sáng kiến kinh nghiệm rèn kỹ NĂNG PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử

RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học coi chủ lực, trước hết tốn học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học, logic, công cụ bổ trợ cho mơn khoa học khác Vì chất lượng dạy học mơn tốn trú trọng trương phổ thơng Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn luyện lực tư toán học, phát huy trí lực học sinh điều vơ quan trọng, sở vững để em học tập tốt Trong chương trình tốn học phổ thơng phần kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề đặc biệt quan trọng, sử dụng nhiều giải tốn đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phương trình, giải bất phương trình, xuyên suốt trình học tập sau em Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp Việc tìm phương pháp thích hợp cho tốn cụ thể cho ngắn gọn, xác, khoa học, dễ hiểu, hay tìm nhiều cách giải khác cho toán phụ thuộc vào việc tiếp thu khả vận dụng kiến thức học sinh Khi phân tích đa thức thành nhân tử học sinh cần phải vận dụng kiến thức có liên quan như: nhân, chia hai lũy thừa số, tính chất phép nhân, phép cộng Nói chung, giải tốn liên quan đến việc phân tích đa thức thành nhân tử địi hỏi học sinh tư nhanh nhạy, tích cực sáng tạo, biết quy lạ quen để có phương án hợp lí cho tốn Để giúp đỡ em học sinh tiếp cận tìm tịi lời giải cho tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốn áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp em học tốt mơn tốn đồng thời phát huy trí tuệ lực học sinh II Mục tiêu sáng kiến Nhằm đào sâu nội dung phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh nắm phương pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ giải toán loại nhằm phát triển lực tư duy, lực sáng tạo học sinh Giúp học sinh củng cố, khắc sau kiến thức bản, có hệ thống phân tích đa thức thành nhân tử I Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ a) b) c) III IV Bài tập phân tích thành nhân tử Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử góp phần rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, sáng tạo người nghiên cứu khoa học Bài tập có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử nhằm củng cố kiến thức phân tích đa thức học sinh Thấy tác dụng nhiều kiến thức giải số dạng tập, đồng thời qua phát triển trí tuệ học sinh, kĩ vận dụng kiến thức học kiến thức tiếp theo, tư logic toán học, tính sáng tạo Phạm vi, giới hạn + Một số phương pháp, số tốn phân tích đa thức thành nhân tử + Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử mơn tốn lớp Tài liệu tham khảo + Sách giáo khoa Đại số + Sách giáo viên Đại số + Sách tập Đại số + Sách toán bồi dưỡng học sinh lớp + Các dạng toán Đại số PHẦN II NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học công nghệ thông tin nay, xã hội thơng tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trò quan trọng việc “ đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, nhà nước đề Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh ngày từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu + Việc học tốn học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng quát hóa vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán quan trọng môn Đại số 8, đáp ứng yêu cầu này, Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ tảng, làm sở để học sinh học tiếp chương sau học rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức việc giải phương trình, Tuy nhiên, lý sư phạm khả học sinh đại trà mà chương trình đề cập đến bốn phương pháp q trình phân tích đa thức thành nhân tử thơng qua ví dụ cụ thể, việc phân tích khơng q phức tạp + Vấn đề đặt làm để học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán Đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tùy theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt Cơ sở thực tiễn II Tồn nhiều học sinh yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp Do chây lười học tập, ỷ lại dựa vào người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu Đa số em sử dụng loại sách bìa tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập khó em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Phụ huynh học sinh chưa thực quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc học tập nhà Nội dung vấn đề Một số giải pháp đề tài 1.1: Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán • Đối với học sinh yếu kém: (Dạng toán củng cố kiến thức bản) + Phương pháp đặt nhân tử chung + Phương pháp dùng đẳng thức + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử • Đối với học sinh đại trà: (Dạng toán vận dụng phát triển kỹ năng) III Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ + Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) + Chữa sai lầm học sinh giải toán + Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành + Khai thác tốn, tìm tịi cách giải hay + Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (nâng cao) • Đối với học sinh giỏi (Dạng toán phát triển tư duy) + Tách hạng tử đa thức thành nhiều hạng tử khác + Thêm bớt hạng tử vào đa thức 1.2: Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử * Các phương pháp bản:  Phương pháp đặt nhân tử chung PP: + Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) + Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy với số mũ nhỏ nhất) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C - A.D = A.