - E )x,x) = (Tx,x) (Tx,x) = iu ny mõu thun vi \ Ex) sup (Tx,x) X M - < ^ 0, nú cú c t (10*) v (11 *) Cng cú EM bi tớnh liờn tc bờn phi 37 Chng minh (16): Vi na on A = (,/i] ta liờn kt vi toỏn t E(A)=Eò - E x Vỡ < nờn ta cú Ex ^ E bi ( 13), ú E (H) c E (H ) bi 2.6.1, v E (A) l phộp chiu bi 2.6.2 Cng cú Ê(A) bi 2.5.2 Theo 2.6.1 ta cú Eò E ( A) = E - EEX = Ê - Ê * = E (A) (17) (/ - E) E( A) = Ê (A) - Ê (Ê - E) = E(A) Vỡ E ( A), 7^" v ^ l dng v giao hoỏn bi 2.8.2, nờn tớch T ~ E { A) v T ^ E ( A ) l dng bi 2.3.1 Do ú, theo (17) v (10*) ta cú T E {A) = TEò E{ A) = - r - Ê A o 71Ê(A ) = T( I - E X)E(A) = /Ê ( A ) iu ú suy T E ( A) iE ( ) v T E (A) ^ Ê(A ) ng thi (18) Ê(A )Ê(A )^Ê(A ) E(A) = E l - E k Cho c nh v ằ t bờn phi Khi ú, E( A) x * P( ) x bi s tng t ca nh lý 2.3.3 vi mt dóy tng Trong ú P{X) l b chn v t liờn hp Vỡ E ( A) l ly ng, nờn p ( ) cng ly ng Do ú P(X) l phộp chiu Ta cng cú P() = 7T( ) bi (18), tc l TP() = T ú, (10*) v 2.8.2 ta cú T+P( X) = r A(/ - E x )P{X) = (/ - E )Tx p ( X) = Do ú T Ê P { X ) x vi mi X e H suy P{X)x G j V ( T Ê ) Theo nh ngha, E chiu H lờn Vỡ vy, ta cú EP(X) x P()x, tc l, EP() P() Mt khỏc, nu ta cho > + (17) thỡ - E x )P(X) = P(X) ng thi, P{X) = Nh rng E( A) x > P()x, ta cú iu chng minh (16), ngha l *io liờn tc phi Vy (El ) c cho nh lý cú tt c cỏc tớnh cht ca mt h ph trờn [m,M] 38 2.8 Biu din ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn T phn trc chỳng ta thy rng vi mt toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn T trờn mt khụng gian Hilbert phc H chỳng ta cú th liờn kt vi h ph ^ = {Ex) Ta cú th s dng ^ biu din ph ca T; nú l mt s biu din tớch phõn (1) (di), nú bao gm ^ v tha ('T x , ) c biu din bi tớch phõn RiemannStieltjes Kớ hiu m - xỏy nh lý s c giỏi thớch phn cui nh lý, ó c chng minh trc ú 2.8.1 nh lý phụ cho toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn nh lý 2.8.1 Cho T : H * H vi mt toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn trờn mt khụng gian Hilbert phc H ú: (a) T cú biu din p h M (I) ú ^ = (Ex) l h ph liờn hp vi T (2.8.3); tớch phõn c hiu l toỏn t hi t u [tớnh hi t chun trờn B( H, H)], vi mi x , G H, = (Ex x,y) ( I *) ú tớch phõn l tớch phõn Riemann-Stieltjes thụng thng (b) tng quỏt hn, nu p l mt a thc n cú cỏc h s thc, ta cú /?() OCn,n + 0f,2_ ] * + + Cfy), thỡ toỏn t p(T) c xỏc nh bi p{T) ccn T n + Cớn- 1T n + + ) cú biu din ph M (2) m 39 v vi mi x ,y Ê H ta cú, M (p(T)x, y) = (2*) w() = {Ek x , y ) /?()dw(), m- Chỳ ý m - c vit rng phi a vo xem xột = m xy nu Em (v m 0); vỡ vy s dng bt kỡ a < m , ta cú th vit M M J dE = a M dE = m E m + m- dE m Tng t, M J M p W dE = o J M p{ X) dE = p { n ) E m + m- J p{) dE m Chng minh, (a) Chỳng ta chn mt dóy ( ^ n ) ca phộp phõn hoch (a,b ú a < m v M < b õy l mt phõn hoch ca (a,b] trờn cỏc na on A/1j (^71j 1^nj] J ca chiu di ( Anj) UnjXnj Chỳ ý rng inj Xnj+I vi j - Ta gi s dóy ( &) tha rỡ { ^ tn) m ax/(A j) >0 j (3) n Ta s dng (18) mc 2.8 vi A Anj, ngha l, K j E ( K