hình thành kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong giải toán

1.2 Khi áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử nói chung, học sinh còn lúng túng trong việc vận dụng kiến thức, phương pháp để giải quyết bài tập.. 1.3 Khi giảng dạy giáo viên thường gặ

HÌNH THÀNH KỸ NĂNG PHÂN TÍCH

ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG

DỤNG TRONG GIẢI TOÁN

KINH NGHIỆM

• TRƯỜNG THCS MỸ CHÂU

• TÔ VĂN HẢO

I PHẦN MỞ ĐẦU:

1 Lý do chọn đề tài:

1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề khó nhưng được ứng dụng rộng rãi trong thực hành giải toán.

1.2 Khi áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử nói chung, học sinh còn lúng túng trong việc vận dụng kiến thức, phương pháp để giải quyết bài tập Do vậy hình thành kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử phải là một mục tiêu cần đạt được đối với học sinh lớp 8, đặc biệt là các em học trung bình, yếu.

1.3 Khi giảng dạy giáo viên thường gặp khó khăn trong quá trình định hướng cho học sinh lựa chọn phương pháp nên mỗi giáo viên cần có những, kỹ năng và kinh nghiệm để hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp tốt nhất để phân tích đa thức thành nhân tử và giải quyết được các bài toán liên quan một cách đơn

giản, gọn gàng và triệt để là một nhu cầu cần thiết cho mỗi giáo viên.

1.4 Vì thế chúng tôi chọn đề tài này nhằm cùng với đồng nghiệp xây dựng một

phương pháp dạy học sao cho thầy truyền đạt dễ hiểu, tiết kiệm thời gian nhất, trò tiếp thu nhanh, vận dụng tốt nhất để cùng nhau nâng cao chất lượng dạy học.

2 Nhiệm vụ đề tài:

2.1 Nêu một số biện pháp để giải quyết những khó khăn khi thực hiện chuyên đề này trong chương trình toán 8.

2.2 Kế thừa hệ thống ki n th c trong soạn giảng để giúp học sinh tiếp thu kiến thức mang tính liên tục từ 6 đến 9.

+ Riêng lớp 6, lớp 7 thông qua bài toán viết một tổng thành tích, phân tích ra thừa số… là cơ sở ban đầu cho việc hình thành phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tạo điều kiện tốt cho lớp 8.

+ Đối với lớp 8 học sinh phải có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và một số ứng dụng của nó trong giải toán liên quan.

+ Đối với lớp 9 trên cơ sở các lớp 6, 7, 8 học sinh phải vận dụng và phát triển

nâng cao để giải một số dạng toán liên quan như giải phương trình, rút gọn phân thức, rút gọn biểu thức

2.3 Giúp học sinh có khả năng tự giải được nhiều bài tập Gây hứng thú cho học sinh trong giờ học toán, tạo cảm giác một tiết học nhẹ nhàng cho cả thầy và

trò…Thông qua đó thấy sự phong phú của toán học và ứng dụng của nó trong cuộc sống.

3 Phương pháp tiến hành:

Để dạy thành công chuyên đề này giáo viên và học sinh cần làm tốt những yêu cầu sau:

3.1 Tìm hiểu kỹ chương trình toán bậc THCS, SGK, sách tham khảo, các tài liệu liên quan.

3.2 Giáo viên phải làm tốt công tác chuẩn bị:

- Kiến thức cơ bản của nội dung bài học và các phương tiện hổ trợ.

- Làm tốt khâu hướng dẫn về nhà cho học sinh.

3.3 Chọn được các dạng bài tập đặc trưng cho phù hợp từng nội dung đảm bảo tác động tốt đến từng đối tượng học sinh.

3.4 Nghiên cứu kỹ nội dung tổ chức cho học sinh hoạt động theo nhóm, thảo luận để tìm hướng giải quyết đúng và thích hợp nhất.

3.5 Hình thành từng kỹ năng cho học sinh trên cơ sở từ thấp đến cao kế thừa các kiến thức nền ở lớp 6 và lớp 7.

3.6 Đưa chuyên đề trên thực hiện trong tiết thao giảng để đồng nghiệp dự giờ góp ý rút kinh nghiệm.

4 Cơ sở và thời gian tiến hành:

4.1 Cơ sở: Lựa chọn các bài tập liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử ở SGK, SBT lớp 6, lớp 7, lớp 8, lớp 9.

4.2 Đối tượng: Là học sinh lớp 8.

4.3 Thời gian tiến hành:

Đã thực hiện từ 2004 – 2005; 2005 – 2006; 2006 - 2007.

II NỘI DUNG

1 Mô tả tình hình thực tế:

- Trong quá trình giảng dạy các lớp từ 6 đến 9 và qua thực tế các bài kiểm tra và bài thi học kì; học sinh đặc biệt là học sinh trung bình, yếu còn lúng túng khi trình bày, hoặc trình bày không chặt chẽ, chưa lôgic hoặc phân tích không triệt để dẫn đến kết quả chưa cao.

- Học sinh thường gặp khó khăn khi lựa chọn phương pháp để áp dụng vào bài toán thực tế và thường mắc sai lầm như sau:

 Nhận dạng đặc trưng.

 Vận dụng kiến thức thiếu cơ sở.

 Kỹ năng sắp xếp.

Yêu cầu và

kết quả thực hiện

Những sai lầm thường gặp ở học

sinh

Phương pháp hình thành kỹ năng

cho học sinh

A 2 – B 2 , nhóm hai hạng tử cuối vì có nhân tử chung là y.

- Học sinh thực hiện như sau:

x 2 – 4 + y 2 + 2xy

= (x 2 – 4) + (y 2 + 2xy)

= (x – 2)(x + 2) + y(y + 2x)

 Bế tắc (!)

- Nhận dạng đặc trưng (dạng nào).

- Mục đích của việc nhóm hạng tử nhằm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức cho cả lần phân tích sau:

Ví dụ 2: Sai lầm về vận dụng kiến thức.

Yêu cầu và

kết quả thực hiện

Những sai lầm thường gặp ở học

sinh

Phương pháp hình thành kỹ

năng cho học sinh

x 2 – 5x + 6

= x 2 – 2x – 3x + 6

= (x 2 – 2x) – (3x + 6) (!) x(x – 2) – 3(x + 2) -> bế tắc.

- Định hướng cho học sinh hiểu được bx = (b1 + b2)x

= b1x + b2x

- Khi nhóm hạng tử cần chú

ý dấu của mỗi hạng tử.

- Thiết lập quan hệ giữa các nhóm.

Ví dụ 3: Sai lầm về vận dụng kiến thức trong giải toán ứng dụng.

Bài tập 25b/trang17/SGK toán 8 tập II.

Yêu cầu và kết quả thực hiện

Những sai lầm thường gặp ở học

sinh

Phương pháp hình thành kỹ năng cho học sinh

- Biến đổi phương trình có bậc lớn hơn

2 về dạng phương trình tích (phân tích vế trái thành nhân tử)

Vậy tập nghiệm của phương

trình là: S ={; 3; 4}

Tập nghiệm của phương trình là S=

Do đó tập nghiệm của phương trình trên là chưa chính xác.

- Sai lầm khi chuyển vế và đổi dấu cả hai nhân tử:

(3x – 1)(x 2 + 2)= (3x – 1)(7x – 10) (3x – 1)(x 2 + 2) – (3x – 1) – (7x – 10 ) = 0

- Chuyển vế các hạng tử thì đổi dấu các hạng tử, chuyển vế tích các nhân tử chỉ cần đổi dấu một trong các nhân tử.

4

0 3

x

x x

4

0 3

0 1

x x x

x

x

x

3 ; 4

Vậy do đâu học sinh dẫn đến những sai lầm trên?

Đó chính là cơ sở để giáo viên nhận thấy vấn đề trên cần giải quyết, làm sao định hướng cho học sinh khai thác và lựa chọn phương pháp thích hợp nhất để các em không còn mắc sai lầm tương tự.

2.Mô tả nội dung và giải pháp mới.

Giải pháp mới:

Kinh nghiệm khi phân tích đa thức thành nhân tử hoặc giải một số bài toán ứng dụng liên quan, chúng tôi cần lưu ý một số cách để phân tích đa thức thành nhân tử:

a.1 Theo thứ tự ưu tiên

Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phương pháp nhóm hạng tử

Phối hợp nhiều phương pháp

a.2 Trong một đa thức cần chú ý:

Nhận xét:

Số hạng tử

Dấu của các hạng tử

Số lượng biến có trong đa thức đó

Bậc cao nhất của đa thức

• a.3 Hình thành kiến thức cho học sinh bằng con đường đi từ dễ đến khó,

từ trực quan đến tư duy và theo từng đối tượng học sinh.

• a.4 Giáo viên chốt kiến thức (cho từng dạng) một cách ngắn gọn;

công thức – cách giải phải ghi cô đọng dễ hiểu nhất và làm rõ yêu cầu bài toán.

• a.5 Giáo viên cần có những kỹ năng, “mẹo toán” để giúp học sin tư duy

sáng tạo, khai thác bài toán, tìm tòi học hỏi và lòng say mê toán học.

b.Cách thức tổ chức:

• b.1 Chọn lọc hệ thống bài tập đặc trưng cho từng dạng.

• b.2 Tổ chức tốt hoạt động nhóm.

• b.3 Hình thành kỹ năng lựa chọn phương pháp.

• b.4 Đưa ra các bài tập vận dụng.

• c) Nội dung:

• Như phần nhiệm vụ của đề tài đã trình bày Lớp 6, lớp 7 là cơ sở ban đầu hình thành phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử giúp các em làm quen nên theo ý đồ SGK họ chỉ đưa ra các bài toán đơn giản dưới dạng biến tổng thành tích So sánh giá trị hai biểu thức, tính nhanh… tạo nền tảng vững chắc sau này cho các em ở khối lớp cao hơn.

Yêu cầu và kết quả thực hiện

Kiến thức vận dụng

a.b + a.c = a(b + c)

Luỹ thừa của một tích:

(ab) m = am.bm

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

a.b + a.c = a(b + c)

- Viết một tổng thành tích.

-Đặt thừa số chung.

Viết tổng thành tích -Phân tích ra thừa số…

• Trên đây là hai ví dụ cho ta thấy việc phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung và nhóm hạng tử chỉ là

bước phát triển của tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng sau đó và nâng cao mở rộng ở các phương pháp khác như

dùng hằng đẳng thức, tách, nhóm, thêm, bớt hạng tử… từ lớp 8

3 Một số ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:

Yêu cầu và

kết quả thực hiện

Kiến thức vận dụng (cơ sở) Hình thành kỹ năng cho học sinh

Phân tích đa thức thành

Vậy tại x = 2001, y = 1999 thì biểu thức:

x (x – 1) – y (1 – x) có giá trị là: 8000000

2) Phân tích đa thức: x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) thành nhân tử.

• Hướng dẫn:

• Bước 1: Quan sát các hạng tử có nhân tử chung? (không)

• Bước 2: Tìm cách để tạo ra nhân tử chung (thực hiện nhân đơn thức với

đa thức để khai triển)

• Bước 3: Tìm các hạng tử có nhân tử chung để sắp xếp thành nhóm

• Học sinh thực hiện như sau:

• Giáo viên yêu cầu học sinh tự giải bài tập 32 trang 12/SBT Toán 8 tập

1.

• Phân tích đa thức: xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz thành nhân tử

• Học sinh áp dụng ba bước phân tích trên để giải được bài toán

• HS nhận thấy các hạng tử chưa có nhân tử chung nên học sinh liên hệ đến cách giải ở bài tóan trước, học sinh có thể thực hiện như sau:

• xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz

• = x2y + xy2 + y2z + yz2 + x2z + xz2 + 2xyz

• Và các em thấy: các hạng tử (x2y, xy2) có nhân tử chung;

• (y2z; yz2; 2xyz) có nhân tử chung nên nhóm các hạng tử như sau:

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Yêu cầu và kết quả thực hiện

Kiến thức vận dụng

(cơ sở)

Hình thành kỹ năng cho học sinh

a Phân tích đa thức thành

- Quan sát số hạng tử có trong đa thức để lựa chọn phương pháp phân tích theo thứ tự ưu tiên.

