Khóa luận tốt nghiệp toán học :SỬ DỤNG ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo GVC TS. Hoàng Ngọc Anh người thầy đã trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn tận tình cho em trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, để em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp của mình. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến BCN khoa Toán Lý Tin, các thầy cô giáo trong khoa; phòng Đào tạo Đại học ; Thư viện Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình. Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo dạy toán trường THCS Yên Lương, trường THPT Phạm Văn Nghị, gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGÔ THỊ THU HÀ

SỬ DỤNG ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGÔ THỊ THU HÀ

SỬ DỤNG ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: GVC-TS Hoàng Ngọc Anh

SƠN LA, NĂM 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc t ới thầy giáo GVC - TS Hoàng Ngọc Anh - người thầy đã trực tiếp chỉ bảo , hướng dẫn tận tình cho em trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiê ̣n khóa luận , để em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiê ̣p của mình

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đ ến BCN khoa Toán - Lý - Tin, các thầy

cô giáo trong khoa; phòng Đào tạo Đại học ; Thư viê ̣n Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiê ̣n giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiê ̣p của mình

Đồng thời e m xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo dạy toán trường THCS Yên Lương, trường THPT Phạm Văn Nghi ̣, gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2014 Người thực hiê ̣n

Ngô Thi ̣ Thu Hà

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiê ̣m vu ̣ nghiên cứu 2

4 Giả thuyết khoa học 2

5 Đối tượng nghiên cứu 2

6 Phương pha ́ p nghiên cứu 2

7 Đo ́ ng góp của khóa luâ ̣n 2

8 Cấu tru ́ c luâ ̣n văn 2

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 2

1.1 Vành đa thức 3

1.1.1 Vành đa thức một biến 3

1.1.2 Vành các đa thức nhiều biến 4

1.2 Quan hệ chia hết trong miền nguyên 4

1.2.1 Định nghĩa 4

1.2.2 Tính chất 5

1.2.3 Các phần tử liên kết, phần tử bất khả quy của một miền nguyên 5

1.3 Vành Gauss, vành chính, vành Ơ clit 5

1.3.1 Vành Gauss 5

1.3.2 Vành chính 5

1.3.3 Vành Ơclit 6

1.4 Đa thức lấy hệ tử trên một trường 6

1.4.1 Tính chất Ơclit của vành đa thức lấy hệ tử trên một trường 6

1.4.2 Đa thức bất khả quy trên một trường 7

1.5 Đa thức bất khả quy trên trường số 7

1.5.1 Đa thức bất khả quy trên Z và Q 7

1.5.2 Đa thức bất khả quy trên R 8

1.5.3 Đa thức bất khả quy trên C 8

Chương 2: BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG 9

2.1 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 10

2.1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung 10

2.1.2 Phương pháp dùng hẳng đẳng thức 10

2.1.3 Phương pháp nhóm hạng tử 11

2.1.4 Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử 13

2.1.5 Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử 14

2.1.6 Phương pháp đặt ẩn phụ 15

2.1.7 Phương pháp hệ số bất định 17

2.1.8 Phương pháp xét giá trị riêng 18

2.1.9 Phối hợp nhiều phương pháp 19

2.2 Ứng dụng của bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ở phổ thông 20 2.2.1 Ứng dụng vào bài toán rút gọn 20

2.2.2 Ứng dụng vào bài toán chứng minh đẳng thức, chứng minh tính chia hết 21

2.2.3 Ứng dụng vào giải phương trình 24

2.2.4 Ứng dụng vào giải hệ phương trình 33

2.2.5 Ứng dụng tính nguyên hàm, tích phân 36

2.2.6 Ứng dụng tính giới hạn vô định 44

2.2.7 Ứng dụng để xét dấu của một biểu thức 46

2.2.8 Ứng dụng vào việc khảo sát hàm số 48

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Mô ̣t trong những mu ̣c tiêu cơ bản của nhà trường phổ thông là đào tạo và giáo dục các thế hê ̣ ho ̣c sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diê ̣n , có đầy đủ phẩm chất đạo đức , năng lực, trí tuệ để đáp ứng những yêu cầu của thời đa ̣i

Muốn giải quyết thành công nhiê ̣m vu ̣ quan trọng này , trước hết chúng ta phải tạo ra những tiền đề vững chắc , lâu bền trong phương pháp học tâ ̣p của học sinh cũng như trong phương pháp giảng da ̣y của giáo viên bộ môn nói chung và giáo viên môn Toán nói riêng

Toán học là bộ môn khoa học có tác dụng phát triển tư duy , hình thành kỹ năng, kỹ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập của họ c sinh, giúp học sinh trở thành con người mới chủ nghĩa xã hội

Chuyên đề “phân tích đa thức thành nhân tử ” được học khá kỹ ở chương trình lớp 8, nó có rất nhiều bài tập cũng như được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tâ ̣p trong chương trình đa ̣i số lớp 8 cũng như ở các lớp trên Đây là một phần quan tro ̣ng cả về kiến thức lẫn kỹ năng trong chương trình Toán phổ thông Vì

vâ ̣y, yêu cầ u ho ̣c sinh nắm chắc và vâ ̣n dụng nhuần nhuyễn các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rất quan trọng

Trong chương trình Toán 8 chỉ trình bày một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như phương pháp đă ̣t nhân tử chung , phương pháp dùng hằng đẳng thức , phương pháp nhóm ha ̣ng tử và phối hợp nhiều phương pháp

Do đó, khi gă ̣p những bài toán phức ta ̣p thì các phương pháp này chưa thể áp dụng để giải được ngay , làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải toán và chưa đáp ứng được nhu cầu tìm tòi , học tập của các em học sinh khá, giỏi

Chính vì những lí do trên mà em chọn đề tài mang tên “ Sử dụng đa thức bất khả quy để phân tích đa thức thành nhân tử”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của khóa luâ ̣n là hê ̣ thống hóa các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức thành nhân tử

3 Nhiê ̣m vu ̣ nghiên cứu

Để đa ̣t được mu ̣c tiêu trên, khóa luận có nhiê ̣m vu ̣ trả lời các câu hỏi sau:

- Có những phương pháp nào để phân tích đa thức thành nhân tử?

- Những da ̣ng toán nào có liên quan đến viê ̣c phân tích đa thức thành nhân tử?

4 Giả thuyết khoa học

Trong quá trình học tập, nếu học sinh nắm vững các phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử sẽ giúp học sinh thực hành chính xác viê ̣c phân tích đa thức thành nhân tử và ta ̣o nền móng cho viê ̣c giải các bài toán liên quan đến viê ̣c phân tích đa thức thành nhân tử

Đối với các sinh viên, viê ̣c nắm vững nội dung kiến thức này giúp họ giảng

dạy tốt hơn sau khi ra trường

5 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứ u các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Nghiên cứ u các dạng bài toán liê n quan đến viê ̣c phân tích đa thức thành

nhân tử

6 Phương pha ́ p nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Phân tích, tổng hợp các kiến thức

- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn

7 Đo ́ ng góp của khóa luận

Khóa luận đã hệ thống hóa các phương pháp phân tích đa thức thành nhân

tử và những ứng du ̣ng của nó trong chương trình Toán phổ thông

8 Cấu tru ́ c khoá luận

Khóa luận gồm có ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luâ ̣n Phần nô ̣i dung gồm có các chương sau:

Chương 1: Một số kiến thức liên quan

Chương 2: Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN

i i

a x được gọi là số hạng thứ i

+ A x  được gọi là vành các đa thức của biến x trên A

+ Các phần tử của A x được gọi là các đa thức của biến x trên A

1.1.1.2 Bậc của một đa thức

Đa thức f x a0 a x1   a x n n được gọi là đa thức có bậc n và viết là

deg f n nếu a n 0

Khi đó, ta gọi a n là hệ tử cao nhất của f

1.1.1.3 Nghiệm của đa thức

Giả sử A là một phần tử tùy ý của vành A và

0 1 2x n n

f x a a xa  a x là một đa thức tùy ý của A x 

Phần tử f c a0 a c1   a c n nA được gọi là giá trị của f x  tại c

Nếu f c 0 thì c được gọi là nghiệm của f x 

Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của f x  trong A được gọi là giải phương

trình đa thức f x 0

1.1.2 Vành các đa thức nhiều biến

Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị

Trong một miền nguyên X ta có:

1.2.3 Các phần tử liên kết, phần tử bất khả quy của một miền nguyên

Định nghĩa: Cho X là một miền nguyên

i) Với mỗi ,a bX , phần tử a được gọi là liên kết với phần tử b nếu tồn tại phần tử khả nghịch u của X sao cho abu

ii) Với a X  , các phần tử liên kết với a và các phần tử khả nghịch được gọi là các ước không thật sự của a Các ước còn lại của a được gọi là các ước

Định nghĩa: Miền nguyên R được gọi là vành nhân tử hóa (vành Gauss)

nếu mọi phần tử khác 0 và không khả nghịch của nó đều phân tích được một cách duy nhất thành tích những nhân tử bất khả quy nếu không kể đến sai khác

về thứ tự giữa các nhân tử và sai khác nhân tử khả nghịch

1.3.2 Vành chính

Định nghĩa: Miền nguyên C được gọi là một vành chính nếu mọi iđêan

của C đều là iđêan chính, tức là mỗi iđêan của C được sinh bởi một phần tử

Định nghĩa: Miền nguyên X được gọi là một vành Ơclit nếu tồn tại ánh

xạ  từ tập các phần tử khác 0 của X (X*) tới tập các số tự nhiên N

Định lí: Mọi vành Ơclit đều là vành chính

Nhận xét: Từ hai định lí ở mu ̣c 3.2 và 3.3 ta suy ra: mọi vành Ơclit đều là

vành Gauss

Vậy mọi phần tử khác 0 và không khả nghịch của vành đều phân tích được một cách duy nhất thành tích những nhân tử bất khả quy nếu không kể đến sự sai khác về thứ tự giữa các nhân tử và sai khác nhân tử khả nghịch

1.4 Đa thức lấy hệ tử trên một trường

1.4.1 Tính chất Ơclit của vành đa thức lấy hệ tử trên một trường

S S  cho bởi  f deg f là một ánh xạ Ơclit

Thật vậy, với f g, S ta có:

+ Nếu f là bội của g thì deg gdeg f

+ Nếu f không là bội của g thì chia f cho g ta được f ghr

Với rS,degr deg f Khi đó  r  f

Vậy K x là một vành Ơclit  

1.4.1.2 Hệ quả

Nếu K là một trường thì trong K x ta có: Mỗi đa thức bậc dương đều có  thể phân tích thành một tích hữu hạn các nhân tử bất khả quy Sự phân tích ấy là duy nhất, nếu không kể đến sự sai khác về thứ tự giữa các nhân tử và sai khác nhân tử khả nghịch

1.4.2 Đa thức bất khả quy trên một trường

Định nghĩa: Cho P là một trường

Giả sử p x P x  là đa thức có bậc lớn hơn 0 Ta nói p x  là đa thức bất

khả quy trên trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của đa thức

bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của p x 

Trái lại, đa thức được gọi là khả quy hoặc phân tích được trên P Nói khác

đi, đa thức bất khả quy trên P chính là phần tử bất khả quy của P x 

Chú ý: Tính chất bất khả quy phụ thuộc vào trường cơ sở

i) Mọi đa thức bậc nhất đều bất khả quy trên mọi trường số

ii) Các đa thức bậc hai, bậc ba bất khả quy trên một trường nếu nó vô nghiệm trên trường số đó

1.5 Đa thức bất khả quy trên các tập hợp số

1.5.1 Đa thức bất khả quy trên Z và Q

- Đa thức bất khả quy trên Q :

+ Đa thức bậc nhất bất khả quy trên Q

+ Đa thức bậc hai, bậc ba vô nghiệm bất khả quy trên Q

+ Tiêu chuẩn Eisenstenin: Cho một đa thức:  

0

n i i i



 với n0, các

hệ số nguyên Giả sử tồn tại số nguyên tố p sao cho a n không chia hết cho p

và các a i in chia hết cho p , nhưng a0 không chia hết cho p Khi đó f x 

là một đa thức bất khả quy trên Q

Như vậy, trên trường số hữu tỉ Q , có những đa thức bất khả quy bậc bất kì

p x x  x  x  x  là bất khả quy trên Q bằng cách dùng têu chuẩn Eisenstenin với số nguyên tố p3

Chú ý: Tiêu chuẩn Eisenstenin chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều

kiện ắt có

Ví dụ: Đa thức x2+1 là bất khả quy trên Q nhưng không thỏa mãn tiêu chuẩn

Eisenstenin

- Đa thức bất khả quy trên Z :

+ Đa thức bậc 0 bất khả quy trên Z

+ Đa thức bậc nhất có thể bất khả quy trên Z ; Chẳng hạn đa thức 2x4không bất khả quy trên Z vì có thể phân tích được thành 2x2

- Mối quan hệ giữa đa thức bất khả quy trên Z và Q :

+ Mọi đa thức bất khả quy trên Z thì bất khả quy trên Q

+ Mọi đa thức bất khả quy trên Z và là đa thức nguyên bản thì bất khả quy trên Q

1.5.2 Đa thức bất khả quy trên R

Một đa thức bất khả quy trên R khi và chỉ khi nó là một đa thức bậc nhất hoặc bậc hai vô nghiệm

1.5.3 Đa thức bất khả quy trên C

Một đa thức bất khả quy trên C khi và chỉ khi nó là một đa thức bậc nhất

Chương 2: BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ

Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm ha ̣ng tử

Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Trong đó p hân tích đa thức thành nhân tử được đi ̣nh nghĩa như sau : Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số ) là phân tích đa thức đó thành các đơn thức và đa thức (sách giáo khoa Toán 8 tâ ̣p 1 trang 18)

Từ đi ̣nh nghĩa trên dẫn đến viê ̣c phân tích đa thức thành nhân tử chưa triê ̣t để vì các đa thức nhân tử có thể vẫn còn được phân tích tiếp thành cá c nhân tử khác

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3

thành các đa thức bất khả quy trên R

- Đa thứ c bất khả quy trên mô ̣t trường chính là phần tử bất khả quy Đa thức bất khả quy trên R x  chỉ là các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai vô nghiệm

Do đó, ta có thể hiểu phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) trên R

là phân tích đa thức đó thành tích các đa thức bâ ̣c nhất hoă ̣c bâ ̣c hai vô nghiê ̣m

2.1 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

2.1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung

2.1.1.1 Phương pháp

Khi phân tích đa thức thành nhân tử, nếu các hạng tử của đa thức có nhân

tử chung thì ta đặt nhân tử chung đó ra ngoài dấu ngoặc AB AC A B C

Trong đó A có thể là một đơn thức hoặc đa thức

19x y 3x2y 38xy 2y3x 19x y 3x2y 38xy 3x2y

=19xy 3 x2yx2

2.1.2 Phương pháp dùng hẳng đẳng thức

+ Hướng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc

xuất hiện hằng đẳng thức mới

Để phân tích đa thức thành nhân tử thì công việc quan trọng nhất là tạo được nhân tử chung Trong nhiều trường hợp, ta không thể áp dụng trực tiếp phương pháp đặt nhân tử chung hay phương pháp dùng hằng đẳng thức thì việc nhóm hạng tử để xuất hiện nhân tử chung lại rất cần thiết

Ta có thể tổng quát phương pháp này như sau: “Cho đa thức A B C D   ,

trong đó , , , A B C D là các biểu thức Nếu , , , A B C D không có nhân tử chung

nào thì hãy thử với A B và CD hoặc các phép giao hoán khác Tức là nhóm hạng tử có nhân tử chung lại với nhau hoặc tạo thành một hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung của đa thức

2.1.5 Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

2.1.5.1 Phương pháp

Với các đa thức mà không có thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức, cũng không thể nhóm hạng tử, …, ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm, bớt cùng một hạng tử thích hợp để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết để phân tích đa thức thành nhân tử

Cơ sở của phương pháp này là: Trên một tập hợp nào đó, hai đa thức f x 

và g x  (viết dưới dạng thu gọn) là đồng nhất khi và chỉ khi mọi hệ số của các

đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó phải bằng nhau

Ta có x 2 là nghiệm của đa thức   3

Ta lại có, nếu thay x bởi y , thay y bởi z , thay z bởi x thì P không thay đổi (ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x  y z x) Do đó, nếu

P chia hết cho xy thì cũng chia hết cho yz và zx

Vậy P có dạng: k x  yyzzx

Ta thấy k phải là hằng số vì P có dạng bậc hai đối với các biến , , x y z

Vì đẳng thức 2  2  2     

x y z y z x z xy k xy yz zx đúng

với mọi , , x y z nên ta gán cho các biến , , x y z các giá trị riêng, chẳng hạn

2.2.1 Ứng dụng vào bài toán rút gọn

Khi rút gọn một phân thức hữu tỉ, ta thường biến đổi những phân thức hữu tỉ đó (có thể quy đồng mẫu hoặc phân tích các đa thức ở tử số và mẫu số thành nhân tử) nhằm làm xuất hiện những nhân tử chung để triệt tiêu

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau:

2 2

64

16 64 16

8 16 64

8 16

4 8

x M

2222

22

1

a a a

Việc vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để chứng minh đẳng thức hay chứng minh tính chia hết là bài toán khó đối với học sinh Đối với bài toán này, thường làm theo các hướng sau:

+ Phân tích biểu thức đã cho thành tích các nhân tử để làm xuất hiện đẳng thức chứng minh hay số chia

+ Đối với bài toán chứng minh chia hết, có thể sử dụng tính chất sau: Số nguyên a chia hết cho số nguyên b b 0 nếu có số nguyên k sao cho ak b

Ví dụ 1: Cho a  b c 2p Chứng minh:

     

2 2

Vì x  y z 0 nên x3 y3 z33xyz0 Do đó x3  y3z3 3xyz

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,

Do đó x1x3x5x715  chia hết cho x6 

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,

Do x là số nguyên nên x2 2 x1 là số nguyên

Do đó 8x2 2 x1 chia hết cho 8 hay  2