j ) TE{ Anj ) HnjE(Anj) Theo phộp ly tng j t ti n, vi mi n ta cú t (4 ) ^jE(Ai) 7=1 t 7=1 T E (A nj ) = t HnjE(Ani) 7=1 Vỡ inj = nj + vi j = 1, ,72 1, nờn s dng (14) v (15) mc 2.8 ta cú T 7=1 E ( A nj) = T ( E , n j - E nj) = T - 0) = j=l 40 Cụng thc (3) suy rng vi mi Ê > cú mt n cho rĂ(Pn) < ú t (4) ta suy nj E (A,Jj ) -^-njE(n 7=1 j=l ý)^ (^nj ) ^ 7=1 T ú v (4) suy rng, cho Ê > bt kỡ, cú N cho vi mi n > N v mi cỏch chn X nj G Anj ta cú - - ; , ' Ê ( AnJ) 7=1 (5) < Ê l hng s vi < m v ^ M, nờn ta chn mt s c bit a < m v b > M Vỡ thớch hp iu ú chng minh (1), ú (5) cho thy tớch phõn c hiu l toỏn t hi t u Tớch l liờn tc v tng (5) l loi Stieltjes Do ú (1) suy (1*) vi mi cỏch chn X, y H (b) Chỳng ta chng minh nh lý i vi a thc, bt u vi /?() = r, ú r G N Vi bt kỡ K < ^ jU < V t (7) 2.7 ta cú (E - E K)(E - E y ) = EE - E E v - E KE + E KE v = E - E - E k + E k = iu ú cho thy E ( A nj ) E ( A nK) vi j k Vỡ E(Anj) l mt phộp chiu, nờn E (Anj E (Anj ) vi mi s 1,2, Ta cú kt qu sau (6) K jE (K i) j= \ = J ợ , j rE (A j) j =I Nu tng (5) l úng ti T, v trỏi ca (6 ) s l úng ti T' vỡ tớch ca cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn l liờn tc Do ú, theo (6 ) cho trc e > cú mt N cho vi mi n > N ta cú r - xjrE(Aj) < Ê ./=1 iu ú chng minh cho (2) v (2*)vi p( ) X r Ta cng cụng thc (2) v (2*) suy a thc tựy ý cú cỏc h s thc Chỳng ta cp ti s xỏc nh h ph vi toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn cho trc nhỡn chung l khụng d Trong mt s trng hp n giỏn, h ú c phng oỏn t (1) Ta kt lun phn ny bng mt s tớnh cht ca toỏn t p ( T) nú liờn quan n s m rng ca nh lý ph ti cỏc hm liờn lc tng quỏt 41 2.8.2 nh lý cỏc tớnh cht ca p ( T ) nh lý 2.8.2 Cho T nh nh lý trc, v p p\ VCI P l cỏc a thc vi cỏc h s thc Khi : (a) p{T) l t liờn hp (b) Nu p{X) = a p \ () + ò p 2(X), thỡ p ( T) = a p \ (r) + ò p 2(T) (c) Nu p() = p i ( ) p 2{), thỡ p ( T ) = p i ( T ) p 2(T) (d) Nu p() ^ vi mi G [m.M], thỡ p ( T ) ^ (e) N u P\ () ^ P i ( ) vúi m i k G [ m, M] , thỡ P ( T ) ^ P i { T ) (f) \ \ p ) \ \ ^ max7 |/7()|, ú J = [m, M (g) Nu mt toỏn t tuyn tớnh b chn giao hoỏn vi T, thỡ nú cng giao hoỏn vi p(T) Chng minh, (a) ỳng vỡ T l t liờn hp v p cú cỏc h s thc, cho ( CjTj y CớTi (b) l hin nhiờn ỳng t nh ngha (c) l hin nhiờn ỳng t nh ngha (d) Vỡ p cú cỏc h s thc, nờn cỏc skhụng phc phixy cỏc cp liờn hp nu chỳng xy tt c Vỡ p thay i kớ hiu nờn nu vt quỏ mt s khụng ca s bi l v p () ^ trờn [m, M], nờn cỏc s khụng ca p (m, M) phi l s bi chn Do ú ta cú th vit (7) p( X) = aITj( - ò j ) n k(Yk - A)n,[(A - ò i ) + v;2] ú ò m, Yk = M v cỏc nhõn t bc hai tng ng vi cỏc s khụng liờn hp phc v vi cỏc s khụng thc trờn (m, M) Ta thy rng a > nu p Vi mi ln, ta núi, vi mi ^ Ao, ta cú sgnp{X) sgn a n n sgn a n, ú n l bc ca p Do ú a n > suy p(o) > v cỏc s ca k (c tớnh theo nhõn t ca nú) phi l chn, p(X) ^ (m, M) Khi ú c ba tớch cụng thc (7) u dng ti Ao, ú ta cú a > /?