Sáng kiến “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó” trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này. Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức. Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh. Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán để từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến trên.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ phần I phần Mở đầu Lý chọn đề tài Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy học vấn đề thường xuyên, liên tục quan trọng Để chất lượng học sinh ngày nâng cao yêu cầu người giáo viên phải có phương pháp giảng dạy phù hợp hệ thống tập đa dạng, phong phú đối tượng học sinh Qua thời gian dạy lớp 8, thấy biến đổi đồng biểu thức hữu tỷ, chứng minh quan hệ, giải phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên phương trình, chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình… học sinh lớp cần phải biến đổi đa thức thành nhân tử Chính người giáo viên dạy học sinh học toán phải cung cấp cho em cách hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơng cụ giải tốn hữu hiệu, giải hầu hết dạng tốn chương trình lớp Các vấn đề đề tài lựa chọn để đối tượng học sinh tiếp thu Ngoài ra, đề tài số vấn đề khó diễn đạt cách đơn giản, dễ hiểu; lời giải trình bày ngắn gọn để vừa tăng lượng thơng tin khn khổ có hạn đề tài, vừa dành lại phần độc lập nghiên cứu cho học sinh; đồng thời nêu bật khâu mấu chốt lời giải Xuất phát từ yêu cầu mong ước trên, chọn đề tài: “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng nó” Mục đích đề tài: - Trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng tốn - Học sinh có khả phân tích thành thạo đa thức - Phát huy khả suy luận, phán đốn tính linh hoạt học sinh - Thấy vai trò việc phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn để từ giáo dục ý thức học tập học sinh Phương pháp nghiên cứu chủ yếu: Với sáng kiến thực nhiều năm qua Bản thân nghiên cứu hệ thống kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử Cụ thể tài liệu thiết thực học sinh phổ thông sở: - Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, - Sách giáo viên lớp 7, 8, - Sách bồi dưỡng thường xuyên tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên Phần II Nội dung I Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi thành tích đa thức bậc nhỏ Ví dụ: x3 + y3 = (x + y)(x2 + xy + y2) Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung (thừa số) Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 12x2y - 18y3 b 3x2(y - 2z) - 15x(y - 2z)2 Giải a Các dạng tử có nhân tử chung 6y, đó: 12x2y - 18y3 = 6y.2x2 - 6y.3y2 = 6y(2x2 - 3y2) b Các hạng tử có nhân tử chung 3x(y - 2z) Do ta có: 3x2(y - 2z) - 15x(y - 2z)2 = 3x(y - 2z) [x -5(y - 2z)] = 3x(y - 3z)(x - 5y + 10z) Chú ý: Nhiều cần đổi dấu để làm xuất nhân tử chung Chẳng hạn đa thức: 2x2(3y - z) + (z - 3y)(x + y) Có thể viết là: 2x2(3y - z) - (3y - z)(x + y) xuất nhân tử chung (3y - z) Phương pháp 2: Phương pháp dùng đẳng thức Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhâ tử a 4x2 - 12x + c 16x2 - 9(x + y)2 b 27 - 27x + 9x2 - x3 b - 27x3y6 Giải 2 a 4x - 12x + = (2x) - 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2 b 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 - 3.32x + 3.3x2 - x3 = (3 -x)3 c 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2 = (x - 3y)(7x + y) d - 27x y = - (3xy2)3 = (1- 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4) Chú ý: Đôi phải đổi dấu áp dụng đẳng thức, chẳng hạn: - x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16) = - (x2y + 4)2 Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2) b 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) c x + 2x + - y2 = (x2 + 2x + 1) - y2 = (x + 1)2 - y2 = (x + y +1)(x - y + 1) Chú ý: Đối với đa thức có nhiều cách nhóm hạng tử Chẳng hạn ví dụ a phân tích sau: xy - 5y + 2x - 10 = (xy + 2x) - (5y + 10) = x(y + 2) - 5(y + 2) = (y + 2)(x - 5) Nhận xét: Khi phân tích đa thức thành nhân tử thường phối hợp phương pháp kể Nếu đa thức có nhân tử chung nên đặt nhân tử chung đa thức ngoặc đơn giản đa thức cho Do tiếp tục phân tích đơn giản Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2 = 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) = 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] = 5x3y2(x - - y - z)(x - + y + z) Phương pháp 4: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử Dạng tam thức bậc hai: F(x) = ax2 + bx + c Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau nhân tử: x2 - 6x + Giải Đa thức khơng có thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ khơng thể nhóm hạng tử Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng tử cách tách hạng tử thành hay nhiều hạng tử Cách 1: x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 2: x2 - 6x + = x2 - 6x + - = (x - 3)2 - = (x - 2)(x - 4) Cách 3: x2 - 6x + = x2 - 4x + - 2x + = (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 4: x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12 = (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 5: x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24 = (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2) Cách 6: x2 - 6x + = 3x2 - 6x - 2x2 + = 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)] = (x - 2)(x - 4) Nhận xét: Trong cách giải trên, cách đơn giản dễ làm ta tách số hạng bậc - 6x thành số hạng - 2x - 4x Trong đa thức x2 - 2x - 4x + hệ số số hạng là: 1; - 2; - 4; hệ số thứ thứ gấp - lần hệ số liền trước, nhờ xuất thừa số chung (x - 2) Một cách tổng quát để phân tích đa thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho: b1 c = , tức b1.b2 = a.c a b2 Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích a.c Bước 2: Phân tích a.c thành tích thừa số nguyên cách Bước 3: Chẳng hạn thừa số mà có tổng b Trong ví dụ x2 - 6x + có a = 1; b = - c = Tích a.c = 8, ta phân tích thành tích thừa số, hai thừa số dấu (vì tích chúng 8) âm (để tổng chúng - 6); ví dụ: (- 4, - 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 9x2 + 6x - Giải Cách 1: Cách hạng tử thứ 9x2 + 6x - = 9x2 - 6x + 12x - = 3x(3x - 2) + 4(3x - 2) = (3x - 2)(3x + 4) Chú ý hệ số phân tích thành - 12, có tích 72 9.(- 8) Cách 2: Tách hạng tử thứ 9x2 + 6x - = (9x2 + 6x + 1) - = (3x + 1)2 - = (3x + + 3)(3x + - 3) = (3x + 4)(3x - 2) Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích: - Làm xuất hệ số tỷ lệ, nhờ mà xuất nhân tử chung (cách 1) - Làm xuất hiệu bình phương (cách 2) Chú ý: a Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 phân tích cách làm tương tự đa thức bậc biến Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 Giải 2 Cách 1: 4x - 7xy + 3y = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2 = 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y) = 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) b Đa thức bậc hai ax2 + bx + c khơng phân tích thành tích nhân tử phạm vi số hữu tỷ theo cách phân tích a.c tích thừa số ngun cách khơng có thừa số có tổng b, theo cách sau đưa đa thức bậc dạng a(x2 - k) k khơng phải bình phương số hữu tỷ Chẳng hạn đa thức x2 + 4x + có tích a.c bằng 1.6, 2.3 khơng có thừa số có tổng Cịn theo cách thì: x2 + 4x + = (x2 + 4x + 4) + = (x + 2)2 + = (x + 2)2 ( - 2); -2 khơng phải bình phương số hữu tỷ Vậy đa thức x2 + 4x + khơng phân tích thành tích Đa thức bậc trở lên Để tách hạng tử đa thức làm xuất hệ số tỷ lệ ta thường dùng cách tìm nghiệm đa thức 2.1 Nhắc lại số kiến thức nghiệm đa thức a Định nghĩa nghiệm đa thức Số a gọi nghiệm đa thức f(x) f(a) = 0, đa thức f(x) có nghiệm x = a chứa thừa số x - a Khi xét nghiệm đa thức ta cần nhớ định lý sau: b Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số nghiệm đa thức c Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẽ - nghiệm đa thức d Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với hệ số nguyên có nghiệm ngun nghiệm ngun ước hệ số tự Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ ước hệ số tự do, không nghiệm đa thức dùng nhận xét sau: Nếu a nghiệm nguyên đa thức f(x) f(1), f(-1) khác f (-1) số nguyên a +1 Ví dụ: f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 Có ước 18 là: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6; ± 9; ± 18 f(1) = - 13 + - 18 = - 18 f(-1) = - - 13 - - 18 = - 44 f (1) a -1 Hiển nhiên ± không nghiệm f(x), ta thấy: - 18 - 18 ; ; (-3 - 1) ( ±6 - 1) - 18 - 18 ; không nguyên nên - 3; ± 6; ± 9; ± 18 không nghiệm f(x); ( ±9 - 1) ( ±18 - 1) - 44 không nguyên nên nghiệm f(x) ( + 1) Chỉ - 3, kiểm tra ta thấy nghiệm f(x) e Định lý 4: Đa thức f(x) với hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ x = p p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao q 2.2 Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 5x2 + 8x - Ta thấy đa thức cho có tổng hệ số - + - = 0, nên nghiệm đa thức Đa thức cho chứa thừa số x - 1; ta tách hạng tử sau: x3 - 5x2 + 8x - = x3 - x2 - 4x2 + 4x + 4x - = x2(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(x2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 5x2 + 3x + Ta thấy hệ số đa thức + = - + 9, nên đa thức cho có nghiệm -1, đa thức chứa thừa số x + Ta tách sau: x3 - 5x2 + 3x + = x3 - 6x2 + x2 - 6x + 9x + = x2(x + 1) - 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)(x2 - 6x + 9) = (x + 1)(x - 3)2 Ví dụ 3: f(x) = x3 - x2 - Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, ± Ta thấy f(2) = 23 - 22 - = - - = 0; đa thức có nghiệm x = 2, chứa thừa số x - Ta có: x3 - x2 - = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - = x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2) Ví dụ 4: 2x3 - x2 + 5x + Ta thấy ± 1; ± nghiệm đa thức, xét số hữu tỷ dạng p/q vứi p Ư(2) q Ư(3) gồm ± ; ± Ta có - nghiệm đa thức 2 nên chứa thừa số 2x + Vậy: 2x3 - x2 + 5x + = 2x3 + x2 - 2x2 + 6x - x + = x2(2x + 1) - x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x2 - x + 3) Phương pháp 5: Phương pháp thêm bớt hạng tử Thêm bớt số hạng để xuất đẳng thức Ví dụ: 4x4 + 81 Ta nhận thấy đa thức cho tổng bình phương (2x2)2 + 92 tương ứng với số hạng A2 + B2 đẳng thức A2 + 2AB + B2 thiếu 2AB Vậy cần thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất đẳng thức: Ta có: 4x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 2.2x2.9 - 2.2x2.9 = (2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 - 6x + 9)(2x2 +6x + 9) Chú ý: Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phương làm tiếp toán Thêm bớt số hạng để làm xuất thừa số chung Ví dụ: x2 + x2 + = x2 - x + x2 + x + = x(x3 + 1)(x3 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x3 + 1)(x - 1) + 1)] = (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 - x + 1) Phương pháp 6: Phương pháp đổi biến Thực đổi biến đa thức cho đa thức có bậc nhỏ đơn giản Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 Ta thấy đặt (x2 + x) = y đa thức có dạng y2 + 4y - 12 Ta có: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12 = y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2) Tương đương với: (x2 + x +6)(x2 + x - 2) = (x2 + x +6)[x(x + 2) - (x + 2)] = (x2 + x +6)(x + 2)(x - 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 Biến đổi đa thức cho (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24 = (x3 + 7x + 10)(x3 + 7x - 12) - 24 (*) Đặt x3 + 7x + 11 = y (*) = (y - 1)(y + 1) - 24 = y2 - - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5) Tương đương với (x3 + 7x + 6)(x3 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)(x3 + 7x + 16) Phương pháp 7: Phương pháp hệ số bất định Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 - 6x3 + 12x2 + 14x + Các hệ số ± 1; ± Ư(3) nghiệm đa thức nên đa thức khơng có nghiệm hữu tỷ Như vậy, đa thức phân tích có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Phép nhân cho kết quả: x4 + (b + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng đa thức với đa thức cho ta a+b=6 ac + b + d = 12 ad + bc = - 14 bd = Xét bd = với b, d Ỵ z; b Ỵ {± 1; ± 3}; với b = d = Hệ thành: a+b=-6 ac = a + bc = -14 ð 2c = -14 -(-6) = c = - 4; a = - Vậy đa thức cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Chú ý: Khi biết kết ta trình bày lời giải cách hạng tử: x4 - 6x3 + 12x2 + 14x + = x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + = x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3) = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị tuyệt đối Trong phương pháp trước hết ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số lại Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Nên thay x y P = y2(y - z) + y2(z - y) Như P chứa thừa số x - y Do vai trò x, y, z P nên P chứa x - y chứa y - z z - x Vậy dạng P k(x - y)(y - z)(z - x) Ta thấy k phải số có bậc tập hợp biến x, y, z cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc biến x, y, z Ta có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) với " x, y, z Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng x = 1, y = 0, z = -1 Ta có: 1.1 + + 1.1 = k.1.1.(-2) = - 2k => k = - Vậy P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y) = (x - y)(y - z)(x + y - z - y) = (x - y)(y - z)(x - z) II Các ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn Chứng minh quan hệ chia hết Gọi A(n) biểu thức phụ thuộc vào n (n " N n " Z) Để chứng minh A(n) chia hết cho số m ta thường phân tích biểu thức A(n) thành thừa số có thừa số m Nếu m tập hợp số ta phân tích thành tích thừa số đơi ngun tố chứng minh A(n) chia hết cho tất thừa số Lưu ý k số nguyên liên tiếp tồn số bội k Ví dụ: Chứng minh A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với số tự nhiên n Ta có 24 = 8.3 A = n(n3 + 6n2 + 11n + 6) = n(n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6) = n[n2(n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)] = n(n + 1)(n2 + 5n + 6) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Trong số tự nhiên liên tiếp n; n + 1; n + 2; n + có thừa số chia hết cho 2, số chia hết cho 4, A chia hết cho Mặt khác số tự nhiên liên tiếp tồn số chia hết nên n(n + 1)(n + 2) chia hết cho Vì ƯSCNN (3,8) = nên A chia hết cho Vậy A = n(n3 + 6n2 + 11n + 6) chia hết cho với "n Giải phương trình bậc cao F(x) = có nghiệm thường giải cách phân tích f(x) thành nhân tử giải phương trình bậc ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình (x2 - 1)(x2 + 4x + 3) = 192 ó (x - 1)(x + 1)2(x + 3) = 192 ó (x + 1)2[(x - 1)(x + 3)] = 192 ó (x2 + 2x + 1)(x2 + 2x + 3) = 192 Đặt x2 + 2x - = y ta có: (y + 2)(y - 2) = 192 ó y2 - = 192 ó y2 = 196 ó y = ± 