skkn các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng vào giải nột số bài tập toán 8

Là giáo viên trực tiếp gi ng dạy môn Toán theo chương trình SGK mới, tôi nghĩ mình cần xác định rõ vai trò và nhiệm vụ của người giáo viên đứng lớp một cách linh hoạt, sáng tạo mà hơn hế

Tr-êng THCS Thôy THANH

S¸NG KIÕN KINH NGHIÖM

C¸C PH¦¥NG PH¸P PH¢N TÝCH

§A THøC THµNH NH¢N Tö Vµ øng dông vµo gi¶I mét sè d¹ng

P Ầ 1 ĐẶT VẤ ĐỀ

1 Lý do ch đề tài

Đất nước ta đang trong thời kì phát triển, hội nhập với các nước trên thế giới và trong khu vực, đòi hỏi ph i có những con người độc lập, tự chủ, sáng tạo, biết tiếp thu những tri thức khoa học hiện đại, biết vận dụng và tìm ra những gi i pháp hợp lí cho b n thân và xã hội Nhiệm vụ đó không chỉ của ngành giáo dục mà là nhiệm vụ của mọi cấp, mọi ngành, mọi người, tất c đều ph i tham gia vào hoạt động giáo dục Nhưng trước tiên ngành giáo dục đóng vai trò quyết định đến thành công của sự nghiệp giáo dục Chính vì vậy mà Đ ng ta đã xác định: “Giáo dục là quốc sách hàng đầu” Hơn nữa, trong mục tiêu chung của giáo dục đã xác định: “ Mục tiêu chung của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ b n nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh học tiếp lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và b o vệ tổ quốc”

Để thực hiện mục tiêu đó ngành giáo dục đã định hướng đổi mới phương pháp dạy

và học theo chương trình sách giáo khoa mới Trong đó, môn Toán cũng như mọi môn học, xuất phát từ đặc điểm và vai trò, vị trí, ý nghĩa của nó, phối hợp cùng các môn khác và các hoạt động khác nhau trong nhà trường góp phần thực hiện mục tiêu trên

Là giáo viên trực tiếp gi ng dạy môn Toán theo chương trình SGK mới, tôi nghĩ mình cần xác định rõ vai trò và nhiệm vụ của người giáo viên đứng lớp một cách linh hoạt, sáng tạo mà hơn hết ph i rèn luyện được phương pháp dạy học có hiệu qu nhằm phát huy

sự tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh của học sinh trong quá trình học tập, giúp học sinh chiếm lĩnh kiến thức đạt hiệu qu cao nhất

Từ năm học 2008 - 2009 đến nay, tôi được nhà trường phân công gi ng dạy bộ môn toán 8 Qua thực tế gi ng dạy kết hợp với dự giờ các giáo viên trong trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng b n thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ

năng thành thạo khi làm các dạng bài tập toán lớp như: h h h h h h

hi h i i ị h i h gọn phân th q y ồng

giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biế ổi ồng nhất bi u th c hữu tỉ vì để gi i được các dạng

toán đó thì cần ph i có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

Trong thực tế gi ng dạy Toán trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ năng gi i các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được Để làm được điều này thì người thầy ph i cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ b n về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Để phân tích đa thức thành nhân tử SGK Toán 8 - tập 1 có đưa ra 4 phương pháp

cơ b n đó là: + Đặt nhân tủ chung

+ Nhóm các hạng tử

+ Dùng hằng đẳng thức

+ Phối hợp nhiều phương pháp

Nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên thì học sinh có thể sẽ gặp khó khăn trong quá trình gi i toán (có những bài chưa thể gi i được hoặc không có phương pháp tổng quát

để gi i) Vì vậy khi dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác ngoài sách giáo khoa như: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ (đổi biến), hệ số bất định, xét giá trị riêng Đặc biệt là đối với học sinh khá giỏi, giúp các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp khi gặp các dạng toán khó

Hiểu được điều này, bằng những kinh nghiệm dạy và học toán, tôi mạnh dạn lựa

chọn đề tài “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứ ” Trong đề tài này tôi xin đưa ra các phương pháp phân tích cơ

b n và nâng cao ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào gi i một một số dạng bài tập toán lớp Đặc biệt, tôi sẽ chỉ ra một vài sai lầm cơ b n của học sinh khi phân tích đa thức thành nhân tử Hy vọng nó sẽ giúp các em học sinh không c n bỡ ngỡ khi gặp các dạng toán này và biết ứng dụng trong việc gi i các bài toán có liên quan đến phân tích đa thức

2 M c đích nghiên cứu:

 Góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán bậc THCS

 Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có kh năng vận dụng tốt dạng toán này

 Học sinh vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong việc áp dụng vào gi i một số dạng toán lớp và các lớp trên

 Phát huy kh năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh

 Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong gi i toán từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh

 Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được tri thức vào thực tiễn cuộc sống

3 Nhiệm v nghiên cứu:

 Tìm hiểu nội dung (lý thuyết và bà tập về phân tích đa thức thành nhân tử trong SGK và các sách tham kh o toán 8

 Tìm hiểu ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong việc gi i các bài toán có liên quan

 Điều tra về thực trạng:

 Thường xuyên nghiên cứu các dạng bài tập có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử trong SGK, SBT và sách nâng cao của HS

 Thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết qu học tập của HS để nhận được sự

ph n hồi từ HS Qua đó nhận ra những tồn tại, những sai lầm HS thường mắc ph i đối với các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử Từ đó tìm ra những phương pháp phù hợp nhằm nâng cao chất lượng gi ng dạy

4 Ph m vi và đối tượng nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu là: Học sinh lớp 8 - Trường THCS Thụy Thanh, Thái Thụy, Thái ình

- Phạm vi nghiên cứu : Học sinh lớp 8A

5 Phương pháp nghiên cứu:

a) ươ p áp ê ứu lý luận:

 Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tài liệu có liên quan đến đề tài

 Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ b n và nâng cao về phân tích đa thức thành nhân tử

 Nghiên cứu ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử trong việc gi i một số dạng bài tập Toán lớp

 Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông cơ s như:

 Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9

 Sách giáo viên 7, 8, 9

 Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham kh o cho GV và học sinh

b) ƣơ p áp đ ều tra, phỏng vấn ố ê:

- Phương pháp điều tra:

Điều tra việc học bài và làm bài tập của học sinh ụ thể: học sinh có đọc kĩ lý thuyết hay không Học sinh hay mắc ph i những sai lầm nào Học sinh có r t ra kinh nghiệm sau khi mắc ph i sai lầm hay không

 Phương pháp phỏng vấn:

ỏi họ i h hỏi hư

? m hãy nêu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

m thấy phân tích đa thức thành nhân tử có khó hay không

Những dạng bài tập nào có ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử

m thấy phân tích đa thức thành nhân tử có quan trọng không

Xin ý kiế ồng nghi p có kinh nghi m trong quá trình xây dựng, hoàn thi tài

- Phương pháp thống kê:

Thu thập bài kiểm tra (bài kiểm tra ph t, tiết, kiểm tra chất lượng giữa kì, cuối

kì của học sinh rồi thống kê tỉ lệ về điểm số, về tỉ lệ làm được từng bài, về kĩ năng trình bày và một số sai lầm học sinh hay mắc ph i,

c) ƣơ p áp ực nghiệm sƣ ph m:

Tổ chức thực nghiệm 2 tiết ( tiết cơ b n dạy lý thuyết trên lớp, tiết nâng cao dạy vào buổi nhằm đánh giá hiệu qu của đề tài

ùng với sự đổi mới nội dung dạy học, chương trình sách giáo khoa, phương pháp dạy học đang được đổi mới theo hướng tích cực hoá, phát huy đựơc sự tự giác, tích cực, sáng tạo của học sinh nhằm nâng cao năng lực phát hiện và gi i quyết vấn đề, hình thành

và rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn

Trong chương trình đại số , nội dung “Phân tích đa thức thành nhân tử” là nội dung hết sức quan trọng vì dạng toán này được vận dụng rất nhiều trong các dạng toán: R t gọn phân thức, qui đồng mẫu các phân thức, cộng, trừ, nhân, chia phân thức, hính vì vậy, việc dạy phân tích đa thức thành nhân tử có ý nghĩa hết quan trọng

