Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử phần I : Lý chọn đề tài Chúng ta đà biết, Toán học môn học chứa nhiều điều thú vị bất ngờ, chiếm vai trò quan trọng hoạt động giáo dục, đặc biệt lĩnh vực khoa học đời sống Dạy toán nhằm trang bị cho học sinh hệ thống tri thức khoa học phổ thông tạo điều kiện cho em đợc hình thành phát triển phẩm chất, lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu khám phá giới xung quanh, góp phần cải tạo giới, cải tạo thiên nhiên mang lại sống ấm no hạnh phúc cho ngời Trong chơng trình toán lớp8 nói riêng toán THCS nói chung, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử nội dung kiÕn thøc rÊt quan träng vµ lý thó, xong nã lại dạng toán khó em Phân tích đa thức thành nhân tử đợc giới thiệu đầy đủ chơng trình đại số coi nội dung nòng cốt chơng trình Bởi đợc vận dụng nhiều dạng toán khác nh: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, biến đổi biểu thức hữu tỷ, biến đổi biểu thức vô tỷ, phơng trình bậc cao Thực tế giảng dạy cho thấy, phơng pháp đợc giới thiệu sách giáo khoa rõ ràng, cụ thể Song việc em vận dụng nhiều lúng túng Đặc biệt học sinh giỏi nội dung kiến thức cha đáp ứng đợc nhu cầu học toán em Vậy Dạy - Học nội dung: " Phân tích đa thức thành nhân tử " nh để đạt kết tốt nhất? phù hợp với học sinh đại trà? Đồng thời đáp ứng đợc nhu cầu học tập học sinh giỏi Để đạt đợc kết đó, phơng pháp truyền thụ ngời thầy phải nắm bắt đợc kiến thức cách nhuần nhuyễn Đó lý chọn đề tài Với nội dung trình bày đề tài này, hy vọng đề tài không tài liệu hớng dẫn học sinh mà tài liệu tham khảo bổ ích cho công tác giảng dạy giáo viên THCS Phần II: Khảo sát thực tế Qua thực tế giảng dạy điều tra hứng thú, trình độ nhận thức, vận dụng đặc biệt khả giải toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh nh việc áp dụng chúng để giải số toán liên quan trình dạy học Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử nhiều hạn chế, điều nhiều nguyên nhân, song theo số nguyên nhân sau đây: Một là: Khả phân tích, khai thác toán đại đa số giáo viên nhiều hạn chế Hai là: Đối với dạng toán giáo viên léo giảng dạy làm cho học sinh nhàm chán, thụ động máy móc vận dụng Ba là: Giáo viên thiếu điều kiện thuận lợi, thiếu thời gian để phân tích tìm lời giải, cha kích thích học chủ động sáng tạo Trong trình thực đề tài đà tổ chức khảo sát mức độ hứng thú, nhận thức khả vận dụng học sinh lớp 8A, 8B 8C Trờng THCS Quảng Đông trớc áp dụng đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử kết nh sau: Về hứng thú dạng toán này: Mức độ Rất thích Thích Kh«ng thÝch TØ lƯ 0% 22,5% 77,5% VỊ tiÕp thu kiến thức: Mức độ Rất hiểu Hiểu Không hiểu Tỉ lệ 3,4 % 37,6% 59% Về khả vận dụng linh hoạt, sáng tạo: Mức độ Tốt Khá Trung bình Yếu Tỉ lệ 0% 9,5% 23,5% 68% phần III - Nội dung A: phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử A1:các phơng pháp I - Phơng pháp đặt nhân tử chung Phơng pháp : + Tìm nhân tử chung đơn thức, đa thức có mặt tất hạng tử + Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử + Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể hạng tử chúng) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 6xy + xy3 - x2y b) 15x(x + y) - 5y(3x + 3y) Bµi lµm a) 6xy + xy3 - x2y = xy.6 + xy y2 - xy.2x = xy( 6+ y2-2x) NguyÔn Quèc Huy – Tr êng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử b) 15x(x + y) - 5y(3x + 3y)= 15x(x + y) - 15y(x + y) = (x + y)( 15x -15y) = 15(x + y) (x - y) Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) -6xy2 - 12x2y + 3x b) 15x + 30y c) x(1 + z) + 2(z + 2z + 3) Bµi 2: TÝnh giá trị biểu thức sau: A = 23,45 97,5 + 23,45 5,5 - 23,45 B = 2x(x - y) + 2x(y - x) + 2x(z - x) (Víi x = 2007 ; y = 2008 ; z = 2009) C = x(x - y) + y(y - x) (Víi x = 53 ; y = 3) II - Phơng pháp dùng đẳng thức Phơng pháp: Sử dụng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích nhân tử Hoặc luỹ thừa đa thức đơn giản Những đẳng thức : (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = (A + B)(A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2CA An - Bn = (A - B)(An - + An - B + + ABn - + Bn - 1) 10 A2k+1 + B2k+1 = (A + B)(A2k - A2k - 1B + A2k - 2B2 - + B2k) 11 (A + B)n = An + n An - 1B - n( n − 1) An - 2B2 + + 1.2 NguyÔn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tö n( n − 1) 1.2 A2 Bn - + n ABn - + Bn 12 (A - B)n = An - n An - B + n( n − 1) An - B2 - + (- 1)n Bn 1.2 VÝ dô VÝ dô1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x2 - 10xy2 + 25y4 b) x4 - y4 c) x3 - 3x2 + 3x - Bµi lµm a) x2 - 10xy2 + 25y4= x2 + 2.x.5y2 + (5y2)2 = (x + 5y2)2 b) x4 - y4 = (x2)2 - (y2)2 = (x2 + y2)(x2 - y2) = (x2 + y2)(x + y)(x - y) c) x3 - 3x2 + 3x - = (x - 1)3 Ví dụ2 :Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + y3 + z3 - 3xyz Bµi lµm x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y)3 + z3 - 3xyz - 3xy(x + y) = (x + y + z)[(x + y)2 - (x + y)z + z2] - 3xy(x + y + z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) Bài tập Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (y - 2)2 - b) 16 - (3 + x)2 c) (7x - 4)2 - (2x + 1)2 d) 81(x + 5)2 - 9(x - 7)2 Bài :Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 64x3 - 27y3 Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử b) (x + 2)3 - (x - 1)3 c) y3 - 6xy2 + 12x2y - 8x3 Bµi : Tính giá trị biểu thức: a) a2 - b2 x = 98 y = b) x3 + 3x2 + 3x + t¹i x = 99 c) y3 - 9y2 + 27y - 27 y = 103 III - Phân tích đa thức thành nhân tử ph ơng pháp nhóm nhiều hạng tử Phơng pháp: - Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm hạng tử thích hợp vào nhóm - áp dụng phơng pháp phân tích đa thức khác để giải toán Ví dụ Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nh©n tư : a) x2 - xy + 3x - 3y b) x2 + 6x - y2 + c) x2 + y2 - z2 - 9t2 - 2xy + 6zt Bµi lµm a) x2 - xy + 3x - 3y = (x2 - xy) + (3x - 3y) = x(x - y) + 3(x - y) = (x - y)(x + 3) b) x2 + 6x - y2 + = (x2 + 6x + 9)- y2 = (x + 3)2 - y2 = (x + + y)(x + - y) c) x2 + y2 - z2 - 9t2 - 2xy + 6zt = (x2 - 2xy + y2) - (z2 - 6zt + 9t2) = (x - y)2 - (z - 3t)2 = (x - y + z - 3t)(x - y - z + 3t) Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nh©n tư : x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz Bµi lµm x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (x2z + y2z + 2xyz) + x2y + xy2 + xz + yz2 = z(x + y)2 + xy(x + y) + z2 (x + y) = (x + y)(xz +yz + xy + z2) = (x + y)[(yz +xy) + (xz + z2)] = (x + y)[y(z + x) + z(z + x)] = (x + y)(y + z)(z + x) Bµi tËp Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tö: a) x4 + 3x2 - 9x - 27 b) x4 + 3x2 - 9x - c) x3 - 3x2 + 3x - - 8y3 Bµi : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x(y2 - z2) + y(z2 - y2) + z(x2 - y2) b) xy(x - y) - xz(x + z) - yz(2x + y - z) c) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 - 4xyz d) yz(y + z) + xz(z - x) - xy(x + y) Bài : Tính nhanh giá trị biÓu thøc : a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 t¹i x = ; y = - ; z = 45 b) 3(x - 3)(x + 7) + (x + 4)2 + 48 t¹i x = 0,5 IV - Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phơng pháp Phơng pháp: Vận dụng linh hoạt phơng pháp đà biết tiến hành theo trình tự sau: - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều h¹ng tư VÝ dơ: Ngun Qc Huy – Tr ờng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 5y3 - 45y b) 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy + 3xy Bµi lµm a) 5y3 - 45y = 5y(y2 - 9) = 5y(y + 3)(y -3) b) 3x2y 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy = 3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) = 3xy[(x2 - 2x + 1) - (y2 + 2ay + y2)] = 3xy[(x - 1)2 - (y +a)2] = 3xy[(x - 1) + (y + a)] [(x - 1) - (y + a)] = 3xy(x + y + a - 1)(x -y - a - 1) Bµi tËp Bµi :Phân tích đa thức thành nhân tử a) 8x3 (x +z) - y3 (z +2x) - z3(2x - y) b) [(x2 + y2)(a2 + b2) +4abxy]2 - [xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)]2 Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 Híng dÉn (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = [(x + y + z)3 - x3] - (y3 + z3) Sau áp dụng đẳng thức biến đổi để tìm nhân tử chung V - Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử Phơng pháp: Ta phân tích hạng tử thành tổng nhiều hạng tử thích hợp, để xuất nhóm số hạng mà ta phân tích thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử x2 - 6x + Bài làm Ta tách hạng tử cách sau: ã Cách 1: x2 - 6x + = (x2 - 2x) - (4x - 8) = x(x - 2) - 4(x -2) ã Cách 2: x2 - 6x + = (x2 - 6x + 9) - = (x - 3)2 - ã Cách 3: x2 - 6x + = (x2 - 4) - 6x + 12 = (x - 2)(x +2) - 6(x -2) • C¸ch 4: x2 - 6x + = (x2 - 16) - 6x + 24 =(x - 4)(x+4) - 6(x-4) ã Cách 5: x2 - 6x + = (x2 - 4x + 4) - 2x +4 = (x - 2)2 - 2(x - 2) Bµi tËp Bµi 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 + 5x + b) x2 - 6x + c) 3x2 - 7x - Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 + 6x2 + 11x + b) x2 - 7xy - 10y c) 4x2 - 3x - VI - Phơng pháp thêm bớt hạng tử Phơng pháp: Ta thêm hay bớt hạng tử vào đa thức đà cho để làm xuất n nhóm số hạng mà ta phân tích đợc thành nhân tử chung phơng pháp: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, Ví dụ: Ví dụ1 : Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 + 64 = x4 + 64 + 16x2 - 16x2 = (x2 + 8)2 - (4x)2 = (x + 4x + 8)(x2 - 4x + 8) NguyÔn Quèc Huy – Tr êng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ2 : Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 + 4y4 Bài làm x4 + 4y4 = x4 + 4y4 + 4x2y2 - 4x2y2 = (x + 2y)2 - (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy) Bµi tËp Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x5 + x4 + b) x8 + x7 + c) x8 + x + d) x8 + Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 + 5x2 + 3x - b) x3 - 7x + Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 - 5x2 + 8x - b) x3 - 3x + c) x3 - 5x2 + 3x + d) x3 + 8x2 + 17x + 10 e) x3 + 3x2 + 6x + 4x A2: Một số phơng pháp khác VII - phơng pháp đặt biến số (đặt biến phụ) Phơng pháp Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Một số toán Phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức đà cho có biểu thức xuất nhiều lần Ta đặt biểu thức biến Từ viết đa thức đà cho thành đa thức dễ phân tích thành nhân tử Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x4 +5x2 + b) (x2 + 3x + 1)(x2 +3x - 3) - c) (x + 1)(x +3)(x + 5)(x + 7) + 15 Bài làm a) Đặt x2 = y - Đa thức ®· cho trë thµnh : y2 + 5y + = (y +1)( y + 4) - Trả lại biến cò: x4 +5x2 + 4= (x2 +1)( x2 + 4) b) Đặt x2 + 3x + = y => x2 + 3x - = y - - Đa thức đà cho trở thành y(y - 