14 * Với y = 14 ta có x2 + 2x - = 14 ó x2 + 2x - 15 = ó (x - 3)(x + 5) = ó x = x = - * Với y = - 14 ta có x2 + 2x - = - 14 ó x2 + 2x + 13 = ó (x + 1)2 + 12 = (loại) Vậy nghiệm phương trình x = x = - Ví dụ 2: Giải phương trình (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 Đặt x - = y, phương trình cho (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 ó 2y4 + 12y2 + = 16 ó y4 +6y2 + = ó y4 +6y2 - = ó (y2 - 1)(y2 + 7) = (y2 + 7) > với y nên (y2 - 1) = 0; y = ± tức x = 6, x = Vậy x = x = nghiệm phương trình Tìm tập xác định rút gọn phân thức Muốn tìm tập xác định rút gọn phân thức đại số ta phải phân tích mẫu thức tử thức thành nhân tử Ví dụ 1: Tìm tập xác định rút gọn phân thức sau x3 - 5x2 - 2x + 24 A= x3 - x2 - 10x - Phân tích tử thức: x3 - 5x2 - 2x + 24 = x3 + 2x2 - 7x2 - 14x + 12x + 24 ó x2(x + 2) - 7x(x +2) + 12(x + 2) ó (x + 2)(x2 - 7x + 12) = (x + 2)(x - 3)(x + 4) Phân tích mẫu thức: x3 - x2 - 10x - = x3 + 2x2 - 3x2 - 6x - 4x - ó x2(x + 2) - 3x(x + 2) - 4(x + 2) = (x + 2)(x2 - 3x - 4) ó (x + 2)(x + 1)(x - 4) Tập xác định phân thức x ¹ -1; x ¹ -2; x ¹ Phân thức rút gọn (x + 2)(x - 3)(x + 4) x-3 A= = (x + 2)(x + 1)(x - 4) x+1 Giải bất phương trình Ví dụ 1: Gải bất phương trình sau: x2 - 2x - < ó x2 - 4x + 2x - < ó x(x - 4) + 2(x - 4) < ó (x - 4)(x + 2) < Lập bảng xét dấu: x -2 x +2 + + x-4 + (x - 4)(x + 2) + 0 + Nghiệm bất phương trình - < x < Ví dụ 2: Giải bất phương trình x3 - 3x + ³0 x2 - 5x + - Tập xác định bất phương trình x2 - 5x + = (x - 2)(x - 3) Tập xác định x ¹ 2, x ¹ - Biến đổi tử thức: x3 - 3x + = (x - 1)(x - 2) Bất phương trình cho tương đương với bất phương trình sau: x-1 ³0 x-3 Lập bảng xét dấu x x-1 + + x-3 + x -1 x+3 + - Nghiệm bất phương trình x £ 1và x ³ + III Kết luận Với kinh nghiệm trình bày, sau nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi tốn lớp 8, thân tơi thấy trình độ học sinh nâng lên rõ rệt Hầu hết học sinh phân tích thành thạo tam thức bậc thành nhân tử Học sinh giỏi sử dụng linh hoạt phương pháp đặt ẩn phụ, thêm bớt, hệ số bất định vào đa thức phức tạp thành nhân tử Học sinh tỏ sáng tạo trình giải tập, tập em giải theo nhiều cách, sau em lựa chọn cách giải dễ hiểu để trình bày IV Bài học kinh nghiệm Phần “phân tích đa thức thành nhân tử” lớp nội dung quan trọng, kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề để học sinh học tốt kiến thức sau Do trước tiên giáo viên nên cho học sinh nắm thật vững phương pháp phân tích nêu SGK, tiếp đến phương pháp tách hạng tử, đặc biệt tách tam thức bậc phương pháp hay sử dụng Với học sinh giỏi cần hướng dẫn thêm cho em phương pháp thêm bớt, đặt ẩn phụ, phương pháp hệ số bất định Để học sinh nắm vững hứng thú học tập, giáo viên cần chọn lọc hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó, tạo tìm tịi cho em Trong khn khổ đề tài này, hy vọng giúp em học sinh tự tin làm tập phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên, trình bày đề tài khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong bạn đọc đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hoàn chỉnh đạt hiệu cao./ ... Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi thành tích đa thức bậc nhỏ Ví dụ: x3 + y3 = (x + y)(x2 + xy + y2) Để phân tích đa thức thành. .. chọn đề tài: ? ?Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng nó? ?? Mục đích đề tài: - Trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp... nhân tử thường phối hợp phương pháp kể Nếu đa thức có nhân tử chung nên đặt nhân tử chung đa thức ngoặc đơn giản đa thức cho Do tiếp tục phân tích đơn giản Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân