Đề tài định lý vi ét và ứng dụng trong giải toán lớp 9

Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, m

MỤC LỤC

Mục Trang

PHẦN I: MỞ ĐẦU 3

A - Lý do chọn đề tài: 3

B - Mục đích nghiên cứu: 3

C - Nhiệm vụ nghiên cứu: 3

D - Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: 4

E - Phương pháp nghiên cứu: 4

PHẦN II: NỘI DUNG 5

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài 5

A - Cơ sở lý luận và thực tiễn: 5

B -Thực trạng : 5

Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng hệ thức 6

Vi-ét để giải phương trình bậc hai: 6

I Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn: 6

II Lập phương trình bậc hai : 7

IV Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình: 10

V Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số : 11

VI Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm: 13

VII Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: 15

VIII Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm: 15

Chương III: Thực nghiệm sư phạm 17

PHẦN III: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 18

Kết luận 18

Kiến nghị: 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 19

PHẦN I: MỞ ĐẦU

A - Lý do chọn đề tài:

Trong giai đoạn hiện nay, khi mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin trên thế giới đang phát triển mạnh mẽ, nhất là các nước Tư Bản Chủ Nghĩa, nước ta vẫn đang chú trọng tìm kiếm nhân tài thì thế hệ trẻ, các em học sinh càng phải nổ lực nhiều trong trong việc tìm kiếm kiến thức, học thật giỏi để bổ sung nhân tài cho đất nước Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học

Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh,

mở rộng tầm suy nghĩ

Trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường PTTH chuyên của TP đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10 THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang

Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải

Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển Đó là lý do tôi chọn đề tài này:

“Định lý Vi-ét và ứng dụng trong giải toán lớp 9”.

B - Mục đích nghiên cứu:

Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS Từ đó các em có thể làm tốt các bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển

Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bài toán bậc hai mà cả các dạng toán khác

C - Nhiệm vụ nghiên cứu:

Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú Việc giải bài toán là một yêu cầu rất quan trọng đối với học sinh Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học sinh nhận dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải

Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu các bài toán bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét , tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình

- Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng

hê thức Vi-ét vào các bài toán bậc hai sao cho hợp lý

- Điều tra 20 học sinh xem có bao nhiêu học sinh thích được học nâng cao, mở rộng kiến thức về các bài toán bậc hai và có bao nhiêu học sinh có thể tiếp thu, nâng cao kiến thức

D - Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

- Nghiên cứu 26 học sinh đang học lớp 9B ở trường THCS Xuân Dương – Thanh Oai – Hà Nội

- Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9, tìm hiểu các bài toán bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét

E - Phương pháp nghiên cứu:

Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu:

Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp xếp thành 8 ứng dụng sau:

Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai

Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

- Phương pháp phỏng vấn, điều tra:

Tôi hỏi điều tra 20 học sinh khá, giỏi sau 1 tiết dạy thực nghiệm với các câu hỏi sau:

Câu 1: Em có muốn nâng cao kiến thức không ?

Câu 2: Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét không?

Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung toán không ?

Câu 4: Em hãy đọc lại định lý Vi-ét Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0 b/ x2 + 7x + 12 = 0

Câu 5: Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m là tham số, có hai nghiệm x1 ,

x2

(x1 > x2) Tính giá trị biểu thức 3 3

1 2 1 2

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Sau khi sắp xếp thành 8 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiện lên lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên với thời lượng 5 buổi (15 tiết) Trong mỗi ứng dụng đều đưa ra bài tập để học sinh tự giải quyết Trên cơ sở đó hàng năm giáo viên

có thể bổ sung thêm các bài tập tương tự

PHẦN II: NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài

A - Cơ sở lý luận và thực tiễn:

Mục tiêu của giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”

Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt động ngoại khóa

Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và vận dụng

hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này

B -Thực trạng :

a Thuận lợi:

- Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9 được 3 năm, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển

vào lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề tài: “Định lý Vi-ét

và ứng dụng trong giải toán lớp 9”.

- Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy

- Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức

b Khó khăn:

- Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở chương trình lớp 9 chỉ có 2 tiết (1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập) Do vậy chưa khai thác triệt để các ứng dụng của hệ thức Vi-ét

- Hầu hết số học sinh của trường là học sinh vùng quê, bố mẹ làm nông nghiệp

Do đó các em ít được chú trọng nâng cao kiến thức

Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với đề tài này tôi mong giáo viên sẽ giúp các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển

c Thực trạng của giáo viên và học sinh xã Xuân Dương- T.Oai – Hà Nội:

Hiện nay, việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở Xuân Dương còn có một số mặt đã đạt được và chưa đạt sau:

 Những mặt đã đạt được:

- Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình Học sinh nắm được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS ( đạt 94%)

- Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 nhiều năm chưa có học sinh đạt giỏi huyện môn Toán

 Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém, nhưng học sinh đi học chưa đều

 Những mặt chưa đạt:

- Trường đã tổ chức bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh các khối 6; 7; 8 song chất lượng chưa cao

- Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế

Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai:

- Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học sinh hiểu được định lý Vi-ét

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm :

1 ; 2

     

Suy ra :

1 2

2 2 2

2

x x

x x

       

         

Đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình

Vậy: 1 2

b

a



   và P x x1 2 c

a

- Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải Trong đề tài này tôi trình bày 8 nhóm ứng dụng sau:

 Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

 Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai

 Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

 Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

 Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

 Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

 Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

 Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Cụ thể như sau:

I Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

1 Dạng đặc biệt:

Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)

a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = 0 hay a+ b + c = 0 Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = c

a

b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1)2 +b.(-1)+c = 0 hay a- b + c = 0 Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 = c

a



Ví dụ:

Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a/ 2x2 + 5x + 3 = 0 (1)

b/ 3x2 + 8x - 11 = 0 (2)

Giải:

Ta thấy: Phương trình (1) có dạng a- b + c = 0, nên có 2 nghiệm:

x1 = -1 và và x2 = 3

2



Phương trình (2) có dạng a+ b + c = 0, nên có 2 nghiệm:

x1 = 1 và x2 = 11

3



Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:

a/ 35x2 - 37x + 2 = 0

b/ 7x2 + 500x - 507 = 0

c/ x2 - 49x - 50 = 0

d/ 4321x2 + 21x - 4300 = 0

2 Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn

lại và chỉ ra hệ số của phương trình:

Ví dụ:

a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.

b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.

c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phương trình

d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 – qx +50 = 0, biết phương trình

có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

Giải:

a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được 4 – 4p + 5 = 0 1

4

p

Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 =

1

5 5 2

b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x2 + 5x + q = 0 , ta được: 25+ 25 + q = 0

50

q

 

Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 =

1

50 50

10 5

x

c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau:



  Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18

d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:

- Với x 2 5 thì x 1 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15

- Với x 2 5 thì x 1 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15

II Lập phương trình bậc hai :

Ví dụ:

Cho x1= 3; x2= 2 Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Giải:

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2

1 2

5

P x x

  





Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:

x2 – Sx + P = 0  x2 – 5x + 6 = 0

Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:

a/ x1= 8 và x2= - 3

b/ x1= 3a và x2= a c/ x1= 36 và x2= - 104 d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 - 2

2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước

Ví dụ:

Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

1 2

1

1

x

  và 2 1

2

1

x

 

Giải:

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

3

3 2

               

2 2

              

Vậy phương trình cần lập có dạng:

y2  Sy P  0hay 2 9 9 2

y  y   y  y 

Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

1 1

2

1

x

  và 2 2

1

1

x

 

(Đáp số: 2 5 1 2

y  y   y  y  ) 2/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

4

1 1

2 2

(Đáp số: y2  727y  1 0) 3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = 0 có hai nghiệm dương x1; x2 mà x1 < x2 Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là : x x 1 2 1 và x2 1  x1

4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho:

a/ y1 x1  3 và y2 x2  3

b/ y1  2x1  1 và y2  2x2  1

(Đáp số: a/ y2  4y  3 m2  0 ; b/ y2  2y (4m2  3) 0  )

III Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)

Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.

Giải: Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4

Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0

Giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4

Vậy nếu a = 1 thì b = - 4

nếu a = - 4 thì b = 1

Bài tập áp dụng:

Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:

a/ S = 3 và P = 2 b/ S = -3 và P = 6 c/ S = 9 và P = 20 d/ S = 2x và P = x2 – y2

Bài tập nâng cao:

Tìm hai số a, b biết:

a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41 b/ a - b = 5 và a.b = 36

c/ a2 + b2 =61 và a.b = 30

Hướng dẫn:

a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b

2

a b   a b   a  ab b   ab   

Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng: 2 1

2

4

9 20 0

5

x

x





    



 Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5

Nếu a = 5 thì b = 4

b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b

Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36

Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng: 2 1

2

4

5 36 0

9

x

x









Do đó: Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9

Nếu a = 9 thì c = - 4 nên b = 4

Cách 2: Từ a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 2 4ab 169

 2 2 13

13

13

a b

a b

a b

 



      



- Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

1 2

2

4

13 36 0

9

x

x





    



 Vậy a = - 4 thì b = - 9

- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

1 2

2

4

13 36 0

9

x

x





     

 Vậy a = 4 thì b = 9

c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:

Từ 2 2 61  2 2 2 2 61 2.30 121 112 11

11

a b

a b

 



              



- Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

1 2

2

5

11 30 0

6

x

x





    





Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5

- Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :

1 2

2

5

11 30 0

6

x

x





     

 Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5

IV Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:

Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến đổi

biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức

1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x 2

Ví dụ 1:

a/ x12x22 x12 2x x1 2 x22 2x x1 2 x1 x22 2x x1 2

b/ x13x23 x1x2 x12 x x1 2x22x1x2  x1x22 3x x1 2 

x x  x  x  x x  x x  x x  x x   x x

1 2 1 2



 

Ví dụ 2: x1  x2  ?

Ta biến đổi x1  x22 x12 2x x1 2 x22 x12 2x x1 2 x22 4x x1 2 x1 x22 4x x1 2

    

Bài tập áp dụng:

Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:

a/ 2 2

( HD 2 2    

x  x  x  x x x  ) b/ 3 3

(HD 3 3    2 2    2

x  x  x  x x x x x  x  x  x x  x x  

c/ 4 4

( HD 4 4  2 2  2 2

x  x  x x x  x  ) d/ 6 6

x x 

( HD 6 6   2 3 23  2 2  4 2 2 4

x x  x  x  x x x  x x x  ) e/ 6 6

x  x  f/ 7 7

x x  g/ 5 5

x x  h/

?

x   x  

2/ Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

Ví dụ :

Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:

a/ 2 2

1 2

x x b/

1 2

x  x

Giải:

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 1 2

1 2

8 15

P x x

  





 a/ x12x22 x12 2x x1 2 x22 2x x1 2 x1 x22 2x x1 2  82 2.15 34 