Đề tài sáng kiến kinh nghiệm một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8 Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề Toán học là bộ môn rất quan trọng đóng vai trò chủ lực. Nó được vận dụng và phục vụ rộng rãi trong đời sống con người chúng ta. Toán học hình thành cho các em tính chính xác, hệ thống khoa học, logic và tư duy cao. Trong chương trình đại số lớp 8, dạng bài về phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung hết sức quan trọng. Việc áp dụng dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán rất phong phú và đa dạng. Vì vậy, để giúp học sinh giải quyết tốt dạng Toán này là yêu cầu hết sức cần thiết đối với người giáo viên. Trong những năm thực tế giảng dạy môn đại số 8 tôi nhận thấy đa số học sinh khi học xong các bài phân tích đa thức thành nhân tử vào áp dụng giải toán còn gặp nhiều sai sót, nguyên nhân là do học sinh chưa nắm vững các phương pháp giải, chưa vận dụng các kĩ năng biến đổi một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể. Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8” với mong muốn chia sẻ một số kinh nghiệm của mình để các giáo viên dạy Toán cùng trao đổi. II. Mục đích nghiên cứu Đề tài đưa ra nhằm giúp học sinh khắc phục được những sai sót của mình khi phân tích đa thức thành nhân tử trong các bài Toán. Bên cạnh đó, chỉ ra một số dạng Toán phân tích đa thức thành nhân tử để học sinh tổng quát được cách làm của mình cho phù hợp. Đặc biệt, đề tài này còn giúp các em rèn kĩ năng giải các bài Toán phương trình tích và áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào một số dạng Toán liên quan. Hơn nữa, tôi nghiên cứu đề tài này để nâng cao trình độ chuyên môn của bản thân đồng thời cũng trao đổi cùng đồng nghiệp khi dạy các bài “phân tích đa thức thành nhân tử” để cung cấp thêm cho học sinh phương pháp học và làm Toán. Giúp các em nắm được kiến thức cơ bản, cách tư duy và phương pháp sử dụng linh hoạt các cách phân tích đa thức thành nhân tử, để các em ngày càng yêu thích và có hứng thú hơn đối với bộ môn Toán. Góp phần cải thiện chất lượng trong học tập của các em, giúp các em phát triển tư duy giải Toán một cách toàn diện. Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lí luận của vấn đề Phân tích đa thức thành nhân tử là một bộ phận vô cùng quan trọng của phân môn Đại số 8 nhưng nó áp dụng xuyên suốt trong quá trình học cấp Trung học cơ sở. Vì vậy nếu các em không nắm được phương pháp nhớ và vận dụng thì việc giải Toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Ví dụ một số bài Toán rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị của biểu thức… mà muốn giải được học sinh cần phải phân tích đa thức thành nhân tử. Bài 55: (Trang 25SGK Toán 8 tập 1) Tìm x, biết Bài 56: (Trang 25SGK Toán 8 tập 1) Tính nhanh giá trị của đa thức: tại x = 49,75 tại x = 93, y = 6 Bài 56: (Trang 14SBT Toán 8 tập 1) Rút gọn biểu thức: a) (6x + 1)2 + (6x – 1)2 – 2(1 + 6x)(6x – 1) b) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) Những bài Toán được liệt kê phía trên là những ứng dụng điển hình quan trọng từ những hằng đẳng thức đáng nhớ và phân tích đa thức thành nhân tử. Vì vậy giáo viên cần hướng học sinh nắm chắc phần này để làm tiền đề giải những dạng Toán liên quan sau này. II. Thực trạng vấn đề Sau khi các em học xong dạng Toán phân tích đa thức thành nhân tử, mỗi em cần hiểu rõ dạng Toán này đóng vai trò hết sức quan trọng trong việc giải quyết các bài Toán liên quan như: rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị của biểu thức, giải phương trình, chứng minh chia hết, tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) … Vì vậy việc nắm vững các dạng phân tích đa thức thành nhân tử là rất cần thiết. Tuy nhiên trong quá trình giải toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử thì đa số các em vận dụng chưa tốt, đặc biệt có nhiều em chưa nắm chắc lý thuyết, hoặc chỉ nhận dạng được các công thức này ở những dạng đơn giản, còn khi các công thức ở dạng phức tạp hơn thì các em trở nên bị động và không biết giải quyết như thế nào. Một số học sinh khả năng nhận dạng bài Toán khá nhanh, tuy nhiên chưa biết cách vận dụng linh hoạt phương pháp vào giải Toán, hoặc trường hợp các em đã biết vận dụng nhưng trong khi thực hiện phép tính còn xảy ra sai sót về dấu hoặc nhầm lẫn dấu sau khi bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ… Cụ thể, năm học 2016 – 2017, bài kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa thức thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Văn Tám có 110 em, cho kết quả: Phân tích đúng Phân tích sai Không biết phân tích Số HS 40 40 30 Tỉ lệ % 36,4% 36,4% 27,2% Từ những thực trạng nêu trên, tôi đã nghiên cứu tìm ra một số phương pháp sao cho có hiệu quả, nâng cao chất lượng học sinh trong việc vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào giải Toán. III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: Để áp dụng tốt giải toán phân tích đa thức thành nhân tử vào những bài toán liên quan thì trước hết học sinh cần phải: + Học thuộc lòng các hằng đẳng thức đáng nhớ đồng thời cụ thể hóa bằng công thức. + Nắm vững và biết áp dụng các cách phân tích đa thức thành nhân tử. + Sử dụng chính xác cách phân tích đa thức thành nhân tử mà nội dung từng bài Toán yêu cầu. + Kết hợp với các kĩ năng biến đổi, thu gọn biểu thức. 1. Kiến thức cơ bản: Học sinh cần học thuộc những hằng đẳng thức đáng nhớ: Học sinh cần học thuộc các cách phân tích đa thức thành nhân tử: + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử. + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. 2. Các bài tập Trước tiên ta phải nhấn mạnh cho học sinh hiểu rõ: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. 2.1. Dạng 1: Bài tập đơn giản ở mức độ nhận biết. 2.1.1. Phương pháp: Xét xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào. Xác định biểu thức A, B Thay các biểu thức A, B vào hằng đẳng thức vừa xác định. 2.1.2. Bài tập: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) b) c) d) e) g) h) Giải: Đây là những dạng bài tập nhận biết cơ bản, yêu cầu học sinh nhận dạng được hằng đẳng thức, sau đó cho các em xác định biểu thức A, biểu thức B trong từng câu rồi áp dụng công thức để phân tích: a) b) c) d) e) g) h) Với những học sinh yếu kém, việc giải Toán dù là những bài đơn giản cũng trở nên rất khó khăn. Giáo viên cần phải cho học sinh tự nhận biết đó là dạng hằng đẳng thức nào rồi giúp các em phân tích kĩ càng hơn để đưa ra kết quả. Đặc biệt khi bắt đầu đưa ra một bài Toán cần yêu cầu học sinh xác định hạng tử A, hạng tử B trước khi làm bài để tránh được sự nhầm lẫn từ ban đầu. Đối với ví dụ g và ví dụ h, định hướng để học sinh tự phát hiện và làm xuất hiện hằng đẳng thức. Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) b) c) d) Giải: a) Đối với bài toán này giáo viên hỏi học sinh, ta có thể đưa về dạng hằng đẳng thức nào. Học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng thức số 3. Để đưa về dạng A2 B2 = (AB)(A+B) thì ta cần gì, sử dụng công cụ gì? Học sinh tự phát hiện đưa về dạng lũy thừa . Vậy trong bài toán này ta đưa ra được như thế nào, học sinh đưa ra x6 = (x3)2, y6 = (y3)2, đến đây học sinh tự giải quyết các bài toán. b) và c) Với câu b, c là bài tập bắt đầu yêu cầu học sinh nâng cao tư duy, học sinh khá giỏi sẽ giải bài này không khó khăn nhưng những học sinh yếu kém sẽ thường nhầm lẫn như sau: (Cách làm sai của HS) Học sinh cần phải nắm rõ với các biểu thức A, B trong hằng đẳng thức là một biểu thức gồm cả số và biến hoặc gồm hai biến thì phải sử dụng dấu ngoặc và lũy thừa của cả biểu thức đó. Ví dụ:
