Đề tài định lý vi ét và ứng dụng trong giải toán lớp 9

MỤC LỤC Mục Trang PHẦN I: MỞ ĐẦU A - Lý chọn đề tài: .3 B - Mục đích nghiên cứu: C - Nhiệm vụ nghiên cứu: D - Phạm vi đối tượng nghiên cứu: .4 E - Phương pháp nghiên cứu: PHẦN II: NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài A - Cơ sở lý luận thực tiễn: B -Thực trạng : .5 Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực để giúp học sinh ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai: I Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn: II Lập phương trình bậc hai : .7 IV Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình: 10 V Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số : 11 VI Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm: 13 VII Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai: 15 VIII Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm: 15 Chương III: Thực nghiệm sư phạm 17 PHẦN III: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ .18 Kết luận 18 Kiến nghị: .18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 PHẦN I: MỞ ĐẦU A - Lý chọn đề tài: Trong giai đoạn nay, mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin giới phát triển mạnh mẽ, nước Tư Bản Chủ Nghĩa, nước ta trọng tìm kiếm nhân tài hệ trẻ, em học sinh phải nổ lực nhiều trong việc tìm kiếm kiến thức, học thật giỏi để bổ sung nhân tài cho đất nước Mơn Tốn THCS có vai trò quan trọng, mặt phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ thái độ mà học sinh lĩnh hội hình thành bậc tiểu học, mặt khác góp phần chuẩn bị kiến thức, kỹ thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề vào lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi hiểu biết định Tốn học Chương trình Tốn THCS khẳng định q trình dạy học trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức kỹ Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh kiến thức bản, tìm tòi đủ cách giải tốn để phát huy tính tích cực học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ Trong vài năm trở lại đây, trường Đại học, trường PTTH chuyên TP sức thi tuyển, chọn lọc học sinh đề thi vào lớp 10 THPT, đề thi tuyển học sinh giỏi lớp cấp xuất toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dang Thế đa số học sinh gặp toán bậc hai, em lại lúng túng khơng giải chương trình học có tiết, nhà em khơng biết cách đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải Vì tơi suy nghĩ làm để nâng cao chất lượng học tập cho em học sinh, giúp em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải toán bậc hai Góp phần giúp em tự tin kỳ thi tuyển Đó lý tơi chọn đề tài này: “Định lý Vi-ét ứng dụng giải tốn lớp 9” B - Mục đích nghiên cứu: Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho em học sinh THCS Từ em làm tốt tốn bậc hai kỳ thi tuyển Kích thích, giúp em biết cách tìm kiến thức nhiều nữa, khơng toán bậc hai mà dạng toán khác C - Nhiệm vụ nghiên cứu: Bài tập toán học đa dạng phong phú Việc giải toán yêu cầu quan trọng học sinh Nhiệm vụ giáo viên phải làm cho học sinh nhận dạng, hiểu tốn, từ nghiên cứu tìm cách giải Để nghiên cứu đề tài này, đề nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu tốn bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét , tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho - Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng thức Vi-ét vào toán bậc hai cho hợp lý - Điều tra 20 học sinh xem có học sinh thích học nâng cao, mở rộng kiến thức toán bậc hai có học sinh tiếp thu, nâng cao kiến thức D - Phạm vi đối tượng nghiên cứu: - Nghiên cứu 26 học sinh học lớp 9B trường THCS Xuân Dương – Thanh Oai – Hà Nội - Nghiên cứu ứng dụng hệ thức Vi-ét, môn đại số lớp 9, tìm hiểu tốn bậc hai có ứng dụng thức Vi-ét E - Phương pháp nghiên cứu: Căn vào mục đích nhiệm vụ nghiên cứu, sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tôi đọc chọn tốn bậc có ứng dụng thức Vi-ét, xếp thành ứng dụng sau: Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng  Ứng dụng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình  Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số  Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm  Ứng dụng 7: Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm Phương pháp vấn, điều tra: Tôi hỏi điều tra 20 học sinh khá, giỏi sau tiết dạy thực nghiệm với câu hỏi sau: Câu 1: Em có muốn nâng cao kiến thức khơng ? Câu 2: Em thích tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khơng? Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung tốn khơng ? Câu 4: Em đọc lại định lý Vi-ét Hãy nhẩm nghiệm phương trình sau: a/ 4321x2 + 21x – 4300 = b/ x2 + 7x + 12 = Câu 5: Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m tham số, có hai nghiệm x , x2 (x1 > x2) Tính giá trị biểu thức P  x13 x2  x1 x23 theo m Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Sau xếp thành nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tơi thực lên lớp hướng dẫn học sinh ứng dụng với thời lượng buổi (15 tiết) Trong ứng dụng đưa tập để học sinh tự giải Trên sở hàng năm giáo viên bổ sung thêm tập tương tự PHẦN II: NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài A - Cơ sở lý luận thực tiễn: Mục tiêu giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm giúp học sinh củng cố phát triển kết giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS hiểu biết ban đầu kỹ thuật hướng nghiệp, học nghề vào sống lao động” Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS thiết kế theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học lớp, tăng thời gian tự học hoạt động ngoại khóa Theo chương trình trên, học sinh học Định lý Vi-ét khơng có nhiều tiết học sâu khai thác ứng dụng hệ thức Vi-ét nên em nắm vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần B -Thực trạng : a Thuận lợi: - Tôi trực tiếp đứng lớp giảng dạy mơn Tốn khối năm, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 nên thấy cần thiết phải thực đề tài: “Định lý Vi-ét ứng dụng giải toán lớp 9” - Tơi đồng nghiệp góp ý kiến giảng dạy - Đa số học sinh khá, giỏi mong muốn nâng cao kiến thức b Khó khăn: - Thời lượng phân bố tiết cho phần hạn chế, cụ thể chương trình lớp có tiết (1 tiết lý thuyết, tiết luyện tập) Do chưa khai thác triệt để ứng dụng hệ thức Vi-ét - Hầu hết số học sinh trường học sinh vùng quê, bố mẹ làm nơng nghiệp Do em trọng nâng cao kiến thức Từ thuận lợi khó khăn trên, với đề tài tơi mong giáo viên giúp em có thêm kiến thức để tự tin kỳ thi tuyển c Thực trạng giáo viên học sinh xã Xuân Dương- T.Oai – Hà Nội: Hiện nay, việc dạy học giáo viên học sinh thực tiễn Xn Dương có số mặt đạt chưa đạt sau:  Những mặt đạt được: - Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức chương trình Học sinh nắm kiến thức hoàn thành THCS ( đạt 94%) - Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp nhiều năm chưa có học sinh đạt giỏi huyện mơn Tốn  Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém, học sinh học chưa  Những mặt chưa đạt: - Trường tổ chức bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh khối 6; 7; song chất lượng chưa cao - Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Tốn hạn chế Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực để giúp học sinh ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai: - Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết chương trình cho học sinh hiểu định lý Vi-ét Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm : x1  x1  x2  Suy : x1 x2  b   b   ; x2  2a 2a b   b   2b b    2a 2a 2a a  b      b     b 4a   2   b  b  4ac 4ac c    4a 4a 4a a Đặt S P tổng tích hai nghiệm phương trình Vậy: S  x1  x2  b c P  x1.x2  a a - Giáo viên soạn dạng toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải Trong đề tài trình bày nhóm ứng dụng sau:  Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn  Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai  Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng  Ứng dụng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình  Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số  Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm  Ứng dụng 7: Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai  Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm Cụ thể sau: I Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn: Dạng đặc biệt: Xét phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (*) a/ Nếu cho x = thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = hay a + b + c = Như vậy: phương trình có nghiệm x1 = nghiệm x2 = c a b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1)2 +b.(-1)+c = hay a - b + c = Như vậy: phương trình có nghiệm x1 = -1 nghiệm x2 = Ví dụ: Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: a/ 2x2 + 5x + = (1) b/ 3x2 + 8x - 11 = (2) Giải: Ta thấy: Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có nghiệm: x1 = -1 và x2 = 3 Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có nghiệm: c a x1 = x2 = 11 Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: a/ 35x2 - 37x + = b/ 7x2 + 500x - 507 = c/ x2 - 49x - 50 = d/ 4321x2 + 21x - 4300 = Cho phương trình, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm lại hệ số phương trình: Ví dụ: a/ Phương trình x2 – 2px + = có nghiệm x1 = 2, tìm p nghiệm b/ Phương trình x2 + 5x + q = có nghiệm x1 = 5, tìm q nghiệm c/ Phương trình x2 – 7x + q = có hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d/ Tìm q hai nghiệm phương trình : x2 – qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm nghiệm lần nghiệm Giải: a/ Ta thay x1 = vào phương trình x2 – 2px + = , ta – 4p + = � p  5 Theo hệ thức Vi-ét : x1 x2 = suy ra: x2 = x  2 b/ Ta thay x1 = vào phương trình x + 5x + q = , ta được: 25+ 25 + q = � q  50 50 50 Theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = -50 suy ra: x2 = x   10 c/ Vì vai trò x1 , x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x1 - x2 =11 theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = ta có hệ phương trình sau: �x1  x2  11 �x1  �� � �x1  x2  �x2  2 Suy ra: q = x1 x2 = 9.(-2)= -18 d/ Vì vai trò x1 , x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x = 2x2 theo hệ thức Viét: x1 x2 = 50 ta có hệ phương trình sau: x 5 �x1  x2 � � x2  50 � x2  52 � �2 � x2  5 �x1.x2  50 � - Với x2  x1  10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = + 10 = 15 - Với x2  5 x1  10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15 II Lập phương trình bậc hai : Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2 Ví dụ: Cho x1= 3; x2= Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Giải: �S  x1  x2  �P  x1.x2  Theo hệ thức Vi-ét, ta có: � Vậy x1; x2 nghiệm phương trình có dạng: x2 – Sx + P = � x2 – 5x + = Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm: a/ x1= x2= - b/ x1= 3a x2= a c/ x1= 36 x2= - 104 d/ x1= 1+ x2= - 2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước Ví dụ: Cho phương trình x2 – 3x + = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Không giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1  x2  1 y2  x1  x1 x2 Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �1 � 1 x x  x1    x1  x2   �  �  x1  x2      x1 x2 x1 x2 �x1 x2 � � �� � 1 P  y1 y2  �x2  � �x1  � x1.x2     11  x1 x2 2 � x1 �� x2 � S  y1  y2  x2  Vậy phương trình cần lập có dạng: y  Sy  P  hay y  9 y   � y2  y   2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: 1 y2  x2  x2 x1 (Đáp số: y  y   � y  y   ) y1  x1  2/ Cho phương trình: x2 - 5x - = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1  x14 y2  x2 (Đáp số: y  727 y   ) 3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = có hai nghiệm dương x 1; x2 mà x1 < x2 Hãy lập phương trình bậc hai mà nghiệm : x1  x2  1 x2   x1  4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 cho: a/ y1  x1  y2  x2  b/ y1  x1  y2  x2  (Đáp số: a/ y  y   m  ; b/ y  y  (4m2  3)  ) III Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình : x2 – Sx + P = (đk: S2 - 4P ≥ 0) Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - tích P = a.b = - Giải: Vì: S = a + b = - tích P = a.b = - Nên a, b hai nghiệm phương trình: x2 + 3x – = Giải phương trình ta x1= x2= - Vậy a = b = - a = - b = Bài tập áp dụng: Tìm hai số a, b biết tổng S tích P: a/ S = P = b/ S = -3 P = c/ S = P = 20 d/ S = 2x P = x2 – y2 Bài tập nâng cao: Tìm hai số a, b biết: a/ a + b = a2 + b2 = 41 b/ a - b = a.b = 36 2 c/ a + b =61 a.b = 30 Hướng dẫn: a/ Theo đề ta dã biết tổng hai số a b, để áp dụng hệ thức Vi-ét cần tìm tích hai số a b Từ a  b  �  a  b   81 � a  2ab  b  81 � ab   81  a  b 2   20 x 4 � x2  � Suy ra: a, b nghiệm phương trình có dạng: x  x  20  � � Vậy: Nếu a = b = Nếu a = b = b/ Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng: a + b Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = a.c = -36 x  4 � x2  � Suy ra: a, c nghiệm phương trình có dạng: x  x  36  � � Do đó: Nếu a = - c = nên b = -9 Nếu a = c = - nên b = 2 2 Cách 2: Từ  a  b    a  b   4ab �  a  b    a  b   4ab  169 a  b  13 � �  a  b   132 � � a  b  13 � - Với a + b = -13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x  4 � x  13 x  36  � �1 x2  9 � Vậy a = - b = - - Với a + b = 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x 4 � x  13x  36  � �1 x2  � Vậy a = b = c/ Đã biết ab = 30, cần tìm a + b: a  b  11 � a  b  11 � 2 2 Từ a  b  61 �  a  b   a  b  2ab  61  2.30  121  11 � � - Nếu a + b = -11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : x  5 � x  11x  30  � �1 x2  6 � Vậy a = - b = - hay a = - b = - - Với a + b = 11 ab = 30, nên a, b hai nghiệm phương trình : x 5 � x  11x  30  � �1 x2  � Vậy a = b = hay a = b = IV Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình: Điều quan trọng toán dạng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét tính giá trị biểu thức 1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 x1 x2 Ví dụ 1: a/ x12  x22   x12  x1 x2  x22   x1 x2   x1  x2   x1 x2 3 2  x1  x2   3x1 x2 � b/ x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  � � �  2x x  x1  x2   x1x2 � c/ x14  x2   x12    x22    x12  x2   x12 x2  � � � 2 1 2 x1  x2 d/ x  x  x x 2 Ví dụ 2: x1  x2  ? 2 Ta biến đổi  x1  x2   x12  x1 x2  x2   x12  x1 x2  x2   x1 x2   x1  x2   x1 x2 � x1  x2  �  x1  x2   x1 x2 Bài tập áp dụng: Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: a/ x12  x2  ? 2 ( HD x1  x2   x1  x2   x1  x2   ) b/ x13  x23  ? 3 2   x1  x2   x1x2 � (HD x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  � � � ) c/ x14  x2  ? 4 2 2 ( HD x1  x2   x1  x2   x1  x2   ) d/ x16  x26  ? ( HD x16  x26   x12    x2    x12  x2   x14  x12 x2  x2   ) 3 1 h/ x   x   ? 2/ Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm e/ x16  x26  ? f/ x17  x27  ? g/ x15  x25  ? Ví dụ : Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, tính: 1 b/ x  x a/ x12  x2 Giải: 10 �S  x1  x2  �P  x1.x2  15 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � a/ x12  x2   x12  x1x2  x2   x1 x2   x1  x2   x1 x2  82  2.15  34 x1  x2 1 x1 x2 34 1 1 14 b/ x  x  x x  18 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/  x12  x2  (Đáp án: 46) b/ x  x (Đáp án: ) 15 2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/ x12  x2 (Đáp án: 65) b/ x  x (Đáp án: ) 2 3/ Cho phương trình: x - 14x + 29 = 0, Không giải phương trình, tính: a/ x12  x2 (Đáp án: 138) b/ x  x (Đáp án: ) 29 4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/ x12  x2 (Đáp án: 1) x1 x2 b/ x   x  1 c/ x  x  x1 (Đáp án: ) (Đáp án: 3)  x2 d/ x  x (Đáp án: 1) 5/ Cho phương trình: x2 - x + = có nghiệm x1, x2 Khơng giải phương trình, tính: Q x12  10 x1 x2  x2 x1 x2  x13 x2   2  2.8  x1  x2   x1 x2 x12  10 x1 x2  x2 17 Q     3 (HD: 2 x1 x2  x1 x2 �4  2.8� 80 ) x1 x2 � �x1  x2   x1 x2 � 5.8 � � � � �   6/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m tham số, có nghiệm x 1, x2 (x1> x2 ) Tính giá trị biểu thức : A  x13 x2  x1 x23 theo m V Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số : Để làm toán dạng này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ≥ 0) - Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 11 Ví dụ : Cho phương trình: (m - 1)x – 2mx + m - = có nghiệm x x2 Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho chúng khơng phụ thuộc vào m Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m �1 � m �1 � m  �0 m �1 � � � � ��2 �� �� �  ' �0 5m  �0 m   m  1  m   �0 m� � � � � � 2m � � S  x1  x2  S  x1  x2   (1) � � � � m 1 m 1 �� Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � m  �P  x x  �P  x x   (2) 2 � � m 1 m 1 2 Rút m từ (1), ta có: m   x1  x2  � m   x  x  (3) 3 Rút m từ (2), ta có: m    x1 x2 � m    x x (4) Từ (3) (4), ta có:  �   x1 x2    x1  x2   �  x1  x2   x1 x2   x1  x2   x1 x2 Ví dụ : Gọi x1 x2 nghiệm phương trình: (m - 1)x – 2mx + m - = chứng minh biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + x1 x2 - không phụ thuộc giá trị m Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m �1 � m �1 � m  �0 m �1 � � � � ��2 �� �� �  ' �0 5m  �0 m   m  1  m   �0 m� � � � � � 2m � S  x1  x2  � � m 1 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � �P  x x  m  m 1 � Thay vào biểu thức A, ta có: 2m m4 6m  2m   8(m  1)  8   0 m 1 m 1 m 1 m 1 Vậy A = với m �1 m � A = 3(x1 + x2 ) + x1 x2 – = Do biểu thức A khơng phụ thuộc giá trị m Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có nghiệm x x2 Hãy lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho x1 x2 độc lập m Hướng dẫn: - Tính  ta được: = (m - 2)2 + > phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 x2 - Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi :  x1  x2   x1 x2   độc lập m 12 2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có nghiệm x x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho x1 x2 không phụ thuộc giá trị m Hướng dẫn: - Tính  ta được: = 16m2 + 33 > phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 x2 - Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi : x1 x2   x1  x2   17  không phụ thuộc giá trị m VI Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ≥ 0) - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ : Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2 Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m �0 m �0 � � m  �0 � � � � � � � �  '  m  2m   9m  27 �0  ' �0 '  �  m  21 � � � � � �  m  3 m �0 m �0 � m �0 � �� ��  '   m  1 �0 m �1 � � 6(m  1) � S  x1  x2  � � m Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � �P  x x  9(m  3) � m Vì x1  x2  x1 x2 (giả thiết) 6(m  1) 9(m  3)  � 6(m  1)  9(m  3) � 3m  21 � m  ( thỏa mãn) Nên m m   Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2 Ví dụ : Cho phương trình: x – (2m + 1) x + m2 + = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2   x1  x2    Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: '  2m 1  '  �۳  m2  �S  x1  x2  2m  �P  x1.x2  m  Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � Vì 3x1 x2   x1  x2    (giả thiết) 13 m m  2(TM ) � Nên m    2m  1   � � � m  ( KTM ) �   Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2   x1  x2    Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + =0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - =0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1  3x2  3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1  x2  Hướng dẫn: Đối với tập dạng ta thấy có điều khác so với tập VD1 VD2 chỗ: + Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1  x2 tích nghiệm x1 x2 nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m + Còn tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1  x2 tích nghiệm x1 x2 từ vận dụng tương tự cách làm trình bày VD1 VD2 16 15 ĐKXĐ: m �0; m � Bài 1: �   m  4 m S  x1  x2  � � m  1 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � m  �P  x x  � m � Theo đề ta x1  x2  � x1  x2 � x1  x2  x2 �  x1  x2   x2 �  x1  x2   3x1 có: �x1  x2  x2 �  x1  x2   x1 x2    x1  x2   x1 � Suy ra: � Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: m + 127m - 128 = � m1 = ; m2 = -128 Bài 2: ĐKXĐ: 11  96 �m �11  96 �S  x1  x2   m  1 �P  x1.x2  5m  Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: � �x1    x1  x2  � Theo đề ta có: x1  3x2  � � �x2   x1  x2   � x1 x2  �   x1  x2  � �  x1  x2   1� � � � � � x1 x2   x1  x2   12  x1  x2   1  14 m0 � (TMĐK) m 1 � Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: 12m(m – 1) = � � � Bài 3: 2 Vì    3m    4.3  3m  1  m2  24m  16   3m   �0 với số thực m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt 3m  � S  x1  x2  � �  1 Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: � �P  x x    3m  1 � � � x1   x1  x2   � Theo đề ta có: 3x1  x2  � � x2   x1  x2   � � 64 x1 x2  �  x1  x2   � �  x1  x2   6� � � � � � 64 x1 x2  15  x1  x2   12  x1  x2   36 Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: m  45m  96   m0 � �� 32 (TMĐK) � m 15 � VII Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm,… Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 S = x1 + x2 P = x1 x2  Điều kiện chung m � trái dấu P0  �0  �0 ; P > dương + + S > P>0  �0  �0 ; P > ; S > âm - S0  �0  �0 ; P > ; S < Ví dụ : Xác định tham số m cho phương trình: x – (3m + 1) x + m2 – m – = có nghiệm trái dấu Giải: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì:   �    3m  1  4.2 m  m  �0 �    m   �0m  �0 � � � �� �� � 2  m  � m2  m  P  m  m   �P      �P  � 0 � Vậy với 2  m  phương trình có hai nghiệm trái dấu Bài tập áp dụng: 1/ Xác định tham số m cho phương trình: mx – 2(m + 2) x + 3(m - 2) = có nghiệm dấu 2/ Xác định tham số m cho phương trình: 3mx + 2(2m + 1) x + m = có nghiệm âm 3/ Xác định tham số m cho phương trình: (m - 1)x +2x + m = có nghiệm khơng âm 15 VIII Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm : Ví dụ : Cho phương trình: x + (2m - 1) x - m = Gọi x x2 nghiệm phương trình Tìm m để: A = x12  x22  x1 x2 có giá trị nhỏ Giải: �S  x1  x2    2m  1 �P  x1.x2  m Theo hệ thức VI_ÉT,Ta có: � Theo đề ta có: 2 A = x12  x2  x1 x2   x1  x2   x1 x2   2m  1  8m  4m2  12m    2m    �8 Suy ra: A  8 � 2m   � m  Ví dụ : Cho phương trình: x2 - mx + m - = Gọi x x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biều thức sau: B x1 x2 x  x2   x1 x2  1 2 Giải: �S  x1  x2  m �P  x1.x2  m  Theo hệ thức Vi-ét , Ta có: � 2x x 2x x 2  Theo đề ta có: B  x  x   x x  1   x1  x2   2 Cách 1: Biến đổi B cách thêm, bớt sau: B      m  1 m   m2  2m  m2  2 Vì  m 1�   m  1  m  1  m 2  2m  m2  2 m2  2 m2  Vậy maxB = � m = B Với cách thêm, bớt khác ta lại có: 1 2 m  2m   m  m  4m   m  m  2  2 2 B    2 m 2 m 2 m 2  Vì  m 2  �  m  2  2 m 2   B     1 B   � m  2 Vậy 2 Cách 2: Đưa giải phương trình bậc hai với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã sho ln có nghiệm với m 2m  � Bm  2m  B   (với ẩn m B tham số) m 2 Ta có:    B  B  1   B  B B Để phương trình (*) ln có nghiệm với m ≥ 2 Hay  B  B �0 � B  B  �0 �  2B  1  B  1 �0 16 (*) � � �B � � � B  �0 � � � � � � � �B  �0 �B �1 �� �� �  �B �1 � 2 B  �0 � � � � �B � � � � � �B  �0 � � � �B �1 � Vậy: max B  1 � m  ; B   � m  2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 Tìm m để biểu thức A   x1  x2  có giá trị nhỏ 2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – – m = Tìm m nghiệm x x2 thỏa mãn điều kiện x12  x2 �10 có giá trị nhỏ 3/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – = Xác định m nghiệm x x2 thỏa mãn điều kiện : a/ A  x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn b/ B  x12  x2  x1 x2 đạt giá trị nhỏ 4/ Cho phương trình: x2 - (m – 1)x - m2 + m – =0 Với giá trị m để biểu thức C  x12  x2 đạt giá trị nhỏ 5/ Cho phương trình: x2 +(m + 1)x + m = Xác định m để biểu thức D  x12  x2 đạt giá trị nhỏ Chương III: Thực nghiệm sư phạm Mục đích thực nghiệm: - Giúp học sinh hiểu nắm định lý Vi-ét, biết ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải dạng toán : nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn ; tìm hai số biết tổng tích chúng ; tính giá trị biểu thức nghiệm… - Tìm hiểu ý thức tự học học sinh, giúp học sinh thấy cần thiết phải tham khảo thêm tài liệu, sách tham khảo,… - Giúp học sinh tự tin giải toán bậc hai, kỳ thi tuyển Nội dung thực nghiệm: - Tiến hành dạy ôn tập theo chủ đề lớp 9B trường THCS Xuân Dương - Thời lượng : buổi chiều (15 tiết) Kết thực nghiệm: Trước sau dạy hai tiết dạy thực nghiệm, tiến hành khảo sát 20 học sinh với câu hỏi thu kết sau: Kết thống kê Câu Nội dung Trước dạy Sau dạy hỏi SL TL(%) SL TL(%) 65,3 Em có muốn nâng cao kiến thức khơng ? 10 38,4 17 Em thích tốn bậc hai có ứng dụng 42,3 69,2 11 18 hệ thức Vi-ét không? Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội 38,4 65,3 10 17 dung tốn khơng ? 57,6 69,2 Em đọc lại định lý Vi-ét nhẩm 15 18 17 nghiệm phương trình sau: a/ 4321x2 + 21x – 4300 = b/ x2 + 7x + 12 = Cho phương trình: x – 3x + m = 0, với m tham số, có hai nghiệm x1, x2 (x1 > x2) Tính giá trị biểu thức P  x13 x2  x1 x23 theo m 11 PHẦN III: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 42,3 18 69,2  Kết luận Qua tìm hiểu, trò chuyện với học sinh, tơi nhận thấy đa số em nhận thức tầm quan trọng việc học phổ thơng đòn bẩy đưa em đến tương lai tươi đẹp Đa số em học sinh khá, giỏi muốn mở rộng, nâng cao kiến thức em cách nào, đọc sách tốt sách tham khảo nhiều loại Vì giáo viên cần nghiên cứu tìm cách hướng dẫn học sinh cách tự học nhà, tự chọn sách tham khảo,… Mong đề tài : “Định lý Vi-et ứng dụng giải tốn lớp 9” góp phần giúp em thêm kiến thức , biết ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán bậc hai để em thêm tự tin kỳ thi tuyển Chắc hẳn đề tài : “Định lý Vi-et ứng dụng giải tốn lớp 9”, tơi nhiều thiếu sót, mong góp ý quý thầy, cô giáo em học sinh Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ: Trần Trung Thành – SĐT: 0985 211 541 Email cá nhân: trungthanh2658@gmail.com  Kiến nghị: Hiện trường phổ thông trọng nhiều việc phụ đạo học sinh yếu, chưa quan tâm nhiều đến việc nâng cao kiến thức cho học sinh khá, giỏi khối lớp 6; 7; Nên có chương trình dạy mở rộng nâng cao kiến thức cho học sinh khá, giỏi khối lớp 6; 7; Nên có chương trình hướng dẫn học sinh chọn mua sách tham khảo tất môn học 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tuyển tập tốn hay khó_Đại số nhà xuất đại học quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh (tác giả: Phan Văn Đức-Nguyễn Hoàng Khanh-Lê Văn Thường) Sách giáo khoa Toán _ Tập Sách giáo viên Toán _ Tập Sách tập Toán _ Tập Bài tập trắc nghiệm đề kiểm tra Toán nhà xuất giáo dục in năm 2007 (tác giả: Hoàng Ngọc Hưng-Phạm Thị Bạch Ngọc) Các đề thi tuyển học sinh giỏi cấp TP Hà Nội ,tỉnh Đồng Nai, tỉnh Bình Thuận đề tuyển sinh vào lớp 10 hàng năm Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào 10 TP Hà Nội, Đồng Nai, tỉnh Bình Thuận Tài liệu ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn tốn năm Nhà xuất giáo dục Việt Nam Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2018 Tác giả Trần Trung Thành * Ý kiến đánh giá HĐKH trường: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………… Xếp loại:…………… * Ý kiến đánh giá HĐKH sở: 19 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Xếp loại:…………… 20 ... học sinh, giúp em biết vận dụng hệ thức Vi- ét để giải tốn bậc hai Góp phần giúp em tự tin kỳ thi tuyển Đó lý tơi chọn đề tài này: Định lý Vi- ét ứng dụng giải toán lớp 9 B - Mục đích nghiên cứu:...  a a - Giáo vi n soạn dạng toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi- ét để giải Trong đề tài tơi trình bày nhóm ứng dụng sau:  Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn  Ứng dụng 2: Lập phương... thêm kiến thức , biết ứng dụng hệ thức Vi- ét vào giải toán bậc hai để em thêm tự tin kỳ thi tuyển Chắc hẳn đề tài : Định lý Vi- et ứng dụng giải tốn lớp 9 , tơi nhiều thiếu sót, mong góp ý q thầy,