skkn các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng vào giải nột số bài tập toán 8

phòng giáo dục Thái Thụy Tr-ờng THCS Thụy THANH SáNG KIếN KINH NGHIệM CáC PHƯƠNG PHáP PHÂN TíCH ĐA THứC THàNH NHÂN Tử Và ứng dụng vào giảI số dạng tập toán Họ tên: Trần Ngọc đại Tổ: Tổ khoa học tự nhiên Tr-ờng : Trung học sở Thụy THANH Năm học: 2013 - 2014 Thụy Thanh, ngày 14 tháng 02 năm 2014 CC PHNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ P Ầ ĐẶT VẤ ĐỀ Lý ch đề tài Đất nước ta thời kì phát triển, hội nhập với nước giới khu vực, địi hỏi ph i có người độc lập, tự chủ, sáng tạo, biết tiếp thu tri thức khoa học đại, biết vận dụng tìm gi i pháp hợp lí cho b n thân xã hội Nhiệm vụ khơng ngành giáo dục mà nhiệm vụ cấp, ngành, người, tất c ph i tham gia vào hoạt động giáo dục Nhưng trước tiên ngành giáo dục đóng vai trị định đến thành cơng nghiệp giáo dục Chính mà Đ ng ta xác định: “Giáo dục quốc sách hàng đầu” Hơn nữa, mục tiêu chung giáo dục xác định: “ Mục tiêu chung giáo dục phổ thông giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ kĩ b n nhằm hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh học tiếp lên vào sống lao động, tham gia xây dựng b o vệ tổ quốc” Để thực mục tiêu ngành giáo dục định hướng đổi phương pháp dạy học theo chương trình sách giáo khoa Trong đó, mơn Tốn mơn học, xuất phát từ đặc điểm vai trị, vị trí, ý nghĩa nó, phối hợp mơn khác hoạt động khác nhà trường góp phần thực mục tiêu Là giáo viên trực tiếp gi ng dạy mơn Tốn theo chương trình SGK mới, tơi nghĩ cần xác định rõ vai trị nhiệm vụ người giáo viên đứng lớp cách linh hoạt, sáng tạo mà hết ph i rèn luyện phương pháp dạy học có hiệu qu nhằm phát huy tích cực chủ động, sáng tạo học sinh học sinh trình học tập, giúp học sinh chiếm lĩnh kiến thức đạt hiệu qu cao Từ năm học 2008 - 2009 đến nay, nhà trường phân công gi ng dạy mơn tốn Qua thực tế gi ng dạy kết hợp với dự giáo viên trường, đồng thời qua đợt kiểm tra, kì thi chất lượng b n thân nhận thấy em học sinh chưa có kỹ thành thạo làm dạng tập toán lớp như: h h h h h h hi h i i ị h i h gọn phân th q y ồng mẫu th c phân th c, c ng trừ phân th c khơng mẫu, giải hươ g h tính ầ Đ ƣ CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biế ổi ồng bi u th c hữu tỉ để gi i dạng tốn cần ph i có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Trong thực tế gi ng dạy Toán trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ gi i tốn phân tích đa thức thành nhân tử toán liên quan công việc quan trọng thiếu Để làm điều người thầy ph i cung cấp cho học sinh số kiến thức b n phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Để phân tích đa thức thành nhân tử SGK Tốn - tập có đưa phương pháp b n là: + Đặt nhân tủ chung + Nhóm hạng tử + Dùng đẳng thức + Phối hợp nhiều phương pháp Nhưng với phương pháp học sinh gặp khó khăn q trình gi i tốn (có chưa thể gi i khơng có phương pháp tổng qt để gi i) Vì dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh phương pháp khác sách giáo khoa như: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ (đổi biến), hệ số bất định, xét giá trị riêng Đặc biệt học sinh giỏi, giúp em biết lựa chọn phương pháp thích hợp gặp dạng tốn khó Hiểu điều này, kinh nghiệm dạy học tốn, tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứ ” Trong đề tài tơi xin đưa phương pháp phân tích b n nâng cao ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào gi i dạng tập tốn lớp Đặc biệt, tơi vài sai lầm b n học sinh phân tích đa thức thành nhân tử Hy vọng giúp em học sinh khơng c n bỡ ngỡ gặp dạng tốn biết ứng dụng việc gi i tốn có liên quan đến phân tích đa thức M c đích nghiên cứu:  Góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn bậc THCS  Trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có kh vận dụng tốt dạng toán  Học sinh vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử việc áp dụng vào gi i số dạng toán lớp lớp ầ Đ ƣ CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ  Phát huy kh suy luận, phán đốn tính linh hoạt học sinh  Thấy vai trò việc phân tích đa thức thành nhân tử gi i tốn từ giáo dục ý thức học tập học sinh  Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng tri thức vào thực tiễn sống Nhiệm v nghiên cứu:  Tìm hiểu nội dung (lý thuyết bà tập phân tích đa thức thành nhân tử SGK sách tham kh o tốn  Tìm hiểu ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử việc gi i tốn có liên quan  Điều tra thực trạng:  Thường xuyên nghiên cứu dạng tập có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử SGK, SBT sách nâng cao HS  Thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết qu học tập HS để nhận ph n hồi từ HS Qua nhận tồn tại, sai lầm HS thường mắc ph i toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử Từ tìm phương pháp phù hợp nhằm nâng cao chất lượng gi ng dạy Ph m vi đối tƣợng nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu là: Học sinh lớp - Trường THCS Thụy Thanh, Thái Thụy, Thái ình - Phạm vi nghiên cứu : Học sinh lớp 8A Phƣơng pháp nghiên cứu: a) ƣơ p áp ê ứu lý luận:  Nghiên cứu tài liệu, giáo trình phương pháp dạy học Tốn, tài liệu có liên quan đến đề tài  Nghiên cứu hệ thống kiến thức b n nâng cao phân tích đa thức thành nhân tử  Nghiên cứu ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử việc gi i số dạng tập Toán lớp  Cụ thể tài liệu thiết thực học sinh phổ thông s như: ầ Đ ƣ CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ  Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8,  Sách giáo viên 7, 8,  Sách bồi dưỡng thường xuyên tài liệu tham kh o cho GV học sinh b) ƣơ p áp đ ều tra, vấn ố ê: - Phương pháp điều tra: Điều tra việc học làm tập học sinh ụ thể: học sinh có đọc kĩ lý thuyết hay không Học sinh hay mắc ph i sai lầm Học sinh có r t kinh nghiệm sau mắc ph i sai lầm hay không  Phương pháp vấn: ỏi họ i h hỏi hư ? m nêu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử m thấy phân tích đa thức thành nhân tử có khó hay khơng Những dạng tập có ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử m thấy phân tích đa thức thành nhân tử có quan trọng khơng ồng nghi p có kinh nghi m q trình xây dựng, hồn thi Xin ý kiế tài - Phương pháp thống kê: Thu thập kiểm tra (bài kiểm tra ph t, tiết, kiểm tra chất lượng kì, cuối kì học sinh thống kê tỉ lệ điểm số, tỉ lệ làm bài, kĩ trình bày số sai lầm học sinh hay mắc ph i, c) ƣơ p áp ực nghiệm sƣ ph m: Tổ chức thực nghiệm tiết ( tiết b n dạy lý thuyết lớp, vào buổi nhằm đánh giá hiệu qu đề tài ầ Đ ƣ tiết nâng cao dạy CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ Ầ 2- ĐỀ CHƢƠNG I CƠ Ở Ý Ự Ễ Cơ sở lí luậ : Tốn học mơn khoa coi chủ lực b i trước hết Toán học hình thành cho em tính xác, khoa học, hệ thống, sáng tạo tư lơgíc chất lượng dạy học Toán nâng cao có nghĩa ch ng ta tiếp cận với kinh tế tri thức đại, giàu tính nhân văn nhân loại ùng với đổi nội dung dạy học, chương trình sách giáo khoa, phương pháp dạy học đổi theo hướng tích cực hố, phát huy đựơc tự giác, tích cực, sáng tạo học sinh nhằm nâng cao lực phát gi i vấn đề, hình thành rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn Trong chương trình đại số , nội dung “Phân tích đa thức thành nhân tử” nội dung quan trọng dạng tốn vận dụng nhiều dạng toán: R t gọn phân thức, qui đồng mẫu phân thức, cộng, trừ, nhân, chia phân thức, hính vậy, việc dạy phân tích đa thức thành nhân tử có ý nghĩa hết quan trọng Cơ s lí luận nghiên cứu nội dung “ Phân tích đa thức thành nhân tử” là: + Kế thừa kiến thức chương lớp phần: iểu thức đại số + Kiến thức b n chương: Phép nhân phép chia đa thức + Kiến thức nâng cao số sách tham kh o + Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử số dạng toán b n nâng cao + Phương pháp gi i số dạng toán có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử + Phân tích tìm tịi phương pháp lựa chọn phương pháp phù hợp với trình độ nhận thức học sinh + Phương pháp dạy học Toán trường TH S theo định hướng đổi + Dạy học rèn luyện kĩ cho HS theo chuẩn kiến thức kĩ + Gi p học sinh khám phá tri thức ầ Đ ƣ CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ Cơ sở ự ễ : Từ năm học 008 – 200 đến nhà trường phân cơng gi ng dạy mơn tốn qua thực tế gi ng dạy kết hợp với dự giáo viên trường, đồng thời qua đợt kiểm tra, kì thi chất lượng b n thân, tơi thấy việc dạy học mơn Tốn trường TH S Thụy Thanh có số thuận lợi khó khăn: - Th ậ lợi + Được quan tâm GH đồng nghiệp đóng góp ý kiến, xây dựng qua tiết dạy + Giáo viên tâm huyết với nghề, tự học trau dồi kiến thức để nâng cao tay nghề + Đa số học sinh có tinh thần học tập tốt, tích cực tham gia phát biểu xây dựng bài, có tính tự giác, ham học hỏi - Khó khăn: + Một số phụ huynh em học sinh làm kinh tế nơi xa (bán quần áo, làm rẫy, xây dựng, nên không quan tâm sát đến việc học em mình, phó thác cho thầy giáo + n số em ỷ lại, lười học chưa có say mê, tự giác học tập Một số em b n từ lớp qui tắc đổi dấu, nhân chia đơn thức + ác dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán b n phong ph nên em dễ bị nhầm, chưa linh hoạt gi i toán ầ Đ ƣ CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ CHƢƠNG II N I DUNG ƢƠ A Ơ ƢƠ I ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG ƣơ p áp ƣ : Tìm nhân tử chung Nhân tử chung đơn thức đa thức có mặt tất c hạng tử Nhân tử chung tích hệ số với phần biến: + Hệ số N hệ số hạng tử (nếu hệ số số nguyên + Phần biến gồm có biến chung hạng tử với số mũ nhỏ ƣ 2: Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác ƣ 3: Viết nhân tử chung dấu ngoặc viết nhân tử c n lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể c dấu ch ng í 2.1 í ứ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 4x3 – 12x2 + 6x ; b) 28x2y2  21xy2 + 14x2y ; h h a) Ta thấy: giải N (4 , biến chung x với số mũ nhỏ  nhân tử chung x Vì vậy: 4x3 – 12x2 + 18x = 2x.2x2 – 2x.6x + 2x.9 = 2x(2x2 – 6x + 9) b) Ta thấy: CLN (28; 21; 14) = 7, biến chung x với số mũ nhỏ y với số mũ nhỏ biến  nhân tử chung 7xy2 Vì vậy: 28x2y4  21xy5 + 14x2y2 = 7xy2.4xy2 – 7xy2.3y3 + 7xy2.2x = 7xy2(4xy2 – 3y3 + 2x) ầ Đ ƣ CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ 2.2 í đa ứ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 3x2(x + 1) – 2x(x + 1) ; b) (x - y + z)2 - z(x - y + z) + x - y + z h h giải a) Dễ dàng nhận nhân tử chung x(x + 1) Vì vậy: 3x2(x + 1) – 2x(x + 1) = x(x + 1)(3x – 2) ; b) Dễ dàng nhận nhân tử chung x – y + z Vì vậy: (x - y + z)2 - z(x - y + z) + x - y + z = = (x - y + z)2 - z(x - y + z) + (x - y + z) = (x – y + z)(x – y + z – z + 1) = (x – y + z)(x – y + 1) đ 2.3 Ch a đ : A = -(-A): í Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 4x(x – 