Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong dạy học toán lớp 8 trường THCS nguyễn hồng lễ

MỤC LỤC TT Nội dung Trang Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị Kết luận Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục sáng kiến kinh nghiệm hội đồng sáng kiến kinh nghiệm ngành giáo dục đào tạo huyện, Tỉnh cấp cao xếp loại từ C trở lên 1 2 2 16 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 16 16 17 18 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình THCS, mơn tốn chiếm vai trị quan trọng Với đặc thù mơn khoa học tự nhiên, tốn học không giúp học sinh phát triển lực tư duy, óc sáng tạo, khả tìm tịi khám phá tri thức, khả vận dụng kiến thức, hiểu biết vào thực tế, sống Mà tốn học cịn mơn học cơng cụ giúp em học tốt mơn học khác góp phần phát triển lực cho học sinh cách tồn diện Chính việc giúp em học sinh u thích, say mê tốn học, giúp em học sinh giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức kèm cặp, phụ đạo cho học sinh yếu học toán yêu cầu tất yếu giáo viên dạy toán Nhất đất nước ta thới kỳ hội nhập, thời kỳ cơng nghiệp hố, đại hố, cần người động, sáng tạo có hiểu biết, có tri thức Trong chương trình mơn đại số lớp 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng, không để phân tích đa thức thành nhân tử mà cịn sử dụng việc làm số toán khác Việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng biến đổi đồng biểu thức hữu tỷ, chứng minh chia hết, giải phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên phương trình, chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình… hầu hết sử dụng phương pháp biến đổi đa thức thành nhân tử Chính giáo viên cần phải cung cấp cho em cách hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơng cụ giải tốn hữu hiệu, giải hầu hết dạng tốn chương trình lớp sở cho em học lớp Qua thực tế giảng dạy: Phân tích đa thức thành nhân tử khơng khó nhiều học sinh nắm chưa chắc, chưa vận dụng biến đổi linh hoạt, sáng tạo vào giải tốn Chính mà tơi chọn đề tài: “ Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng dạy học toán lớp trường THCS Nguyễn Hồng Lễ ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong khuôn khổ đề tài thân trình bày nội dung “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng dạy học toán lớp trường THCS Nguyễn Hồng Lễ” Cụ thể : Mục đích phương pháp giúp nâng cao chất lượng mơn Tốn cho học sinh lớp 8, rèn luyện cho học sinh phải tích cực chủ động biết tự học tự tìm hiểu thêm ngồi kiến thức SGK, phải tham khảo thêm nhiều tài liệu Người giáo viên đưa kiến thức mà phải hướng dẫn em tự học tự tìm tịi Điều đặc biệt quan trọng cần thiết công tác BDHSG, muốn thành công khả tự học học sinh phải tốt, học sinh say mê yêu thích mơn Tốn, tốn tìm tịi nhiều cách giải khác nhau, tăng cường khả tự học, tự sáng tạo học sinh điều có ích BDHSG Trường THCS Nguyễn Hồng Lễ 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu qua tiết dạy Toán lớp 8A2 bồi dưỡng HSG lớp Đối tượng khảo sát : Học sinh lớp 8A2, HSG trường THCS Nguyễn Hồng Lễ Đề tài nghiên cứu phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng dạy học toán lớp để giúp học sinh biết, nắm vững hơn, rộng phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng học tốn nói chung học toán lớp BD HSG lớp 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp thực hành - Phương pháp xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế - Phương pháp thu thập thong tin - Đúc rút phần kinh