(o) > Nu a n < 0, thỡ p(o) < 0, cỏc s ca k l l, p{X) ^ trờn (m, M) Do ú tớch th hai cụng thc (7) l õm ti Ao, v a > Ta thay bi T Khi ú, tng nhõn t (7) l toỏn t dng Vi mi ^ , 42 t V 11X11 1JC,ta CểJC= 11*11 ĩ v Vè òj ^ m nờn ( ( T - ò j 1)*!*) = (Tx,x)-òj(x,x) ^ \x\\2 ( T v , v ) m \ \ x \ \ ^ | |x ||2 inf ( T v , v ) m \ \ x \ \ = 0, P I I = ngha l, T ò j l Tng t, k - T : C ỹng c ể T ij l t liờn hp, bỡnh phng l dng v - H i l f + v f l ' Z Vi cỏc toỏn t ú giao hoỏn, nờn tớch ca chỳng l dng bi 2.3.1, v p ( T ) : vỡ a > (e) c suy trc tip t (d) (f) Cho k l kớ hiu cho cn trờn ỳng ca \p() I trờn J Khi ú ^ p { k ) k2 vi G J Do ú (e) cú p ( T ) k 2I, ngha l, vỡ p ( T ) l t liờn hp, nờn vi mi X ta cú ( p(T)x,p(T)x) = ( p ) 2x , x ) k ( x, x ) Bt ng thc (f) suy nu ta a cn bc hai v ú cn trờn ỳng ln hn mi X ca chun (1) (g) c suy t nh ngha ca p ( T) 43 K T LUN Khúa lun ó trỡnh by mt s v ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp b chn Hn na, sau mt thi gian tỡm hiu v phn mm son tho bn Latex, bỏo cỏo ó c trỡnh by v hon thin bng phn mm ny Vi phm vi v thi gian cú hn chc chn khúa lun khụng trỏnh thiu xút Mong quý thy cụ v cỏc bn gúp ý kin khúa lun ca em c hon thin hn Em xin chõn thnh cm n ! 44 [...]... thực 2.2 □ Một số tính chất phổ khác của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn Phố ơ ( T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T là số thực Điều đó đã được chứng minh trong mục trước Ở mục này, phổ của toán tử như thế được mô tả chi tiết hơn vì nó có một số tính chất chung quan trọng 2.2.1 Định lý phổ Đ ịnh lý 2.2.1 P h ổ của ơ ( T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H — >H trên... cho toán tử tuyến tinh tự liên hợp bị chặn trong chương này Tổng của các toán tử dương là dương Ta đã biết tích của các toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn là tự liên hợp khi và chỉ khi các toán tử giao hoán và ta sẽ nhận thấy trong trường hợp này, tính dương được bảo toàn 2.3.1 Định lý tích của toán tử dương Đ ịnh lý 2.3.1 Nếu hai toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn s và T trên không gian Hilbert... 2 phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn 2 1 Các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn 2.1.1 Định lý giá trị riêng, vectơ riêng Đ ịnh lý 2.1.1 Cho T : H —> H lcì một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên một không gian H ilbert phức H Khi đó (a) Tất cả các giá trị riêng của T (nếu tồn tại) là số thực (b) Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau của. .. của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert trong điều kiện toán tử đơn giản (phép chiếu), các tính chất của chúng được nghiên cứu để có được thông tin về các toán tử phức tạp hơn Một phép biểu diễn như thế được gọi là một phép biểu diễn phổ của toán tử Toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H — y H cho trước, ta sẽ biểu diễn phổ của T bằng cách sử dụng một họ thích hợp của. .. có một toán tử tuyến tính T : H — >H T là tự liên hợp vì Tn là tự liên hợp và tích trong là