2y) – 12(2y – x) ; b) 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) h h giải a) Hạng tử thứ có nhân tử x – y, c n hạng tử thứ hai có nhân tử y – x Ta thấy: y – x -(x – y Từ đó, xuất nhân tử chung (x – y Vì vậy: 4x(x – 2y) – 12(2y – x) = 4x(x – 2y) + 12(x – 2y) = 4(x – 2y)(x + 3) b) Hạng tử thứ có nhân tử x – y + z, c n hạng tử thứ hai có nhân tử y – x - z Ta thấy: x – y + z = -(y – x - z) Từ đó, xuất nhân tử chung (x – y + z Vì vậy: 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) = 3x2y2(x – y + z) - 2xy(x – y + z) = 3xy(x – y + z)(3xy – 2) số s lầ s đ 3.1 p đ đ đ ầ Đ ƣ CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ h gh Một học sinh phân tích sau: x2(x - 1) + 2x(x - 1) = (x - 1)(x2 + 2x) ! Đến đây, học sinh dừng lại R ràng, học sinh phân tích chưa triệt để Nhân tử chung đ ng ph i x(x - 1) ị h h h g h g g ách làm đ ng: x2(x - 1) + 2x(x - 1) = x(x - 1)(x + 2) ; đ 3.2 v đ đư , h gh a đ , đ a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x(x – y) – 2(y – x) ; b) 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) h h il họ i h a) Nhiều em khơng phân tích khơng biết đổi dấu số hạng để xác định nhân tử chung phân tích lại sai đổi dấu không đ ng: x(x – y) – 2(y – x) = x(x – y) – 2(x – y) = (x – y)(x – 2)! R ràng, việc đổi dấu sai (x – y = y – x dẫn tới việc phân tích sai ách làm đ ng: x(x – y) – 2(y – x) = x(x – y) + 2(x – y) = (x + 2)(x – y) b) x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) = xy[xy(x – y + z) + 2(y – x – z)] Đến đây, học sinh đổi dấu số hạng để làm xuất nhân tử chung dẫn tới việc phân tích khơng triệt để ách làm đ ng: x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) = xy[xy(x – y + z) + 2(y – x – z)] = xy[xy(x – y + z) - 2(x – y + z)] = xy(xy – 2)(x – y + z) a 3.3 p hẳng hạn, phân tích đa thức: y( x – 4y + x( x – y thành nhân tử, số học sinh quan sát khơng kĩ nên gặp bế tắc tư ng số hạng khơng có nhân tử chung Nhưng ch ng ta quan sát kĩ số hạng thấy số hạng phân tích tiếp, nhân tử chung xuất hiện: ầ Đ ƣ 10 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ Ta có: x2 + xy + y =  (x2 - 1) + (xy + y) =  (x + 1)( x + y – 1) = Vì x, y  Z = 1.2 = (-1).(-2) nên ta có trường hợp: x   x  1)   x  y   y  x   x  2)   x  y    y   x   1 x  2 3)    x  y   2  y   x   2  x  1 4)    x  y   1  y  Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên (x ; y) là: (0 ; 3), (1 ; 1), (-2 ; 1), (-1 ; 1) ầ Đ ƣ 39 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ ƢƠ M đí : ỰC NGHIỆ Ƣ M ực nghiệm: - Kiểm tra hiệu qu đề tài nghiên cứu - Tìm thiếu sót, khuyết điểm biện pháp khắc phục để hoàn thiện đề tài ngày chất lượng N i dung thực nghiệm:  Thực nghiệm 02 tiết dạy lớp:  Nội dung cụ thể: Bu i 1: Giáo án d y h c n i dung: Đ ỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH PH I H P NHIỀ ƢƠ A M C TIÊU: - Giúp học sinh củng cố phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học - HS biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học vào việc gi i loại tốn phân tích đa thức thành nhân tử - Rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp chủ yếu phương pháp - Giáo dục cho HS tính cẩn thận, xác, khoa học, lịng u thích mơn B CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án + SGK + SGV + b ng phụ Học sinh: Học + Làm tập giao + ác dụng cụ học tập C CÁC HO Đ NG D Y HỌC: I, Tổ chức: Sĩ số 8A: 33 II, Kiể ũ: Câu hỏi - Nêu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học? ầ Đ ƣ Đáp - P2: - Đặt nhân tử chung - Dùng HĐT 40 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ - Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 5x – 3xy + 3x2 – 5y - Nhóm hạng tử - Áp dụng: 5x – 3xy + 3x2 – 5y = (5x – 5y) + (3x2 – 3xy) = 5(x – y) + 3x( x – y) = (x – y)(5 + 3x) III, Bài m i: Đ Đ: trước, ch ng ta học phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Qua phần kiểm tra cũ, ta thấy: Trong thực hành gi i tốn để phân tích đa thức thành nhân tử có ta ph i sử dụng kết hợp phương pháp học Trong ngày hơm ta phối hợp phương pháp vào gi i tốn phân tích đa thức thành nhân tử Ho đ ng GV - HS Ho N i dung ghi b ng đ ng I: VÍ D - GV nêu ví dụ (sgk – 23) HS 1, Ví d : làm: * Ví d 1: Ph h h c sau thành ? Các hạng tử đa thức có nhân tử nhân t : chung không? 5x3 + 10x2y + 5xy2 Hãy đặt nhân tử chung? Gi i: ? Có nhận xét hạng tử 5x3 + 10x2y + 5xy2 = ngoặc? = 5x(x2 + 2xy + y2) - HS: Đứng chỗ tr lời = 5x(x + y)2 ? Vậy để gi i toán ta phối hợp phương pháp h h h c sau thành - GV: Nêu ví dụ (Sgk đặt câu * Ví d 2: 2 nhân t : x - 2xy + y – hỏi gợi ý: ? Có nhận xét hạng tử đầu tiên? Gi i: ? Hãy tiếp tục phân tích để kết qu cuối cùng? Ta có: x2 - 2xy + y2 – = = (x2 - 2xy + y2) - = (x + y)2 - 32 ầ Đ ƣ 41 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ ? Ta sử dụng phương pháp = (x – y + 3)(x – y - 3) để phân tích đa thức trên? ?1: h h h c sau thành nhân t : 2x3y - 2xy3 - 4xy2 - 2xy - Sau GV cho HS áp dụng làm ?1 Gi i: 2x3y - 2xy3 - 4xy2 - 2xy Đa thức có nhân tử chung khơng? ? Nhóm hạng tử cách hợp lý để làm = 2xy(x2 - y2 - 2y - 1) xuất nhân tử chung đẳng = 2xy[x2 – (y2 + 2y + 1)] thức? = 2xy[x2 – (y + 1)2] - HS lên b ng trình bày = 2xy(x + y +1)( x – y - 1) - GV: ưu ý: Khi đưa hạng tử vào ngoặc mà đằng trước có dấu “ –” ph i đổi dấu hạng tử - GV: Chốt lại bước phân tích đa thức thành nhân tử: + Đặt nhân t chung tất h ng t có nhân t chung + Dùng h g ng th c có + Nhóm nhi u h ng t Thường nhóm có nhân t chung, h g ng th c) Nếu cần thiết ph i đặt dấu "-" trước ngoặc đổi dấu hạng tử Ho đ ng II: ÁP D NG 2, Áp d ng: - GV yêu cầu HS làm ?2 Phần a ?2: a, Tính giá trị biểu thức: ? Nêu cách tính giá trị biểu thức tai giá x2 + 2x +1 - y2 x = 94,5; y = 4,5 trị biến? Gi i: - HS: Ta thay giá trị biến vào biểu Ta có: x2 + 2x +1 – y2 = thức tính = (x2 + 2x +1) – y2 - GV gợi ý: Phân tích đa thức thành = (x + 1)2 – y2 nhân tử thay số vào tính = (x + + y)(x + – y) - HS lên b ng trình bày ầ Đ ƣ 42 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ Nêu r phương pháp sử dụng để phân tích đa thức thành nhân tử? - GV: Đưa nội dung phần b lên b ng phụ Yêu cầu HS đọc cách làm bạn Việt nêu r phương pháp sử dụng? - HS: Đọc yêu cầu tốn suy nghĩ - Sau em tr lời miệng Thay x 4, y 4, ta được: = (94,5 +1 + 4,5)(94,5 + 1- 4,5) = 100 91 = 9100 Khi h h h c: x2 + 4x – 2xy – 4y + y2 thành nhân t , B n Vi l hư x2 + 4x – 2xy – 4y + y2 = (x2 – 2xy + y2) + (4x – 4y) = (x – y)2 + 4(x – y) = (x – y)(x – y + 4) Em rõ cách làm trên, b n Vi ã d g hươ g h phân h h c thành nhân t ? Tr l i: Bạn Việt sử dụng phương pháp: - Nhóm hạng tử - Dùng HĐT - Đặt nhân tử chung IV, Củng cố: Ho đ ng GV - HS N i dung ghi b ng - GV: Hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Sau GV tổ chức cho HS hoạt động *Bài t p 51 (Sgk - 24): nhóm làm tập 51 – Sgk/ tr.24 h h h c sau thành nhân t : - GV: Chia lớp thành nhóm: a, x – 2x + x + Nhóm 1: Làm câu a b, 2x2 + 4x + – 2y2 + Nhóm 2: Làm câu b ầ Đ ƣ c, 2xy – x2 – y + 16 43 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ + Nhóm 3: Làm câu c Gi i: a, x3 – 2x2 + x = x(x2 – 2x + 1) - HS hoạt động ph t sau đại diện nhóm lên trình