(B + C - D)  Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử (BT39c – SGK – Tr 19) Giáo viên gợi ý: + Tìm nhân tử chung hệ số 14; 21; 28 hạng tử ( HS trả lời 7: Vì ƯCLN(14; 21; 28) = 7) + Tìm nhân tử chung biến x2y, xy2, x2y2 ( HS trả lời xy) Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ + Nhân tử chung hạng tử đa thức đa thức cho là: 7xy Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử (BT39e – SGK – Tr 19) Giáo viên gợi ý: + Tìm nhân tử chung hệ số 10 8? ( HS trả lời 2: Vì ƯCLN(10; 8) = 2) + Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? ( HS trả lời (x – y) (y – x) ) + Nhân tử chung hạng tử đa thức đa thức cho là: 2(x-y) -2(y-x) Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)? Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) Giải: Cách 1: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Cách 2: 10x(x – y) – 8y(y – x) = - 10x(y – x) - 8y(y –x) = -2(y – x).5x - 2(y – x).4y = -2(y – x)(5x + 4y) = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ( Đổi dấu sai – 10(y – x)2 = 10(x – y)2 (y – x)2 = (x – y)2 ) Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Quy ví dụ giáo viên củng cố cho học sinh: Cách tìm nhân tử chung hạng tử (Tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích Chú ý: Tích khơng đổi ta đổi dấu hai nhân tử tích (một cách tổng qt, tích không đổi ta đổi dấu số chẵn nhân tử tích đó) Bài tập áp dụng: 1/ 4xy2 + x2y 2/ 10x – 5y 3/ 5x(x – 1) – 3y(x – 1)  Phương pháp dùng đẳng thức 4/ 2x(x – 3) – 5(3 – x) PP: Sử dụng bẩy đẳng thức đáng nhớ dạng “tổng hiệu” đưa dạng “tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Ví dụ 4: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử (BT – 28a – SBT – tr6) Giáo viên gợi ý: + Đa thức có dạng đẳng thức nào? Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (HS: có dạng A2 – B2 ) Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) ( Thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = ( Kết sai) Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: + Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc quy tắc dấu + Phép biến đổi, kĩ nhận dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương hiệu • Khai thác toán: Đối với học sinh giỏi, giáo viên cho em làm tập dạng phức tạp + Nếu thay mũ “2” mũ “3” ta có tốn Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (BT-44b)-SGK-tr20) +Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” mũ “6” ta có tốn Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) 6 a –b a − b =( ) ( ) 3 = (a3 – b3)( a3 + b3) Ví dụ 5: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) Giải: a – b a − b =( ) ( ) 3 = (a3 – b3)( a3 + b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) Giáo viên củng cố cho học sinh: Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Các đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp  Phương pháp nhóm nhiều hạng tử PP: Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm, nhằm làm xuất nhân tử chung đẳng thức Chú ý: Các hạng tử nhóm để ngoặc Thơng thường ta dựa vào mối quan hệ sau: + Quan hệ hệ số, biến hạng tử tốn + Thành lập nhóm theo mối quan hệ đó, phải thỏa mãn: - Mỗi nhóm phân tích - Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực * Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử (BT 47a)-SGK-tr22) Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y) Cách 2: nhóm (x2 + x) (– xy – y) Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 0) (Kết sai thực phép chia sai) Sai lầm học sinh là: HS cho ngoặc thứ hai đặt nhân tử chung (xy) cịn lại Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ = (x – y)(x + 1) • Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử Giải: x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) • Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) – (2x – 4y) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (Kết dấu sai) Sai lầm học sinh là: Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) – (2x – 4y) (đặt dấu sai ngoặc thứ hai) Học sinh rễ mắc sai lầm cách nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 2x ) – (4y2 + 4y ) = x(x – 2) – 4y (y + 1) (tới ta không thực tiếp nữa) Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) + (– 2x – 4y) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “ – “ dấu cộng “ + “ trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại 1.3: Vận dụng phát triển kỹ Phối hợp phương pháp thông thường PP: Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì vậy, học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp Ta thường xét phương pháp: Đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử Ví dụ 9: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử (BT- ?2 -SGKtr22) Gợi ý phân tích: xét phương pháp: Đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử Các sai lầm học sinh thường mắc phải: Lời giải chưa hoàn chỉnh: a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) ( phân tích chưa triệt để) b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – 9) = (x – 9)(x3 + x) ( phân tích chưa triệt để) Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] 10 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1) Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hệ số tỉ lệ, tùy theo đặc điểm hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm đẳng thức đặt nhân tử chung Ví dụ 12: Phân tích đa thức sau thừa số: n3 – 7n + Giải: n3 – 7n + = n3 – n – 6n + = n(n2 – 1) – 6(n – 1) = n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n2 + n – 6) = (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3) Ví dụ 13: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử Ta có cách tách sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6) Phương pháp thêm bớt hạng tử Phương pháp thêm bớt hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất dạng đặt nhân tử chung dạng đẳng thức 14 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ví dụ 14: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Ta phân tích: Tách x2 thành 2x2 – x2 ( Làm xuất đẳng thức) Ta có x4 + x2 + = x4 + 2x2 + – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 - - Thêm x bớt x: (Làm xuất đẳng thức nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Ví dụ 15: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử Cách 1: Thêm x3 bớt x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + = (x5 + x4 + x3) + (1 – x3) = x3(x2+ x + 1) + (1 – x)(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + ) Cách 2: Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x (làm xuất nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + ) Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; tổng quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + 1hoặc x3 – 1, x6 – có chứa nhân tử x2 + x + Ví dụ 16: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử (Bài tập 57d – sgk- tr 25) 15 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Gợi ý: Thêm 4x2 bớt 4x2 (làm xuất đẳng thức) Giải: x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + – 2x)( x2 + + 2x) Khai thác toán: Thay “4” thành “64y4”, ta có tốn: x4 + 64y4 Hướng dẫn giải: Thêm 16x2y2 bớt 16x2y2 (làm xuất đẳng thức) x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) Trên vài ví dụ điển hình giúp em học sinh giải khó khăn trình giải tốn có liên quan đến việc phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp đặt biến phụ Trong số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp Ví dụ 17: Phân tích thành nhân tử A = (x2 + 2x + 8)2 + 3x(x2 + 2x + 8) + 2x2 Đặt y = x2 + 2x + ta có A = y2 + 3xy + 2x2 = (x+y)(2x +y) A= (x2 + 3x + 8)(x + 2)(x + 4)  Phương pháp giảm dần số mũ lũy thừa Phương pháp áp dụng cho đa thức a7 + a5 + 1; a8 + a4 + 1; đa thức có dạng a3k +2 +a3k+1 +1 Khi phân tích đa thức có dạng biểu thức sau phân tích có nhân tử a2 + a + Ví dụ 18: Phân tích đa thức thành nhân tử B = a5 + a4 + B = a5 + a4 + a3 – a3 – a2 - a + a2 + a + = a3(a2 + a + 1) – a(a2 + a + 1) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1)( a3 - a + 1)  Phương pháp dùng hệ số bất định 16 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Cơ sở phương pháp là: Hai đa thức (viết dạng thu gọn) đồng hệ số đơn thức đồng dạng chứa hai đa thức phải Ví dụ 19 : Phân tích đa thức sau thành tích đa thức: đa thức bậc nhất, đa thức bậc hai x3 – 19x – 30 Ta có kết phân tích có dạng : x3 – 19x – 20 = (x + a)( x2 + bx + c) = x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac = x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac Ta phải tìm hệ số a, b, c thỏa mãn: a+b=0 c + ab = -19 ac = -30 Vì a, c ∈ Z tích ac = -30 a, c ∈ { ± 1; ± 2; ± 3; ± 5; ± 6; ± 10; ± 15; ± 30} Với a = 2; c = -15 b = -2 thỏa mãn hệ thức trên, số phải tìm tức là: x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) Trên số phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Thông qua phương pháp phân tích ta thấy, việc phân tích đa thức thành nhân tử lúc áp dụng khuôn mẫu theo phương pháp giải cố định Do đó, tùy tập mà học sinh lựa chọn cho phương pháp giải thích hợp, phải phối hợp nhiều phương pháp để có cách phân tích nhanh có hiệu Nếu có giải tập phân tích đa thức thành nhân tử mà khơng giới thiệu ứng dụng tốn chưa gây say mê, tìm tịi em Sau số ứng dụng toán phân tích đa thức thành nhân tử 17 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1.5: Một số tập ứng dụng Như biết: Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đơn thức, đa thức khác Do vậy, số dạng toán ta áp dụng kết phân tích thành nhân tử giúp cho việc giải số dạng tốn cách dễ dàng Dạng 1: Tính nhanh Ví dụ 20: Tính nhanh a/ 732 – 272 = (73 – 27)(73 + 27) = 46 100 = 4600 b/ 20022 – = 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 2000 = 4008000 c/ 37,5.6,5 - 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) – (7,5.3,4 + 6,6.7,5) = 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6) = 37,5.10 – 7,5.10 = 375 – 75 (hoặc: = 10(37,5 – 7,5) = 10.30 = 300) = 300 d/ 452 + 402 – 152 + 80.45 = 452 + 2.40.45 + 402 – 152 = (45 + 40)2 – 152 18 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ = 852 – 152 = (85 – 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Ví dụ 21: Tính giá trị biểu thức sau a/ 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500 b/ 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) , với x = 2010; y = 2011; z = -1 Ta có: 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) = 5x5 (x – 2z + 2z – x) = 5x5.0 = Với x = 2010; y = 2011; z = -1 biểu thức c/ ( 43-11) ( 43+11) 432 -112 32.54 32 = = 2 = 36,5 - 27,5 ( 36,5- 27,5 ) ( 36,5 + 27,5 ) 9.54 ( 97 +83) ( 972 -97.83+832 ) 973 +833 -97.83 = -97.83 180 d/ 180 = 180.8247 -97.83 = 8247 -97.83 = 8247 -8051 =196 180 Trong ví dụ trên, đặc biệt câu b nhận thấy học sinh không sử dụng phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử việc tính tốn gặp nhiều khó khăn nên cần hướng dẫn cho em: +Trước hết phân tích biểu thức cho thành nhân tử +Thay giá trị biến vào biểu thức phân tích để tính Có biểu thức học sinh tính theo cách tính thơng thường, tức thay giá trị biến vào biểu thức để tính giá trị Cách làm thường phức tạp cho kết Vì vậy, giáo viên cần gợi ý cho học sinh phân tích 19 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ biểu thức thành nhân tử thay giá trị biến vào để tính giá trị biểu thức Chẳng hạn ví dụ sau đây: Ví dụ 22: Tính giá trị biểu thức x(x – 1) – y(1 – x) x = 2000, y = 1999 Ta có x(x – 1) – y(1- x) = x(x – 1) + y(x – 1) = (x – 1)(x + y) Thay x = 2001, y = 1999 ta (2001 – 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000 Dạng 3: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước Ví dụ 23: Tìm x, biết a/ x(x – 2) + x – = Ta có x(x – 2) + x – = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1) Nên (x – 2)(x + 1) = ⇔ x = x=-1 b/ 5x(x – 3) – x + = Ta có 5x(x – 3) – x + = 5x(x – 3) – (x – 3) = (x – 3)(5x – 1) Nên (x – 3)(5x – 1) = ⇔ x = x= Trong dạng tốn nhận thấy cách biến đổi đưa vế đẳng thức tích nhân tử vế cịn lại nên giáo viên hướng dẫn học sinh thực theo trình tự sau: +Chuyển tất hạng tử đẳng thức vế trái vế phải +Sao phân tích vế trái thành nhân tử để dạng A(x).B(x) = +Sao tìm x đẳng thức A(x) = B(x) = ta kết Dạng 4: Chứng minh chia hết Đây dạng tốn khơng khó lắm, việc vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải lại khó cho em học sinh, hướng dẫn em giải theo định hướng sau đây: 20 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ +Phân tích biểu thức thừa số nguyên tố để xuất số chia +Số nguyên a chia hết cho số nguyên b (b≠0) có số nguyên k cho a = b.k Ví dụ 24: Chứng minh rằng: 55n + – 55n chia hết cho 54 với số tự nhiên n Ta có: 55n + – 55n = 55n(55 – 1) = 55n.54 chia hết cho 54 Ví dụ 25: Chứng minh (5n + 2)2 – chia hết cho với số nguyên n Ta có: (5n + 2)2 – = (5n + – 2)(5n + + 2) = 5n(5n + 4) chia hết cho với số nguyên n Dạng 5: Chứng minh đẳng thức Ví dụ 26: CMR a3 + b3 + c3 = 3abc a = b = c a + b + c = Từ đẳng thức cho suy ra: a3 + b3 + c3 – 3abc = Ta có: b3 + c3 = (b + c)(b2 + c2 – bc) = (b + c)[(b + c)2 – 3bc] = (b + c)3 – 3bc(b + c) a3 + b3 + c3 = a3 + (b3 + c3) = a3 + (b + c)3 – 3bc(b + c) = (a + b +c) [a2 – a(b + c) + (b + c)2] – 3bc(a + b +c) = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) Do a3 + b3 + c3 – 3abc = a + b + c = hoặc: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = hay (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a) = suy a = b = c Qua ví dụ nhận thấy cách phân tích đa thức thành nhân tử vế trái để đẳng thức dạng tích 0, sau xét thừa số chứng minh đẳng thức ta có kết cần tìm Biện pháp kết thực 21 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 2.1: Biện pháp: Để thực tốt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nêu thành thạo thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6, Ngay từ đầu chương trình Đại Số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, đẳng thức đáng nhớ Việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần nhận xét: - Quan sát đặc điểm toán: Nhận xét quan hệ hạng tử toán ( hệ số, biến) Nhận dạng toán: Xét xem toán cho thuộc