Cơ sở lí luận Phân tích đa thức thành nhân tử là một chuyên đề khó và rộng, chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình phổ thông cùng như bồi dưỡng HSG với các dạng toán như: Phân tí
Trang 1CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2014 - 2015
I Sơ yếu lý lịch
- Họ và tên: LÊ MAI PHƯƠNG
- Ngày tháng năm sinh: 27/07/1990
- Trình độ chuyên môn: Cao đẳng Sư phạm, ngành Toán; chức vụ: Giáo viên
- Tổ chuyên môn: Tự nhiên
- Trường: THCS Phương Trung- Thanh Oai- Hà Nội
- Nhiệm vụ được phân công: Giảng dạy môn Toán
A Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài:
a Cơ sở lí luận
Phân tích đa thức thành nhân tử là một chuyên đề khó và rộng, chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình phổ thông cùng như bồi dưỡng HSG với các dạng toán như: Phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức, tìm nghiệm nguyên của phương trình, giải phương trình, chứng minh chia hết… Do đó việc tìm ra các phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử nhanh chóng, thông minh, chính xác là rất cần thiết đối với cả giáo viên và học sinh
Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc và thực hành thành thạo dạng toán trên giúp HS có thể đạt được kết quả như mong muốn
b Cơ sở thực tế
Chuyên đề “ Phân tích đa thức thành nhân tử” được học khá kĩ ở học kì I lớp 8,
nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải bài tập trong chương trình Đại số 8 cũng như các lớp sau này Vì vậy, yêu cầu học sinh phải nắm chắc và vận
dụng linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rất quan trọng Nắm được yêu cầu này trong quá trình giảng dạy toán 8 tôi đã tìm tòi và nghiên
cứu tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng và dễ hiểu giúp học sinh phát triển năng lực tư duy logic,sáng tạo trong giải bài tập Trong chuyên đề này tôi giới thiệu thêm các phương pháp sau:Phương pháp thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ, tìm nghiệm của đa thức
2 Giải quyết vấn đề
Trang 2Để việc bồi dưỡng đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học sinh làm trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo và
tự giác của học sinh
Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chĩng thì trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho thành tích của những đa thức, sau đĩ nắm chắc những phương pháp cơ bản và các phương pháp nâng cao để phân tích, đĩ là:
1) Phương pháp đặt nhân tử chung: A.B + A.C = A ( B + C)
2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức
1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)
3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức nhằm mục đích:
+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm
+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức + Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức
4) Phối hợp các phương pháp cơ bản: Vận dụng và phát triển kỹ năng
là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản:
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Trang 3+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
5)Phương pháp tìm mghi ệm c ủa đa thức: Cần sử dụng định lí bổ sung sau:
+ Đa thức f(x) cĩ nghiệm hữu tỉ thì cĩ dạng p/q trong đĩ p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) cĩ tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) cĩ một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) cĩ tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng
tử bậc lẻ thì f(x) cĩ một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì a - 1f(1) và a + 1f(-1) đều là số nguyên Để nhanh chĩng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
6)Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được ba phương pháp cơ bản đã học để giải
7) Ph ương pháp tách hạng tử:
8) Ph ương pháp đặt biến phụ :
9)Phương pháp hệ số bất định: Đĩ là sự đồng nhất về hệ số của hai vế để từ đĩ suy
ra các hệ số cần tìm trong sự phân tích đa thức thành nhân tử
b) Thực trạng của vấn đề:
-Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài tốn về phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt là các bài tốn khĩ, do các em chưa cĩ điều kiện đọc nhiều sách tham khảo
- Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ? Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học
-Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau
-Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic
-Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại khi gặp bài toán khó
c) Các giải pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:
* Quy trình và cách thức:
- Xây dựng kế hoạch thực hiện ngay từ đâu năm học
- Tổ chức thi tuyển chọn các em cĩ năng khiếu về bộ mơn Đặc biệt là phải học
được mơn Tốn
Trang 4- Tổ chức cho học ụn luyện theo chuyờn đề, trao đổi trực tiếp Sau mỗi chuyờn
đề ra một bài kiểm tra kiến thức của học sinh ( Đề ra dạng như đề thi để học sinh làm quen dần )