bày = x(x – 1)2 b, 2x2 + 4x + – 2y2 = = 2(x2 + 2x + – y2) = 2[(x2 + 2x + ) – y2] = 2[(x + 1)2 – y2] = 2(x + – y)(x + + y) - GV: ưu ý cho HS sai lầm mà HS mắc ph i: Chú ý sử dụng đẳng thức A2 – B2, B đa thức phân tích dạng (A – B) ph i ch ý đổi dấu hạng tử B c, 2xy – x2 – y + 16 = = 16 – (x2 – 2xy + y2) = 42 – (x – y)2 = [4 + (x – y)][4 - (x – y)] = (4 + x – y)(4 – x + y) - GV: Yêu cầu HS làm tập 52 – Sgk ướng dẫn: *Bài t p 51 (Sgk - 24): Phân tích đa thức (5n + 2) – thành Ch ng minh r ng (5n + 2)2 – chia hết nhân tử Chỉ kết qu có chứa thừa cho với s nguyên n số chia hết cho đa thức chia hết Gi i: cho Ta có: (5n + 2)2 – = (5n + 2)2 - 22 = (5n + – 2)(5n + + 2) = 5n(5n + 4) Vì 5n  n  Z, Nên 5n(5n + 4)  n  Z Do đó: ( n + –  n  Z V, HDVN: - Học theo v ghi + SGK - Làm tập: 52; 53; 54 (SGK – 24 + 25) Hướng dẫn Bài tập 53: Làm theo gợi ý Sgk – 24 ầ Đ ƣ 44 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ Bu i 2: Giáo án d y h c n i dung: Đ ƢƠ ỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG ƢƠ T H NG TỬ A M C TIÊU: - HS củng cố vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học vào gi i toán - HS cung cấp thêm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, là: + Tách hạng tử thành nhiều hạng tử + Thêm bớt hạng tử - Rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp học - Giáo dục cho HS tính cẩn thận, xác, khoa học, lịng u thích mơn B CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án + SGK + SGV + Thước k Học sinh: Học + Làm tập giao + Các dụng cụ học tập C CÁC HO Đ NG D Y HỌC: I, Tổ chức: Sĩ số 8A: 33 II, Kiể ũ: Đáp Câu hỏi Nêu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học? Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + 2x2y + xy2 – 9x ác phương pháp: + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm hạng tử Phân tích: x3 + 2x2y + xy2 – 9x = x(x2 + 2xy + y2 - 9) = x[(x2 + 2xy + y2) - 9] = x[(x + y)2 – 32] ầ Đ ƣ 45 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ - GV: Nhận x t, cho điểm = x(x + y + 3)(x + y – 3) III, Bài m i: - GV nêu vấ đề: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – 7x + 12 ? Đa thức có nhân tử chung khơng? ? Có dạng đẳng thức khơng? ? Có thể nhóm hạng tử để làm xuất nhân tử chung hay đẳng thức khơng? Vậy làm để phân tích đa thức thành nhân tử? trước em học phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thực hành gi i tốn có tốn ta khơng thể vận dụng phương pháp học Vì buổi học hơm thầy giáo giới thiệu thêm cho em phương pháp phân tích đa thức mới: Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử phương pháp thêm bớt hạng tử Ho đ ng GV - HS N i dung ghi b ng Ho ƢƠ đ ng I: PHÁP TÁCH M T H NG TỬ THÀNH NHIỀU H NG TỬ Ví d : - GV: Nêu ví dụ hướng dẫn HS làm * Ví d 1: Đa thức khơng có nhân tử chung, h h h c sau thành nhân t : dạng HĐT đáng nhớ nào, 3x2 – 8x + khơng thể nhóm hạng tử Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng Gi i: Tách - 8x = - 6x – 2x, ta có: tử hẳng hạn: Tách hạng tử: - 8x = - 6x – 2x 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + - Sau đó, GV yêu cầu HS nhóm hạng tử phân tích tiếp = (3x2 – 6x) – (2x – 4) - GV: Rút nhận xét: = (x – 2)(3x – 2) = 3x(x – 2) – 2(x – 2) Trong VD trên, hạng tử - 8x tách ầ Đ ƣ 46 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ thành hai - 6x – 2x Trong đa thức 3x2 – 8x + có hệ số hạng tử là: a = ; b = - ; c = Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4, hệ số hạng tử: a = 3; b1= - 6; b2 = - 2; c = 4; Ta thấy: 3.4  12 3.4  (6)(2)  (6).