4) - = y2 - 4y - = (y + 1)(y - 5) - Trả lại biến cũ (x2 + 3x +1)(x2 + 3x - 3) - = (x2 + 3x + + 1)(x2 + 3x + - 5) = (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x - 4) = (x + 1)(x + 2)(x - 1)(x + 4) c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15 - Đặt x2 + 8x + = y => x2 + 8x + 15 = y + - Đa thức đà cho trë thµnh : y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 5y + 3y + 15 = y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) - Trả lại biến cò (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x2 + 8x + + 5)(x2 + 8x + + 3) = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) NguyÔn Quèc Huy – Tr ờng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Bài tập Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tö: a) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - b) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 b) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x2 c) 3x6 - 4x5 + 2x4 - 8x3 + 2x2 - 4x + VIII - Phơng pháp xét giá trị riêng Phơng pháp Khi biên có vai trò nh đa thức ta xét giá trị riêng Ví dụ: Phân tích đa thức thành nh©n tư: P = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 Bµi lµm - Coi P đa thức biến x Khi x = - y th× P = => P⋮(x + y) - Trong P, vai trß cđa x, y, z bình đẳng nên: P(x + z) P(y + z) => P = (x + y)(x + z)(y + z) Q Mà P đa thức bậc biến x, y, z nên Q số Với x = 0; y = z = 1, ta cã Q = VËy P = 3(x + y)(x + z)(y + z) Bài tập Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông Trang 1 Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử A = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) IX - Phơng pháp tìm nghiệm đa thức Phơng pháp Cho đa thức f(x), a nghiệm cđa ®a thøc f(x) nÕu f(a) = Nh vËy đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ớc cđa hƯ sè tù VÝ dơ: Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử: x3 + 3x - Ta xét ớc (- 4) là: - 1; 1; - 2; 2; - 4; 4, sau kiÓm tra thấy nghiệm đa thức suy ®a thøc chøa nh©n tư (x - 1) Do vËy ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung (x -1) * Cách 1: x3 + 3x2- = x3 -x2 + 4x2 - 4= x2(x - 1)+ 4(x - 1)(x + 1) = (x - 1) (x2 + 4x + 4) = (x - 1)(x + 2)2 * C¸ch 2: x3 + 3x2 - = x3 - + 3x2 - = (x3 - 1) + 3(x2 - 1) = (x - 1)(x2 + x + 1) + 3(x2 - 1) = (x - 1)(x + 2)2 Chó ý: +)NÕu ®a thøc cã tổng hệ số không đa thức chứa nhân tử (x - 1) +) Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức chøa nh©n tư (x + 1) VÝ dơ : * §a thøc : x3 - 5x2 + 8x - cã - + - = Suy đa thức có nghiệm hay đa thøc cã chøa thõa sè (x - 1) * §a thøc : x3 - 5x2 + 3x + cã (- 5) + = + Suy ®a thøc cã nghiƯm lµ - hay ®a thøc chứa thừa số (x +1) Nếu đa thức nghiệm nguyên nhng đa thức có nghiệm hữu tỷ Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng p/q p ớc hạng tử không đổi, q ớc dơng hạng tử cao Ví dụ: 2x3 - 5x2 + 8x - NghiƯm h÷u tû có đa thức :(- 1); 1; (- 1/2); 1/2; (- 3/2); 3/2; - Sau kiểm tra thấy x = 1/2 nghiệm nên đa thøc chøa nh©n tư (x - 1/2) hay (2x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung (2x - 1) B: toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử I - Bài toán rút gọn biểu thức Phơng pháp: Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung áp dụng tính chất phân thức đại số: Chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung => Học sinh thấy đợc liên hệ chặt chẽ kiến thức giúp phát triển t suy luận lô gic, sáng tạo 2) Rót gän biĨu thøc: a) A = 3x − x + x − 2x − x − 4x + b) B = x + 2x − x − − − x +1 