1 Các hạng tử có nhân tử chung?

2 Các hạng tử có thể lập thành hằng đẳng thức?

Gợi ý:

+ Xác định biểu thức A, B.

+ Số lượng biến và bậc của đa thức + Các hằng đẳng thức có bậc lớn nhất là bậc hai.

- Trường hợp này giáo viên gợi ý các biểu thức A,B có thể là những đa thức nếu học sinh không nhận thấy thì giáo viên cụ thể hoá:

(2x + 3y) 2 + 2(2x + 3y)+1 2

A 2 + 2AB + B 2

 Phát triển bài toán

• Với ví dụ 2a đưa ra bài toán phân tích đa thức x2 – 2 thành nhân tử.

• Học sinh tư duy 4 = 2 2 vậy 2 = (?)2 và một số học sinh có thể phát hiện: 2 =

• Khi đó học sinh dễõ dàng phân tích được như sau:

• x2 – 2 = x2 – = (x – ) (x + ).

• Hoặc giáo viên phát triển bài toán để cho một số đối tượng học sinh khá giỏi tư duy tạo tiết học hấp dẫn tình huống phong phú hơn như:

• Phân tích đa thức x4 - 4 thành nhân tử.

• Bằng phép tương tự học sinh có thể phân tích được:

• x4 – 4 = (x 2 – 2) (x 2 + 2) = (x – ) (x + ) (x 2 + 2)

2

)2(

2

)2

22

• Hướng dẫn giải:

• Học sinh khó nhận dạng M có dạng hằng đẳng thức nào Từ đó giáo viên gợi ý:

- Các hạng tử trong M có bậc là 2 vậy kết hợp những hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng thức bậc 2 dạng A2 – B2

- Học sinh thực hiện như sau:

• 3 Tìm số n sao cho + 19 là số chính phương.

• Hướng dẫn giải:

• Để chứng minh + 19 là số chính phương: 1) + 19 = ( x Z )

• Nếu x chẵn => 0 (mod 4)

• 2)( + 19) Q => ( +19)

• Học sinh thực hiện như sau:

• Ta có: x2 là số chẵn suy ra 0 (mod 4)

• Mà 19 - 1 (mod 4) => 1 (mod 4) (1)

• Mà 3 -1 (mod 4) => (mod 4) (2)

• Từ (1) và (2) suy ra n chẵn vì- 1(mod 4)

193

m

m

x x



Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Yêu cầu và kết quả thực hiện

Kiến thức vận dụng (cơ sở)

Hình thành kỹ năng cho học sinh

Phân tích đa thức thành

- Yêu cầu học sinh thảo luận nhóm để tìm ra phương pháp giải theo thứ tự

ưu tiên.

+ Nếu học sinh giải được yêu cầu nhóm trưởng trình bày lại phương pháp để các nhóm khác tham khảo + Nếu học sinh không làm được và mắc sai lầm nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối Từ đó giáo viên gợi ý cách nhóm nhằm đạt được mục đích xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức cho cả lần phân tích sau.

+ Đặc điểm của bài toán để áp dụng phương pháp.

+ Điều kiện để nhóm hợp lý các hạng tử

Chốt lại:

+ Mỗi nhóm phải phân tích được + Giữa các nhóm phải phân tích

được

• Chú ý:

• Ở ví dụ trên học sinh có thể sai lầm khi nhóm ở bước đầu tiên dẫn đến bước thứ hai bế tắc vì vậy nhiệm vụ của giáo viên phải khắc sâu cho học sinh.