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề Tốn học mơn quan trọng đóng vai trò chủ lực Nó vận dụng phục vụ rộng rãi đời sống người Toán học hình thành cho em tính xác, hệ thống khoa học, logic tư cao Trong chương trình đại số lớp 8, dạng phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng Việc áp dụng dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán phong phú đa dạng Vì vậy, để giúp học sinh giải tốt dạng Toán yêu cầu cần thiết người giáo viên Trong năm thực tế giảng dạy môn đại số nhận thấy đa số học sinh học xong phân tích đa thức thành nhân tử vào áp dụng giải tốn gặp nhiều sai sót, ngun nhân học sinh chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ biến đổi cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo vào tốn cụ thể Chính tơi chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” với mong muốn chia sẻ số kinh nghiệm để giáo viên dạy Tốn trao đổi II Mục đích nghiên cứu Đề tài đưa nhằm giúp học sinh khắc phục sai sót phân tích đa thức thành nhân tử Toán Bên cạnh đó, số dạng Tốn phân tích đa thức thành nhân tử để học sinh tổng quát cách làm cho phù hợp Đặc biệt, đề tài giúp em rèn kĩ giải Tốn phương trình tích áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào số dạng Toán liên quan Trường Trung học sở Lê Văn Tám Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Hơn nữa, nghiên cứu đề tài để nâng cao trình độ chun mơn thân đồng thời trao đổi đồng nghiệp dạy “phân tích đa thức thành nhân tử” để cung cấp thêm cho học sinh phương pháp học làm Toán Giúp em nắm kiến thức bản, cách tư phương pháp sử dụng linh hoạt cách phân tích đa thức thành nhân tử, để em ngày u thích có hứng thú mơn Tốn Góp phần cải thiện chất lượng học tập em, giúp em phát triển tư giải Tốn cách tồn diện Phần thứ 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí luận vấn đề Phân tích đa thức thành nhân tử phận vô quan trọng phân mơn Đại số áp dụng xun suốt trình học cấp Trung học sở Vì em khơng nắm phương pháp nhớ vận dụng việc giải Tốn liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử gặp nhiều khó khăn Ví dụ số Tốn rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị biểu thức… mà muốn giải học sinh cần phải phân tích đa thức thành nhân tử Bài 55: (Trang 25/SGK Tốn tập 1) Tìm x, biết a) x3 x b) x 1 x 2 c) x x 12 x Bài 56: (Trang 25/SGK Tốn tập 1) Tính nhanh giá trị đa thức: a) x 1 x x = 49,75 16 b) x y y x = 93, y = Bài 56: (Trang 14/SBT Toán tập 1) Rút gọn biểu thức: Trường Trung học sở Lê Văn Tám Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” a) (6x + 1)2 + (6x – 1)2 – 2(1 + 6x)(6x – 1) b) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) Những Toán liệt kê phía ứng dụng điển hình quan trọng từ đẳng thức đáng nhớ phân tích đa thức thành nhân tử Vì giáo viên cần hướng học sinh nắm phần để làm tiền đề giải dạng Toán liên quan sau II Thực trạng vấn đề Sau em học xong dạng Tốn phân tích đa thức thành nhân tử, em cần hiểu rõ dạng Tốn đóng vai trò quan trọng việc giải Tốn liên quan như: rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị biểu thức, giải phương trình, chứng minh chia hết, tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) … Vì việc nắm vững dạng phân tích đa thức thành nhân tử cần thiết Tuy nhiên q trình giải tốn dạng phân tích đa thức thành nhân tử đa số em vận dụng chưa tốt, đặc biệt có nhiều em chưa nắm lý thuyết, nhận dạng công thức dạng đơn giản, cơng thức dạng phức tạp em trở nên bị động khơng biết giải Một số học sinh khả nhận dạng Toán nhanh, nhiên chưa biết cách vận dụng linh hoạt phương pháp vào giải Toán, trường hợp em biết vận dụng thực phép tính xảy sai sót dấu nhầm lẫn dấu sau bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ… Cụ thể, năm học 2016 – 2017, kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa thức thành nhân tử, số HS khối trường Trung học sở Lê Văn Tám có 110 em, cho kết quả: Số HS Phân tích Phân tích sai Khơng biết phân tích 40 40 30 Trường Trung học sở Lê Văn