- Giỏo viờn say mờ, tớch cực, giảng dạy và tự học; tỡm tũi nhiều dạng bài tập phong phỳ cho học sinh luyện tập khụng chỉ trờn lớp mà cả ở nhà
- Thổi vào học sinh sự tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chớ kiờn cường và quyết tõm thi đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh năng khiếu Động viờn, khớch lệ học sinh thường xuyờn và liờn tục Đồng thời kết hợp tốt với việc uốn nắn hướng dẫn cụ thể học sinh trong từng buổi học
- Mỗi dạng toỏn cần hướng dẫn học sinh phương phỏp giải một cỏch tỉ mỉ, khai thỏc triệt để phương phỏp giải và cho cỏc em luyện tập ớt nhất là 2 lần bằng những bài toỏn tương tự trờn lớp Sau mỗi buổi học Giỏo viờn giao bài tập về nhà cho cỏc em luyện tập để cỏc em được khắc sõu hơn về cỏc dạng toỏn đó được ụn tõp
Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính
t duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, ra phơng pháp làm toán ở dạng cơ bản nh các phơng pháp thông thờng mà còn phải dùng một số phơng pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật riêng đặc trng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó
Ngời thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải đợc các dạng bài tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lợng học tập, đạt kết quả tốt
trong các kỳ thi Từ đó tôi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm " Phơng pháp
phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các
phơng pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phơng pháp giải phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau
* Khảo sỏt thực tiễn
Khi chưa thực hiện đề tài này, thỡ hầu hết cỏc em làm bài tập rất lỳng tỳng, thời gian làm mất nhiều, thậm chớ khụng tỡm ra cỏch giải Để thực hiện đề tài này tụi đó tiến hành khảo sỏt năng lực của học sinh thụng qua một số bài kiểm tra kết quả như sau:
Tổng số HS
Xếp loại
Thụng qua kết quả khảo sỏt tụi đó suy nghĩ cần phải cú biện phỏp thớch hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yờu cầu trong quỏ trỡnh giải những bài toỏn về phõn tớch đa thức thành nhõn tử Tụi mạnh dạn nờu ra một số biện phỏp dưới đõy:
Trang 5* Một số biện phỏp
1) Biện pháp thứ nhất.
Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản nh các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia
đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ
2) Biện pháp thứ hai.
Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích của nhiều đơn thức và đa thức khác
Ví dụ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1)
2.1) Các ph ơng pháp thông th ờng.
+ Đặt nhân tử chung
+ Dùng hằng đẳng thức
+ Nhóm nhiều hạng tử
Trong thực hành giải toán thờng phải phối hợp cả ba phơng pháp kể trên để có thể phân tích đa thớc thành nhân tử
Ví dụ1: Phân tích thành nhân tử
M1 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm các hạng tử)
= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử
M2 = a2 - b2 - 2a + 2b
= (a2 - b2) - (3a - 2b) (Nhóm các hạng tử)
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phơng pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú ý các bớc sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa thức + Xét xem đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các
nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức Cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2
Trang 6Ta thấy M3 không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung, vậy làm gì để phân tích đợc Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung Vì vậy ta dùng phơng pháp nhóm các hạng tử đầu tiên:
M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2
Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất để làm xuất hiện hằng đẳng thức: M3 = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2
Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a + b):
M3 = 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)2
M3 đã có nhân tử chung là: (a + b) Ta tiếp tục đặt nhân tử chung
M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)]
M3 = (a + b)(8a – 2b)
Nh vậy M3 đã đợc phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (8a - 2b)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy
Trớc hết hãy xác định xem dùng phơng pháp nào trớc ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy
+ Đặt nhân tử chung
M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?
+ Nhóm hạng tử: M4 = 3 xyx2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2
+ Dùng hằng đẳng thức: M4 = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào?
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng ta có:
M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) Vậy: M4 đã đợc phân tích các đa thức thành nhân tử
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp
sử dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bớc phân tích đợc rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích đợc nữa)
2.2) Một số ph ơng pháp phân tích đa thức khác.
Giáo viên trớc hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phơng pháp phân tích thành nhân tử thông thờng (đã học trong SGK) và kết hợp các phơng pháp sau để làm các bài toán khó
+ Phơng pháp tách hạng tử
+ Phơng pháp thêm, bớt cùng một hạng tử
+ Phơng pháp đặt ẩn phụ
+ Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức
Trang 7+ Phơng pháp dùng hệ số bất định.
a) Ph ơng pháp tách hạng tử
Vớ dụ 5 Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: 3x2 – 8x + 4
Cỏch 1: Tỏch hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cỏch 2: Tỏch hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)
= (x – 2)(3x – 2)
Ví dụ 6: Phân tích thành nhân tử đa thức sau:
N = a2 - 6a + 8
Cách 1: a2 - 4a - 2a + 8 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử)
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung)
= (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung)
Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử còn lại
Cách 2: N = a2 - 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1)
= (a2 - 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức)
= (a - 3)2 - 1 (Sử dụng hằng đẳng thức)
= (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC) Cách 3:
N = a2 - 4a + 4 - 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a)
= ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử)
= (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng 2 nhân tử)
Ta thấy có để tách một hạng tử thành 2 hạng tử khác trong đó 2 cách tách sau là thông dụng nhất;
- Phơng pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa thức mới đợc
đa về hiệu hai bình phơng (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức và có nhân tử chung với hạng tử còn lại (cách 3)
- Phơng pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung mới (cách 1)
Trang 8Ví dụ 7: Phân tích tam thức bậc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử.
Tách hệ số b = b1 + b2 sao cho b1 b2 = a.c
Trong thực hành ta làm nh sau;
+ Tìm tích a.c
+ Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách
+ Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Ngoài ra có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do và hạng tử bậc nhất) (nh cách 3)
b) Ph ơng pháp thêm bớt hạng tử
1 Thờm, bớt cựng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bỡnh phương:
Ví dụ 8: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)
Ví dụ 9: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức P1 = x 4 + 4 thành nhân tử
P1 = x4 + 4
= x4 + 4x2 + 4 - 4x2 (thêm 4x2, bớt 4x2)
= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (nhóm hạng tử)
= (x2 + 2)2 - (2x)2 (dùng hằng đẳng thức)
= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
Ví dụ 11: Phân tích đa thức : P2 = a 4 + 64 thành nhân tử
P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thêm 16a2, bớt 16a2)
= (a2 + 8)2 - (4a)2
= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8)
Nh vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng đẳng thức nào? bình
ph-ơng của 1 tổng hay hiệu hai bình phph-ơng thì mới phân tích triệt để đợc
Trang 92 Thờm, bớt cựng một số hạng tử để xuất hiện nhõn tử chung
Ví dụ 12: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )
= x(x3 - 1)(x 3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Ví dụ 13: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x 4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x 2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x 5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x 5 – x4 + x3 – x + 1)
c) Ph ơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 14: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức cú dạng
(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Ví dụ 15: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Giả sử x 0 ta viết
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – x6 + 1 2
x ) = x
2 [(x2 + 1 2
x ) + 6(x -
1
x ) + 7 ] Đặt x - 1
x = y thỡ x2 +
1 2
x = y
2 + 2, do đú
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - 1
x )2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 Chỳ ý: Vớ dụ trờn cú thể giải bằng cỏch ỏp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
= x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2
Ví dụ 16: A = (x2y2z2)(x y z )2(xy yz +zx)2
= (x2 y2 z2) 2(xy yz+zx) ( x2 y2 z2) (xy yz+zx)2
Trang 10Đặt 2x y2z2 = a, xy + yz + zx = b ta cú
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( 2x y2z2 + xy + yz + zx)2
Ví dụ 17:
B = 2(x4y4z4) ( x2y2z2 2) 2(x2y2z2)(x y z )2(x y z )4
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta cú:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta lại cú: a – b2 = - 2(x y2 2y z2 2z x2 2) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đú;
B = - 4(x y2 2y z2 2z x2 2) + 4 (xy + yz + zx)2 =
xyz x y z
Ví dụ 18: (a b c )3 4(a3b3c3) 12 abc
Đặt a + b = m, a – b = n thỡ 4ab = m2 – n2
a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m - n2 2
4 ) Ta cú:
C = (m + c)3 – 4 m + 3mn3 2 4c3 3c(m - n )2 2
3 +mc2 – mn2 + cn2)
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
Ví dụ 19: Phân tích thành nhân tử:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất hiện nhân tử chung)
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x), ta có thể đặt
y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến) Khi đó ta có:
D1 = y2 + 4y - 12
Ta có thể dùng phơng pháp tách hoặc thêm bớt
D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y)
D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nhân tử chung)
D1 = (y – 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6)