Cơ s lí luận khi nghiên cứu nội dung “ Phân tích đa thức thành nhân tử” là:

+ Kế thừa kiến thức chương 4 lớp 7 phần: iểu thức đại số

+ Kiến thức cơ b n chương: Phép nhân và phép chia các đa thức

+ Kiến thức nâng cao một số sách tham kh o

+ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một số dạng toán cơ b n và nâng cao

+ Phương pháp gi i một số dạng toán có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân

tử

+ Phân tích tìm tòi phương pháp mới và lựa chọn phương pháp phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh

+ Phương pháp dạy học Toán trường TH S theo định hướng đổi mới

+ Dạy học và rèn luyện kĩ năng cho HS theo chuẩn kiến thức và kĩ năng

2 Cơ sở ự ễ :

Từ năm học 008 – 200 đến nay tôi được nhà trường phân công gi ng dạy bộ môn toán và qua thực tế gi ng dạy kết hợp với dự giờ các giáo viên trong trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng b n thân, tôi thấy việc dạy học môn Toán trường TH S Thụy Thanh hiện nay có một số thuận lợi và khó khăn:

+ Đa số học sinh có tinh thần học tập tốt, tích cực tham gia phát biểu xây dựng bài,

và có tính tự giác, ham học hỏi

- Khó khăn:

+ Một số phụ huynh các em học sinh đi làm kinh tế nơi xa (bán quần áo, làm rẫy, xây dựng, nên không quan tâm sát sao đến việc học của con em mình, phó thác cho các thầy cô giáo

+ n số em ỷ lại, lười học và chưa có sự say mê, tự giác trong học tập Một số

em mất căn b n từ các lớp dưới về qui tắc đổi dấu, nhân chia các đơn thức

+ ác dạng toán về phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán cơ b n nhưng rất phong ph nên các em dễ bị nhầm, chưa linh hoạt trong gi i toán

ƣ : Tìm nhân tử chung Nhân tử chung là những đơn thức hoặc đa thức có mặt

trong tất c các hạng tử Nhân tử chung này là tích của hệ số với phần biến:

+ Hệ số là N của các hệ số của các hạng tử (nếu các hệ số là số nguyên

+ Phần biến gồm có các biến chung của các hạng tử với số mũ nhỏ nhất

ƣ 2: Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác

ƣ 3: Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc rồi viết các nhân tử c n lại của mỗi

hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể c dấu của ch ng

a) Ta thấy: N (4 , biến chung là x với số mũ nhỏ nhất là 1

 nhân tử chung là x Vì vậy:

4x3 – 12x2 + 18x = 2x.2x2 – 2x.6x + 2x.9 = 2x(2x2 – 6x + 9)

b) Ta thấy: CLN (28; 21; 14) = 7, biến chung là x với số mũ nhỏ nhất là và biến

y với số mũ nhỏ nhất là

 nhân tử chung là 7xy2 Vì vậy:

28x2y4 21xy5 + 14x2y2 = 7xy2.4xy2 – 7xy2.3y3 + 7xy2.2x

= 7xy2(4xy2 – 3y3 + 2x)

a) Hạng tử thứ nhất có nhân tử là x – y, c n hạng tử thứ hai có nhân tử là y – x

Ta thấy: y – x -(x – y Từ đó, xuất hiện nhân tử chung là (x – y Vì vậy:

