Phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vận dụng

Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 I ĐẶT VẤN ĐỀ Mơn tốn mơn học phong phú đa dạng, niềm say mê người u thích tốn học Đối với học sinh, để có kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi nhiều bền bỉ Đối với giáo viên: Làm để trang bị cho em đầy đủ kiến thức? Đó câu hỏi mà giáo viên phải đặt cho thân Nội dung "Phân tích đa thức thành nhân tử" học kỹ chương trình đại số lớp 8, có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì vậy, yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề vô cần thiết quan trọng Trong nhiều năm gần tơi phân cơng giảng dạy tốn lớp 8, nhận học sinh cứng nhắc, thiếu sáng tạo việc sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử gặp lúng túng, khó khăn giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử toán liên quan Nắm tinh thần q trình giảng dạy tốn lớp tơi dày cơng tìm tịi, nghiên cứu, rút ''kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo cho học sinh Trong SGK trình bày phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm hạng tử, dùng đẳng thức Trong sáng kiến kinh nghiệm giới thiệu thêm số ''kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' cách sử dụng phương pháp sáng tạo đa dạng như: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp tìm nghiệm đa thức Đồng thời vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập Khi lồng ghép sáng kiến vào q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh thích thú đạt kết tốt, học sinh nắm vững Giáo viên: Bùi Tấn Vược nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 vàng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà cịn linh hoạt sáng tạo việc giải tập có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử tốn giải phương trình, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tốn tìm nghiệm nguyên , với tinh thần tâm thực sáng kiến kinh nghiệm: '' Kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục huyện nhà Giáo viên: Bùi Tấn Vược nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Giáo viên: Bùi Tấn Vược Năm học 2013-2014 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 II NỘI DUNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Mục đích nghiên cứu: - Chỉ phương pháp dạy loại “ Phân tích đa thức thành nhân tử” - Đổi phương pháp dạy học - Nâng cao chất lượng dạy học 1.2 Nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu: 1.2.1 Nhiệm vụ: ♦ Nhiệm vụ khái quát: Nêu phương pháp dạy loại “ Phân tích đa thức thành nhân tử” ♦ Nhiệm vụ cụ thể: - Tìm hiểu thực trạng học sinh - Những phương pháp thực - Những chuyển biến sau áp dụng - Rút học kinh nghiệm 1.2.2 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp đọc sách tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề 1.3 Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu: - Đề tài nghiên cứu “Phân tích đa thức thành nhân tử tập vận dụng” - Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp trường THCS Ba Động THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU Từ năm học 2009 - 2010 đến nay, nhà trường phân cơng giảng mơn tốn lớp Qua thực tế dạy học kết hợp với dự thăm lớp giáo Giáo viên: Bùi Tấn Vược nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 viên trường, thông qua kỳ thi chất lượng kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện thân tơi nhận thấy em học sinh chưa có kỹ thành thạo làm dạng tập như: Quy đồng mẫu thức, giải loại phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ lý để giải loại tập cần phải có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Nếu em học sinh lớp khơng có thủ thuật kỹ phân tích đa thức thành nhân tử việc nắm bắt phương pháp để giải dạng toán kiến thức q trình học tốn vấn đề khó khăn Trong việc giảng dạy mơn tốn giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt, tự tìm tịi kiến thức mới, phương pháp làm toán dạng phương pháp thơng thường mà cịn phải dùng số phương pháp khó phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ giúp em có hứng thú học tập, ham mê học toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng tốn khó Người thầy giáo giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh với khả sáng tạo, ham thích học mơn tốn giải dạng tập mà cần phải thơng qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết tốt kỳ thi Từ tơi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát phương pháp giải phù hợp với cụ thể dạng khác CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử ngồi giải tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập vận dụng vận dụng ? - Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức - Phân