x −1 x2 −1 Bµi lµm a) A = 3x − 3x − x + x + x − x − x + x − x − 3x + = 3x ( x − 1) − x( x − 1) + ( x − 1) x ( x − 1) + x( x − 1) − 3( x − 1) = ( x − 1)(3 x − x + 1) ( x − 1)( x − 1)(3 x − 1) = ( x − 1)(2 x + x − 3) ( x − 1)(2 x + 3)( x − 1) Ngun Qc Huy – Tr êng THCS Qu¶ng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử = ( x 1) (3x − 1) x − = ( x − 1) (2 x + 3) x + b) MTC = x2 - = (x + 1)(x - 1) B= ( x + 3)( x − 1) − (2 x − 1)( x + 1) − ( x − 3) ( x + 1)( x − 1) B= x + 2x − − 2x + x + − x + ( x + 1)( x − 1) B= − x + 2x + − ( x − 1) 1− x = = ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) + x Bµi tËp Bµi 19: Rót gän biĨu thøc a) A = a (b − c ) + b (c − a ) + c (a − b) ab − ac − b + bc b) B = x − x − 12 x + 45 x − 19 x + 33x − c) C = x − y + z + xyz ( x + y ) + ( y + z ) + ( z − x) Bµi 20: Rót gän biĨu thøc a) A = 1 1 + + + x( x + y ) y ( x + y ) x( x − y ) y ( y − x ) b) B = 1 + + a (a − b)(a − c ) b(b − a )(b − c) c(c − a )(c − b) Bµi 21: Cho x2 - 4x + = Tính giá trị biểu thức A = x + x + x II - Bài toán giải phơng trình bậc cao Phơng pháp: áp dụng phơng pháp Phân tích đa thức thành nhân tử để đa phơng trình tích A=0 Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử B=0 AB D = D=0 VÝ dô: Giải phơng trình: * Ví dụ1: x3 - 7x2 + 15x - 25 = x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x - 25 = x2(x - 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = (x - 5)(x2 - 2x + 5) = x − = x − 2x + = x = ( x − 1) + = (vô lý) Vậy phơng trình đà cho cã tËp nghiƯm S = {5} * VÝ dơ : (2x2 + 3x - 1)2 - 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = Đặt : 2x2 + 3x - = t => 2x2 + 3x + = t + Phơng trình đà cho trở thµnh: t2 - 5(t + 4) +24 = t2 - 5t + = (t - 1)(t - 4) = t − = t = t − = t = +) Thay t = vµo (*) ta cã: 2x2 + 3x - = 2x2 + 3x - = (2x2 + 4x) - x - = 2x(x + 2) - (x + 2) = NguyÔn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nh©n tư (x + 2)(2x - 1) = x = −2 x + = 2 x − = ⇔ x= +) Thay t = vµo (*) ta cã: 2x2 + 3x - = 2x2 + 3x - = (x - 1)(2x + 5) = x = x − = 2 x + = ⇔ x=− VËy phơng trình (1) có tập nghiệm: S = − 2;− ; ;1 2 3) Bài tập Bài 22: Giải phơng trình: a) 2x3 + 3x2 + 6x + = b) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = c) x3 + 3x2 + 4x + = Bài 23: Giải phơng trình: a) x(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 24 b) (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680 c) (2x + 1)(x + 1)2(2x + 3) = 18 d) (12x + 7)2(3x + 2)(2x + 1) = Bài 24: Giải phơng trình a) x4 - 2x3 + 4x2 - 3x + = b) x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + = Bài 25: Giải phơng trình x5 + 2x4 + 3x3 + 3x2 + 2x + = III - Bài toán giải bất phơng trình Nguyễn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1.Phơng pháp Với số bất phơng trình bậc cao dạng f(x) > f(x) < 0, vế trái f(x) đa thức phân tích thành nhân tử mà nhị thức bậc ta giải nhờ vào cách giải bất phơng trình tích Ví dụ: Giải bất phơng trình * VÝ dô 1: x2 - 5x + < (1) (x - 2)(x - 3) < Ta cã b¶ng: x x-2 x-3 (x - 2)(x - 3) + // + - // 0 + + + Vậy bất phơng trình (1) cã nghiƯm lµ < x < * VÝ dô 2: x4 - 3x3 - x + ≤ (x - 1)(x - 3)(x2 + x + 1) ≤ V× x2 + x + = 1 x+ 2 2 + >0 ∀x Nªn x4 - 3x3 - x + ≤0 (x - 1)(x - 3) ≤ x 3 Bài tập: Bài 26: Giải bất phơng trình: a) x3 - 2x2 + x + > b) x2 - 4x + ≥ c) x4 - 4x + < NguyÔn Quốc Huy Tr ờng THCS Quảng Đông Trang Đề tài: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Bài 27: Giải bất phơng trình: a) x+5 ( x + 7)(3 − x) b) x x+2 + >2 x2 x