4x(x – 2y) – 12(2y – x) = 4x(x – 2y) + 12(x – 2y) = 4(x – 2y)(x + 3)

b) Hạng tử thứ nhất có nhân tử là x – y + z, c n hạng tử thứ hai có nhân tử là

y – x - z Ta thấy: x – y + z = -(y – x - z) Từ đó, xuất hiện nhân tử chung là (x – y + z Vì vậy:

h g h Một học sinh phân tích như sau:

x2(x - 1) + 2x(x - 1) = (x - 1)(x2 + 2x) ! Đến đây, học sinh đó dừng lại

R ràng, học sinh này phân tích chưa triệt để vì ị h h h g h g g

a) Nhiều em không phân tích được vì không biết đổi dấu số hạng để xác định nhân

tử chung hoặc phân tích được nhưng lại sai do đổi dấu không đ ng:

x(x – y) – 2(y – x) = x(x – y) – 2(x – y) = (x – y)(x – 2)!

R ràng, việc đổi dấu sai (x – y = y – x dẫn tới việc phân tích sai

ách làm đ ng: x(x – y) – 2(y – x) = x(x – y) + 2(x – y) = (x + 2)(x – y)

b) x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) = xy[xy(x – y + z) + 2(y – x – z)]

Đến đây, học sinh không biết đổi dấu số hạng để làm xuất hiện nhân tử chung dẫn tới việc phân tích không triệt để

có thể phân tích tiếp, và khi đó nhân tử chung mới xuất hiện:

3y(6x – 4y) + 2x(9x – 6y) = 3y.2(3x – 2y) + 2x.3(3x – 2y)

= (3x – 2y)(6y + 6x) = 6(x + y)(3x – 2y)

a) Ta viết: 4x2 = (2x)2, 9y2 = (3y)2, đa thức có dạng hiệu hai bình phương:

4x2 – 9y2 = (2x)2 – (3y)2 = (2x – 3y)(2x + 3y)

b) Ta viết: y3 = (2y)3, đa thức có dạng hiệu hai lập phương:

x3 – 8y3 = x3 - (2y)3 = (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2)

c) Ta viết: 7 3, 64y6 = (4y2)3, đa thức có dạng tổng hai lập phương:

27 + 64y6 = 33 + (4y2)3 = (3 + 4y2)(9 – 12y2 + 16y4)

í Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Nhi hi hải ổi ấ h ới hậ h g g h

í Phân tích đa thức sau thành nhân tử: -16 + 24x - 9x2

h h giải Đa thức đã cho không có dạng hằng đẳng thức nào Nhưng nếu ta

đối dấu đa thức thì sẽ nhận ra hằng đẳng thức trong dấu ngoặc

x3 + 15x2 + 75x + 125 = (x + 5)3b) Ta phân tích:

27x3 – 18x2y2 + 36x4 - 8y6 = (3x)3 – 3.(3x)2.2y2 + 3.3x.(2y2)2 – (2y2)3

Đến đây, ta thấy, đa thức có dạng hằng đẳng thức thứ Vì vậy:

27x3 – 18x2y2 + 36x4 - 8y6 = (3x – 2y2)3

3 số s lầ s p

3.1 đ đ ứ a

hẳng hạn, khi phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) Ta thấy đa thức chỉ là bình phương thiếu của một hiệu:

x2 – 2xy + 4y2 = x2 – x.2y + (2y)2

Đa thức này có dạng a2

– ab + b2 chứ không ph i là a2

– 2ab + b2! b) Phân tích đa thức: x3 – 25x3 + 15x – 1 = (5x)3 – (5x)2.1 + 3.5x.12 – 13

hẳng hạn, khi phân tích đa thức -16 + 24x - 9x2

thành nhân tử, nhiều học sinh

l ng t ng không biết áp dụng hằng đẳng thức nào hoặc áp dụng sai hằng đẳng thức

-16 + 24x - 9x2 = (-4 – 3x)2!