(2) 12   (6)  (2)  8 (6)  (2)  8  b1.b2  a.c b1  b2  b Do đó:  *Tổng quát: Đ h h h c d ng ax + bx + c thành nhân t b ng Từ GV đưa trường hợp tổng quát cách tách h ng t bx thành b1x + b2x nêu bước làm cụ thể cho: b1b2 = ac - HS: Nghe gi ng ghi Trong thự h h l hư ước 1: Lập tích ac ước 2: Phân tích ac thành tích c a hai thừa s nguyên b ng cách ước 3: Chọn hai thừa s mà tổng b ng b * Ví d 2: h h h c sau thành - GV: Nêu ví dụ hướng dẫn HS phân nhân t : x – 7x + 12 tích đa thức x2 – 7x + 12 thành nhân tử Gi i: theo bước hướng dẫn Ta có: a = ; b = - ; c = 12 ác định hệ số a, b, c tam thức? Tìm ước 12? ? Chọn cặp ước có tổng -7 - HS lên b ng trình bày - GV: Yêu cầu HS làm tập áp dụng ầ Đ ƣ a.c = 1.12 = -1.(-12) = 3.4 = (-3).(-4) Trong đó: (- 3) + (- 4) = -7 ; Vậy: x2 – 7x + 12 = x2 – 3x – 4x + 12 = (x2 – 3x) – (4x – 12) = x(x – 3) – 4(x – 3) = (x – 3)(x – 4) Áp d ng: 47 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ - HS lên b ng trình bày *Bài t p 1: Phân tích thành nhân t - GV: ưu ý HS đổi dấu hạng tử a, x2 – 4x + ngoặc nhóm hạng tử đằng trước có b, x2 – x – dấu “ - ” Gi i: a, x2 – 4x + = x2 – x – 3x + = (x2 – x) – (3x – 3) = x(x – 1) – 3(x – 1) = (x – 1)(x – 3) - GV: Rút nhận xét: Trong ví dụ 2 ta thấy, việc tách hạng tử nhằm làm b, x – x – = x – 3x + 2x – xuất nhân tử chung, gi i toán = (x2 – 3x) + (2x – 6) tách hạng tử tự = x(x – 3) + 2(x – 3) = (x – 3)(x + 2) hạng tử bậc để làm xuất đẳng thức A2 – B2 * Ví d 3: h h th c sau thành - Sau GV nêu VD minh hoạ cho HS nhân t : x – 4x + Gi i: Ta có: x2 – 4x + = x2 – 4x + – K t lu n: Việc tách hạng tử nhằm: = (x2 – 4x + 4) – = (x – 2)2 – 12 + Làm xuất nhân tử chung = (x – + 1)(x – – 1) = (x – 1)(x – 3) + Làm xuất HĐT A2 – B2 Ho ƢƠ đ ng II: T CÙNG M T H NG TỬ Thêm b t m t h ng t làm xuất HĐ ệu hai bình p ƣơ - GV: Nêu ví dụ: - HS: Suy nghĩ để tìm lời gi i * Ví d 4: h h h c x4 + thành nhân t ? Với phương pháp học phân Gi i: tích đa thức x4 + thành nhân tử khơng? Thêm bớt hạng tử: 4x2, Ta có: - GV: Gợi ý: Ta thấy x4 = (x2)2 = 22 ầ Đ ƣ x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 48 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 Để xuất đẳng thức bình phương tổng ta cần thêm hạng tử: 2.x2.2 = 4x2, để giá trị đa thức không đổi ta ph i bớt 4x2 - Yêu cầu HS phân tích tiếp - GV: Củng cố bước làm - GV: Nêu tập để HS vận dụng ? Cần thêm bớt hạng tử nào? = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) * Ví d 5: h thành nhân t h h c 64x4 + y4 Gi i: Ta có: 64x4 + y4 = 64x4 + 16x2y2+ y4 - 16x2y2 = (64x4 + 16x2y2+ y4) - 16x2y2 - HS lên b ng thực = (8x2 + y2)2 – (4xy)2 = (8x2 + y2 – 4xy)(8x2 + y2 – 4xy) - GV: Trong ví dụ trên, ta thêm bớt Thêm b t m t h ng t để hạng tử làm xuất HĐT, làm xuất nhân t chung: ngồi ta cịn thêm bớt hạng tử để làm * Ví d 5: h h h c sau thành xuất nhân tử chung nhân t : - GV: Nêu ví dụ x4 + x2 + Trong VD này, ta thấy đa thức khuyết hạng Gi i: tử bậc 3, ta thêm bớt hạng tử đó: x3 x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) ? Có thể có cách nhóm nào? = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) - HS: Làm theo hướng dẫn GV = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) - GV: Nêu tập cho HS áp dụng vào gi i tập Hoặc: x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) - GV: ưu ý bước đổi dấu đưa hạng tử = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) vào ngoặc đằng trước có dấu “ ” * Bài t p 3: h h ĐT x5+ x - thành nhân t Gi i: Ta có: x5+ x + = x5 + x2 – x2 + x – ầ Đ ƣ 49 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ = (x5+ x2) – (x2 - x + 1) = x2(x3+ 1) - (x2 - x + 1) = x2(x + 1)(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3+ x2 – 1) IV, Củng cố: - Hệ thống gi ng - Củng cố phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ƣ ng d n nhà: - Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử PP học - Làm tập: Phân tích đa thức thành nhân tử: a x2- 3x + e 4x4 + y4 b x2 + x – f 4x4 – 324 c x2 + 5x + g x5 + x4 + ; d x2 – 4x + h x5 + x + K t qu thực nghiệm: 3.1 Bài kiểm tra kh o sát cuối gi thực nghiệm (Thời gian làm bài: 45 phút) Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x4 + 2x3 + x2 b) 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 c) x2 + 5x + d) 4x4 + Bài tập 2: Tìm x, biết: a) x2 – 2x = b) x2 – 10x + 11 = Bài tập 3: Chứng minh n3 – n chia hết cho với số nguyên n ầ Đ ƣ 50 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ PHẦN III: K T LU N K t luận: Phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề rộng tr i suốt chương trình học học sinh, liên quan kết hợp với phương pháp khác, dạng toán khác tạo lên lơgíc chặt chẽ tốn học ác phương pháp nêu từ dễ đến khó, từ đơn gi n đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kỹ năng, kỹ x o phân tích ua gi p học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận x t, phân tích phán đốn, tổng hợp kiến thức Trong năm học qua tơi vận dụng sáng kiến vào dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh thấy em hào hứng trình tìm tòi lời gi i hay hợp lý Số học sinh nắm vững phương pháp b n phân tích đa thức thành nhân tử vận dụng vào tập 93,11% Trong khuôn khổ đề tài này, hy vọng giúp em học sinh tự tin làm tập phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên, trình bày đề tài khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong bạn đọc đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hồn chỉnh đạt hiệu qu cao Xin chân thành c m ơn Ki n ngh : Để đề tài áp dụng vào thực tiễn gi ng dạy đem lại hiệu qu cần ph i có lượng thời gian định Tuy nhiên phân phối chương trình mơn tốn số tiết dành cho vấn đề nghiên cứu tiết (4 tiết lý thuyết, tiết luyện tập) Với lượng thời gian đề tài khó áp dụng đem lại hiệu qu mong muốn Vì tơi xin có vài kiến nghị sau: - Đối với nhà trường: Tạo điều kiện thời gian, không gian, tổ chức chuyên đề cấp trường để giáo viên áp dụng đề tài vào thực tiễn gi ng dạy - Đối với phòng giáo dục: + Tổ chức chuyên đề vấn đề nghiên cứu (phân tích đa thức thành nhân tử để giáo viên dự giờ, nghiên cứu trao đổi học hỏi đồng nghiệp, tìm biện pháp hay + Đưa thêm vào chương trình Tự chọn Tốn , chun đề “phân tích đa thức thành nhân tử” ầ Đ ƣ 51 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ TÀI LIỆU THAM KH O 1- Một số vấn đề đổi PPDH tạo – năm 00 trường THCS mơn Tốn – Bộ giáo dục đào - Sách GV, SGK Tốn THCS - Phan Đức Chính – Tôn Thân – NXBGD - Nâng cao phát triển Tốn - Vũ Hữu Bình – NXBGD - Toán nâng cao chuyên đề đại số – Vũ Dương Thụy - Nguyễn Ngọc Đạm – NXBGD – Bài tập nâng cao chuyên đề Toán – ùi Văn Tuyên – NXBGD - Những vấn đề chung đổi giáo dục THCS mơn Tốn – NXBGD - Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS chu kì 1997 – 2000 chu kỳ 2004 – 2007 mơn Tốn - Phương pháp dạy học đại cương mơn Tốn – Bùi Huy Ngọc- Nhà xuất b n ĐHSP - Giáo trình phương pháp dạy học mơn Tốn – GS TSKH Nguyễn Bá Kim Nhà xuất b n ĐHSP 10- Các tài liệu sưu tầm mạng Internet ầ Đ ƣ 52 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ Th y Th h, ngày 14 tháng ă DUYỆT CỦA T ƢỜI VI T SKKN CHUYÊN MÔN ầ Đ DUYỆT CỦA BAN GIÁM HIỆU (Hiệu ầ Đ ƣ ƣởng) 53