nghiện qua đồng nghiệp thân dạy môn Toán lớp 1.5 Những điểm SKKN( SKKN làm lần đầu) NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức - Phân tích đa thức thành nhân tử, chuyên đề toán học quan trọng có liên quan đến nhiều chuyên đề Đại số lớp lớp học sau - Kĩ phân tích đa thức thành nhân tử kĩ biến đổi chương trình đại số - Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta khơng sử dụng phương pháp mà ta phối hợp sử dụng nhiều phương pháp khác - Đặc biệt dạy học tốn theo chương trình đổi việc dạy học theo phương pháp tích cực hố hoạt động học tập học sinh, học sinh tiếp cận kiến thức cách chủ động sáng tạo, từ toán cụ thể, phương pháp giải cụ thể, giúp em nắm vững kiến thức cách chắn, tạo hứng thú, say mê học tập tìm tịi nghiên cứu tập nâng cao - Dạy học hướng dẫn học sinh “ Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng dạy học tốn lớp 8” khơng phát huy tính động sáng tạo cho học sinh mà cịn phát huy khả liên hệ kiến thức cũ cho học sinh Bên cạnh cịn có tác động tích cực đến khả vận dụng kiến thức học vào thực tế đời sống hàng ngày Từ giúp em tiến hơn, thành đạt học tập, đời sống, để em hồn thành ước mơ, hồi bão đời sống, kế thừa nghiệp đất nước, tiếp thu vận dụng sáng tạo văn minh nhân loại 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Đối với giáo viên: Có thể nói phân tích đa thức thành nhân tử sở để em biến đổi, rút gọn biểu thức đại số kỹ quan trọng học đại số Tuy nhiên thực tế giảng dạy có nhiều giáo viên lại không trọng đến vấn đề này, mà lúc yêu cầu học sinh phải rút gọn thành thạo biểu thức đại số VD: Rút gọn biểu thức A= ( x x −4 + x+2 - ) x−2 : (1 - x ) x+2 Để rút gọn biểu thức trên, học sinh phải biết cộng trừ phân thức đại số ⇒ phải biết quy đồng mẫu phân thức ⇒ phải biết tìm mẫu chung ⇒ phải biết phân tích đa thức thành nhân tử -Đối với học sinh: - Trong thực tế mức độ biến đổi tính tốn em cịn số vướng mắc, đặc biệt dạng tốn khác mà có liên quan đến phân tích thành nhân tử - Trong năm gần đề thi ln có phần thi rút gọn biểu thức - Có thể áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để giải số dạng toán nâng cao hiệu dạy bồi dưỡng học sinh giỏi - Khảo sát học sinh phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng lớp 8A3 trường THCS Nguyễn Hồng Lễ năm học 2018 – 2019 kết phản ánh sau: Lớp Số HS kiểm Giỏi Khá TB Yếu tra 8A3 43 13 30,2% 18 41,9% 20,9% 7,0% Trên sở nắm vững lý luận nắm bắt rõ thực tế đề xuất giải pháp thực sau: 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Với hoạt động giảng dạy giáo viên lớp khóa : Qua tiết học, Tôi thực nhiều biện pháp kết hợp; dành quan tâm đặc biệt đến đối tượng học sinh; tăng cường việc vận dụng đổi phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh ; tạo cho có phương pháp dạy học đặc trưng, qua tạo hứng thú cho em việc học tập mơn Tốn cách có hiệu Để thực điều đó, giáo viên phải thực số biện pháp sau: + Giáo viên giảng dạy mơn Tốn phải biết tạo tình có vấn đề cách dí dỏm, nhẹ nhàng; nêu câu hỏi đặt vấn đề; câu hỏi dẫn dắt gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh yếu; giảng kĩ; bảo cách tỉ mỉ như: cách ghi chép nghe giảng; cách viết, cách đặt phép tốn cho xác; cách học làm tập nhà; việc chuẩn bị bài, đọc trước đến lớp; qua giúp học sinh biết cách tự học hiệu quả; biết cách phân tích tìm lời giải tốn; biết cách giải tốn có nội dung tương tự; rèn luyện cho học sinh có tính cẩn thận xác học tập tạo hứng thú cho em Từ việc học sinh biết cách giải