Tám Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Tỉ lệ % 36,4% 36,4% 27,2% Từ thực trạng nêu trên, nghiên cứu tìm số phương pháp cho có hiệu quả, nâng cao chất lượng học sinh việc vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào giải Toán III Các giải pháp tiến hành để giải vấn đề: Để áp dụng tốt giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử vào tốn liên quan trước hết học sinh cần phải: + Học thuộc lòng đẳng thức đáng nhớ đồng thời cụ thể hóa cơng thức + Nắm vững biết áp dụng cách phân tích đa thức thành nhân tử + Sử dụng xác cách phân tích đa thức thành nhân tử mà nội dung Toán yêu cầu + Kết hợp với kĩ biến đổi, thu gọn biểu thức Kiến thức bản: * Học sinh cần học thuộc đẳng thức đáng nhớ: A B A2 AB B A B A2 AB B A2 B A B A B A B A3 A2 B AB B A B A3 A2 B AB B A3 B A B A2 AB B A3 B A B A2 AB B Trường Trung học sở Lê Văn Tám Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn môn đại số 8” * Học sinh cần học thuộc cách phân tích đa thức thành nhân tử: + Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung + Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức + Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử + Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Các tập Trước tiên ta phải nhấn mạnh cho học sinh hiểu rõ: Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đa thức 2.1 Dạng 1: Bài tập đơn giản mức độ nhận biết 2.1.1 Phương pháp: - Xét xem biểu thức cho có dạng đẳng thức - Xác định biểu thức A, B - Thay biểu thức A, B vào đẳng thức vừa xác định 2.1.2 Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x xy y b) x x c) x d) x3 3x 3x e) x x 12 x g) x 27 h) x 1000 Giải: Trường Trung học sở Lê Văn Tám Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Đây dạng tập nhận biết bản, yêu cầu học sinh nhận dạng đẳng thức, sau cho em xác định biểu thức A, biểu thức B câu áp dụng cơng thức để phân tích: a) x xy y x y b) x x x 2.x.1 12 x 1 2 2 c) x x x x d) x 3x 3x x 3x x.12 13 x 1 e) x x 12 x x3 x 2 x.2 13 x 3 g) x 27 x x 3 x 3x 3 h) x 1000 x 10 x 10 x 10 x 100 - Với học sinh yếu kém, việc giải Toán dù đơn giản trở nên khó khăn Giáo viên cần phải cho học sinh tự nhận biết dạng đẳng thức giúp em phân tích kĩ để đưa kết Đặc biệt bắt đầu đưa Toán cần yêu cầu học sinh xác định hạng tử A, hạng tử B trước làm để tránh nhầm lẫn từ ban đầu Đối với ví dụ g ví dụ h, định hướng để học sinh tự phát làm xuất đẳng thức Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x y b) x x c) x 12 x x2 xy y d) Trường Trung học sở Lê Văn Tám Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Giải: a) Đối với toán giáo viên hỏi học sinh, ta đưa dạng đẳng thức Học sinh phát đẳng thức số Để đưa dạng A2 - B2 = (A-B)(A+B) ta cần gì, sử dụng cơng cụ gì? Học sinh tự phát đưa dạng lũy thừa a m n a m.n Vậy toán ta đưa nào, học sinh đưa x = (x3)2, y6 = (y3)2, đến học sinh tự giải toán b) c) Với câu b, c tập bắt đầu yêu cầu học sinh nâng cao tư duy, học sinh giỏi giải khơng khó khăn học sinh yếu thường nhầm lẫn sau: b)4 x x x x 12 x 1 2 c)4 x 12 x x x 32 x 3 2 (Cách làm sai HS) Học sinh cần phải nắm rõ với biểu thức A, B đẳng thức biểu thức gồm số biến gồm hai biến phải sử dụng dấu ngoặc lũy thừa biểu thức Ví dụ: x 36 xy 36 y 3x 2.3x.6 y y 3x y 2 Trong A 3x; B y Hoặc x 20 xy 100 y x 2.x.10 y 10 y x 10 y 2 Trong A x; B 10 y Vì Toán giải sau: b)4 x x x 2. x 12 x 1 2 c)4 x 12 x x 2. x 32 x 3 Trường Trung học sở Lê Văn Tám Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Giáo viên luôn nhấn mạnh với học sinh cần xác định xác biểu thức A, B trước làm để tránh sai sót sau d) Tương tự, sau học sinh đọc đề giáo viên định hướng yêu cầu học sinh xác định A = x B = 2y, sau giáo viên cho học sinh phân tích cụ thể biểu thức A2, 2AB B2 sau tiến hành giải 2 x2 �1 � �1 � �1 � xy y � x � � x � y y � x y � �2 � �2 � �2 � 2.2 Dạng 2: Dạng biến