1 Mục đích của phương pháp nhóm xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức cho cả lần phân tích sau.

2 Sau khi nhóm lần hai có thể phân tích được nữa không? Các hạng tử còn lại có đặt nhân tử chung hay dùng hằng đẳng

3 Nhóm các hạng tử có chứa ít nhất cùng một biến.

4 Đối với đa thức nhiều hạng tư,û phương pháp là nhóm các hạng tử có ít nhất cùng một biến,tao hang dang thuc hoặc đòi hỏi kỹ năng cao hơn như linh hoạt đưa nhân tử chung “ra, vào” ngoặc để tách nhóm …

 Phát triển bài toán.

• Trường hợp đa thức có nhiều hạng tử

• Không thể vận dụng được cách nhóm trên ta cần linh hoạt hơn trong cách nhóm như sau:

• Phân tích đa thức : x3 – x + 3x2 y + 3xy2 + y3 – y thành nhân tử:

• * Hướng dẫn giải:

• - Nhận xét bậc đa thức: (bậc 3)

• - Lựa chọn phương pháp nhóm nhằm mục đích: + xuất hiện hằng đẳng thức

• + xuất hiện nhân tử chung

• Ta thấy: x3 – x + 3x2 y + 3xy2 + y3 – y có hai hạng tử x3 và y3 lập thành hằng đẳng thức: (A + B)3 ; hai hạng tử 3x2y và 3xy2 có nhân tử chung

• Giáo viên hướng cho học sinh nhóm các hạng tử như sau:

 Ưùng dụngï:BT 33/tr6/SGK.

• 1) Tính nhanh giá trị của đa thức sau:

• x2 – 2xy – 4z2 + y2 tại x = 6, y = -4 và z = 45

• Học sinh dễ dàng nhận ra x2 – 2xy + y2 lập thành hằng đẳng thức (A – B)2

• kết hợp với 4z2 để lập được hằng đẳng thức A2 – B2 và thực hiện như sau:

2) Chứng minh rằng: A = x50 + x49 + …+ x2 + x1 + 1

chia hết cho B = x 16 + x 15 + x 14 + …+ x 2 + x 1 + 1

• Hướng dẫn giải:

• Để chứng minh:  B là ước của A hoặc A = B.Q(x)

• Do đó nhân tử chung phải là B =Ư(A)

• Mà A có 51 hạng tử; B có 17 hạng tử

• Vậy ta phải nhóm các hạng tử thành các nhóm sao cho mỗi nhóm

đều chứa nhân tử chung là B

• Kết quả thực hiện:

• Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.

• BT1/tr23/SGK toán 8T 1

Yêu cầu Kết quả

Kiến thức vận dụng (cơ sở) Hình thành kỹ năng cho học sinh

- Giáo viên hình thành cách lựa chọn phương pháp phân tích cho học sinh theo thứ tự:

1 Đặt nhân tử chung.

2 Dùng hằng đẳng thức.

3 Nhóm các hạng tử.

4.Phối hợp nhiều phương pháp.

Và có kỹ năng loại trừ các phương pháp từ

1 đến 4.

Yêu cầu và

kết quả thực hiện

Kiến thức vận dụng

(cơ sở)

Hình thành kỹ năng cho học sinh

Phân tích đa thức thành nhân

Cho học sinh lựa chọn các phương pháp đã học, học sinh bế tắt.Tu do Giáo viên giơi thiệu phương pháp tách hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử.

Đối với tam thức bậc hai ta làm như sau:

- Ta có thể tách hạng tử ax 2 hoặc tách hạng tử bx hoặc tách hạng tử tự do c.

Thông thường ta hay tách bx

b1 và b2 là 2 hệ số cần tìm trong thực hành ta làm như sau:

Bước1: Thử tất cả các cặp giá trị có tích bằng ac.

Bước 2: Chọn một cặp giá trị có tích bằng a.c và có tổng bằng b.

Ngoài ra ta còn có cách tách khác là tách hệ số tự do

c nhằm làm xuất hiện hằng đẳng thức.

Chú ý: Nếu tam thức bậc hai luôn dương hoặc luôn

âm sẽ không phân tích được thành nhân tử

1

2 1

.b x acx x

b

bx x b x b

BT 57/tr25/SGK toán 8/ tập 1.