liên tục Vì (Tnx) hội tụ, nên nó là bị chặn với X G H Định lý sự bị chặn đều cho thấy T là bị chặn Cuối cùng, T ^ K suy ra từ Tn ^ K 2.4 □ Căn bậc hai của toán tử dương Nếu T là tự liên hợp, thì T 2 là dương vì Ợ 2x , x ) — ( Tx Tx) ^ 0 Ta xét bài toán hội tụ: cho toán tử dương T, tìm một toán tử tự liên hợp A... 0, nó là cơ sở trực giao của X và y □ Thậm chí, phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T là số thực Kết quả chú ý này sẽ có được từ những đặc tning dưới đây của tập giải thức p ( T ) của T 2.1.2 Định lý tập giải thức Đ ịnh lý 2.1.2 Cho T : H — » H là một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert phức H Khi đó, một số Ằ thuộc tập giải thức p ( T ) của T khi và chỉ khi tồn... biết ở mục 2.1 Do đó ta có thể xét tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert phức H và đưa vào tập này một quan hệ thứ tự ^ bởi định nghĩa Tị^T2 (1) (Tịx,x) ắ ( 72*,*) ^ với mọi X G H Thay vì Tị ^ Ĩ 2 ta cũng viết Ĩ 2 ^ T \ Một trường hợp đặc biệt quan trọng là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H — >H được gọi là toán tử dương, kí hiệu (2) r^ o khi và chỉ... điệu tăng có những tính chất đáng chú ý dưới đây (một định lý tương tự đúng cho dãy đơn điệu giảm) 2.3.3 Định lý dãy đơn điệu Đ ịnh lý 2.3.2 Cho (T„) là một dãy của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian H ilbert phức H sao cho (7) Tị - - ở đó K là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên H Giả sử rằng Tj bất kì giao hoán với K và với mỗi Tm Khi đó (Tn) là toán tử hội tụ mạnh (Tnx... gợi ý đến khái niệm dưới đây Nó sẽ là cơ sở trong sự liên hệ với phép biểu diễn phổ 2.4.1 Định nghĩa căn bậc hai dương Cho T : H — » H là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn dương trên không gian Hilbert phức H Khi đó toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn A được gọi là một căn bậc hai của T nếu A 2 = T (1) Nếu A ầ: 0 thì A gọi là căn bậc hai dương của T, và được kí hiệu bởi A = T2 I " T 2 tôn tại... họ phổ liên kết với T Trong phần này chúng ta tìm hiểu khái niệm của một họ phổ nói chung, nghĩa là, không liên kết với toán tử T cho trước Sự liên kết của một họ phố thích hợp với một toán tử T cho trước sẽ được xét riêng trong phần sau, và kết quả biểu diễn phổ của T trong phần 2.9 Định nghĩa họ phổ có thể có được cả trong trường hợp chiều hữu hạn như sau Cho T : H — » H là toán tử tuyến tính tự liên ... x \ = TX(X] - x 2) ỡ ^ c x - x \; ú, 11JC| - X2 11 = vỡ c > 0, v X X2 - Vỡ X ,X2 l tựy ý, ta cú toỏn t Tx : H > T (H) l song ỏnh (ò) Ta nhn thy rng Xo -L T (H) => Xo 0, T (H) ... Theo nh ngha, TX G (H) Vỡ gii hn l nht, nờn TX = y, y G T (H) Do ú, Tx(H) l úng vỡ y G T^(H) l tựy ý Do ú, T ( H) H bi (j8 ) Ngha l, R T c xỏc nh trờn ton H, v b chn, nú c trc tip suy t (2)... Sj, cú ngha l L I I V I I = E ( s j x -s Jx ) = L (s2j x x ) = { S ỡ X, x ) 7=1 7=1 7=1 Vỡ n l tựy ý, chui vụ hn 11S X 112 + 11S X 112H -hi t Do ú, 11s nx 11 ằ v s nx > Theo (5), (6 ) v