đổi, đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử để làm xuất đẳng thức 2.2.1 Phương pháp: - Phát nhân tử chung nhóm hạng tử để xuất đẳng thức - Dựa vào đẳng thức để đưa biểu thức dạng nhân tử 2.2.2 Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x x y xy b) x 3x 3x y Giải: a) x x y xy Câu a giáo viên yêu cầu học sinh xác định số hạng tử bài, có hạng tử x , 2x y , xy nên hướng học sinh dùng đẳng thức đặt nhân tử chung, giáo viên đặt câu hỏi sử dụng đẳng thức ln có khơng, đặt nhân tử chung ngồi ta nhận biểu thức Trường Trung học sở Lê Văn Tám Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” nào, học sinh nhận thấy sau đặt x nhân tử chung ngồi xuất đẳng thức bình phương tổng, giải sau: x x y xy x x xy y x x y b) x 3x 3x y Với Toán này, tương tự học sinh tự xác định hạng tử nên giáo viên gợi ý học sinh sử dụng cách nhóm hạng tử để xuất đẳng thức Lúc học sinh sau nhóm dễ dàng phát hai đẳng thức: lập phương hiệu hiệu hai lập phương Tuy nhiên giáo viên cần phải rõ cách nhóm hạng tử để học sinh khơng bị nhầm lẫn, cách nhóm hạng tử dễ bị nhầm lẫn mà thường gặp học sinh x3 3x 3x y x x x y x y 13 (Cách làm sai HS) Từ dẫn đến kết sai Vì cần yêu cầu học sinh nháp trước cách làm giải thích cụ thể, sai giáo viên định hướng kịp thời để giúp học sinh ghi nhớ kiến thức Bài giải giải sau: x3 3x x y x3 x x 1 y x 1 y x y � x 1 y x 1 y � � � x y x y xy x y 1 Lưu ý: Đối với học sinh yếu cho em làm Toán tương tự với bậc hai trước làm bậc ba, ví dụ x x y Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) xy x y yz y z xz x z xyz b) x y z y x z z x y xyz 2 Trường Trung học sở Lê Văn Tám Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Giải: a) xy x y yz y z xz x z xyz Bài có độ khó hơn, giáo viên định hướng học sinh khai triển lại nhóm hạng tử vào cách khác để tạo nhân tử chung, đồng thời tách 2xyz thành xyz + xyz, cụ thể ta giải sau: xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz = x2y+ xy2 + yz(y + z) + x2z + xz2 + xyz + xyz = (x2y + x2z) + yz(y + z) + (xy2 + xyz) + (xz2 + xyz) = x2(y + z) + yz(y + z) + xy(y+ z) + xz(y + z) = (y + z)( x2 + yz + xy + xz) = (y + z)[(x2 + xy) + (xz + yz)] = (y + z)[x(x + y) + z(x + y)] = (y + z)(x+ y)(x + z) Tương tự câu b b) x y z y x z z x y xyz 2 Câu b cách làm tương tự, khai triển xong nhóm lại cách khác, cụ thể: khai triển hai biểu thức x y z y x z 2 ta x y yz z y x xz z , nhân đơn thức cho đơn thức ta xy x y xz yz xyz , sau tiếp tục đặt nhân tử chung biểu thức thứ hai phân tích đa thức thành nhân tử Như vậy, giải trình bày sau: Trường Trung học sở Lê Văn Tám 10 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn môn đại số 8” x y z y x z z x y xyz 2 x y yz z y x xz z z x y xyz xy x y xz yz z x y xy x y z x y z x y 2 x y xy z z x y x y xy z xz yz x y xy xz yz z x y x y z z y z x y y z x z Giáo viên cần lưu ý cho học sinh bớt số bước làm để Toán ngắn gọn Như ta để ý thấy kết hai giống nhau, gặp Toán mở rộng, Cho hai biểu thức A xy x y yz y z xz x z xyz B x y z y x z z x y xyz 2 Chứng minh A = B Học sinh làm hai câu biết cách kết hợp để kết hoàn chỉnh 2.3 Dạng 3: Dạng sử dụng nhiều đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử 2.3.1 Phương pháp: - Đặt nhân tử chung (nếu có) - Nhóm hạng tử để xuất đẳng thức - Dựa vào đẳng thức để đưa biểu thức dạng nhân tử 2.3.2 Bài tập: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y b) 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 = 5(x2 – 2xy + y2 – 4z2) Giải: Trường Trung học sở Lê Văn Tám 11 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” a) Giáo viên định hướng nhóm hạng tử để học sinh tự tìm đẳng thức, sau đặt nhân tử chung lại tiếp tục xuất đẳng thức, phải lưu ý em khai triển đẳng thức cần làm triệt để x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y) = (x + y)3 – (x + y) = (x + y)[(x + y)2 – 1] = (x + y)(x + y + 1)(x + y - 1) b) Giải câu b tương tự câu a, nhiên cần cho học sinh thấy cần đặt nhân tử chung trước nhóm hạng tử Tốn dễ nhìn 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 = 5(x2 – 2xy + y2 – 4z2) = 5[(x2 – 2xy + y2) – 4z2] = 5[(x – y)2 – (2z)2] = 5(x – y + 2z)(x – y – 2z) Tóm lại, qua dạng giáo viên cần nhắc nhở học sinh học công thức trôi chảy lưu lốt khả phân tích đề độ nhạy bén giải đề nhanh nhẹn nhiêu 2.4 Dạng 4: Các nhóm tìm giá trị biểu thức, phân tích đa thức thành nhân tử thay giá trị vào xuất nhân tử 2.4.1 Phương pháp: - Phân tích đa thức thành nhân tử để kết ngắn gọn - Thay giá trị biến vào biểu thức sau thu gọn 2.4.2 Bài tập: Tính giá trị biểu thức: a) x2 + xy + x x = y = 1234 b) xy(x – y) + y2(y – x) x= 530 y = Giải: a) Giáo viên cho học sinh phân tích đa thức thành nhân tử, giá trị vào biểu thức: Trường Trung học sở Lê Văn Tám 12 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” x2 + xy + x = x ( x + y + ) Thay x = y = 1234, ta 0.1235 = Giáo viên đưa kết luận: dạng tìm giá trị biểu thức, phân tích thành nhân tử, thay giá trị vào xuất nhân tử khơng cần tính giá trị thừa số thứ hai Ví dụ ta xét tiếp câu b) xy(x – y) + y2(y – x) Sau phân tích đa thức thành nhân tử ta kết y(x – y) 2, thay giá trị y = vào biểu thức ta nhận kết 2.5 Dạng 5: Giải phương trình tích thơng qua phân tích đa thức thành nhân tử 2.5.1 Phương pháp: - Chuyển toàn vế phải phương trình sang vế trái để vế phải có giá trị - Áp dụng cách phân tích để biến đổi vế trái thành dạng nhân tử để giải phương trình tích 2.5.2 Bài tập: Giải phương trình sau: a) 5x(x – 1) = x – b) 2(x + 5) – x2 – 5x = Giải: a) Giáo viên gợi ý học sinh chuyển vế phân tích đa thức thành nhân tử 5x(x – 1) = x – ⇔ 5x(x – 1) – (x – 1) = ⇔ (5x – 1)(x – 1) = ⇔ 5x – = x – = • x–1=0⇔x=1 Trường Trung học sở Lê Văn Tám 13 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” • 5x – = ⇔ x = Vậy x = x = b) Giáo viên gợi ý học sinh đặt nhân tử chung phân tích đa thức thành nhân tử 2(x + 5) – x2 – 5x = ⇔ 2(x + 5) – (x2 + 5x) = ⇔ 2(x + 5) – (x + 5) = ⇔ (2 – x)(x + 5) = ⇔ – x = x + = • 2–x=0⇔x=2 • x + = ⇔ x = -5 Vậy x = x = -5 Với dạng Tốn tìm x hay giải phương trình, áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào việc giải Tốn trở nên dễ dàng 2.6 Dạng 6: Một số Toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến đẳng thức 2.6.1 Phương pháp: - Xác định biểu thức cần chứng minh dạng đẳng thức - Từ phân tích đa thức thành nhân tử 2.6.2 Bài tập: Chứng minh: a )29 chia hết cho b)56 104 chia hết cho Trường Trung học sở Lê Văn Tám 14 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” c) n 3 n 1 chia hết cho 2 d ) n n chia hết cho 24 2 e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120 Phương pháp chung: - Để chứng minh A(n) chia hết cho số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có nhân tử bội m, m hợp số ta lại phân tích thành nhân tử có đơi ngun tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho số Giải: - Giáo viên gợi ý học sinh làm câu a, tách thành số mũ để biểu thức cần chứng minh trở thành A – B3 Sau áp dụng đẳng thức đáng nhớ học sinh dễ dàng chứng minh sau a)29 23 83 83 13 1 82 8.1 12 7.73 Vậy 7.73 chia hết cho Do 29 chia hết cho - Tương tự, câu b này, giáo viên định hướng cho học sinh đặt nhân tử chung Tách 56 104 để xuất nhân tử chung, cách làm sau: b)56 104 54.52 54.24 54 52 24 54.9 Vậy 54.9 chia hết cho Do 56 104 chia hết cho - Câu c đề n 3 n 1 giáo viên cho học sinh tự liên tưởng tới 2 đẳng thức, rõ ràng học sinh nghĩ đến đẳng thức bình phương tổng, bình phương hiệu Tuy nhiên giáo viên yêu cầu học sinh Trường Trung học sở Lê Văn Tám 15 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” nhìn cách tổng quát hơn, học sinh phát đẳng thức hiệu hai bình phương Sau học sinh xác định dạng đẳng thức giáo viên cho học sinh làm bài: c) n 3 n 1 n n 1 n n 1 2 2n 8n n 1 Bài Toán học sinh thường mắc phải