tập, hướng dẫn tập cho em biết cách trình bày lời giải toán là: kết luận; khẳng định phải có cứ; dùng từ ngữ phải rõ ràng; đầy đủ bước + Trong học, chủ động tạo khơng khí vui vẻ, gần gũi; chia sẻ; giúp đỡ học sinh; khuyến khích học sinh bộc bạch lo lắng; khó khăn; kiến thức chưa hiểu rõ; để phát kỹ học sinh cịn yếu kém; “lỡ hởng” kiến thức học sinh; từ có kế hoạch tổ chức phụ đạo thêm cho học sinh vào buổi chiều: giúp đỡ em ơn tập lại kiến thức có liên quan; bù đắp lỗ hổng kiến thức lớp + Cũng thông qua nội dung học, có tốn có liên quan đến thực tế sống em Giáo viên cho học sinh thấy vai trò, tác dụng kiến thức này; áp dụng từ kết tốn vào thực tiễn đời sống em + Với tiết học, Tôi thường xuyên kiểm tra đánh giá học sinh ý thức thái độ học tập phương pháp quen thuộc như: kiểm tra cũ; kiểm tra chuẩn bị học sinh; kiểm tra đồ dùng học tập học sinh; kiểm tra ghi chép học sinh xem có đầy đủ hay khơng ? Kết hợp với việc theo dõi việc nghe giảng học lớp học sinh Từ đó, điều chỉnh phương pháp giảng dạy, điều chỉnh việc giao tập nhà cho phù hợp với đối tượng học sinh; hướng dẫn tập nhà giáo viên nêu cụ thể nội dung cần học học sinh nhà chuẩn bị cần thiết cho tiết học sau Trong việc giảng dạy cần lưu ý đến định hướng phát triển lực học sinh, không trọng truyền tải hết nội dung SGK đủ mà cần phải mở rộng nâng cao cho phù hợp với đối tượng học sinh, khen chê học sinh phải phù hợp với đối tượng người học Bồi dưỡng lực định hướng đường lối giải tốn Cơng việc định hướng tìm đường lối giải tốn vấn đề khó khăn cho học sinh Để giải tốt tốn cần phải có định hướng giải Do việc định hướng giải toán vấn đề cần thiết quan trọng Việc xác định đường lối giải xác giúp cho HS giải tốn cách nhanh chóng, dễ hiểu, ngắn gọn tránh thời gian Chính vậy, đòi hỏi GV cần phải rèn luyện cho HS khả định hướng đường lối giải toán điều khơng thể thiếu q trình dạy học tốn CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1.1 Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung: a Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 4x2 – 12x = 4x(x – 3) b 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y)(5x +4y) b Chú ý: - GV cần nhấn mạnh cách xác định nhân tử chung cho học sinh - Nhiều cần đổi dấu để làm xuất nhân tử chung 1.2 Phương pháp 2: Phương pháp dùng đẳng thức a Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 4x2 - 12x + c 16x2 - 9(x + y)2 b 27 - 27x + 9x2 - x3 b - 27x3y6 Giải a 4x2 - 12x + = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2 b 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 - 3.32x + 3.3x2 - x3 = (3 -x)3 c 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2 = (x - 3y)(7x + y) d - 27x y = - (3xy2)3 = (1- 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4) b Chú ý: - Nắm vững đẳng thức - Đôi phải đổi dấu áp dụng đẳng thức, chẳng hạn: - x4y2 - 8x2y - 16 = - (x4y2 + 8x2y + 16) = - (x2y + 4)2 1.3 Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử a Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2) b ax + x + a + = (ax + x) + (a + 1) = x(a + 1) + (a + 1) = (a + 1)(x + 1) c x2 + 2x + - y2 = (x2 + 2x + 1) - y2 = (x + 1)2 - y2 = (x + y +1)(x - y + 1) b Chú ý: - Thơng thường nhóm phải xuất nhân tử chung đẳng thức - Đối với đa thức có nhiều cách nhóm khác Chẳng hạn ví dụ b ta nhóm cách khác sau: ax + x + a + = (ax + a) + (x + 1) = a(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(a + 1) - Nếu đa thức có nhân tử chung nên đặt nhân tử chung trước nhóm Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2 = 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) = 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] = 5x3y2(x - - y - z)(x - + y + z) 1.4 Phương pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử Đối với cách để tách cách nhanh chóng ta thường dựa vào nghiệm đa thức -Định nghĩa nghiệm đa thức Số a gọi nghiệm đa thức f(x) f(a) = 0, đa thức f(x) có nghiệm x = a chứa nhân tử x - a Khi xét nghiệm đa thức ta cần nhớ định lý sau: - Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số x = nghiệm đa thức - Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số luỹ thừa bậc chẵn tổng hệ số luỹ thừa bậc lẻ - nghiệm đa thức - Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với hệ số ngun có nghiệm ngun nghiệm ngun ước hệ số tự - Định lý 4: Đa thức f(x) với hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ p x = q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao * Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ ước hệ số tự do, khơng nghiệm đa thức dùng nhận xét sau: Nếu a nghiệm nguyên đa thức f(x) f(1), f(-1) khác f (1) f (−1) a −1 a +1 số nguyên a Đa thức tam thức bậc hai: F(x) = ax2 + bx + c * Cách 1: Tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho: b1.b2 = a.c Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích a.c Bước 2: Tìm hai số ngun có tích a.c mà có tổng b Ví dụ: Phân tích đa thức: x2 – 3x + = x2 – x – 2x + = (x2 – x) - (2x – 2) = x(x – 1) – 2(x – 1) = (x – 1)(x – 2) Nhưng thực tế lúc sử dụng cách Chính ta có cách sau * Cách 2: Biến đổi tam thức sau b c b c b2 b2 F(x) = ax + bx + c = a(x + x + ) = a(x + x + - + ) a a 2a a 4a 4a = a(x + b 4ac − b ) + 2a 4a - Nếu b2 – 4ac < F(x) khơng phân tích - Nếu b2 – 4ac > F(x) phân tích thành hai đa thức bậc Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 - 6x + = x2 - 6x + - = (x - 3)2 - = (x - 2)(x - 4) * Chú ý: Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 phân tích cách làm tương tự đa thức bậc biến Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 Cách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2 = 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y) = 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) b Đa thức bậc cao: Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x – 18 Ta có ước 18 là: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6; ± 9; ± 18 f(1) = - 13 + - 18 = - 18 f(-1) = - - 13 - - 18 = - 44 Hiển nhiên ± không nghiệm f(x), ta thấy: − 18 − 18 − 18 ; ; ; (−3 − 1) (±6 − 1) (±9 − 1) − 18 − 44 không nguyên nên - 3; ± 6; ± 9; ± 18 không nghiệm f(x); (±18 − 1) (2 + 1) không nguyên nên nghiệm f(x), - 3, kiểm tra ta thấy nghiệm f(x) Nên ta tách sau: f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x – 18 = 4x3 - 12x2 - x2 + 3x + 6x – 18 = 4x2(x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3) = (x – 3)(4x2 – x + 6) 1.5 Phương pháp 5: Phương pháp thêm bớt một hạng tử a Thêm bớt số hạng để xuất đẳng thức Ví dụ: Phân tích đa thức: 4x4 + 81 Ta nhận thấy đa thức cho tổng hai bình phương (2x 2)2 + 92 tương ứng với hai số hạng A2 + B2 đẳng thức A2 + 2AB + B2 thiếu 2AB Vậy cần thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất đẳng thức: Ta có: 4x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 2.2x2.9 - 2.2x2.9 = (2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 - 6x + 9)(2x2 +6x + 9) * Chú ý: - Trong phương pháp ta thường sử dụng hai đẳng