Chuyên đề 3. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng

Chuyên đề MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG A Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử I Các phương pháp phân tích 1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung + Tìm nhân tử chung đơn thức, đa thức có mặt tất hạng tử + Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 28a b2 − 21ab2 + 14a b = 7ab ( 4ab − 3b + 2a ) 2x ( y – z ) + 5y ( z – y ) = ( y − z ) – 5y ( y − z ) = ( y – z )( − 5y ) ( ) ( ) xm + xm + = xm x3 + = xm ( x + 1) x2 – x + 1.2 Phương pháp dùng đẳng thức + Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử + Cần ý đến việc vận dụng đẳng thức Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 9x2 – = ( 3x ) – 2 = ( 3x – )( 3x + ) ( – 27a b6 = 23 – 3ab2 ( ) = ( – 3ab )( + 6ab 25x4 – 10x2 y + y = 5x2 – y ) + 9a b ) 1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử phối hợp phương pháp + Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm + Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2x – 3x + 2x – = 2x + 2x – 3x + = 2x x + – x + = x + ( 2x – ) x –2xy + y – 16 = ( x – y ) − = ( x – y – )( x – y + ) Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử ( 3x y – 6x y – 3xy – 6axy – 3a xy + 3xy = 3xy x – 2y – y – 2ay – a + ( ) ( ) ) 2 = 3xy  x – 2x + – y + 2ay + a  = 3xy ( x – 1) – ( y + a )      = 3xy ( x – 1) – ( y + a )  ( x – 1) + ( y + a ) = 3xy ( x – – y – a )( x – + y + a ) 1.5 Một số ví dụ minh họa Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 y2 + 20x2 y − 35xy2 b) 40a3 b3c3x + 12a3 b4c2 – 16a b5cx c) 3x ( x – 2y ) + 6y ( 2y – x ) d) ( b – 2c )( a – b ) – ( a + b )( 2c – b ) • Định hướng tư Quan sát đa thức ta nhận thấy có nhân tử chung đa thức thứ thứ hai Với hai đa thức cịn lại xuất hiện thừa số đối nhau, vậy để có nhân tử chung ta đổi dấu hạng tử Do để phân tích đa thức thành nhân tử ta thực hiện bước sau + Bước Tìm ước chung lớn hệ số + Bước Tìm thừa số chung đơn thức, đa thức hạng tử đa thức + Bước Tiến hành đưa nhân tử chung bao gồm ước chung lớn hệ số thừa số chung dấu ngoặc Lời giải a) 5x y + 20x y − 35xy = 5xy ( xy + 4x – 7y ) ( b) 40a b3c x + 12a b4 c – 16a b5cx = 4a b3c 10c x + 3bc – 4ab2 x ) c) 3x ( x – 2y ) + 6y ( 2y – x ) = 3x2 – 6xy + 12y2 – 6xy = 3x2 – 12xy + 12y2 = ( x – 2y ) d) ( b – 2c )( a – b ) – ( a + b )( 2c – b ) = ( b – 2c )( a – b + a + b ) = 2a ( b – 2c ) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) a2 y2 + b2 x2 – 2abxy b) 100 – ( 3x – y ) c) 27x3 – a3 b3 d) ( a + b ) – ( a – b ) e) ( 7x − ) – ( 2x + 1) g) x2 – 2xy + y2 − 2 f) ( x – y + ) – ( 2x + 3y − 1) h) x2 – y2 – 2yz – z2 2 i) 3a2 – 6ab + 3b2 − 12c2 j) x2 – 2xy + y2 – m2 + 2mn – n2 k) a2 – 10a + 25 – y2 – 4yz – 4z2 l) x + 3cd ( – 3cd ) – 10xy – + 25y ( m) 4b2 c – b2 + c – a ) ( ) ( n) 4x2 – 3x − 18 – 4x2 + 3x ) • Định hướng tư Quan sát đa thức ta nhận thấy có xuất hiện thức đáng nhớ Một số đa thức ta thấy trực tiếp đẳng thức, Một số đa thức cịn lại nhóm hạng tử ta thấy có đẳng thức đáng nhớ Do ta sử dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Lời giải a) a y + b2 x2 – 2abxy = ( ay ) − ( ay )( bx ) + ( bx ) = (ay – bx ) 2 b) 100 – ( 3x – y ) = 10 – ( 3x – y ) = (10 – 3x + y )(10 + 3x – y ) 2 ( c) 27x – a b = ( 3x ) − ( ab ) = ( 3x – ab ) 9x + 3abx + a b 3 ) 3 2 d) ( a + b ) – ( a – b ) = ( a + b – a + b ) ( a + b ) + ( a + b )( a – b ) + ( a – b )    ( ) ( ) = 2b a + 2ab + b2 + a – b2 + a – 2ab + b2 = 2b 3a + b2 + 4ab = 2b ( 2a + b ) – a    = 2b ( 2a + b – a )( 2a + b + a ) = 2b ( a + b )( 3a + b ) e) ( 7x − ) – ( 2x + 1) = ( 7x – – 2x – 1)( 7x – + 2x + 1) = 15 ( x – 1)( 3x – 1) 2 f) ( x – y + ) – ( 2x + 3y − 1) = ( x – y + )( 2x + 3y – 1) 2 g) x2 – 2xy + y − = ( x – y ) – = ( x – y – )( x – y + ) h) x2 – y – 2yz – z2 = x2 – ( y + z ) = ( x – y – z )( x + y + z ) 2 i) 3a – 6ab + b − 12c = ( a – b ) – 4c  = ( a – b – 2c )( a – b + 2c )   j) x2 – 2xy + y – m + 2mn – n = ( x – y ) – ( m – n ) = ( x – y – m + n )( x – y + m – n ) 2 k) a – 10a + 25 – y – 4yz – 4z2 = ( a – ) – ( y + 2z ) = ( a – – y – 2z )( a – + y – 2z ) ( ) ( l) x2 + 3cd ( – 3cd ) – 10xy – + 25y = x – 10xy + 25y – 9c 2d – 6cd + = ( x – 5y ) – ( 3cd – 1) = ( x – 5y – 3cd + 1)( x – 5y + 3cd – 1) 2 ) ( m) 4b2 c – b2 + c – a ) = ( 2bc – b 2 )( ) – c + a 2bc + b + c – a 2 = a – ( b – c )  ( b + c ) – a  = ( a – b + c )( a + b – c )( b + c – a )( b + c + a )    ( ) ( n) 4x2 – 3x − 18 – 4x2 + 3x ( ) = ( 4x ) )( – 3x – 18 – 4x2 – 3x 4x2 – 3x – 18 + 4x2 + 3x ( ) ) = ( −6x – 18 ) 8x2 – 18 = −12 ( x + ) 4x2 – = −12 ( x + )( 2x – )( 2x + ) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – y2 – 2x – 2y b) 3x2 – 3y – ( x – y ) c) x ( x + 2y ) – x – 2y d) x2 – 2x – 4y2 – 4y e) x3 – 4x2 – 9x + 36 f) x + 2x + 2x + g) x + 2x – 4x − h) x – 4x + 12x – 27 i) x – 2x + 2x − j) a6 – a4 + 2a3 + 2a2 k) x + x + 2x + x + l) x + 2x + 2x + 2x + m) x2 y + xy2 + x2 z + y2 z + 2xyz n) x + x + x + x + x + • Định hướng tư Quan sát đa thức ta nhận thấy đa thức khơng có xuất hiện nhân tử chung ta sử dụng thức đáng nhớ để phân tích Tuy nhiên xét theo nhóm ta thấy có nhân tử chung có đẳng thức đáng nhớ Do vậy ta sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đ thức Lời giải a) x – y – 2x – 2y = ( x – y )( x + y ) – ( x + y ) = ( x + y )( x – y – ) b) 3x2 – 3y – ( x – y ) = ( x – y )( x + y ) – ( x – y ) 2 = ( x – y )( 3x + 3y – 2x + 2y ) = ( x – y )( x + 5y ) ( ) c) x2 ( x + 2y ) – x – 2y = ( x + 2y ) x – = ( x + 2y )( x – 1)( x + 1) ( ) d) x2 – 2x – 4y – 4y = x – 4y – ( 2x + 4y ) = ( x – 2y )( x + 2y ) – ( x + 2y ) = ( x + 2y )( x – 2y – ) ( ) ( ) ( ) ( ) e) x3 – 4x2 – 9x + 36 = x3 – 9x – 4x – 36 = x x – – x – = ( x – )( x – )( x + ) ( ) ( ) ( ) f) x3 + 2x2 + 2x + = x3 + + 2x2 + 2x = ( x + 1) x2 – x + + 2x ( x + 1) ( ) ( = ( x + 1) x2 – x + + x + = ( x + 1) x + ( ) ( ) ) ( )( ) ( g) x4 + 2x3 – 4x − = x – + 2x – 4x = x – x + + 2x x – ( )( ) ( )( )( ( ) ( ) ( ) = x2 – x2 + 2x + = x − x + x2 + 2x + ) ) ( ) h) x3 – 4x2 + 12x – 27 = x3 – 27 – 4x2 – 12x = ( x – ) x2 + 3x + – 4x ( x – ) ( ) = ( x – ) x2 + 3x + – 4x = ( x – ) x – x + ( ) ( ) ( )( ) ( i) x4 – 2x3 + 2x − = x4 – – 2x3 – 2x = x2 – x2 + – 2x x2 – ( )( ) = x – x + – 2x = ( x – 1)( x + 1)( x – 1) = ( x + 1)( x – 1) ) ( j) a – a + 2a + 2a = a ( a – 1)( a + 1) + 2a ( a + 1) = a ( a + 1) a – a + ( ) ) ( = a ( a + 1) a + a – 2a + = a ( a + 1) a ( a + 1) – ( a + 1)( a – 1)  = a (a + 1) a – 2a + 2 k) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( x4 + x3 + 2x2 + x + = x4 + 2x2 + + x3 + x = x2 + + x x2 + = x + x + x + ( ) ( l) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + = x + 2x + + 2x + 2x ( ) ( ) ( )( ) ) ( ) = x2 + + 2x x2 + = x2 + x2 + 2x + = x2 + ( x + 1) ( ) ( ) ( m) x2 y + xy + x2 z + y z + 2xyz = x2 y + xy + x z + xyz + y z + xyz ) = xy ( x + y ) + xz ( x + y ) + yz ( x + y ) = ( x + y )( xy + yz + zx ) ( n) x5 + x4 + x3 + x2 + x + = x4 ( x + 1) + x2 ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) x + x + ) Một số tập tự luyện Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 − 6x b) 9x4 y3 + 3x2 y4 c) x3 − 2x2 + 5x d) 3x ( x − 1) + ( x − 1) e) 2x ( x + 1) + ( x + 1) f) −3x − 6xy + 9xz Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 2x2 y − 4xy2 + 6xy c) 9x2 y3 − 3x4 y2 − 6x3 y2 + 18xy4 b) 4x3 y2 − 8x2 y3 + 2x4 y d) 7x2 y2 − 21xy2 z + 7xyz − 14xy ) ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x − 2x + 2x − b) x2 y + xy + x + c) ax + by + ay + bx d) x − ( a + b ) x + ab e) x2 y + xy2 − x − y f) ax2 + ay − bx2 − by Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ax − 2x − a2 + 2a b) x2 + x − ax − a c) 2x2 + 4ax + x + 2a d) 2xy − ax + x2 − 2ay e) x3 + ax2 + x + a f) x2 y2 + y3 + zx2 + yz Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 − 2x − 4y2 − 4y b) x + 2x − 4x − c) x3 + 2x2 y − x − 2y d) 3x2 − 3y2 − 2(x − y)2 e) x3 − 4x2 − 9x + 36 f) x2 − y2 − 2x − 2y Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ( x − )( x − 1) − ( x − ) b) ( x − 1)( 2x + 1) + ( x − 1)( x + )( 2x + 1) c) 6x + − ( 2x − )( 2x + 1) d) ( x − ) + ( x + )( x − ) − ( − x )( 2x + 1) e) ( 3x − )( 4x − ) − ( − 3x )( x − 1) − ( 3x − )( x + 1) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ( a − b )( a + 2b ) − ( b − a )( 2a − b ) − ( a − b )( a + 3b ) b) 5xy3 − 2xyz − 15y2 + 6z c) ( x + y )( 2x − y ) + ( 2x − y )( 3x − y ) − ( y − 2x ) d) ab3c2 − a2 b2c2 + ab2c3 − a2 bc3 Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 − 12x + b) 4x + 4x + d) 9x2 − 24xy + 16y2 e) g) −16a4 b6 − 24a5 b5 − 9a6 b4 h) 25x2 − 20xy + 4y2 c) + 12x + 36x2 x2 + 2xy + 4y f) −x2 + 10x − 25 i) 25x4 − 10x2 y + y2 Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: b) ( 5x − ) − 49x a) ( 3x − 1) − 16 d) ( 3x + 1) − ( x − ) ( 4b2 c − b2 + c − a c) ( 2x + ) − ( x − ) 2 ) 2 e) ( 2x + ) − ( x + 1) 2 f) (ax + by ) − (ay + bx ) g) ( 4x ) ( − 3x − 18 − 4x + 3x ) (a h) ) + b2 − − ( ab + ) 2 i) k) ( x + y − 1) − ( 2x + 3y + 1) 2 l) −4x2 + 12xy − 9y2 + 25 m) x2 − 2xy + y2 − 4m2 + 4mn − n2 Bài 10 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 8x3 − 64 b) + 8x6 y3 d) 8x3 − 27 e) 27x + c) 125x3 + y3 f) 125x3 + 27y3 Bài 11 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: c) − 9x + 27x2 − 27x3 a) x3 + 6x2 + 12x + b) x3 − 3x2 + 3x − 3 d) x3 + x2 + x + e) 27x3 − 54x2 y + 36xy2 − 8y3 Bài 12 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 − 4x2 y2 + y2 + 2xy b) x6 − y6 c) 25 − a2 + 2ab − b2 d) ( a + b + c ) + ( a + b − c ) − 4c 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x − 6x = 2x ( 2x − ) ( b) 9x4 y + 3x2 y = 3x2 y 3x2 + y ( c) x3 − 2x2 + 5x = x x − 2x + ) ) d) 3x ( x − 1) + ( x − 1) = ( x − 1)( 3x + ) ( e) 2x2 ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) x + ) f) −3x − 6xy + 9xz = − 3x ( + 2y + 3z ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 2x y − 4xy + 6xy = 2xy ( x − 2y + ) ( b) 4x3 y − 8x2 y + 2x4 y = 2x2 y xy − 4y + x2 ) ( c) 9x2 y − 3x y − 6x y + 18xy = 3xy 3xy − x − 2x + 6y ) d) 7x y − 21xy z + 7xyz − 14xy = 4xy ( xy − 3yz + z − ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: ( ) ( a) x3 − 2x2 + 2x − = ( x − 1) x + x + − 2x ( x − 1) = ( x − 1) x − x + ) b) x y + xy + x + = xy ( x + 1) + x + = ( x + 1)( xy + 1) c) ax + by + ay + bx = ( a + b )( x + y ) d) x − ( a + b ) x + ab = ( x − a )( x − b ) e) x y + xy − x − y = xy ( x + y ) − ( x + y ) = ( xy − 1)( x + y ) ( ) ( ) ( f) ax2 + ay − bx2 − by = a x2 + y − b x2 + y = ( a − b ) x + y ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ax − 2x − a + 2a = x ( a − ) − a ( a − ) = ( x − a )( a − ) b) x + x − ax − a = x ( x + 1) − a ( x + 1) = ( x + 1)( x − a ) c) 2x + 4ax + x + 2a = 2x ( x + 2a ) + ( x + 2a ) = ( x + 2a )( 2x + 1) d) 2xy − ax + x − 2ay = x ( 2y + x ) − a ( 2y + x ) = ( x − a )( x + 2y ) ( ) ( ) ( ) e) x3 + ax2 + x + a = x x + + a x + = x + ( x + a ) ( ) ( ) ( )( f) x2 y + y + zx2 + yz = y x + y + z x + y = x + y y + z ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x − 2x − 4y − 4y = ( x + 2y )( x − 2y ) − ( x + 2y ) = ( x + 2y )( x − 2y − ) ( )( ) ( ) ( )( b) x4 + 2x3 − 4x − = x2 − x2 + + 2x x2 − = x2 − x2 + 2x + ) c) x + 2x y − x − 2y = x ( x − 1)( x + 1) + 2y ( x − 1)( x + 1) = ( x − 1)( x + 1)( x + 2y ) d) 3x2 − 3y2 − ( x − y ) = ( x − y )( x + y ) − ( x − y ) = ( x − y )( x + 5y ) 2 e) x − 4x − 9x + 36 = x ( x − ) − ( x − ) = ( x − )( x − )( x + ) f) x − y − 2x − 2y = ( x − y )( x + y ) − ( x + y ) = ( x + y )( x − y − ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ( x − )( x − 1) − ( x − ) = ( x − )( x − ) b) ( x − 1)( 2x + 1) + ( x − 1)( x + )( 2x + 1) = ( x − 1)( 2x + 1)( 3x + ) c) 6x + − ( 2x − )( 2x + 1) = ( 2x + 1)( − 2x ) d) ( x − ) + ( x + )( x − ) − ( − x )( 2x + 1) = ( x − )( 4x − ) e) ( 3x − )( 4x − ) − ( − 3x )( x − 1) − ( 3x − )( x + 1) = ( 3x − )( x − ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ( a − b )( a + 2b ) − ( b − a )( 2a − b ) − ( a − b )( a + 3b ) = ( a − b ) ( b) 5xy3 − 2xyz − 15y + 6z = 5y ( xy − ) − 2z ( xy − ) = ( xy − ) 5y − 2z ) c) ( x + y )( 2x − y ) + ( 2x − y )( 3x − y ) − ( y − 2x ) = ( 2x − y )( 4x + 1) ( ) d) ab3c − a b2c + ab2c − a bc = abc b 2c − abc + bc − ac = abc ( b − a )( b − c ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 − 12x + = ( 2x − ) b) 4x2 + 4x + = ( 2x + 1) 2 c) + 12x + 36x2 = (1 + 6x ) d) 9x2 − 24xy + 16y = ( 3x − 4y ) x2 x  + 2xy + 4y =  + 2y  e) 2  f) −x2 + 10x − 25 = − ( x − ) 2 g) −16a b6 − 24a b5 − 9a b4 = −a b4 ( 3a + 4b ) h) 25x2 − 20xy + 4y = ( 5x − 2y ) ( i) 25x4 − 10x2 y + y = 5x − y ) 2 Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ( 3x − 1) − 16 = ( 3x − − )( 3x − + ) = ( 3x − )( x + 1) b) ( 5x − ) − 49x2 = ( 5x − − 7x )( 5x − + 7x ) = − ( 3x + )(12x − ) c) ( 2x + ) − ( x − ) = ( 2x + ) + ( x − ) ( 2x + ) − ( x − ) = ( 3x − )( x + 14 ) 2 d) ( 3x + 1) − ( x − ) = ( 3x + 1) − ( x − ) ( 3x + 1) + ( x − ) = ( x + )( 3x − ) 2 e) ( 2x + ) − ( x + 1) = 3 ( 2x + ) − ( x + 1) 3 ( 2x + ) + ( x + 1) = ( 4x + )( 8x + 11) 2 ( f) 4b c − b + c − a ) ( ) ( ) =  2ab − b + c − a  2bc + b + c − a     2 = a − ( b − c )  ( b + c ) − a  = ( a − b + c )( a + b − c )( b + c − a )( a + b + c )    g) ( ax + by ) − ( ay + bx ) = ( ax + by ) − ( ay + bx ) ( ax + by ) + ( ay + bx ) 2 = ( ax + by − ay − bx )( ax + by + ay + bx ) = ( a − b )( x − y )( a + b )( x + y ) ( ) h) a + b2 − − ( ab + ) = a + b2 − − ( ab + ) a + b − + (ab + ) 2 2 = ( a − b ) −  ( a + b ) − 1 = ( a − b − )( a − b + )( a + b − 1)( a + b + 1)    ( 4x ) ( − 3x − 18 − 4x2 + 3x ) ( ) = −6 ( x + ) 8x − 18 = 12 ( x + )( − 2x )( 2x + ) l) −4x2 + 12xy − 9y + 25 = 25 − ( 2x − 3y ) = ( − 2x + 3y )( + 2x − 3y ) Bài 10 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: ( a) 8x3 − 64 = ( 2x − ) 4x + 8x + 16 ( ) )( b) + 8x6 y = + 2x y − 2x y + 4x y ( c) 125x + = ( 5x + 1) 25x − 5x + ( d) 8x3 − 27 = ( 2x − ) 4x + 6x + e) 27x + ) ) ) y3  y  y2  =  3x +   9x + xy +     ( f) 125x3 + 27y = ( 5x + 3y ) 25x2 − 15xy + 9y ) Bài 11 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 + 6x2 + 12x + = ( x + ) b) x3 − 3x + 3x − = ( x − 1) 3 ... 1) CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ B Một số phương pháp nâng cao Chúng ta biết phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm các hạng tử phối... hợp phương pháp Tuy nhiên có đa thức đơn giản, biết dùng ba phương pháp thơi khơng thể phân tích thành nhân tử Do chun đề xét thêm số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử • Phương. .. Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x ( x + )( x + )( x + 10 ) + 128 • Định hướng tư Đa thức A cho đa thức bậc bốn, để phân tích đa thức A thành nhân tử ta cần nhân đa thức thu gọn