dạng nào? Áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau cho phù hợp (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp phương pháp) - Chọn phương pháp giải thích hợp: Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với tốn • Lưu ý: - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung bước biểu thức lại ngoặc, thường thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử bước biểu thức nhóm, thường sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp dùng đẳng thức bước tốn thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức 22 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ * Chú ý: + Phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng liên tiếp hai bước liền + Phương pháp nhóm khơng thể sử dụng liên tiếp hai bước liền + Phương pháp dùng đẳng thức sử dụng liên tiếp hai bước liền Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử - Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy: Giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra, phải có đánh giá tốn xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng phương pháp phân tích cho phù hợp Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá toán theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào toán, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tịi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác - 2.2: Kết quả: Kết áp dụng luyện kĩ góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà Cụ thể kết kiểm tra dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử thống kê qua giai đoạng lớp 8d năm học 2013 – 2014 a) Chưa áp dụng giải pháp Kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm Thời gian TS Trung bình trở lên Đầu học kì I đến học kì I HS Số lượng Chưa dùng giải pháp 30 Tỷ lệ (%) 20% 23 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ • Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích tốn, b) đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày giải cịn lúng túng Áp dụng giải pháp Lần 1: Kiểm tra tiết Thời gian TS Trung bình trở lên Giữa học kì I đến hết học kì I HS Số lượng dùng giải pháp 30 Tỷ lệ (%) 12 40% * Nhận xét: Học sinh hệ thống, nắm kiến thức đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc vận dụng tốt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử giải toán, biết nhận xét đánh giá toán trường hợp, trình bày hợp lý Lần 2: Kiểm tra tiết Thời gian TS Trung bình trở lên Giữa học kì I đến học kì II HS Số lượng Tỷ lệ (%) dùng giải pháp 30 20 67% * Nhận xét: Học sinh nắm vững kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào tốn biết cách giải trước đó, linh hoạt biến đổi vận dụng đẳng thức trình bày giải hợp lí có hệ thống logic, cịn số học sinh yếu, chưa thực tốt * Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ giải nhanh tốn có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều tốn * Tóm lại: Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cahcs giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử chương trình học Được học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức 24 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng, tốn học, phát huy tích tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học tốn PHẦN III: KẾT LUẬN Bài học kinh nghiệm Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số kinh nghiệm sau: + Đối với học sinh yếu kém: trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung sgk + Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi sy mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức + Đối với học sinh giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, tương tự hóa vấn đề để việc giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, từ tìm tịi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách tồn diện cho q trình tự nghiên cứu em + Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán rèn luyện kĩ phân tích cách tường minh dạng tập để tìm hướng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng phương 25 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách toàn diện, gợi sy mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học toán - Nếu thực tốt phương pháp trình giảng dạy học tập chất lượng học tập mơn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời truyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện Hướng phổ biến áp dụng Đề tài triển khai phổ biến áp dụng rộng rãi chương trình đại số cho năm học sau, cho trường loại hình Hướng nghiên cứu phát triển Đề tài nghiên cứu tiếp tục phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác (nâng cao) Đề tài nghiên cứu cho đa thức phức tạp hơn, sâu vào việc nghiên cứu đa thức đặc biệt MỤC LỤC 26 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng RÈN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 27 Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THCS Tam Hưng