tích đa thức thành nhân tử toán nhiều toán khác Giáo viên: Bùi Tấn Vược nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Ví dụ: + Bài toán chứng minh chia hết + Rút gọn biểu thức + Giải phương trình bậc cao + Tìm giá trị lớn nhỏ 3.1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 3.1.1 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử: Ví dụ 1: x4 + 5x3 +15x - Giải: Đa thức cho có số hạng đặt nhân tử chung áp dụng đẳng thức, ta nghĩ tới cách nhóm số hạng thêm bớt số hạng Ta phân tích sau: Cách 1: x4 + 5x3 + 15x - = x4 - + 5x3 + 15x = (x2 - 3) (x2 + 3) + 5x (x2 + 3) = (x2 + 3) (x2 - + 5x) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Cách 2: x4 + 5x3 + 15x - = x4 + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - = x2 (x2 + 5x - 3) + (x2 + 5x - 3) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Bài cần lưu ý học sinh tập hợp số hữu tỉ đa thức x + 5x - khơng phân tích Ví dụ 2: x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz Giải: Đa thức cho có số hạng lại không đặt nhân tử chung mà có hạng tử 3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành hạng tử để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz = x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz = x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy) = (xy + xz + yz) (x + y + z) Ví dụ 3: x2 + 6x + Giáo viên: Bùi Tấn Vược nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Giải: Với phương pháp biết đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng đẳng thức ta khơng thể phân tích đa thức Nếu tách số hạng thành hai số hạng để đa thức trở thành số hạng nhóm hạng tử để xuất nhân tử chung xuất đẳng thức Từ có nhiều khả biến đổi đa thức cho thành tích Cách 1: x2 + 6x + = x2 + 2x + 4x + = x (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 2: x2 + 6x + - = (x+3)2 - = (x + - 1) (x+ +1) = (x+2) (x+4) Cách 3: x2 - + 6x + 12 = (x-2) (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 4: x2 + 6x + = x2 - 16 + 6x + 24 = (x - 4) (x + 4) + (x + 4) = (x + 4)(x - + 6) = (x+2)(x+4) Ví dụ 4: x3 - 7x - Giải: Ta tách sau: Cách 1: x3 - 7x - = x3 - x - 6x - = x (x2 - 1) - (x + 1) = x (x - 1)(x + 1) - (x + 1) = (x + 1)(x2 - x - 6) = (x + 1)(x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1)[ x (x - 3) + (x - 3)] = (x + 1)(x + 2)(x - 3) Cách 2: x3 - 7x - = x3 - 4x - 3x - = x (x2 - 4) - (x + 2) = x (x - 2) (x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (x2 - 2x - 3) = (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1) Cách 3: x3 - 7x - = x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x2 + 3x + - 7) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2) = (x - 3) (x + 2) (x + 1) Giáo viên: Bùi Tấn Vược nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Cách 4: x3 - 7x - = x3 + - 7x - = (x + 1) (x2 - x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x2 - x + - 7) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 5: x3 - 7x - = x3 + - 7x - 14 = (x + 2) (x2 - 2x + - 7) = (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3) = (x + 2) (x + 1) (x - 3) Cách 6: x3 - 7x - = x3 - 9x + 2x - = x (x - 3) (x + 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2) Chú ý: Cần lưu ý học sinh phân tích đa thức phải triệt để, tức kết cuối phân tích Tất nhiên yêu cầu có tính chất tương đối cịn phụ thuộc tập hợp số mà ta xét Nếu phân tích khơng triệt để học sinh gặp tình cách phân tích có kết khác Chẳng hạn tập trên, cách 1, cách cho ta kết là: x3 - 7x - = (x + 1) (x2 - x - 6) Cách 2, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x + 2) (x2 - 2x - 3) Cách 3, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x - 3) (x2 + 3x + 2) Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh ý sau: - Một đa thức dạng ax2 +bx + c phân tích thành nhân tử tập hợp Q đa thức có nghiệm hữu tỉ  ∆ (hoặc ∆ , ) số phương (trong ∆ = b2 - 4ac ( ∆ , = b,2 - ac) - Một đa thức dạng ax2 + bx + c tách làm xuất đẳng thức : ∆ (hoặc ∆ ' )là số phương chứa hạng tử A2 +2AB +B2 A2 - 2AB +B2 Ví dụ 5: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) Giáo viên: Bùi Tấn Vược nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Giải: Đa thức ta dự đốn có nhân tử b+c c-a a+ b Ta có cách phân tích sau: Cách 1: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) ac2 - a2c - a2b - ab2 = bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b) = bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a2 (c+ b) = (b + c) (bc + ac - ab - a2) = (b + c) [(bc - ab ) + (ac - a2) ] = (b + c) [b (c - a) +a (c - a)] = (b + c) (b + a) (c -a) Cách 2: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c bc2 + ac (c -a) - a2b - ab2 = ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c2 - a2) = ac (c -a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a) = (c - a) (ac + b2 + bc + ab) = (c - a) (a +b) (c+ b) Cách 3: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab (a + b) = c (b2 - a2) + c2 (a + b) - ab (a + b) = c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b)= (a + b) (cb - ca + c2 - ab) = (a + b) [c (b + c) - a (c + b)] = (a + b) (b + c) (c - a) Cách 4: Nhận xét: c - a = (b + c) - (a + b) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b) = c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b) = (b + c) (a + b) (c - a) Cách 5: Nhận xét: b + c = (c - a) + (a + b) Ta có: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b) = bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b) = c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b) Cách 6: Nhận xét: a + b = (b + c) - (c - a) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a) = b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b) = (c - a) (c + c) (b + a) Ví dụ 6: a5 + a + Giải: Số mũ a từ xuống nên a a cần có số hạng với số mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất nhân tử chung Giáo viên: Bùi Tấn Vược nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Cách 1: a5 + a + = a5 + a4 - a4 + a3 - a3 + a2 - a2 + a + = a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1 = a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + = (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1) Cách 2: a5 + a + = a5 - a2 + a2 + a + = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1) 3.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 Giải: Đặt x = b - c; y = c - a; z = a - b Ta thấy: x + y + z = => z = - x - y (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 = x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + (- x - y)3 = x3 + y3 - x3 - y3 - 3x2y - 3xy2 = - 3xy ( x + y) = 3xyz = (b - c) (c - a) (a - b) Ví dụ 2: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 Thơng thường gặp tốn học sinh thường thực phép nhân đa thức với đa thức đa thức bậc với năm số hạng Phân tích đa thức bậc với năm số hạng thường khó dài dịng Nếu ý đến đặc điểm đề bài: Hai đa thức x + x + x2 + x + khác hạng tử tự do, ta đặt y = x + x + y = x + x biến đổi đa thức thành đa thức bậc hai đơn giản nhiều Đặt y = x2 + x + Ta có: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = y2 + 4y - 3x - 12 = (y +4 ) (y - 3) = (x2 + x + + 4) (x2 + x + - 3) = (x2 + x + 5) (x2 + x - 2) = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1) = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5) Ví dụ 3: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 Giáo viên: Bùi Tấn Vược 10 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Giải: Nhận xét: Ta có: + = + ta nhân thừa số x+1 với x +7 x + với x + ta đa thức có phần biến giống (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 = (x2 + 7x + x + 7) (x2 + 5x + 3x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15 Đặt x2 + 8x + = y ta được: y (y + 8) + 15 = y2 + y + 15 = y2 + y + y + 15 = (y + 3) (y + 5) =(x2 + 8x + + 3) (x2 + 8x + + 5) = (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12) = (x2 + 6x + 2x + 12) (x2 + 8x + 10) = (x + 6) (x + 2) (x2 + 8x + 10) 3.1.3 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức ♦ Phương pháp tìm nghiệm nguyên đa thức: Nghiệm nguyên (nếu có ) đa thức phải ước hạng tử tự Ví dụ: Tìm nghiệm ngun đa thức sau: x3 + 3x2 - Giải: Cách 1: Các ước : 1;2;4;-1;-2;-4 Thử giá trị ta thấy x = x = -2 nghiệm đa thức cho Cách 2: Tổng hệ số đa thức nên đa thức cho có nghiệm x = ♦ Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ đa thức: Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q p ước hệ số tự do; q ước dương số hạng có bậc cao Ví dụ: Tìm nghiệm đa thức sau: 2x3 + 5x2 + 5x + Giải: Các ước : 1;-1;3;-3 (p) Các ước dương : 1;2 (q) Xét số ±1; ±3;±1/2; ±3/2 ta thấy -3/2 nghiệm đa thức cho Chú ý: Giáo viên: Bùi Tấn Vược 11 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 -Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức có nghiệm Ví dụ: Đa thức a) 3x4 - 4x +1 có 3+ (-4) + = nên có nghiệm x = b) 4x3 +5x2 - 3x - có + + (-3) + (-6) = nên có nghiệm x = - Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ đa thức có nghiệm -1 Ví dụ: Đa thức a) 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + 11 + (-3) = 13 Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + + = 13 Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 b) x3 + 3x2 + 6x + Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + = Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + = Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 ♦ Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức: Nếu đa thức F(x) có nghiệm x = a chứa nhân tử x - a phân tích cần làm xuất nhân tử chung cho có nhân tử x - a Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x3 + 3x2 - b) 2x3 + 5x2 + 5x + Giải: a) x3 + 3x2 - Cách 1: Đa thức x3 + 3x2 - có nghiệm x= nên chứa nhân tử x-1 Ta có : x3 + 3x2 - = x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1) = (x-1)(x2 + 4x + 4) = (x-1) (x+2)2 Giáo viên: Bùi Tấn Vược 12 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Cách 2: Đa thức x3 + 3x2 - có nghiệm x= -2 nên chứa nhân tử x + Ta có: x3 + 3x2 - = x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x -4 = x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2) = (x+2) (x2 +x -2) = (x+2) (x2 - x + 2x -2) = (x+2)[ x(x-1) +2(x-1)] = (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1) (x+2)2 b) 2x3 + 5x2 + 5x + Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + có nghiệm x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3 Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + = 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3 = x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3) = (2x+3) (x2 + x +1) 3.2 Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử 3.2.1 Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử chung chúng Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: A= x − x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 Giải: Ta có A= x − x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 Ta thấy tử thức phân thức có nghiệm 2; ; ; -5 Mẫu thức phân thức có nghiệm -1 ; ; -4;-5 Do đó: A= x − x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 Giáo viên: Bùi Tấn Vược 13 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 ( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x + 5) A= ( x + 1)( x − 3)( x + 4)( x +) ( x − 2)( x − 4) A= ( x + 1)( x + 4) Ví dụ : Rút gọn biểu thức: B= x + 3x − x+x−2 Giải: Ta thấy tử thức có nghiệm 1; mẫu thức có nghiệm 1; nên ta có: B= x + 3x − x+x−2 = x − x + x − x + 4x − x − x + 2x − 2x + 2x − = x+x+4 x + 2x + Ta thấy tử mẫu khơng phân tích 3.2.2 Dạng 2: Chứng minh chia hết Để giải toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải tơi trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên x ,ta có: [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15]  (x+6) Giải: Ta có: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x2 + 8x +11 ⇒ (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - = (t + 1)(t - 1) Thay t = x2 + 8x +11 , ta có: (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) = (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6)  (x+6) Giáo viên: Bùi Tấn Vược 14 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên x ta có (4x + 3) - 25 chia hết cho Giải: Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 thừa số (4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + + 5) (4x + - 5) = (4x + 8) (4x - 2) = (x + 2) (2x - 1) = (x + 2) (2x - 1) Do x số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) số nguyên Do (x + 2) (2x - 1) chia hết cho Ta suy ĐPCM Cách 2: (4x + 3)2 - 25 = 16x2 + 24x + - 25 = 16x2 + 24x - 16 = (2x2 + 3x - 2) Vì x số nguyên nên 2x2 + 3x - số nguyên Do (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 3: Chứng minh với số nguyên n biểu thức: n n2 n3 A= + + số nguyên Giải: Ta có: n n n 2n + n + + + = 6 Muốn chứng minh biểu thức số nguyên cần chứng minh 2n + 3n + n3 chia hết cho với số nguyên n Ta có: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2) = n (2 + 2n + n + n2) = n [ (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2) Giáo viên: Bùi Tấn Vược 15 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Ta thấy n (n + 1) (n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho thừa số chia hết cho Mà hai số nguyên tố nên tích chia hết cho n Vậy số nguyên n biểu thức A= + n2 n3 + số nguyên Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho đa thức x16 + x15 + + x2 + x + Giải: Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia sau: x50 + x49 + + x2 + x + = (x50 + x49 + + x35 + x34) +(x33 + x32 + + x18 + x17) + x16 x2 + x + = (x34) (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x16 +x2 + x + = (x16 + x15 + +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Rõ ràng: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho x16 + x15 + x + Kết phép chia : x34 + x17 + Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a+b+c Giải: Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c Dự đốn đa thức A phân tích thành nhân tử có nhân tử a + b + c Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb - ac2 - acb - b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = B (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B Ví dụ 6: Cho 1 1 + + = a b c a+b+c Giáo viên: Bùi Tấn Vược 16 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động CMR: Năm học 2013-2014 1 1 + n + n = n với n lẻ n a b c a + bn + cn Giải: Ta có: 1 1 bc + ac + ab + + = => = a b c a+b+c abc a+b+c => (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc => abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc => (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = => bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = => (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = => (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = => (a + b) (b + c) (a + c) =0 => a + b = => a = - b b + c = => b = - c a + c = => a = - c Vì n lẻ nên a2 = -bn bn = - c2 an = - cn Thay vào ta suy điều phải chứng minh 3.2.3 Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng phương trình a) Giải phương trình nghiệm ngun Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Giải: Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2 = 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = x (3x + 4y) + 2y (3x + 4y) = (3x + 4y) (x + 2y) = 96 Ta có: 96 = 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 Mà x, y > => 3x + 4y > 7; x + 2y > Ta có hệ phương trình sau: x + 2y = 3x + 4y = 24 x + 2y = (I) Giáo viên: Bùi Tấn Vược 3x + 4y = 16 17 nghiệm (II) Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động x + 2y = Năm học 2013-2014 x + 2y = 12 (III) 3x + 4y = 12 3x + 4y = (IV) Giải hệ (I) ta x = 16; y = - (Loại) Giải hệ (II) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (III) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (IV) ta x = - 16;y = 14 (Loại) Vậy nghiệm hệ x = 4; y = Vậy nghiệm phương trình: x= 4; y = Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x3 + xy - = Giải: 2x3 + xy - = => 2x3 + xy = => x (2x2 + y) = => Hoặc x=1 => 2x2 + y = x=7 x=-1 2x2 + y =-7 Hoặc y=5 x=7 2x2 + y =1 Hoặc x=1 => => y = - 97 x=-1 y=-9 x=-7 x=-7 2x2 + y = - => y = -99 Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > thỏa mãn: x3 + y = y3 + 7x Giải: x3 + y = y3 + 7x => x3 - y3 - 7x + 7y = => (x - y)3 (x2 + xy + y2) - (x - y) = => (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = Vì x > y > => x2 + xy + y2 - = => x2 - 2xy + y2 = - 3xy => (x - y)2 = - 3xy Giáo viên: Bùi Tấn Vược 18 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 => - 3xy > => 3xy < => xy < x.y ≤ => x = 2; y = b) Giải phương trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phương trình ( 3x - )2 -( x - )2 = Giải: Ta có: ( 3x - )2 -( x - )2 =  ( 3x - + x - )(3x - - x + 1) =  ( 4x - 6)(2x - 4) = ⇒ 4x - =  x = 3/2 2x - =  x = Vậy nghiệm phương trình cho x =3/2 x = Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + = Giải: Ta có: ` x3 + 3x2 + 4x + =  x3 + x2 +2x2 +2x +2x + = x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 2) = (x + 1) = => x = -1 (x2 + 2x + 2) = khơng có giá trị x ∈ Q Vậy nghiệm phương trình cho x = -1 3.3 Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) x3 - 4x2 + 8x - 2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz 3) x2 + 7x + 10 4) y2 + y - 5) n4 - 5n2 + 6) 15x3 + x2 - 2n Giáo viên: Bùi Tấn Vược 19 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b) 8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b) 9) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 10) x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 11) (x2 + x) (x2 + x + 1) - 12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 13) Tính nhanh giá trị biểu thức sau với: a) x = - b) a = 5,75; P = (x+ 2)2 - (x + 2) (x - 8) + (x - 8)2 b = 4,25 Q = a3 - a2b - ab2 + b3 14) CMR biểu thức (2n + 3)2 - chia hết cho với n nguyên 15) CM biểu thức n n n3 + + số nguyên với số chẵn n 12 24 16) Chứng minh đa thức: x79 + x78 + + x2 + x+ chia hết cho đa thức x19 + x18 + + x2 + x + KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy trường THCS Ba Động năm học 2013 - 2014 thu kết khả quan Kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt qua học, qua kỳ thi, đặc biệt em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm dạng tốn có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết tốt Đa số em học sinh biết sử dụng phương pháp phân tích thơng thường cách thành thạo, 80% em học sinh có kỹ nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào phương pháp phân tích nêu sáng kiến kinh nghiệm, kết kiểm tra định kỳ chương I đại số mà phần lớn kiến thức liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử, em làm tốt, 95% học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên so với chưa áp dụng sáng kiến tăng 20% Bên cạnh phương pháp em dễ dàng tiếp cận với dạng tốn khó Giáo viên: Bùi Tấn Vược 20 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 kiến thức việc hình thành số kỹ trình học tập giải tốn học mơn tốn Việc áp dụng sáng kiến khơng có hiệu chiều rộng mà chiều sâu Trong kỳ thi học sinh giỏi khối năm học phần kiến thức liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử em làm tốt, kết bước đầu đáng khích lệ giúp tin tưởng việc áp dụng sáng kiến vào dạy học chia đồng nghiệp Giáo viên: Bùi Tấn Vược 21 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 III Kết luận Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm có kết hữu hiệu cho việc học tập giải toán Rất nhiều học sinh chủ động tìm tịi định hướng phương pháp làm chưa có gợi ý giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo kết tốt từ việc giải toán rút phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Vì lẽ với giáo viên nói chung thân tơi nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tượng học sinh để từ đưa tập phương pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm tập, gây hứng thú học tập, say sưa giải tốn, u thích học tốn Từ nâng cao từ dễ đến khó, có người thầy giáo cần phải tìm tịi nhiều phương pháp giải tốn, có nhiều toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa cho học sinh làm, phát cách giải khác cách giải hay, tính tự giác học tốn, phương pháp giải tốn nhanh, có kỹ phát cách giải tốn nhanh, có kỹ phát cách giải.'' Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử '' giúp học sinh nhiều q trình giải tốn đạt kết khả quan Đánh giá chất lượng trước thực giải pháp Kết kiểm tra định kỳ Chương I đại số lớp Năm học Số học (Có nội dung phần lớn phân tích đa thức thành nhân tử) Giỏi Khá 2012-2013 36 ( 17%) 12 ( 33%) Đánh giá chất lượng sau thực giải pháp Trung bình Yếu - Kém 12 ( 33%) ( 17%) Kết kiểm tra định kỳ Chương I đại số lớp Năm học Số học (Có nội dung phần lớn phân tích đa thức thành nhân tử) Giỏi Khá Trung bình Yếu - Kém 2013-2014 55 12 ( 22%) 21 ( 38%) 19 ( 35%) ( 5%) Với kết khả quan trên, mạnh dạn trao đổi số đồng nghiệp, sau thời gian sử dụng đồng nghiệp cho ý kiến phản hồi tích cực Những kết đạt ban đầu giúp củng cố niềm tin hoàn thiện Giáo viên: Bùi Tấn Vược Sáng kiến kinh 22 nghiệm Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 sáng kiến chia rộng rải đồng nghiệp, nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục huyện nhà thời gian đến Sáng kiến kinh nghiệm ''Kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' mà viết có lẽ cịn hạn chế Mong tổ chun mơn trường, đồng nghiệp góp ý chân thành để tơi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt phục vụ tích cực cho việc giảng dạy Ba Động, ngày 25 tháng 02 năm 2014 Người thực Bùi Tấn Vược MỤC LỤC I Đặt vấn đề 01 Giáo viên: Bùi Tấn Vược 23 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 II Nội dung 03 Cơ sở lý luận .03 1.1 Mục đích nghiên cứu 03 1.2 nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu 03 1.3 Phạm vi nghiên cứu 03 Thực trạng vấn đề 03 Các biện pháp tiến hành .04 3.1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử .05 3.1.1 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử 05 3.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 09 3.1.3 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức 10 3.2 Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử .12 3.2.1 Dạng 1: Rút gọn biểu thức .12 3.2.2 Dạng 2: Chứng minh chia hết 13 3.2.3 Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng phương trình .16 3.3 Bài tập 18 Kết đạt 19 III Kết luận 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO Giáo viên: Bùi Tấn Vược 24 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Sách giáo khoa Đại Số Sách tập Đại Số Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Võ Đại Mâu Thư viện giáo án điện tử Nâng cao phát triển tốn tập - Tơn Thân Nâng cao phát triển toán tập hai - Tơn Thân 1001 tốn sơ cấp tập - Nguyễn Văn Vĩnh (chủ biên) 1001 toán sơ cấp tập hai - Nguyễn Văn Vĩnh (chủ biên) Giáo viên: Bùi Tấn Vược 25 nghiệm Sáng kiến kinh ... rõ ? ?Phân tích đa thức thành nhân tử ngồi giải tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập vận dụng vận dụng ? - Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức. .. ♦ Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức: Nếu đa thức F(x) có nghiệm x = a chứa nhân tử x - a phân tích cần làm xuất nhân tử chung cho có nhân tử x - a Ví dụ: Phân tích. .. tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử 3.2.1 Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu