Chuyên đề 3 một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng

Chuyên đề MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG A Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử I Các phương pháp phân tích 1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung + Tìm nhân tử chung đơn thức, đa thức có mặt tất hạng tử + Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 28a b2 − 21ab2 + 14a b = 7ab ( 4ab − 3b + 2a ) 2x ( y – z ) + 5y ( z – y ) = ( y − z ) – 5y ( y − z ) = ( y – z )( − 5y ) ( ) ( ) xm + xm + = xm x3 + = xm ( x + 1) x2 – x + 1.2 Phương pháp dùng đẳng thức + Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử + Cần ý đến việc vận dụng đẳng thức Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 9x2 – = ( 3x ) – 2 = ( 3x – )( 3x + ) ( – 27a b6 = 23 – 3ab2 ( ) = ( – 3ab )( + 6ab 25x4 – 10x2 y + y = 5x2 – y ) + 9a b ) 1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử phối hợp phương pháp + Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm + Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2x – 3x + 2x – = 2x + 2x – 3x + = 2x x + – x + = x + ( 2x – ) x –2xy + y – 16 = ( x – y ) − = ( x – y – )( x – y + ) Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử ( 3x y – 6x y – 3xy – 6axy – 3a xy + 3xy = 3xy x – 2y – y – 2ay – a + ( ) ( ) ) 2 = 3xy  x – 2x + – y + 2ay + a  = 3xy ( x – 1) – ( y + a )      = 3xy ( x – 1) – ( y + a )  ( x – 1) + ( y + a ) = 3xy ( x – – y – a )( x – + y + a ) 1.5 Một số ví dụ minh họa Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 y2 + 20x2 y − 35xy2 b) 40a3 b3c3x + 12a3 b4c2 – 16a b5cx c) 3x ( x – 2y ) + 6y ( 2y – x ) d) ( b – 2c )( a – b ) – ( a + b )( 2c – b ) • Định hướng tư Quan sát đa thức ta nhận thấy có nhân tử chung đa thức thứ thứ hai Với hai đa thức cịn lại xuất hiện thừa số đối nhau, vậy để có nhân tử chung ta đổi dấu hạng tử Do để phân tích đa thức thành nhân tử ta thực hiện bước sau + Bước Tìm ước chung lớn hệ số + Bước Tìm thừa số chung đơn thức, đa thức hạng tử đa thức + Bước Tiến hành đưa nhân tử chung bao gồm ước chung lớn hệ số thừa số chung dấu ngoặc Lời giải a) 5x y + 20x y − 35xy = 5xy ( xy + 4x – 7y ) ( b) 40a b3c x + 12a b4 c – 16a b5cx = 4a b3c 10c x + 3bc – 4ab2 x ) c) 3x ( x – 2y ) + 6y ( 2y – x ) = 3x2 – 6xy + 12y2 – 6xy = 3x2 – 12xy + 12y2 = ( x – 2y ) d) ( b – 2c )( a – b ) – ( a + b )( 2c – b ) = ( b – 2c )( a – b + a + b ) = 2a ( b – 2c ) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) a2 y2 + b2 x2 – 2abxy b) 100 – ( 3x – y ) c) 27x3 – a3 b3 d) ( a + b ) – ( a – b ) e) ( 7x − ) – ( 2x + 1) g) x2 – 2xy + y2 − 2 f) ( x – y + ) – ( 2x + 3y − 1) h) x2 – y2 – 2yz – z2 2 i) 3a2 – 6ab + 3b2 − 12c2 j) x2 – 2xy + y2 – m2 + 2mn – n2 k) a2 – 10a + 25 – y2 – 4yz – 4z2 l) x + 3cd ( – 3cd ) – 10xy – + 25y ( m) 4b2 c – b2 + c – a ) ( ) ( n) 4x2 – 3x − 18 – 4x2 + 3x ) • Định hướng tư Quan sát đa thức ta nhận thấy có xuất hiện thức đáng nhớ Một số đa thức ta thấy trực tiếp đẳng thức, Một số đa thức cịn lại nhóm hạng tử ta thấy có đẳng thức đáng nhớ Do ta sử dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Lời giải a) a y + b2 x2 – 2abxy = ( ay ) − ( ay )( bx ) + ( bx ) = (ay – bx ) 2 b) 100 – ( 3x – y ) = 10 – ( 3x – y ) = (10 – 3x + y )(10 + 3x – y ) 2 ( c) 27x – a b = ( 3x ) − ( ab ) = ( 3x – ab ) 9x + 3abx + a b 3 ) 3 2 d) ( a + b ) – ( a – b ) = ( a + b – a + b ) ( a + b ) + ( a + b )( a – b ) + ( a – b )    ( ) ( ) = 2b a + 2ab + b2 + a – b2 + a – 2ab + b2 = 2b 3a + b2 + 4ab = 2b ( 2a + b ) – a    = 2b ( 2a + b – a )( 2a + b + a ) = 2b ( a + b )( 3a + b ) e) ( 7x − ) – ( 2x + 1) = ( 7x – – 2x – 1)( 7x – + 2x + 1) = 15 ( x – 1)( 3x – 1) 2 f) ( x – y + ) – ( 2x + 3y − 1) = ( x – y + )( 2x + 3y – 1) 2 g) x2 – 2xy + y − = ( x – y ) – = ( x – y – )( x – y + ) h) x2 – y – 2yz – z2 = x2 – ( y + z ) = ( x – y – z )( x + y + z ) 2 i) 3a – 6ab + b − 12c = ( a – b ) – 4c  = ( a – b – 2c )( a – b + 2c )   j) x2 – 2xy + y – m + 2mn – n = ( x – y ) – ( m – n ) = ( x – y – m + n )( x – y + m – n ) 2 k) a – 10a + 25 – y – 4yz – 4z2 = ( a – ) – ( y + 2z ) = ( a – – y – 2z )( a – + y – 2z ) ( ) ( l) x2 + 3cd ( – 3cd ) – 10xy – + 25y = x – 10xy + 25y – 9c 2d – 6cd + = ( x – 5y ) – ( 3cd – 1) = ( x – 5y – 3cd + 1)( x – 5y + 3cd – 1) 2 ) ( m) 4b2 c – b2 + c – a ) = ( 2bc – b 