lỗi dấu trừ trước biểu thức thứ hai nên có số học sinh tính kết sau: n 3 n 1 n n 1 n n 1 (Cách làm sai HS) giáo viên cần nhấn mạnh học sinh đặc biệt ý với biểu thức có nhiều hạng tử mà trước ngoặc có dấu trừ - Với câu d cách làm hồn tồn tương tự, ta có d ) n 6 n 6 n n 6 n n 6 2 2n.12 24n Như 24n chia hết cho 24 hay n n chia hết cho 24 2 e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120 Giáo viên định hướng học sinh phân tích số 120 thành tích thừa số nguyên tố, ta 120 = 23.3.5 Từ toán chứng minh x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120 ta đưa chứng minh x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho tích thừa số 2, 3, Sau giáo viên tiếp tục hướng dẫn em phân tích đa thức thành nhân tử cách đặt nhân tử chung nhiều lần Bài giải cụ thể sau: Dễ thấy 120 = 23.3.5 Ta có Trường Trung học sở Lê Văn Tám 16 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” x 10 x 35 x3 50 x 24 x x x 10 x3 35 x 50 x 24 x� x x 1 x x 1 26 x x 1 24 x 1 � � � x x 1 x x 26 x 24 x x 1 � x x x x 12 x � � � x x 1 x x x 12 x x 1 x x 3 x Mà ta có x x 1 x x 3 x chia hết cho 2, 3, 4, Mặt khác 2, 3, số nguyên tố nên x x 1 x x 3 x chia hết cho 2.3.4.5 = 120 Vậy x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120 2.7 Dạng 7: Dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thông qua đẳng thức 2.7.1 Phương pháp: - Quy biểu thức dạng bình phương tổng bình phương hiệu - Xuất tổng đẳng thức với số - Dựa vào biểu thức vừa tìm suy luận để tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) biểu thức 2.7.2 Bài tập Bài 1: Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) biểu thức sau: a) A = x2 – 6x + 11 b) B = 5x – x2 Giải: Trường Trung học sở Lê Văn Tám 17 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” a Giáo viên định hướng học sinh quy biểu thức dạng bình phương hiệu, để ý hiệu x2 – 6x phân tích x2 – 2.3.x, lúc học sinh tìm hạng tử thứ hai 3, ta giải sau Ta có: A = x2 – 6x + 11 = x2 – 2.3x + + = (x – 3)2 + Vì (x – 3)2 ≤ nên (x – 3)2 + ≤ Suy ra: A ≤ Vậy A = giá trị nhỏ biểu thức x =3 b Giáo viên hướng dẫn học sinh đổi dấu hạng tử cách đưa dấu “-“ ngồi ngoặc, tương tự ta phân tích x2 – 5x dạng A2-2.A.B để tìm hạng tử B B = 5x – x2 = -(x2 – 5x) = - [x2 - = - [(x Vì (x - 5 x + ( )2 – ( )2] 2 25 25 ) - ] = - (x - )2 + 4 5 25 25 ) ≤ nên - (x - )2 ≥ ⇒ - (x - )2 + ≥ 2 4 Suy ra: B ≥ 25 25 Vậy B = giá trị lớn x = 4 Bài 2: Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) biểu thức sau: a) M = 2x2 - 6x b) N = x2 + y2 – x +6y + 10 Giải: a) Giáo viên gợi ý tương tự 1, sau đưa nhân tử chung ngồi ngoặc em biến đổi dạng bình phương hiệu để tìm hạng tử thứ hai M = 2x2 - 6x = 2.(x2 - 9 9 x + ) - = 2.( x- ) - �2 2 2 Trường Trung học sở Lê Văn Tám 18 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Vậy MinM = - x = 2 b) Tương tự trên, nhiên giáo viên cần gợi ý câu hỏi cho học sinh phân tích thành đẳng thức Để định hướng cho em nhìn thấy hai đẳng thức N x y x y 10 1� � �x 2.x � y y.3 4� � � 1� �x � y 3 � 2� � � 1� � 1� 3 �x ��0 � Do � � � � N �x � y 3 � 4 � 2� � y � � Dấu “=” xảy khi: � � �x �x �� � � � �y �y 3 Vậy giá trị nhỏ N = x y = -3 Tóm lại: số Tốn phân tích đa thức thành nhân tử tưởng phức tạp, khó khăn, lại hồn toàn đơn giản Mấu chốt vấn đề em phải hiểu cách biến đổi dạng Sau khơng áp dụng vào dạng Tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà có dạng Tốn tìm x, tính nhanh, chứng minh, lượng giác… mà thuộc đẳng thức việc học Tốn dễ tiếp thu IV Tính giải pháp Sau áp dụng đề tài nhận thấy học sinh linh động việc tìm cơng thức để giải tốn, em biết cách xử lý nhanh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán liên quan Trường Trung học sở Lê Văn Tám 19 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Đề tài có hướng đến lỗi sai cách giải học sinh để giúp em định hướng cách làm nhanh V Hiệu SKKN: Năm học 2017 – 2018, kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa thức thành nhân tử, số HS khối trường Trung học sở Lê Văn Tám có 110 em, cho kết quả: Phân tích Phân tích sai Khơng biết phân tích Số HS 55 33 22 Tỉ lệ % 50% 30% 20% Năm học 2018 – 2019, kiểm tra viết chương I: câu phân tích đa thức thành nhân tử, số HS khối trường Trung học sở Lê Văn Tám có 110 em, cho kết quả: Phân tích Phân tích sai Khơng biết phân tích Số HS 75 25 10 Tỉ lệ % 68,2% 22,7% 9,1% Như vậy, sau hai năm học áp dụng kinh nghiệm dạy này, nhận thấy đa số học sinh tham gia hứng thú học Toán, tự giác chủ động kiến thức Toán giáo viên đưa ra, đặc biệt kiến thức liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử Phần thứ 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận: Phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp quan trọng, góp phần định hướng tư cho học sinh kĩ giải toán, dễ dàng nhận dạng giải toán từ đơn giản đến phức tạp Trường Trung học sở Lê Văn Tám 20 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Đối với người giáo viên dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử định nghĩa cần hướng dẫn học sinh biết cách kết hợp với kĩ biến đổi, thu gọn biểu thức để giải dạng toán liên quan Đối với học sinh ngồi việc nắm vững lý thuyết cần phải nhận dạng toán vận dụng linh hoạt kĩ để giải tốn Những cách thực đề tài kinh nghiệm mang tính cá nhân q trình tổ chức tiết học Chính khơng thể tránh khỏi hạn chế thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp q báu đồng chí để đề tài hoàn chỉnh II Kiến nghị: Đối với giáo viên dạy Toán: Thường xuyên bám sát lớp để hướng dẫn giúp đỡ em hiểu nắm rõ kiến thức Bồi đắp kiến thức bị hổng luôn lắng nghe điều thắc mắc em Cần tạo phong cách nhẹ nhàng, thân thiện gần gũi để học sinh dễ dàng trò chuyện, trao đổi thơng tin với giáo viên Ngồi ra, giáo viên phải ln theo sát hoạt động nhận thức học sinh “suy ngẫm phương pháp dạy học hay thân hiểu thấu đáo phương pháp hiệu hiệu với trò mà khơng hiệu với trò kia” để người học gặp khó khăn, kịp thời hỗ trợ, giúp đỡ định hướng phù hợp, gợi ý cụ thể; Phải nỗ lực để xác định “tầm nhìn” phải cố gắng tạo cho nhóm người học có tinh thần đồng đội; tìm cách cổ vũ người học, đưa lời khun kịp thời có tính xây dựng để người học hành động hướng tới tầm nhìn đó; đưa lời nhận xét phản hồi ý nghĩa để nâng cao thành tích học tập học sinh Bình Hòa, ngày tháng năm 2019 Người thực Trường Trung học sở Lê Văn Tám 21 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” H’An Niê Kdăm Trường Trung học sở Lê Văn Tám 22 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Toán tập – NXB GD&ĐT Sách tập Toán tập – NXB GD&ĐT https://toanhoc247.com/phan-tich-da-thuc-thanh-nhan-tu-bang-pp-hangdang-thuc-a11258.html https://dinhnghia.vn/7-hang-dang-thuc-dang-nho.html https://loga.vn/bai-viet/dang-bai-tap-phan-tich-da-thuc-thanh-nhan-tu- 3974 Trường Trung học sở Lê Văn Tám 23 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” Nhận xét, đánh giá hội đồng khoa học cấp trường …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Bình Hòa, ngày … tháng…… năm 2019 CT HỘI ĐỒNG Nhận xét, đánh giá hội đồng khoa học cấp Huyện …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………, ngày … tháng…… năm 2019 Trường Trung học sở Lê Văn Tám 24 Giáo viên: H’An Niê Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8” CT HỘI ĐỒNG KHOA HỌC Trường Trung học sở Lê Văn Tám 25 Giáo viên: H’An Niê Kdăm ... Kdăm Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8 * Học sinh cần học thuộc cách phân tích đa thức thành nhân. .. tử: + Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung + Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức + Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử + Phân. . .Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn mơn đại số 8 Hơn nữa, nghiên cứu đề tài để nâng cao trình