khóa luận tốt nghiệp Toán tử Toeplitz

LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, người đã tận tình hướng dẫn để tác giả có thể hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, cùng các thầy giáo, cô giáo phòng sau đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Xin cảm ơn các bạn học viên lớp K13 Toán Giải tích đã giúp đỡ và có những đóng góp quý báu cho bản luận văn này. Hà Nội, ngày 25 tháng 6 năm 2011 Tác giả Đào Thị Hoàng Giang LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 25 tháng 6 năm 2011 Tác giả Đào Thị Hoàng Giang Mục lục Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . . . 3 1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.5 Không gian Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.6 Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Các toán tử trong không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Toán tử compact và toán tử Fredholm . . . . . 20 2 Các toán tử Toeplitz 23 2.1 C ∗ -đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Các toán tử Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 iii iv 2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.2 Định lý bao hàm phổ . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.3 Phổ của toán tử liên hợp và của toán tử giải tích 38 2.3.4 Tính khả nghịch của toán tử Toeplitz với biểu trưng liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.5 Tính liên thông của phổ thực sự . . . . . . . . . 44 2.3.6 Địa phương hóa cho tâm của C* -đại số . . . . 51 2.3.7 Tính địa phương Fredhom cho toán tử Toeplitz 54 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 BẢNG KÝ HIỆU R Tập số thực C Tập số phức Z Tập số nguyên C(X) Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên X T = {z ∈ C : |z| = 1} Đường tròn đơn vị trong tập số phức D = {z ∈ C : |z| < 1} Hình tròn đơn vị mở trong tập số phức clos(A) Bao đóng của tập A kerT Nhân của toán tử T ranT Hạng của toán tử T LF (H) Tập các toán tử hạng hữu hạn trong H LC(H) Tập các toán tử compact trong H σ(f) Phổ của f ρ(f) Tập các giá trị chính quy của f X ∗ Không gian liên hợp của X (X) 1 Hình cầu đơn vị trong X L(X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính từ X vào Y L(X) Không gian các toán tử tuyến tính từ X vào X L p Không gian Lebesgue H p Không gian Hardy P + Tập các đa thức lượng giác xác định trên C M B Tập các hàm tuyến tính nhân tính trong B T ϕ Toán tử Toeplitz 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết toán tử là một lĩnh vực phong phú của toán học. Nó được coi như là sự thúc đẩy hay động lực cho sự phát triển của một số lĩnh vực khác của toán. Chẳng hạn, sự nghiên cứu phương trình tích phân ở cuối thế kỉ trước đã được đưa về mô hình của lý thuyết toán tử. Không chỉ thế, hiện nay, việc nghiên cứu các toán tử đã xuất hiện ở nhiều nhánh khác nhau của vật lý và cơ học. Hơn nữa, việc cho ra đời của một số tài liệu chuyên khảo và những nghiên cứu gần đây đã chứng tỏ sức sống và quy mô của lĩnh vực toán học này. Trong lý thuyết toán tử, lớp toán tử Toeplitz đóng một vai trò khá quan trọng. Người đầu tiên nghiên cứu về lớp này những năm đầu thế kỉ XX chính là Toeplitz. Kể từ đó, nó đã nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học và theo đó, một loạt kết quả thú vị và quan trọng đã được phát hiện. Cho dù vậy, vẫn còn nhiều điều về lớp toán tử này cần được nghiên cứu thêm. Nhiều ứng dụng của lớp toán tử này trong những lĩnh vực khác nhau của toán học dẫn tới dự đoán rằng chúng sẽ ngày càng có một vị trí quan trọng hơn. Cùng với mong muốn hiểu biết sâu hơn về vấn đề này, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: "CÁC TOÁN TỬ TOEPLITZ" 2 Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương: Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm của giải tích hàm và khái niệm liên quan tới lý thuyết về toán tử ở chương sau. Chương 2 của luận văn tập trung trình bày và xây dựng lý thuyết toán tử Toeplitz, từ những định nghĩa đầu tiên cho tới những định lí điển hình về toán tử này. 2. Mục đích nghiên cứu Có một góc nhìn tương đối đầy đủ về lý thuyết toán tử Toeplitz. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Làm rõ những nội dung cần thể hiện. Qua đó, thấy được lợi ích và tính hữu dụng của lớp toán tử này. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương lý thuyết toán tử Toeplitz. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, suy luận logic, phân tích tổng hợp. 6. Dự kiến đóng góp mới Trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về lý thuyết toán tử Toeplitz. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương 1 trình bày những kiến thức cơ sở của giải tích hàm để chuẩn bị cho nội dung chương sau. Trong chương này ta sẽ khảo sát về các khái niệm trong các không gian metric, không gian định chuẩn và không gian Hilbert. Thêm vào đó ta sẽ đề cập đến khái niệm đại số Banach và đặc biệt dành một phần cho việc phân loại các toán tử trong không gian Banach và không gian Hilbert. 1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm 1.1.1 Không gian metric Cho X là một tập tùy ý khác rỗng. Định nghĩa 1.1. Một metric trong X là một ánh xạ d : X × X → R của tích X × X vào đường thẳng thực R, thỏa mãn các điều kiện sau đây: 3 4 1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; 2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y; 3) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; 4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X. Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong tập hợp ấy. Các phần tử của một không gian metric được gọi điểm của không gian ấy; số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y. Định nghĩa 1.2. Một dãy điểm (x n ), n = 1, 2, trong không gian metric X gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu lim n→∞ d(a, x n ) = 0. Khi đó, ta kí hiệu lim n→∞ x n = a hoặc x n → a, khi n → ∞. Định nghĩa 1.3. Dãy điểm (x n ) được gọi là dãy cơ bản trong không gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước , đều tồn tại một số n 0 sao cho với mọi n ≥ n 0 và m ≥ n 0 ta đều có d(x n , x m ) < ε. 5 Nói cách khác, ta có lim n,m→∞ d(x n , x m ) = 0. Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản. Định nghĩa 1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X. 1.1.2 Không gian định chuẩn Cho X là một không gian vectơ trên trường số phức C . Định nghĩa 1.5. Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong X là một ánh xạ đi từ X vào R thỏa mãn các điều kiện: 1) ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X ; 2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không); 3) ||λx|| = |λ|||x|| với mọi số λ ∈ C và mọi x ∈ X; 4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ X. Số ||x|| được gọi là chuẩn ( hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một không gian định chuẩn. Mệnh đề 1.1. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X, đặt d(x, y) = ||x − y|| [...]... 1.2.2 Toán tử compact và toán tử Fredholm Định nghĩa 1.34 [8, Definition 5.2] Cho H là không gian Hilbert Một toán tử T ∈ L(H) được gọi là có hạng hữu hạn nếu số chiều của ranT là hữu hạn; toán tử T được gọi là compact nếu ảnh của hình cầu đơn vị trong H qua T là một tập compact trong H Kí hiệu LF (H) và LC(H) lần lượt là tập các toán tử hạng hữu hạn và toán tử compact trong H Mệnh đề 1.22 Toán tử T... 1.15 [8, Proposition 2.63] Nếu f thuộc L∞ , thì σ(f ) = R(f ) 1.2 Các toán tử trong không gian Banach và không gian Hilbert 1.2.1 Toán tử liên hợp Định nghĩa 1.27 Giả sử T là toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert H Toán tử liên hợp của T , kí hiệu T ∗ , là một toán tử trong H thỏa mãn (T x, y) = (x, T ∗ y), ∀x, y ∈ H Toán tử liên hợp của T như trên tồn tại và duy nhất Mệnh đề 1.16 [8, Proposition... Chương 2 Các toán tử Toeplitz Chương này trình bày nội dung chính của luận văn, đó là các toán tử Toeplitz cùng các tính chất cơ bản của chúng Nhưng trước đó, ta sẽ đi khảo sát những khái niệm có mối quan hệ hết sức chặt chẽ tới khái niệm toán tử Toeplitz là C ∗ −đại số và không gian Hardy Chúng đóng vai trò cơ sở trực tiếp cho việc định nghĩa khái niệm cũng như nghiên cứu các tính chất của toán tử này 2.1... L(H) lên L(H)/LC(H) được kí hiệu là π Định nghĩa 1.36 [8, Definition 5.14] Toán tử T trong không gian Hilbert H được gọi là toán tử Fredholm nếu π(T ) là phần tử khả nghịch trong L(H)/LC(H) Tập hợp các toán tử Fredholm được kí hiệu là F (H) Định lý 1.13 [8, Theorem 5.17] Giả sử H là không gian Hilbert Toán tử T ∈ L(H) là toán tử Fredholm khi và chỉ khi ranT là đóng, số chiều kerT hữu hạn, và số chiều... Ax + Ay 2) A(αx) = αAx ∀x, y ∈ X; ∀x ∈ X, α ∈ C A cũng được gọi là toán tử tuyến tính Khi đó, nếu A chỉ thoả mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất Khi Y = C thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính 7 Định nghĩa 1.10 Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian X vào không gian Y được gọi là... sử toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: 1) A bị chặn; 2) A liên tục; 3) A liên tục tại 0 Định nghĩa 1.11 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Kí hiệu L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán: • Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán. .. || ≥ ε||f || với mọi f ∈ H Mệnh đề 1.18 Giả sử T là toán tử trong không gian Hilbert H Khi đó, T khả nghịch khi và chỉ khi T bị chặn dưới và có hạng trù mật trong H Hệ quả 1.1 [8, Corollary 4.9] Giả sử T là toán tử trong không gian Hilbert H sao cho cả T và T ∗ bị chặn dưới Thế thì T khả nghịch Định nghĩa 1.30 [8, Definition 4.11] Giả sử T là toán tử trong không gian Hilbert H Khi đó 1) T được gọi là... phép chiếu nếu T 2 = T và T là tự liên hợp; 5) T là đơn nhất nếu T T ∗ = T ∗ T = I Mệnh đề 1.19 [8, Proposition 4.12] Toán tử T trong không gian Hilbert H là tự liên hợp khi và chỉ khi (T x, x) ∈ R, ∀x ∈ H Hệ quả 1.2 [8, Corollary 4.13] Toán tử dương trong không gian Hilbert là toán tử tự liên hợp Định nghĩa 1.31 [8, Definition 4.17] Cho M là không gian con đóng của không gian Hilbert H Định nghĩa PM... || = ||f || Mệnh đề 1.4 Nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ 1-1 từ không gian Banach X lên không gian Banach Y , thì toán tử ngược A−1 cũng tuyến tính bị chặn 9 Định nghĩa 1.12 Ánh xạ A ánh xạ không gian metric X vào không gian metric Y được gọi là mở nếu qua A, ảnh của mỗi tập mở trong X là tập mở trong Y Định lý 1.2 (Định lý ánh xạ mở) Nếu A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian... trong H thành dãy hội tụ 21 mạnh (hội tụ theo chuẩn) Định lý 1.12 Giả sử H là không gian Hilbert hữu hạn chiều T hế thì, tập các toán tử có hạng hữu hạn trong H là bao đóng của tập các toán tử compact trong H Hệ quả 1.4 Giả sử H là không gian Hilbert vô hạn chiều và T là toán tử trong H Thế thì, T compact khi và chỉ khi ranT không chứa bất cứ không gian con đóng vô hạn chiều nào của H Trong phần này, . số phức clos(A) Bao đóng của tập A kerT Nhân của toán tử T ranT Hạng của toán tử T LF (H) Tập các toán tử hạng hữu hạn trong H LC(H) Tập các toán tử compact trong H σ(f) Phổ của f ρ(f) Tập các. được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu A chỉ thoả mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = C thì toán tử tuyến tính. mô của lĩnh vực toán học này. Trong lý thuyết toán tử, lớp toán tử Toeplitz đóng một vai trò khá quan trọng. Người đầu tiên nghiên cứu về lớp này những năm đầu thế kỉ XX chính là Toeplitz. Kể từ