ách làm đ ng: -16 + 24x - 9x2

= -(9x2 – 24x + 16) = -(3x – 4)2 Một ví dụ nữa là khi phân tích đa thức –x2

– 4y2 thành nhân tử, có học sinh phân tích như sau: –x2

– 4y2 = -(x2 – 4y2) = -(x – 2y)(x + 2y) = (2y – x)(2y + x)

Sai lầm đây là học sinh đổi dấu số hạng sai dẫn tới nhận nhầm hằng đẳng thức hiệu hai bình phương Thực ra, đa thức không phân tích được vì nó không có dạng hằng đẳng thức nào

3.4 đ

hẳng hạn, khi phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x4

– 9, một học sinh phân tích như sau: x4

– 9 = (x2)2 – 32 = (x2 – 3)(x2 + đây, học sinh chỉ áp dụng một lần hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và hài l ng khi phân tích được như vậy ách làm đ ng: Ta thấy x2

Nhìn qua, ta thấy có v hợp lý, nhưng đa thức đã được phân tích chưa triệt để Nếu

ta thay đổi cách áp dụng hằng đẳng thức, thì đa thức sẽ được phân tích triệt để:

x6 – 1 = (x3)2 – 12 = (x3 – 1)(x3 + 1) = (x – 1)(x2 + x + 1)(x + 1)(x2 - x + 1)

= (x – 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 - x + 1)

Thực ra, cách thứ nhất, ta có thể phân tích:

x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Nhưng r ràng cách này không ph i học sinh nào cũng nhìn ra và do đó không thể làm được

h x2 – 2xy – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x - 2y) = x(x – 2y) – (x – 2y)

2xy - 4y2 + 3x + 9 = (2xy + 3x) – (4y2 - 9)

= x(2y + 3) – (2y – 3)(2y + 3)

= (2y + 3)(x – 2y + 3)

c) Nếu nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối hoặc hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ ba, hạng tử thứ hai với thứ tư thì đa thức không phân tích được Do đó, ta nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ tư và nhóm hạng tử thứ hai với thứ ba:

125x3 – 10x2 + 2x – 1 = (125x3 – 1) – (10x2 – 2x)

= (5x – 1)(25x2 + 5x + 1) – 2x(5x – 1)

= (5x – 1)(25x2 + 3x + 1)

3.1 N a ử đa ứ không phân đư a

a) Ta thấy nếu nhóm hai hạng tử thì đa thức không phân tích thành nhân tử được

Từ đó, ta nghĩ đến việc nhóm ba hạng tử Hạng tử thứ nhất và hai hạng tử cuối lập thành một hằng đẳng thức Do đó, ta có thể làm như sau:

x2 – 9y2 + 9 - 6x = (x2 – 6x + 9) – 9y2 = (x – 3)2 – (3y)2

= (x – 3 – 3y)(x – 3 + 3y)

= (x – 3y – 3)(x + 3y – 3) b) Đa thức có năm số hạng, nếu nhóm hai số hạng với nhau thì sẽ l một số hạng, đa thức sẽ không phân tích được Như vậy sẽ có một nhóm chứa ba số hạng Khi đó, ta nghĩ nhóm này ph i có dạng hằng đẳng thức hoặc Ta thấy, nếu nhóm số hạng thứ nhất, thứ ba và số hạng cuối thì nhóm này có dạng hằng đẳng thức bình phương một hiệu Vậy ta làm như sau:

x2 + 3xy – 4x – 6y + 4 = (x2 – 4x + 4) + (3xy – 6y)

= (x – 2)2 + 3y(x – 2)

= (x – 2)(x + 3y – 2)

c) Đa thức có sáu số hạng, nếu nhóm hai số hạng hoặc ba số hạng bất kì với nhau thì đa thức sẽ không phân tích được Ta thử nhóm bốn số hạng Khi đó, ta nghĩ nhóm này ph i có dạng hằng đẳng thức 4 hoặc Ta thấy, nếu nhóm hai hạng tử đầu với hạng tử thứ tư và thứ thì có dạng hằng đẳng thức lập phương một hiệu Vậy ta làm như sau:

x3 – 3x2 - 3xy + 3x + 3y – 1 = (x3 – 3x2 + 3x – 1) – (3xy + 3y)

= (x – 1)3 – 3y(x – 1);

= (x – 1)(x2 – 2x – 3y + 1)

h Khai triển ta được :