2 )( ) – c + a 2bc + b + c – a 2 = a – ( b – c )  ( b + c ) – a  = ( a – b + c )( a + b – c )( b + c – a )( b + c + a )    ( ) ( n) 4x2 – 3x − 18 – 4x2 + 3x ( ) = ( 4x ) )( – 3x – 18 – 4x2 – 3x 4x2 – 3x – 18 + 4x2 + 3x ( ) ) = ( −6x – 18 ) 8x2 – 18 = −12 ( x + ) 4x2 – = −12 ( x + )( 2x – )( 2x + ) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – y2 – 2x – 2y b) 3x2 – 3y – ( x – y ) c) x ( x + 2y ) – x – 2y d) x2 – 2x – 4y2 – 4y e) x3 – 4x2 – 9x + 36 f) x + 2x + 2x + g) x + 2x – 4x − h) x – 4x + 12x – 27 i) x – 2x + 2x − j) a6 – a4 + 2a3 + 2a2 k) x + x + 2x + x + l) x + 2x + 2x + 2x + m) x2 y + xy2 + x2 z + y2 z + 2xyz n) x + x + x + x + x + • Định hướng tư Quan sát đa thức ta nhận thấy đa thức khơng có xuất hiện nhân tử chung ta sử dụng thức đáng nhớ để phân tích Tuy nhiên xét theo nhóm ta thấy có nhân tử chung có đẳng thức đáng nhớ Do vậy ta sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đ thức Lời giải a) x – y – 2x – 2y = ( x – y )( x + y ) – ( x + y ) = ( x + y )( x – y – ) b) 3x2 – 3y – ( x – y ) = ( x – y )( x + y ) – ( x – y ) 2 = ( x – y )( 3x + 3y – 2x + 2y ) = ( x – y )( x + 5y ) ( ) c) x2 ( x + 2y ) – x – 2y = ( x + 2y ) x – = ( x + 2y )( x – 1)( x + 1) ( ) d) x2 – 2x – 4y – 4y = x – 4y – ( 2x + 4y ) = ( x – 2y )( x + 2y ) – ( x + 2y ) = ( x + 2y )( x – 2y – ) ( ) ( ) ( ) ( ) e) x3 – 4x2 – 9x + 36 = x3 – 9x – 4x – 36 = x x – – x – = ( x – )( x – )( x + ) ( ) ( ) ( ) f) x3 + 2x2 + 2x + = x3 + + 2x2 + 2x = ( x + 1) x2 – x + + 2x ( x + 1) ( ) ( = ( x + 1) x2 – x + + x + = ( x + 1) x + ( ) ( ) ) ( )( ) ( g) x4 + 2x3 – 4x − = x – + 2x – 4x = x – x + + 2x x – ( )( ) ( )( )( ( ) ( ) ( ) = x2 – x2 + 2x + = x − x + x2 + 2x + ) ) ( ) h) x3 – 4x2 + 12x – 27 = x3 – 27 – 4x2 – 12x = ( x – ) x2 + 3x + – 4x ( x – ) ( ) = ( x – ) x2 + 3x + – 4x = ( x – ) x – x + ( ) ( ) ( )( ) ( i) x4 – 2x3 + 2x − = x4 – – 2x3 – 2x = x2 – x2 + – 2x x2 – ( )( ) = x – x + – 2x = ( x – 1)( x + 1)( x – 1) = ( x + 1)( x – 1) ) ( j) a – a + 2a + 2a = a ( a – 1)( a + 1) + 2a ( a + 1) = a ( a + 1) a – a + ( ) ) ( = a ( a + 1) a + a – 2a + = a ( a + 1) a ( a + 1) – ( a + 1)( a – 1)  = a (a + 1) a – 2a + 2 k) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( x4 + x3 + 2x2 + x + = x4 + 2x2 + + x3 + x = x2 + + x x2 + = x + x + x + ( ) ( l) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + = x + 2x + + 2x + 2x ( ) ( ) ( )( ) ) ( ) = x2 + + 2x x2 + = x2 + x2 + 2x + = x2 + ( x + 1) ( ) ( ) ( m) x2 y + xy + x2 z + y z + 2xyz = x2 y + xy + x z + xyz + y z + xyz ) = xy ( x + y ) + xz ( x + y ) + yz ( x + y ) = ( x + y )( xy + yz + zx ) ( n) x5 + x4 + x3 + x2 + x + = x4 ( x + 1) + x2 ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) x + x + ) Một số tập tự luyện Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 − 6x b) 9x4 y3 + 3x2 y4 c) x3 − 2x2 + 5x d) 3x ( x − 1) + ( x − 1) e) 2x ( x + 1) + ( x + 1) f) −3x − 6xy + 9xz Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 2x2 y − 4xy2 + 6xy c) 9x2 y3 − 3x4 y2 − 6x3 y2 + 18xy4 b) 4x3 y2 − 8x2 y3 + 2x4 y d) 7x2 y2 − 21xy2 z + 7xyz − 14xy ) ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x − 2x + 2x − b) x2 y + xy + x + c) ax + by + ay + bx d) x − ( a + b ) x + ab e) x2 y + xy2 − x − y f) ax2 + ay − bx2 − by Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ax − 2x − a2 + 2a b) x2 + x − ax − a c) 2x2 + 4ax + x + 2a d) 2xy − ax + x2 − 2ay e) x3 + ax2 + x + a f) x2 y2 + y3 + zx2 + yz Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 − 2x − 4y2 − 4y b) x + 2x − 4x − c) x3 + 2x2 y − x − 2y d) 3x2 − 3y2 − 2(x − y)2 e) x3 − 4x2 − 9x + 36 f) x2 − y2 − 2x − 2y Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ( x − )( x − 1) − ( x − ) b) ( x − 1)( 2x + 1) + ( x − 1)( x + )( 2x + 1) c) 6x + − ( 2x − )( 2x + 1) d) ( x − ) + ( x + )( x − ) − ( − x )( 2x + 1) e) ( 3x − )( 4x − ) − ( − 3x )( x − 1) − ( 3x − )( x + 1) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ( a − b )( a + 2b ) − ( b − a )( 2a − b ) − ( a − b )( a + 3b ) b) 5xy3 − 2xyz − 15y2 + 6z c) ( x + y )( 2x − y ) + ( 2x − y )( 3x − y ) − ( y − 2x ) d) ab3c2 − a2 b2c2 + ab2c3 − a2 bc3 Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 − 12x + b) 4x + 4x + d) 9x2 − 24xy + 16y2 e) g) −16a4 b6 − 24a5 b5 − 9a6 b4 h) 25x2 − 20xy + 4y2 c) + 12x + 36x2 x2 + 2xy + 4y f) −x2 + 10x − 25 i) 25x4 − 10x2 y + y2 Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: b) ( 5x − ) − 49x a) ( 3x − 1) − 16 d) ( 3x + 1) − ( x − ) ( 4b2 c − b2 + c − a c) ( 2x + ) − ( x − ) 2 ) 2 e) ( 2x + ) − ( x + 1) 2 f) (ax + by ) − (ay + bx ) g) ( 4x ) ( − 3x − 18 − 4x + 3x ) (a h) ) + b2 − − ( ab + ) 2 i) k) ( x + y − 1) − ( 2x + 3y + 1) 2 l) −4x2 + 12xy − 9y2 + 25 m) x2 − 2xy + y2 − 4m2 + 4mn − n2 Bài 10 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 8x3 − 64 b) + 8x6 y3 d) 8x3 − 27 e) 27x + c) 125x3 + y3 f) 125x3 + 27y3 Bài 11 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: c) − 9x + 27x2 − 27x3 a) x3 + 6x2 + 12x + b) x3 − 3x2 + 3x − 3 d) x3 + x2 + x + e) 27x3 − 54x2 y + 36xy2 − 8y3 Bài 12 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 − 4x2 y2 + y2 + 2xy b) x6 − y6 c) 25 − a2 + 2ab − b2 d) ( a + b + c ) + ( a + b − c ) − 4c 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x − 6x = 2x ( 2x − ) ( b) 9x4 y + 3x2 y = 3x2 y 3x2 + y ( c) x3 − 2x2 + 5x = x x − 2x + ) ) d) 3x ( x − 1) + ( x − 1) = ( x − 1)( 3x + ) ( e) 2x2 ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) x + ) f) −3x − 6xy + 9xz = − 3x ( + 2y + 3z ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 2x y − 4xy + 6xy = 2xy ( x − 2y + ) ( b) 4x3 y − 8x2 y + 2x4 y = 2x2 y xy − 4y + x2 ) ( c) 9x2 y − 3x y − 6x y + 18xy = 3xy 3xy − x − 2x + 6y ) d) 7x y − 21xy z + 7xyz − 14xy = 4xy ( xy − 3yz + z − ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: ( ) ( a) x3 − 2x2 + 2x − = ( x − 1) x + x + − 2x ( x − 1) = ( x − 1) x − x + ) b) x y + xy + x + = xy ( x + 1) + x + = ( x + 1)( xy + 1) c) ax + by + ay + bx = ( a + b )( x + y ) d) x − ( a + b ) x + ab = ( x − a )( x − b ) e) x y + xy − x − y = xy ( x + y ) − ( x + y ) = ( xy − 1)( x + y ) ( ) ( ) ( f) ax2 + ay − bx2 − by = a x2 + y − b x2 + y = ( a − b ) x + y ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ax − 2x − a + 2a = x ( a − ) − a ( a − ) = ( x − a )( a − ) b) x + x − ax − a = x ( x + 1) − a ( x + 1) = ( x + 1)( x − a ) c) 2x + 4ax + x + 2a = 2x ( x + 2a ) + ( x + 2a ) = ( x + 2a )( 2x + 1) d) 2xy − ax + x − 2ay = x ( 2y + x ) − a ( 2y + x ) = ( x − a )( x + 2y ) ( ) ( ) ( ) e) x3 + ax2 + x + a = x x + + a x + = x + ( x + a ) ( ) ( ) ( )( f) x2 y + y + zx2 + yz = y x + y + z x + y = x + y y + z ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x − 2x − 4y − 4y = ( x + 2y )( x − 2y ) − ( x + 2y ) = ( x + 2y )( x − 2y − ) ( )( ) ( ) ( )( b) x4 + 2x3 − 4x − = x2 − x2 + + 2x x2 − = x2 − x2 + 2x + ) c) x + 2x y − x − 2y = x ( x − 1)( x + 1) + 2y ( x − 1)( x + 1) = ( x − 1)( x + 1)( x + 2y ) d) 3x2 − 3y2 − ( x − y ) = ( x − y )( x + y ) − ( x − y ) = ( x − y )( x + 5y ) 2 e) x − 4x − 9x + 36 = x ( x − ) − ( x − ) = ( x − )( x − )( x + ) f) x − y − 2x − 2y = ( x − y )( x + y ) − ( x + y ) = ( x + y )( x − y − ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ( x − )( x − 1) − ( x − ) = ( x − )( x − ) b) ( x − 1)( 2x + 1) + ( x − 1)( x + )( 2x + 1) = ( x − 1)( 2x + 1)( 3x + ) c) 6x + − ( 2x − )( 2x + 1) = ( 2x + 1)( − 2x ) d) ( x − ) + ( x + )( x − ) − ( − x )( 2x + 1) = ( x − )( 4x − ) e) ( 3x − )( 4x − ) − ( − 3x )( x − 1) − ( 3x − )( x + 1) = ( 3x − )( x − ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ( a − b )( a + 2b ) − ( b − a )( 2a − b ) − ( a − b )( a + 3b ) = ( a − b ) ( b) 5xy3 − 2xyz − 15y + 6z = 5y ( xy − ) − 2z ( xy − ) = ( xy − ) 5y − 2z ) c) ( x + y )( 2x − y ) + ( 2x − y )( 3x − y ) − ( y − 2x ) = ( 2x − y )( 4x + 1) ( ) d) ab3c − a b2c + ab2c − a bc = abc b 2c − abc + bc − ac = abc ( b − a )( b − c ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 − 12x + = ( 2x − ) b) 4x2 + 4x + = ( 2x + 1) 2 c) + 12x + 36x2 = (1 + 6x ) d) 9x2 − 24xy + 16y = ( 3x − 4y ) x2 x  + 2xy + 4y =  + 2y  e) 2  f) −x2 + 10x − 25 = − ( x − ) 2 g) −16a b6 − 24a b5 − 9a b4 = −a b4 ( 3a + 4b ) h) 25x2 − 20xy + 4y = ( 5x − 2y ) ( i) 25x4 − 10x2 y + y = 5x − y ) 2 Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ( 3x − 1) − 16 = ( 3x − − )( 3x − + ) = ( 3x − )( x + 1) b) ( 5x − ) − 49x2 = ( 5x − − 7x )( 5x − + 7x ) = − ( 3x + )(12x − ) c) ( 2x + ) − ( x − ) = ( 2x + ) + ( x − ) ( 2x + ) − ( x − ) = ( 3x − )( x + 14 ) 2 d) ( 3x + 1) − ( x − ) = ( 3x + 1) − ( x − ) ( 3x + 1) + ( x − ) = ( x + )( 3x − ) 2 e) ( 2x + ) − ( x + 1) = 3 ( 2x + ) − ( x + 1) 3 ( 2x + ) + ( x + 1) = ( 4x + )( 8x + 11) 2 ( f) 4b c − b + c − a ) ( ) ( ) =  2ab − b + c − a  2bc + b + c − a     2 = a − ( b − c )  ( b + c ) − a  = ( a − b + c )( a + b − c )( b + c − a )( a + b + c )    g) ( ax + by ) − ( ay + bx ) = ( ax + by ) − ( ay + bx ) ( ax + by ) + ( ay + bx ) 2 = ( ax + by − ay − bx )( ax + by + ay + bx ) = ( a − b )( x − y )( a + b )( x + y ) ( ) h) a + b2 − − ( ab + ) = a + b2 − − ( ab + ) a + b − + (ab + ) 2 2 = ( a − b ) −  ( a + b ) − 1 = ( a − b − )( a − b + )( a + b − 1)( a + b + 1)    ( 4x ) ( − 3x − 18 − 4x2 + 3x ) ( ) = −6 ( x + ) 8x − 18 = 12 ( x + )( − 2x )( 2x + ) l) −4x2 + 12xy − 9y + 25 = 25 − ( 2x − 3y ) = ( − 2x + 3y )( + 2x − 3y ) Bài 10 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: ( a) 8x3 − 64 = ( 2x − ) 4x + 8x + 16 ( ) )( b) + 8x6 y = + 2x y − 2x y + 4x y ( c) 125x + = ( 5x + 1) 25x − 5x + ( d) 8x3 − 27 = ( 2x − ) 4x + 6x + e) 27x + ) ) ) y3  y  y2  =  3x +   9x + xy +     ( f) 125x3 + 27y = ( 5x + 3y ) 25x2 − 15xy + 9y ) Bài 11 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 + 6x2 + 12x + = ( x + ) b) x3 − 3x + 3x − = ( x − 1) 3 Để chứng minh a2 + b2 + c2 là số nguyên tố ta cần chứng minh a2 + b2 + c2 khơng thể có hai ước nó.hai số a − b c ( a + b ) + nguyên tố Lời giải Ta có a a + b2 =  a c + b2 = c a + b2  ( a − c ) b2 − ac = c c +b ( ) ( ) ( ) Do a khác c nên ta b2 − ac = hay b2 = ac Từ ta a + b2 + c = a + ac + c = a + 2ac + c − ac = ( a + c ) − b2 = ( a − b + c )( a + b + c ) Do a, b, c các số nguyên a khác c nên suy a2 + b2 + c2  Do a2 + b2 + c2 số nguyên tố có bốn trường hợp sau xẩy • Trường hợp Với a − b + c = a + b + c = a2 + b2 + c2 Khi ta a + c = b + nên suy a2 + b2 + c2 = 2a + 2c − Từ ta suy ( a − 1) + ( c − 1) + b2 = nên a = c = , điều trái với giả thiết a 2 c khác • Trường hợp Với a + b + c = a − b + c = a2 + b2 + c2 Khi ta a + c − = −b nên suy a2 + b2 + c2 = 2a + 2c − Từ ta suy ( a − 1) + ( c − 1) + b2 = hay a = c = , điều trái với giả thiết a 2 c khác • Trường hợp Với a − b + c = −1 − ( a + b + c ) = a + b2 + c Khi ta a + c = b − nên suy a2 + b2 + c2 = −2a − 2c − Từ ta suy ( a + 1) + ( c + 1) + b2 = hay a = c = −1 , điều trái với giả thiết a 2 c khác • Trường hợp Với a + b + c = −1 − ( a − b + c ) = a + b + c Khi ta a + c = −b − nên suy a2 + b2 + c2 = −2a − 2c − Từ ta suy ( a + 1) + ( c + 1) + b2 = hay a = c = −1 , điều trái với giả thiết a c khác Như nếu a2 + b2 + c2 số nguyên tố tất các trường hợp mâu thuẫn với giả thiết a  c Do a2 + b2 + c2 khơng thể số nguyên tố Bài 17 Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 + ab = c2 + d2 + cd Chứng minh a + b + c + d hợp số Lời giải Ta có a + b2 + ab = c + d2 + cd  ( a + b ) − ab = ( c + d ) − cd 2 Hay ta ( a + b ) − ( c + d ) = ab − cd  ( a + b + c + d )( a + b − c − d ) = ab − cd 2 Để chứng minh a + b + c + d hợp số ta sử dụng phương pháp phản chứng Thật vậy, giả sử a + b + c + d số nguyên tố Đặt a + b + c + d = p Khi p ( a + b − c − d ) = ab − cd nên ta suy ( ab − cd ) p Do ta ( ab − cd ) + c ( a + b + c + d ) p hay ab + c ( a + b + c ) p  ( a + c )( b + c ) p Mặt khác p số nguyên tố a, b,c,d  nên  c + a,c + b  p Từ ta ( c + a, p ) = ( b + c, p ) = , điều làm cho ( a + c )( b + c ) p mâu thuẫn Do điều giả sử sai hay a + b + c + d hợp số Bài 18 Người ta viết lên bảng dãy số 1 1 Mỗi lần xóa hai số x, ; ; ; ; 2016 y bảng lại viết thêm số x + y + xy Sau số lần bảng cịn lại số Tìm số cịn lại Lời giải Thực cộng số bảng với ta dãy số 1 1 + 1; + 1; + 1; ; +1 2016 Đặt x + y + xy = m , ta m + = ( x + 1)( y + 1) Như sau mối lần xóa hai số x + y + dãy lại thay số ( x + 1)( y + 1) Do lúc đấu ta có dãy số x; y;a; b; c; sau xóa hai số x y ta dãy số m;a; b; c; Chú ý ( x + 1)( y + 1)( a + 1)( b + 1)( c + 1) = ( m + 1)( a + 1)( b + 1)( c + 1) Như sau lần xóa tích khơng thay đổi Gọi k số cuối bảng sau xóa ta       k + =  +  +  +   +  = 2017      2016  Do ta k = 2016 hay số cuối lại bảng 2016 • Nhận xét Ta phát hiện tính chất bất biến nhờ đẳng thức xy + x + y + = ( x + 1)( y + 1) Như vậy giữ nguyên đẳng thức thay đổi dãy số ta tìm toán thay đổi đẳng thức ta toán Người ta viết lên bảng dãy số 1; 2; 3; ; 2016 Mỗi lần xóa hai số x, y bảng lại viết thêm số x + y + xy Sau số lần thực hiện vậy bảng cịn lại số Tìm số cịn lại 1007 1007 1007 1007 Mỗi lần xóa hai số x, ; ; ; ; 2013 • Người ta viết lên bảng dãy số y bảng lại viết thêm số 2xy − x − y + Sau số lần thực hiện vậy bảng cịn lại số Tìm số cịn lại MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tính giá trị biểu thức sau A = ( )( ( x + 1) ( x )( x16 − )( )( + x4 + x8 + ) với x = 2020 ) Ta có x16 − = ( x − 1)( x + 1) x + x + x8 + nên ta ( x − 1)( x + 1) ( x + 1)( x + 1)( x + 1) A= = = x −1 ( x + 1) ( x + 1)( x + 1)( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)( x + 1)( x + 1) x16 − 4 8 Do với x = 2020 ta A = 2019 Bài Cho ( x + 3y ) − ( x + 3y ) + 12 ( x + 3y ) = −19 Tìm giá trị biểu thức x + 3y Biến đổi giả thiết toán ta ( x + 3y ) − ( x + 3y ) + 12 ( x + 3y ) − = −27  ( x + 3y − ) = ( −3 ) 3 Do x + 3y − = −3 hay x + 3y = −1 Bài Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = Tính giá trị S = a2 + b2019 + c2020 Ta có a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = nên a; b; c  −  1;1 ( ) Do a + b3 + c − a + b2 + c = a ( a − 1) + b2 ( b − 1) + c ( c − 1)  Suy a3 + b3 + c3  nên a, b, c nhận hai giá trị Do b2019 = b2 ; c 2020 = c Kết hợp với giả thiết ta S = a2 + b2012 + c2013 = Bài Cho a, b, c các số khác thỏa mãn 1 + + = Chứng minh rằng: a b c b2 c c 2a a b2 + + = 3abc a b c Đặt 1 = x; = y; = z , x + y + z = Ta có a b c b2 c c 2a a b2  1 1 + + = a b2 c  + +  = a b2 c x3 + y + z a b c b c  a ( ) Từ x + y + z = hay x + y = −z nên ta x3 + y + 3xy ( x + y ) = ( −z )  x3 + y − 3xyz = −z  x + y + z = 3xyz Vậy b2 c c 2a a b2 + + = 3abc a b c Bài Cho a, b, c số khác thỏa mãn a3 b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2 b2c2 Tính giá trị  a  b  c biểu thức P =  +  +  +  b  c  a   Đặt ab = x; bc = y; ca = z ta Biến đổi x3 + y3 + z3 = 3xyz ta x + y + z = x = y = z + Với x + y + z = ta ab + bc + ca = Từ biến đổi biểu thức P ta  a  b  c  ( a + b )( b + c )( c + a ) ( ab + bc )( cb + ca )( ac + ab ) P =  +  +  +  = = = −1 b  c  a  abc  ( abc ) + Với x = y = z ta ab = bc = ca hay a = b = c Từ biển biểu thức P ta  a  b  c P =  +  +  +  = 2.2.2 = b  c  a   Bài Cho số x, y, z thỏa x + y + z = x3 + y3 + z3 = Tính giá trị biểu thức A = x2019 + y2019 + z2019 Từ x + y + z = ta ( x + y + z ) = Kết hợp với x3 + y3 + z3 = ta ( x + y + z) − (x + y + z ) =  (x + y + z) − x − y − z =  (x + y + z) − z − (x + y ) =  ( x + y + z − z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) z + z  − ( x + y ) ( x − xy + y ) =    ( x + y ) ( x + y + z + 2xy + 2yz + 2xz + xz + yz + z + z − x + xy − y ) =  ( x + y ) ( 3z + 3xy + 3yz + 3xz ) =  ( x + y )( y + z )( x + z ) = 3 3 3 3 2 3 2 2 2 2 Do ba số x, y, z có hai số đối số Từ ta A = Bài Với giá trị a b đa thức ( x − a )( x − 10 ) + phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Giả sử ( x − a )( x − 10 ) + = ( x − m )( x − n ) với m n các số nguyên Khi khai triển ta x − ( a + 10 ) x + 10a + = x − ( m + n ) x + mn m + n = a + 10 Đồng hệ số hai vế ta  Do khử hệ số a ta có mn = 10a + mn = 10 ( m + n − 10 ) +  mn − 10m − 10n + 100 =  m ( n − 10 ) − 10 ( n − 10 ) = m − 10 = −1 m − 10 = Vì m n các số nguyên ta có   n − 10 = −1 n − 10 = Đến ta a = a = 12 thỏa mãn yêu cầu toán Bài Cho a, b, c các số đôi khác thỏa mãn a + 1 = b + = c + = x Tính b c a giá trị biểu thức P = x.abc Ta có a + a−b b−c c −a Tương tự ta có b − c = c − a = = b + nên a − b = b ab bc ac c Do ta ( a − b )( b − c )( c − a ) = b−c c −a a − b  ( abc ) =  abc = 1 bc ac ab + Nếu abc = ta có P = x Khi giả thiết trở thành a + ac = b + ba = c + cb = x x = ( a + ac )( b + ba )( c + cb ) = abc ( a + 1)( b + 1)( c + 1) = ( a + 1)( b + 1)( c + 1)  a + b + c + ab + ac + cb = 3x x = abc + ab + ac + bc + + a + b + c = ab + ac + bc + a + b + c +  a + b + c + ab + ac + cb = 3x Do x = 3x +  x  −1; 2 Dễ thấy x = suy a = b = c = Tr]ơngf hợp loại a, b, c đơi khác Từ ta x = −1 nên ta tính P = −1 + Nếu abc = −1 , biến đổi hoàn toàn tương tự a − ac = b − ba = c − cb = x Do x = ( a − ac )( b − ba )( c − cb ) = abc ( a − 1)( b − 1)( c − 1) = ( a − 1)( b − 1)( c − 1)  a + b + c − ac − ba − cb = 3x x = abc − ab − ac − bc − + a + b + c = −ab − ac − bc + a + b + c −  a + b + c − ac − ba − cb = 3x Từ ta x = 3x −  x  1; −2 Dễ thấy x = −2 suy a = b = c = −1 Tr]ơngf hợp loại a, b, c đôi khác Từ ta x = nên ta tính P = −1 Vậy giá trị P P = −1 Bài 23 Cho ba số a, b, c thoả các điều kiện a − b = 7; b − c = Tính giá trị biểu thức P = a + b2 + c − ab − bc − ca a − c − 2ab + 2bc Nhìn vào tử số P ta có biến đổi quen thuộc (a − b) + ( b − c ) + (c − a ) − ab − bc − ca = a +b +c 2 2 2 Từ phải biến đổi giả thiết để xuất thêm c − a Ta có c − a = − ( b − c ) − ( a − b ) = −3 − = −10 Đặt T tử của P ta T = 79 Đặt M mẫu P, M phân tích thành tích thành M = ( a − c )( a + c − 2b ) = ( a − c )( a − b + c − b ) = 40 Vậy ta P = 79 40 Bài 26 Cho các số a, b, c khác khác đôi thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức P = ab2 bc ca + + a + b2 − c b2 + c − a c + a − b ( ) Do a3 + b3 + c3 = 3abc ta suy ( a + b + c ) a + b2 + c − ab − bc − ca = Do a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca  với a, b, c đôi khác nên a + b + c = Khi ab2 ab2 ab2 b2 b2 b = = = = = 2 2 a + b −c a + ( b − c )( b + c ) a + ( b − c )( −a ) a + c − b −b − b −2 Tương tự P = bc ca a c Cộng theo vế các đẳng thức ta = = 2 2 2 −2 −2 c +a −b b +c −a ab2 bc ca b c a + + = + + = − (a + b + c ) = 2 2 2 2 −2 −2 −2 a + b −c b +c −a c +a − b Bài Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn ab + bc + ca = Tính giá trị biểu thức: (a + b) ( b + c ) ( c + a ) a) A = 2 (1 + a )(1 + b )(1 + c ) (a b) B = 2 )( )( + 2bc − b2 + 2ca − c + 2ab − (a − b) ( b − c ) (c − a ) 2 ) a) Ta có + a = ab + bc + ca + a = ( a + b )( a + c ) Tương tự ta có + b = ( a + b )( b + c ) + c = ( b + c )( c + a ) (a + b) ( b + c ) (c + a ) Do A = 2 (1 + a )(1 + b )(1 + c 2 (a + b ) ( b + c ) (c + a ) = ) (a + b) ( b + c ) (c + a ) 2 2 2 = b) Ta có a + 2bc – = a + 2bc – ab – bc – ca = ( a − b )( a − c ) Tương tự b2 + 2ca – = ( b – c )( b – a ) c + 2ab − = ( c – a )( c – b ) (a Do B = )( )( + 2bc − b + 2ca − c + 2ab − (a − b) ( b − c ) (c − a ) 2 ) = (a − b) ( b − c ) (c − a ) 2 (a − b ) ( b − c ) (c − a ) 2 2 = Bài Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 2, x2 + y2 + z2 = 18 xyz = −1 Tính giá trị S = 1 + +  xy + z − yz + x − zx + y − Ta có xy + z − = xy − x − y + = ( x − 1)( y − 1) Tương tự yz + x − = ( y − 1)( z − 1) zx + y − = ( z − 1)( x − 1) Suy ta S= = 1 + + ( x − 1)( y − 1) ( y − 1)( z − 1) ( z − 1)( x − 1) = x+y+z−3 ( x − 1)( y − 1)( z − 1) −1 = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) − xy + yz + zx Ta có ( x + y + z ) = x + y + z + ( xy + yz + zx ) nên xy + yz + zx = −7 Suy ta S = − Bài Cho các số thực x, y, z đôi khác thỏa mãn các điều kiện x3 = 3x − 1; y3 = 3y − 1; z3 = 3z − Chứng minh x2 + y2 + z2 = Từ x3 = 3x − 1; y3 = 3y − 1; z3 = 3z − ta x − y = ( x − y ) x + xy + y =    y − z = ( y − z )   y + yz + z =   z + zx + x = 3   z − x = ( z − x ) Do ta x − z + xy − yz =  ( x − y )( x + y + z ) =  x + y + z = ( ) Công theo vế các đẳng thức ta x2 + y + z2 + ( xy + yz + zx ) = Hay ta ( ) x + y2 + z2 + ( x + y + z ) = x2 + y2 + z2 = 2 Bài Cho các số dương a, b,c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh a − b b−c c −a + + =0 + c + a + b2 Ta có + a = ab + bc + ca + a = ( a + b )( a + c ) Hồn tồn tương tự ta có + b = ab + bc + ca + b = ( b + a )( b + c ) + c = ab + bc + ca + c = ( c + a )( c + b ) a−b a−b a +c−b−c 1 = = = −  ( c + a )( c + b ) ( c + a )( c + b ) c + b c + a 1 + c  b − c b−c b +a −a −c 1 Suy  = = = − ( a + b )( a + c ) ( a + b )( a + c ) a + c a + b 1 + a  c −a c −a c + b−a − b 1  = = = − ( b + c )( b + a ) ( b + c )( b + a ) b + a b + c  + b Do ta a − b b −c c −a 1 1 1 + + = − + − + − =0 2 c+ b c+a a +c a + b b+a b+c 1+ c 1+ a 1+ b Bài Cho ba số a, b, c thỏa mãn c + ( ab − bc − ac ) = 0, b  c a + b  c Chứng 2a − 2ac + c a − c minh = 2b2 − 2bc + c b − c Ta có c + ( ab − bc − ac ) = nên ta ( ) a = a + c + ( ab − bc − ac ) = a − 2ac + c + ( ab − bc ) = ( a − c ) + 2b ( a − c ) = ( a − c )( a − c + 2b ) Từ suy ( ) 2a − 2ac + c = a − 2ac + c + a = ( a − c ) + a 2 = ( a − c ) + ( a − c )( a − c + 2b ) = ( a − c )( a + b − c ) Tương tự ta có 2b2 − 2bc + c = ( b − c )( a + b − c ) Do 2a − 2ac + c 2 ( a − c )( a + b − c ) a − c = = 2b − 2bc + c 2 ( b − c )( a + b − c ) b − c Bài Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn x + y = a + b x2 + y2 = a + b2 Chứng minh xn + yn = a n + bn với n số nguyên dương Ta có x + y = a + b  ( x − a )( x + a ) + ( y − b )( y + b ) = Mà x − a = b − y thay vào ta ( b − y )( x + a − b − y ) = + Nếu b − y = ta b = y Do từ giả thiết toán ta a = x Như ta xn + y2 = an + b2 + Nếu x + a − b − y =  x − y = b − a  2x = 2b  x = b y = a Do ta xn + yn = a n + bn Bài Cho x, y, z các số thực dương thỏa mãn 2x3 + y3 − xyz = − z3 Tính giá 27  6x + 3y − 2z  trị biểu thức N =  −   6x − 3y + 2z  2020 3 −2z Ta có 2x3 + y − xyz =  ( 6x ) + ( 3y ) + ( 2z ) = 108xyz 27 Đặt a = 6x; b = 3y; c = 2z Khi giả thiết trở thành a3 + b3 + c3 = 3abc 2 Biến đổi giả thiết ta ( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  =   Do x, y, z các số dương nên a, b, c các số dương, suy a + b + c  Do từ đẳng thức ta ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = nên a = b = c Như 2 ta 6x = 3y = 2z Do suy  6x + 3y − 2z  N = 2−  6x − 3y + 2z   2020  2z + 2z − 2z  = 2− 2z − 2z + 2z   2020 =1 Bài Cho các số thực x, y, z khác thỏa mãn x khác y ( ) ( ) x y − xz (1 − yz ) = y x − yz (1 − xz ) Chứng minh 1 + + = x+ y+z x y z Biến đổi giả thiết toán ta (x ) ( − yz y ( − xz ) = x ( − yz ) y − xz )  x y − x yz − y z + xy z = xy − x z − x yz 2 2 2  x y − x yz − y z + xy z − xy + x z + xy z − x yz = ( ) ( )  xy ( x − y ) − xyz yz + y − xz − x + z x − y =  ( x − y )  xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz  = Do x khác y nên suy xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) Lại x, y, z khác nên ta xy + xz + yz = xyz ( x + y + z )  x + y + z = 1 + + x y z Vậy toán chứng minh Bài Chứng minh với số nguyên n n − n chia hết cho ( ) Ta có n − n = n n − = ( n − 1) n ( n + 1) Biểu thức tích số nguyên liên tiếp ( ) nên suy n − n Bài Chứng minh n − n − n + chia hết cho 128 với n số lẻ Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( n6 − n4 − n2 + = n n − − n − = n − n − = n − ) (n 2 +1 ) Vì n số lẻ nên đặt tồn số nguyên k đế n = 2k + Khi ta có ( ) ( 2 n − = ( 2k + 1) − 1 = 4k + 4k   ) =  4k ( k + 1)  Ta có k ( k + 1) chia hết nên  4k ( k + 1)  64 ( ) Mặt khác n + = ( 2k + 1) + = 4k + 4k + = 2k + 2k + chia hết cho 2 Do ta n6 − n − n + = ( n − 1) ( n + 1) 128 Bài 34 Chữ số hàng đơn vị hệ thập phân số M = a2 + ab + b2 (với a, b các số tự nhiên khác 0) a) Chứng minh M chia hết cho 20 b) Tìm chữ số hàng chục M Lời giải a) Vì số tận M nên M chia hết cho Xét các trường hợp sau + Cả a b số lẻ nên a b2 số lẻ, suy M số lẻ, trường hợp không xẩy + Một hai số a b có số chẵn số lẻ, khơng tính tổng quát ta giả sử a số lẻ, b số chẵn Khi a số lẻ b2 số chẵn nên M số lẻ, trường hợp khơng xẩy Do hai số a b số chẵn Khi M chia hết cho 4, từ suy M chia hết cho 20 ( ( ) )( ) b) Ta có a + ab + b2 ( a − b ) = a − b3 nên a − b3 a + b3 ( ) Lại có a − a = a ( a − 1)( a + 1) a + Tương tự ta có b6 − b2 Do ta a2 − b2 , từ ta ab ( a − b ) nên ta có ( ) ab ( a − b )( a − b )  ab a − 2ab + b2 Suy abM Từ suy ab.3ab nên ab Ta có M = a2 + ab + b2 suy bM = ab ( a + b ) + b Mà ab ( a + b ) nên b3 hay b Suy a = M − b ( a + b ) nên a hay a nên M 25 Lại có 25 hai số nguyên tố nên M 100 hay số hàng chục M Bài 83 Cho p, q hai số nguyên tố lớn Chứng minh p4 + 2019q chia hết cho 20 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Thành phố Hà Nội năm học 2018 – 2019 Lời giải + Lời giải Ta có p4 + 2019q4 = p4 − q + 2020q Do đến chứng minh p4 + 2019q chia hết cho 20 ta cần chứng minh p4 − q chia hết cho 20 Để ý ta có 20 = 4.5 ( 4, ) = nên ta chứng minh p4 − q chia hết cho ( ( ) ) Ta có p4 − = ( p − 1)( p + 1) p2 + q − = ( q − 1)( q + 1) q + Do p Do p q các số nguyên tố lớn nên p q các số nguyên tố lẻ nên ( p − 1)( p + 1) ( q − 1)( q + 1) chia hết cho Điều dẫn đến p4 − q4 − chia hết cho ( ) ( ) Đến ta suy p4 − q = p4 − − q − chia hết cho Ta có ( ) ( ) p4 − = ( p − 1)( p + 1) p2 + = ( p − )( p − 1)( p + 1)( p + ) + ( p − 1)( p + 1) p2 + Để ý ( p − )( p − 1) p ( p + 1)( p + ) chia hết cho Mà p số nguyên tố lớn nên không chia hết cho 5, ta có ( p − )( p − 1)( p + 1)( p + ) chia hết cho Từ suy p4 − chia hết cho Lập luận hoàn toàn tương tự ta có q4 − chia hết cho Đến ta suy p4 − q chia hết cho Kết hợp các kết ta có điều phải chứng minh Bài 88 Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m + n + ước nguyên tố ( ) m + n − Chứng minh m.n số phương Trích đề TS lớp 10 trườngTH PT Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An năm học 2018 – 2019 Lời giải Giả sử m n hai số nguyên dương khác Khi ta có (m + n) − = ( m + n − 1)( m + n + 1) ( m + n + 1) ( ) Mà theo giả thiết ta có m + n − chia hết cho m + n + ( ) Do ta có m + n − − ( m + n ) − 1 ( m + n + 1) Do ta   ( m − n ) ( m + n + 1) Lại m + n + số nguyên tố nên từ ta suy m − n ( m + n + 1) Khơng tính tổng quát ta giả sử m  n , ta có m − n ( m + n + 1) Từ suy m − n  m + n +  2n +  , điều vơ lí n số nguyên dương Do điều giả sử m n khác sai nên suy m = n Từ ta có m.n = m2 số phương Bài 94 Đặt N = a1 + a + a + + a 2017 + a 2018 M = a15 + a52 + a53 + + a 52017 + a 52018 , a1 ; a ; a ; ; a 2018 các số nguyên dương Chứng minh N chia hết cho 30 M chia hết cho 30 Trích đề TS lớp 10 trườngTHPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2018 – 2019 Lời giải Với a số tự nhiên ta có ( = a ( a − 1)( a + 1) ( a ) ( − ) + 5a ( a − 1)( a + 1) a − a = a ( a − 1)( a + 1) a + = a ( a − 1)( a + 1) a − + ) = a ( a − 1)( a + 1)( a − )( a + ) + 5a ( a − 1)( a + 1) Để ý ( a − )( a − 1) a ( a + 1)( a + ) ( a − 1) a ( a + 1) chia hết cho 2, Mà ta có 2, 3, nguyên tố với theo đôi nên ta có ( a − )( a − 1) a ( a + 1)(a + ) ( a − 1) a ( a + 1) chia hết cho 30 Do a5 − a chia hết cho 30 Ta có ( ) 5 M − N = a 15 + a 25 + a 35 + + a 2017 + a 2018 − ( a + a + a + + a 2017 + a 2018 ) ( ) ( ) ( ) ( = a − a1 + a − a + a − a + + a 2018 − a 2018 5 ) Áp dụng cách chứng minh ta có (a )( )( ) ( ) − a1 ; a 25 − a ; a 35 − a ; ; a 2018 − a 2018 chia hết cho 30 Do M − N chia hết cho 30 Mà ta có N chia hết cho 30 nên suy M chia hết cho 30 Bài Cho biểu thức A = 2a2 b2 + 2b2c2 + 2a2c2 − a4 − b4 − c4 Chứng minh a, b, c độ dài các cạnh tam giác tam giác A nhận giá trị dương Ta có ( A = 2a b + 2b c + 2a c − a − b − c = 4a b − 2a b − 2b c − 2a c + a + b + c ( ) ( ) ( ) ) = −  b + c − a − 4b c  = −  b + c − a − 2bc   b + c − a + 2bc       2 = − ( b − c ) − a  ( b + c ) − a  = − ( b − c − a )( b − c + a )( b + c − a )( b + c − a )    = ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c )( a + b + c ) Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên a + b − c  0; b + c − a  0; c − a + b  Do A nhận giá trị dương Bài 18 Trên bảng cho 2014 số tự nhiên từ đến 2014 Thực liên tiếp phép biến đổi sau: Mỗi lần xoá hai số a, b có bảng viết thêm số a + b − ab vào bảng Khi bảng cịn lại số dừng lại Tìm số cịn lại Lời giải Trong quá trình biến đổi, giả sử bảng có dãy số a ; a ; ; a n Ta xét biểu thức sau P = ( a1 − )( a − ) ( a n − ) Ta chứng minh su lần xóa giá trị biểu thức P giảm hai lần Giả sử ta xóa hai số a b tích P thừa số ( a − )( b − ) ( a − )( b − ) 1 thay a + b − ab tích P có thêm thừa số a + b − ab − = 2 giảm nửa nên P giảm nửa Khi xóa hai số thay số nên sau lần xóa bảng giảm số Mà bảng có 2014 số nên sau 2013 lần xóa P giảm 2013 lần Khi ta có giá trị P = ( − )( − ) ( 2014 − ) = Giả sử số cịn lại bảng x ta có P = x − = hay x = Vậy số cuối bảng Bài Người ta viết bảng dãy các số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 Thực trị chơi sau: Tiến hành xóa hai số a, b dãy số viết lại số a3 + b3 Thực trò chơi trên bảng lại số Hỏi số lại bảng 9876543212016 khơng Bài Với dãy số tự nhiên từ đến 100 ta có tổng + + + + 100 = (100 + 1) 100 = 5050 Tiến hành xóa hai số a, b dãy số viết lại số a3 + b3 Khi ( ) tổng dãy số bảng tăng đại lượng a + b3 − ( a + b ) Ta thấy + + + + 100 = 5050 chia có số dư ( ) Lại thấy a + b3 − ( a + b ) = ( a − 1) a ( a + 1) + ( b − 1) b ( b + 1) Do đại lượng tăng lên chia hết cho Như sau lần tiến hành trị chơi tổng dãy số bảng ln chia cho có số dư Mà ta lại có 9876543212016 chia hết cho Do sau số lần tiến hành trị chơi bảng khơng thể cịn lại số 9876543212016 ... ta A = 4abc C Một số ứng dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử Trong nội dung ta biết phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên câu hỏi đặt phân tích thành nhân tử ứng dụng để... x3 + 2 2 2 + x +1 ) Bài 12 Phân tích đa thức thành nhân tử x11 + x10 + x9 + + x2 + x + Bài 13 Phân tích đa thức thành nhân tử x + 14x + Bài 14 Phân tích đa thức thành nhân tử 2x5 − 3x4 + 6x3... b − 3c )( a + b + c ) 2 = ( a + b + c )( a + b − 3c + 1) CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ B Một số phương pháp nâng cao Chúng ta biết phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử đặt