thức: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 đẳng thức a2 – b2 = (a – b)(a + b) - Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phương làm tiếp toán b Thêm bớt số hạng để làm xuất thừa số chung Ví dụ: x7 + x2 + = x7 - x + x2 + x + = x(x3 + 1)(x3 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x3 + 1)(x - 1) + 1)] = (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 - x + 1) 1.6 Phương pháp 6: Phương pháp đổi biến Thực đổi biến đa thức cho đa thức có bậc nhỏ đơn giản Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 Ta thấy đặt (x2 + x) = y đa thức có dạng y2 + 4y - 12 Ta có: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12 = y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2) Tương đương với: (x2 + x +6)(x2 + x - 2) = (x2 + x +6)[x(x + 2) - (x + 2)] = (x2 + x +6)(x + 2)(x - 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 Biến đổi đa thức cho (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24 = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x - 12) - 24 (*) Đặt x2 + 7x + 11 = y (*) = (y - 1)(y + 1) - 24 10 = y2 - - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5) Tương đương với (x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)(x2 + 7x + 16) 1.7 Phương pháp 7: Phương pháp hệ số bất định Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Các hệ số ± 1; ± Ư(3) nghiệm đa thức nên đa thức khơng có nghiệm hữu tỷ Như vậy, đa thức phân tích có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Phép nhân cho kết quả: x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng đa thức với đa thức cho ta hệ:  a + c = −6 ac + b + d = 12   ad + bc = 14 bd = Xét bd = với b, d ∈ z; b ∈ {± 1; ± 3}; với b = d = Hệ thành:  a + c = −6  ac = a + 3c = −14   a = −2 ⇔  c = −4 Vậy đa thức cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) * Chú ý: Khi biết kết ta trình bày lời giải cách hạng tử: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + = x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3) = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) 1.8 Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị tuyệt đối Trong phương pháp trước hết ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số cịn lại Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Nếu thay x y P = y2(y - z) + y2(z - y) = Như P chứa thừa số x - y Do vai trò x, y, z P nên P chứa x - y chứa y - z z - x 11 Vậy dạng P k(x - y)(y - z)(z - x) Ta thấy k phải số P có bậc tập hợp biến x, y, z cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc biến x, y, z Ta có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) với ∀ x, y, z Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng x = 1, y = 0, z = -1 Ta có: 1.1 + + 1.1 = k.1.1.(-2) = - 2k => k = - Vậy P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y) = (x - y)(y - z)(x + y - z - y) = (x - y)(y - z)(x - z) ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG GIẢI TỐN 2.1 Dạng tốn: Chứng minh chia hết: Bài Chứng minh 55n + – 55n chia hết cho 54 (với n số tự nhiên) Giải Nhận xét: Ta cần phân tích 55n + – 55n thành tích 54 với số Ta có: 55n + – 55n = 55n(55 – 1) = 54 55n Nên 55n + – 55n chia hết cho 54 với n số tự nhiên Bài Chứng minh rằng: 2x4 – 13x3 + 15x2 + 11x – chia hết cho x2 – 4x – Giải Ta có: 2x4 – 13x3 + 15x2 + 11x – = 2x4 – 5x3 + x2 – 8x3 + 20x2 – 4x – 6x2 + 15x – = x2(2x2 – 5x + 1) – 4x(2x2 – 5x + 1) – 3(2x2 – 5x + 1) = (2x2 – 5x + 1)(x2 – 4x – 3) 2.2 Dạng tốn: Giải phương trình quy pt tích: f(x) = có nghiệm thường giải cách phân tích f(x) thành nhân tử đẻ đưa phương trình tích Ví dụ 1: Giải phương trình: (x2 - 1)(x2 + 4x + 3) = 192 Giải ⇔ (x - 1)(x + 1)2(x + 3) = 192 12 ⇔ (x + 1)2[(x - 1)(x + 3)] = 192 ⇔ (x2 + 2x + 1)(x2 + 2x - 3) = 192 Đặt x2 + 2x - = y ta có: (Điều kiện y ≥ -2) (y + 2)(y - 2) = 192 ⇔ y2 - = 192 ⇔ y2 = 196 ⇔ y = ± 14 Chỉ có y = 14 thoả mãn * Với y = 14 ta có x2 + 2x - = 14 ⇔ x2 + 2x - 15 = ⇔ (x - 3)(x + 5) = ⇔ x = x = - Vậy nghiệm phương trình x = x = - Ví dụ 2: Giải phương trình (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 Giải Đặt x - = y, phương trình cho (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 ⇔ 2y4 + 12y2 + = 16 ⇔ y4 +6y2 + = ⇔ y4 +6y2 - = ⇔ (y2 - 1)(y2 + 7) = (y2 + 7) > với y nên (y2 - 1) = 0; y = ± tức x = 6, x = Vậy x = x = nghiệm phương trình 2.3 Dạng tốn: Tìm tập xác định rút gọn phân thức Muốn tìm tập xác định rút gọn phân thức đại số ta phải phân tích mẫu thức tử thức thành nhân tử Ví dụ 1: Tìm tập xác định rút gọn phân thức sau x3 - 5x2 - 2x + 24 x3 - x2 - 10x - Phân tích tử thức: x3 - 5x2 - 2x + 24 = x3 + 2x2 - 7x2 - 14x + 12x + 24 = x2(x + 2) - 7x(x +2) + 12(x + 2) = (x + 2)(x2 - 7x + 12) = (x + 2)(x - 3)(x - 4) Phân tích mẫu thức: x3 - x2 - 10x - = x3 + 2x2 - 3x2 - 6x - 4x - = x2(x + 2) - 3x(x + 2) - 4(x + 2) = (x + 2)(x2 - 3x - 4) = (x + 2)(x + 1)(x - 4) Tập xác định phân thức x ≠ -1; x ≠ -2; x ≠ A= Phân thức rút gọn (x + 2)(x - 3)(x - 4) x-3 A= = (x + 2)(x + 1)(x - 4) x+1 2.4 Dạng tốn: Giải bất phương trình Ví dụ 1: giải bất phương trình sau: x2 - x - 12 < (4) 13 Giải (4) ⇔ x2 - 4x + 3x - 12 < ⇔ x(x - 4) + 3(x - 4) < ⇔ (x - 4)(x + 3) < Lập bảng xét dấu: x -3 x +3 + + x-4 + (x - 4)(x + 3) + 0 + Từ bảng xét dấu ta có nghiệm bất phương trình là: - < x < 2.5 Dạng tốn: Tính giá trị biểu thức: Ví dụ: Cho x4 + y4 = Tính giá trị biểu thức: M = 3x8 + 4x4y4 + y8 + 2y4 Giải Để giải toán ta phải biến đổi biểu thức M xuất (x4 + y4 ) Ta có: M = 3x8 + 4x4y4 + y8 + 2y4 = (x8 + 2x4y4 + y8) + (2x4y4 + 2x8) + 2y4 = (x4 + y4)2 + 2x4(x4 + y4) + 2y4 = + 2x4 + 2y4 = + 2(x4 + y4) = 2.6 Dạng toán: Chứng minh đẳng thức: Ví dụ: Cho (x + y)3 = x3 + y3 Chứng minh: (x + y)7 = x7 + y7 (*) Giải Từ (x + y)3 = x3 + y3 ⇔ x3 + y3 + 3xy(x + y) = x3 + y3 ⇔ 3xy(x + y) = x =  ⇔ y = x = − y  - Nếu x = 0, y = (*) chứng minh - Nếu x = - y (*) có dạng: = Vậy đẳng thức (*) chứng minh 2.7 Dạng toán: Chứng minh bất đẳng thức: x6 y6 Ví dụ: Chứng minh với x, y ≠ , chứng minh: x + y ≤ + y x 4 Giải Ta dùng phép biến đổi tương đương Ta có: x + y ≤ 4 x6 y6 + y2 x2 ⇔ x2y2(x4 + y4) ≤ x8 + y8 ⇔ x8 + y8 – x6y2 – x2y6 ≥ ⇔ x6(x2 – y2) – y6(x2 – y2) ≥ ⇔ (x2 – y2) (x6 – y6) ≥ 14 ⇔ (x2 – y2)2(x4 + x2y2 + y4) ≥ (Bất đẳng thức đúng) Vậy x + y ≤ 4 x6 y6 + y2 x2 2.8 Dạng toán: Giải tốn liên quan đến số ngun tố: h.1.Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên a cho 2a + lập phương số Giải * Nếu a số chẵn, ⇒ a = Thì 2a + = (loại) * Nếu a số lẻ, 2a + số lẻ Khi ta có: 2a + = (2k + 1)3 ⇔ 2a + = 8k3 + 12k2 + 6k + ( k ∈ N) ⇔ a = k(4k2 + 6k + 3) Vì k ∈ N nên 4k2 + 6k + ≠ ⇒ k = Nên a = 13 (Thoả mãn), 2a + = 27 = 33 h.2 Ví dụ 2: Tìm cố tự nhiên m, n để m4 + 4n4 số nguyên tố Giải 4 4 2 Ta có: m + 4n = m + 4n + 4m n - 4m2n2 = (m2 + 2n2) – (2mn)2 = (m2 + 2n2 – 2mn)(m2 + 2n2 + 2mn) Do m, n số tự nhiên Nên để m4 + 4n4 số nguyên tố thì: m2 + 2n2 – 2mn = ⇔ (m – n)2 = 1- n2 ⇒ -1 ≤ n ≤ ⇒ n = 1, n = * Nếu n = m = (Thoả mãn) Vì m4 + 4n4 = số nguyên tố * Nếu n = m = (Loại) Vì m4 + 4n4 = số nguyên tố Vậy với m = n = m4 + 4n4 số nguyên tố 2.9 Dạng toán: Giải phương trình nghiệm ngun: Ví dụ: Tìm nghiệm ngun phương trình x + y = xy Giải Ta có: x + y = xy ⇔ xy – x – y = ⇔ (x – 1)(y – 1) = x − = x =  x − = −1 x = ⇔  ⇔  ⇔   y −1 = y =  y − = −1 y = Vậy phương trình có hai nghiệm là: (2 ; 2) (0 ; 0) BÀI TẬP VẬN DỤNG 3.a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) (x2 + y2 - 5)2 - 4x2y2 - 16xy - 16 (P2-Nhóm) 2) x2y2(y - x) + y2z2(z - y) - z2x2(z - x) (Khai triển nhóm lại) 3) (x - y + 4)2- (2x + 3y- 1)2 (HĐT) 4) 9x2 + 90x + 225 - (x-7)2 (HĐT) 15 5) xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - (Khai triển nhóm lại) 6) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz (Nhóm thành nhóm) 7) yz(y + z) + xz(z - x) - xy(x + y) (Nhân nhóm lại) 8) a2 + 2b2 - 2c2 + 3ab + ac 9) a4 + 2a3 + (Tách) 10) 4a2 - 4b2- 4a + (Nhóm) 11) a2 - 2b2 - 2c2 - ab + 5bc - ac 12) a2 + b2+ 2a - 2b - 2ab 13) 8b2 + 2b - 14) 25x2(x - y) – x + y 15) 4x3y + 0,5yz3 16) x9 + x8- x- 17) x6 + 2x5 + x4- 2x3 - 2x2 + 18) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) -12 19) (x + 1)(x +3)(x + 5)(x + 7) + 15 20) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) +1 21) (x2 + 4x + 8)2-3x(x2+ 4x + 8) + 2x2 22) x4 + 324 23) a7 + a5 + 24) a7 - 25) (x - a)4 + 4a4 3.b Giải phương trình: 1) x2+ 3x – 18 = 2) 8x2 +30x +7 = 3) x3- 11x2 + 30x = 6) x3- 6x2- x +30 = 5) x2- x + = 7) x10+ x5+ 1=0 8) x3- x - 4=0 9) (5x2 + 3x-2)2- (4x2-x-5)2 = 3.c Chứng minh với n số ngun ta ln có: a) 5n3 + 15n2 + 10n chia hết cho 30 b) n − 5n + 4n n+2 chia hết cho 24 (n số tự nhiên) c) n3 - n chia hết cho d) n4 - chia hết cho 3.d Tìm tất số tự nhiên n để số có dạng: 1) n3- n2 + n- 2) n3- 6n + 3) n5 - 2n3 – n - 4) n3- 4n2 + 4n- 5) n3- 6n2+ 9n - 6) n3 - n2- n - Là số nguyên tố 3.e Cho: a + b + c = 1 + + = Tính giá trị biểu thức a b c P = a2 + b2 + c2 3.f Cho A = x3 + y3+ z3 – 3xyz a Chứng minh x + y+ z=0 A = b Điều ngược lại có khơng? 16 3.g Giải bất phương trình: ≥ a 2x2 -7x + b 2−x >0 3x + c x − x − 12 ≤0 2x + 3.h Giải phương trình nghiệm nguyên: a y3 – x3 = 91 b 3x3 – xy = c p(x + y) = xy 3.i Chứng minh bất đẳng thức sau: 1) 3) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 ab a+ b ≤ ab 2) a b − a≥ b− với p số nguyên tố b a ( với a > 0, b > 0) ( với a > 0, b > 0) 3.k Tính giá trị biểu thức: 1) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức: a b b c c a A = (1 + )(1 + )(1 + ) 2) Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức: B = a4 + b4 + c4 3.m Rút gọn phân thức sau: 2y2 + 5y + 1) Q = y + y + 12 y + a + b + c − 3abc 2) P = 2 a + b + c − ab − bc − ca 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với kinh nghiệm trình bày, sau nhiều năm dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tốn lớp 8, thân tơi thấy trình độ học sinh nâng lên rõ rệt Hầu hết học sinh nắm vững phương pháp phân tích thành nhân tử đơn giản, học sinh giỏi sử dụng linh hoạt phương pháp đặt ẩn phụ, thêm bớt, hệ số bất định vào việc phân tích đa thức phức tạp thành nhân tử Học sinh tỏ sáng tạo trình giải tập, tập em giải theo nhiều cách, sau em lựa chọn cách giải dễ hiểu để trình bày Mặt khác qua việc áp dụng kĩ phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng toán phổ biến chương trình trung học sở, lần nói lên tầm quan trọng việc phân tích đa thức thành nhân tử Điều cịn khẳng định, để trở thành học sinh giỏi, học sinh khơng thể thiếu kĩ Chính chất lượng học sinh ngày tăng lên thể qua kết khảo sát lớp 8A2 năm học 2019 – 2020 sau: Lớp Số HS kiểm Giỏi Khá TB Yếu 17 tra 8A2 49 34 69,4% 15 30,6% 0 KẾT LUẬN, KIẾN NGHI: 3.1.Kết luận: Qua việc giảng dạy thực tế đặc biệt sau áp dụng đề tài lớp 8A2 năm học 2019-2020, nhận thấy em học tập cách hứng thú, tiếp thu tốt, vận dụng làm tập nhanh cho kết tốt Nhiều học sinh chủ động tìm tịi, định hướng sáng tạo nhiều cách giải tốn khơng cần hướng dẫn giáo viên Từ đó, em phát triển lực tư độc lập, khả sáng tạo, tính tự giác học tập, phương pháp giải toán nhanh, kỹ phát tốt Để làm vậy, giáo viên cần nghiên cứu, tìm tịi, tham khảo nhiều tài liệu để tìm tốn hay, với nhiều cách giải khác Đối với học sinh trường THCS Nguyễn Hồng Lễ, việc áp dụng phương pháp làm thay đổi nhận thức học Toán học sinh Phần lớn em thích say mê với Tốn học hơn, có nhiều học sinh đạt giải Tốn kỳ thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp thành phố hầu hết em thi vào cấp đạt điểm cao mơn Tốn 3.2 Kiến nghị: - Đề nghị nhà trường, Phòng giáo dục quan tâm thiết bị phục vụ cho việc giảng dạy theo phương pháp ( tài liệu tham khảo, máy chiếu) - Giáo viên dạy mơn tốn cần tích cực cho học sinh thảo luận nhóm để học sinh giao lưu phát cách giải hay - Phần “phân tích đa thức thành nhân tử” lớp nội dung quan trọng, kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề để học sinh học tốt kiến thức sau Do trước tiên giáo viên nên cho học sinh nắm thật vững phương pháp phân tích nêu SGK, tiếp đến phương pháp tách hạng tử, đặc biệt tách tam thức bậc phương pháp hay sử dụng - Với học sinh giỏi cần hướng dẫn thêm cho em phương pháp thêm bớt, đặt ẩn phụ, phương pháp hệ số bất định Để học sinh nắm vững hứng thú học tập Trong khuôn khổ đề tài này, hy vọng tài liệu giúp giáo viên dạy tốn q trình giảng dạy, ôn tập, BD HSG cho học sinh làm tập phân tích đa thức thành nhân tử thấy tầm quan trọng Tuy nhiên, trình bày đề tài không tránh khỏi khiếm khuyết Rất 18 mong góp ý chân thành bạn đồng nghiệp, HĐKH để đề tài tơi hồn chỉnh đạt hiệu cao./ Tôi xin chân thành cảm ơn! Sầm Sơn, ngày 20 tháng năm 2020 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nợi dung người khác Phan Thế Lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học trường THCS (Bộ Giáo Dục Đào Tạo) SGK Toán (nhà xuất giáo dục) 19 SGV Toán (nhà xuất giáo dục) Nâng cao phát triển Toán Toán nâng cao &các chuyên đề Đại số 20 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phan Thế Lợi Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Trường Sơn TT Tên đề tài SKKN Khắc sâu khái niệm hình học qua tiết dạy luyện tập Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Cấp Tỉnh Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) C Năm học đánh giá xếp loại 2009-2010 ... Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng dạy học toán lớp trường THCS Nguyễn Hồng Lễ ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong khn khổ đề tài thân tơi trình bày nội dung ? ?Phân tích đa thức thành nhân tử. .. cứu phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng dạy học toán lớp để giúp học sinh biết, nắm vững hơn, rộng phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng học tốn nói chung học tốn lớp BD HSG lớp 1.4 Phương... nâng cao hiệu dạy bồi dưỡng học sinh giỏi - Khảo sát học sinh phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng lớp 8A3 trường THCS Nguyễn Hồng Lễ năm học 20 18 – 2019 kết phản ánh sau: Lớp Số HS kiểm