A = xyz + xy2 + xz2 + x2z + x2y + y2z + yz2 + xyz + xyz

= (x2y + xy2 + xyz) + (xyz + y2z + yz2) + (x2z + xyz + xz2)

Một ví dụ khác nữa, khi phân tích x2

– 4x – y2 + 4 thành nhân tử, đa số các em chỉ nhóm hai hạng tử như:

– xy – x + y thành nhân tử, có em làm như sau

x2 – 2xy – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x + 2y) = x(x – 2y) – (x + 2y)

R ràng việc không đổi dấu số hạng khi đưa hạng tử vào trong dấu ngoặc mà đằng trước có dấu trừ dẫn tới bế tắc trong phân tích

ách làm đ ng:

x2 – 2xy – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x - 2y) = x(x – 2y) – (x - 2y) = (x – 2y)(x – 1)

3.4 đ a đa ứ :

hẳng hạn, khi phân tích đa thức (xy – 1)2

+ (x + y)2, nhiều học sinh cho rằng đa thức này không phân tích được vì không có dạng hằng đẳng thức nào

Thực ra, nếu khai triển đa thức, ta thấy:

(xy – 1)2 + (x + y)2 = x2y2 – 2xy + 1 + x2 + 2xy + y2

= x2y2 + 1 + x2 + y2 = (x2y2 + x2) + (y2 + 1)

= x2(y2 + 1) + (y2 + 1) = (x2 + 1)(y2 + 1)

Một ví dụ khác, khi phân tích đa thức: x(x + – (y – (y + , có học sinh cho rằng đa thức này không phân tích được vì nhìn các số hạng không có nhân tử chung Sai lầm này xuất phát từ việc khi đa thức không phân tích được, học sinh không nghĩ đến khai triển đa thức Ta phân tích đa thức như sau:

x(x + 2) – (y – 1)(y + 1) = x2 + 2x – y2 + 1 = (x2 + 2x + 1) – y2

= (x + 1)2 – y2 = (x + 1 – y)(x + 1 + y)

= (x – y + 1)(x + y + 1)

x3 2x2 4xy2 4xy = x(x2 - 2x – 4y2 – 4y)

= x[(x2 – 4y2) – (2x + 4y)]

= x[(x – 2y)(x + 2y) – 2(x + 2y)]

= x(x + 2y)(x – 2y – 2) c) ác hạng tử không có nhân tử chung nào, vì vậy ta nghĩ đến việc nhóm các hạng tử:

hẳng hạn, khi phân tích đa thức: x2

+ 4x + 2 - 2y2 có học sinh làm như sau:

2x2 + 4x + 2 - 2y2 = (2x2 + 4x) – (2y2 – 2) = 2x(x + 2) – 2(y – 1)(y + 1)

Ngoài cách tách hạng tử bx, ta c n một số cách tách như sau:

Định lí : Nếu f(x) có nghi = h f = 0 Khi f t nhân t là x – a

và f(x) có th viế ưới d ng f(x) = (x – a).q(x)

- c đó tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân tử là

x – a ũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, ph i là một ước của

Cách 1: f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2)

f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4)

= x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2

H quả 2 Nếu f(x) có tổng các h s c a các lu thừa bậc chẵn b ng tổng các h s

c a các lu thừa bậc l thì f(x) có m t nghi m x = –1 Từ f t nhân t là

H quả 3 Nếu f(x) có nghi m nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thì ( )

f(x) = (x – a).q(x) (1) Thay x = 1 vào (1), ta có : f(1) = (1 – a).q(1)

Do f( ≠ 0 nên a ≠ , suy ra q(1) = 



( )

f 1

a 1 Vì các hệ số của f(x) nguyên nên các

hệ số của q(x cũng nguyên Do đó, q( là số nguyên Vậy

18 1 không là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18

không là nghiệm của f(x) Chỉ còn –2 và 3 Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x)

là ước dương của an (đpcm

í Phân tích các đa thức sau f(x) = 3x3  7x2 + 17x  5 thành nhân tử

h h giải