skkn một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tửA: ĐẶT VẤN ĐỀ I.. Trong chương trình toán nói chung và phân môn Đại số nói riêng thì phân tích đa thức thành nhân tử l

Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

A: ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lời mở đầu

Trong trường phổ thông môn Toán có vị trí quan trọng, nó là cơ sở để bổ trợ cho các môn học khác, đặc biệt là các môn học tự nhiên Nội dung chương trình

và phương pháp dạy học bộ môn là yếu tố quyết định hiệu quả giáo dục đào tạo ở phổ thông Vì vậy môn Toán đã được Bộ giáo dục soạn thảo, sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ trực quan đến tư duy trừu tượng để học sinh có thể vận dụng linh hoạt các kiến thức đã biết, đã tiếp thu được trong trường phổ thông Trong chương trình toán nói chung và phân môn Đại số nói riêng thì phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức cơ bản, cần thiết trong giảng dạy toán phổ thông Phần này chiếm một vị trí quan trọng, là một trong nội dung lớn của chương trình Đại

số, xuyên suốt chương trình toán phổ thông

Vì vậy để có thể nâng cao và phát triển khả năng giải loại toán này cho các

em học sinh, tôi đã tham khảo nhiều tài liệu viết về vấn đề này và tôi thấy việc cần thiết phải có cách tư duy và những phương pháp giải thích hợp giúp học sinh một phần nào đó có cơ sở để tìm tìm lời giải không chỉ mình loại toán này mà cho nhiều loại toán khác có liên quan Với đề tài này tôi muốn giới thiệu về:

“Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

Trong việc học toán để các em tự tìm tòi lời giải để đưa ra phương án giải một bài toán đúng thì đa số các em thường “bí” trước những vấn đề mới, chỉ một phần ít các em giỏi có thể tự mình tìm ra được đường lối đúng, vì vậy việc tìm ra một phương pháp chung cho một dạng toán nào đó thực sự là cần thiết, và công việc này người thầy đóng vai trò là chủ đạo, học sinh chủ động tìm tòi kiến thức Với đề tài này tôi góp phần nhỏ về kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề phân tích

đa thức thành nhân tử cho học sinh THCS

Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

II Thực trạng của vấn đề cần nguyên cứu

Năm học 2010 - 2011 tôi được nhà trường phân công giảng bộ môn toán lớp 8 Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ thăm lớp của các giáo viên trong trường, thông qua các kỳ thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện bản thân tôi nhận thấy các

em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Quy đồng mẫu thức, giải các loại phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vì lý đó để giải được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng phân tích các đa thức thành nhân tử

Nếu như các em học sinh lớp 8 không có thủ thuật và kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thì việc nắm bắt các phương pháp để giải các dạng toán và kiến thức mới trong quá trình học toán là một vấn đề khó khăn

Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, ra phương pháp làm toán ở dạng cơ bản như các phương pháp thông thường mà còn phải dùng một số phương pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó

Người thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải được các dạng bài tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết

quả tốt trong các kỳ thi Từ đó tôi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Một

số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp

giúp học sinh của mình nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phương pháp giải phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Các giải pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này:

1, Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản

2, Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử

- Các phương pháp thông thường

- Một số phương pháp phân tích đa thức khác.

Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Một số bài tập áp dụng

II Các biện pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này:

1) Biện pháp thứ nhất.

Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản như các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ

2) Biện pháp thứ hai.

Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử

Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích của nhiều đơn thức và đa thức khác

Ví dụ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1)

2.1) Các phương pháp thông thường.

+ Đặt nhân tử chung

+ Dùng hằng đẳng thức

+ Nhóm nhiều hạng tử

Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên để

có thể phân tích đa thước thành nhân tử

Ví dụ1: Phân tích thành nhân tử

M1 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2

= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm các hạng tử)

= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)

= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)

Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử

M2 = a2 - b2 - 2a + 2b

= (a2 - b2) - (3a - 2b) (Nhóm các hạng tử)

Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)

= (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC)

Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú

ý các bước sau đây:

+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa thức

+ Xét xem đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các

nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức Cụ thể các ví dụ sau:

Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2

Ta thấy M3 không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung, vậy làm gì để phân tích được Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên:

M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2

Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất để làm xuất hiện hằng đẳng thức:

M3 = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2

Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a + b):

M3 = 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)2

M3 đã có nhân tử chung là: (a + b) Ta tiếp tục đặt nhân tử chung

M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)]

M3 = (a + b)(8a – 2b)

Như vậy M3 đã được phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (8a - 2b)

Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy

Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?

Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy

+ Đặt nhân tử chung

M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?

+ Nhóm hạng tử: M4 = 3 xyx2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2



+ Dùng hằng đẳng thức: M4 = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào?

+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:

M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) Vậy: M4 đã được phân tích các đa thức thành nhân tử

Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp

sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bước phân tích được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích được nữa)

2.2 Một số phương pháp phân tích đa thức khác.

Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp phân tích thành nhân tử thông thường (đã học trong SGK) và kết hợp các phương pháp sau

để làm các bài toán khó

+ Phương pháp tách hạng tử

+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử

+ Phương pháp đặt ẩn phụ

+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức

+ Phương pháp dùng hệ số bất định

+ Phương pháp xét giá trị riêng

Cụ thể:

2.2.1: Phương pháp tách hạng tử.

Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử đa thức sau:

Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

N = a2 - 6a + 8

Cách 1: a2 - 4a - 2a + 8 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a)

= (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử)

= a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung)

= (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung)

Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử còn lại

Cách 2: N = a2 - 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1)

= (a2 - 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức)

= (a - 3)2 - 1 (Sử dụng hằng đẳng thức)

= (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)

= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC) Cách 3:

N = a2 - 4a + 4 - 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a)

= ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử)

= (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)

= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng 2 nhân tử)

Ta thấy có để tách một hạng tử thành 2 hạng tử khác trong đó 2 cách tách sau là thông dụng nhất;

- Phương pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa thức mới được đưa về hiệu hai bình phương (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức và có nhân tử chung với hạng tử còn lại (cách 3)

- Phương pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung mới (cách 1)

Ví dụ 6: Phân tích tam thức bậc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử

Tách hệ số b = b1 + b2 sao cho b1 b2 = a.c

Trong thực hành ta làm như sau;

Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

+ Tìm tích a.c

+ Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách

+ Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b

Ngoài ra có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do và hạng tử bậc nhất) (như cách 3)

2.2.2) Phương pháp thêm bớt hạng tử.

Ví dụ 6: Phân tích đa thức P1 = x4 + 4 thành nhân tử

P1 = x4 + 4

= x4 + 4x2 + 4 - 4x2 (thêm 4x2, bớt 4x2)

= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (nhóm hạng tử)

= (x2 + 2)2 - (2x)2 (dùng hằng đẳng thức)

= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)

Ví dụ 7: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử

P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thêm 16a2, bớt 16a2)

= (a2 + 8)2 - (4a)2

= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8) Như vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng đẳng thức nào? bình phương của 1 tổng hay hiệu hai bình phương thì mới phân tích triệt để được

Ở ví dụ 6, P1 đã có bình phương hạng tử (x2) và bình phương hạng tử (2) Vậy muốn

là hằng đẳng thức thì còn thiếu 2 lần tích của 2 hạng tử đó Do đó ta thêm 2.x2.2 = 4x2

thì đồng thời phải bớt 4x2

2.2.3) Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 8: Phân tích thành nhân tử:

D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12

D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất hiện nhân tử chung)

Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x), ta có thể đặt

y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến) Khi đó ta có:

D1 = y2 + 4y - 12

Ta có thể dùng phương pháp tách hoặc thêm bớt

D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y)

D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nhân tử chung)

D1 = (y – 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung)

Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x

D đã phân tích thành 2 nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6)

Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương pháp

đã nêu ở trên Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp được như :

x2 + x + 6 = (x + 12 )2 + 5 43 Do vậy không phân tích tiếp được nữa

Còn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)

Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2)

2.2.4) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.

Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du

ta có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chia đa thức ta có:

ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp được dựa vào các phương pháp nêu ở trên

Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:

+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1

 đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)

+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có x = -1  đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)

+ Nếu không xét được tổng các hệ số như trên thì ta xét các ước của hệ số tự do d (hệ

số không đổi) Nếu ước nào của d làm cho đa thức có giá trị bằng 0 thì ước đó là nghiệm của đa thức

Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.

E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy

Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0  x1 = 1

E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) chia E1 Cho (x - 1)  Sau đó dùng các phương pháp đã học để phân tích tiếp

E1 = (x - 1) (x + 2)2

Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.

E2 = x3 - 3x + 2

Ta thấy tổng và hiệu các hệ số của E2  0 do đó loại x =  1

Xét các Ư(2) =  2 có x = -2 là nghiệm của E2

 E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2))

E2 = (x + 2) (x -1)2

Các ví dụ trên đây là một số phương pháp để phối kết hợp với các phương pháp thông thường giúp học sinh phân tích được các bài toán khó thành nhân tử giúp cho quá trình rút gọn phân thức cũng như giải phương trình

3) Một số bài tập áp dụng.

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

1a x2 - 4x + 3 bằng 4 cách (phương pháp tách)

Gợi ý 4 cách làm

C1: Tách - 4x = - 3x + (-x)

C2: Tách 3 = 4 - 1

C3: Tách 3 = 12 - 9

C4: Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1

Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung

1b 81a4 + 4 (thêm bớt hạng tử) Gợi ý:Thêm 2 lần tích của 9a2 và 2  Hằng đẳng thức Cụ thể: 36x2

1c: (x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phương pháp đổi biến)

Một số kinh nghiệm trong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Gợi ý: đặt (x2 +x ) = y

1d: x3 - 2x2 - x + 2 (phương pháp tìm nghiệm)

Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = 0

Ngoài ra có thể sử dụng các phương pháp khác để phân tích các bài tập trên thành nhân tử

Bài tập 2 : Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.

M =

8 14 7

4 4

3

2 3













a a a

a a a

với a = 102 Gợi ý:

+ Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ 4 bằng phương pháp nhóm hằng đẳng thức đưa tử thành nhân tử

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử

+ Rút gọn nhân tử chung của tử thứcvà mẫu thức

+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

3.a) y2 - 5y + 4 = 0

Gợi ý: Phân tích vế trái thành các nhân tử  phương trình trở về phương trình tích 3b: y3 - 2y2 - 9y + 18 = 0

Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình đã cho thành phương trình tích  giải phương trình tích

Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau.

4a) A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24

Với a là một số tự nhiên

Gợi ý: